! ! ! ! Escolhendo+se,!aleatoriamente,!três!números!inteiros!distintos

!
!
!
!
Escolhendo+se,!aleatoriamente,!três!números!inteiros!distintos!no!intervalo! [1,20] ,!a!probabilidade!de!que!eles!
estejam,!em!alguma!ordem,!em!progressão!geométrica!é!igual!a!
A)!
2
.!
285
B)!
2
.!
217
C)!
1
.!
190
D)!
1
.!
225
E)!
1
.!
380
!
Resolução:*
Há,!ao!todo! C20,3 = 1 140 possíveis!escolhas.!
Contando!que!a!razão!da!progressão!seja!um!número!inteiro,!sendo!r!a!razão!e!x!o!primeiro!termo,!a!progressão!deve!ter!a!
forma!
( x, xr , xr ) ,!
2
!
o!que!implica!que,!nesse!caso,!o!maior!termo!deve!ser!múltiplo!de!um!quadrado!perfeito.!Assim,!a!princípio,!o!maior!termo!da!
progressão!pode!ser!20!ou!18!ou!16!ou!12!ou!9!ou!8!ou!4.!Com!20,!tem+se!a!escolha!{5, 10, 20};!com!18,!{2, 6, 18};!com!16,!
{1, 4, 16}!e!{4, 8, 16};!com!12,!{3, 6, 12};!com!9,!{1, 3, 9};!com!8,!{2, 4, 8};!e!com!4,!{1, 2, 4}.!!
!
Contando! que! a! razão! da! progressão! seja! um! número! racional! não! inteiro,! dada! em! forma! irredutível! por! a/b,! sendo! x! o!
primeiro!termo!da!progressão,!a!mesma!deve!ter!a!forma!
!
a
a2 "
x
,
x
⋅
,
x
⋅
$
% ,!
b
b2 '
&
o!que!significa!que,!nesse!caso,!o!menor!termo!deve!ser!múltiplo!de!um!quadrado!perfeito.!Assim,!a!princípio,!o!menor!termo!
da!progressão!pode!ser!4!ou!8!ou!9!ou!12!ou!16!ou!18!ou!20.!Com!4,!tem+se!a!escolha!{4, 6, 9};!com!8,!{8, 12,18};!e!com!9,!
{9, 12, 16}.! Com! 12! ou! 16! ou! 18! ou! 20,! verifica+se! que! há! nenhuma! escolha! favorável.! Assim,! das! 1 140! escolhas! possíveis,!
8 + 3 = 11!são!escolhas!tais!que!os!três!números!formam,!em!alguma!ordem,!uma!progressão!geométrica.!Isso!quer!dizer!que!
11
a!probabilidade!requerida!é!
!e!que,!consequentemente,!não!há!uma!resposta!correta!dentre!as!alternativas!sugeridas.!
1140
ALTERNATIVA:!sem!alternativa!correta!
!