Funções trigonométricas

Funções trigonométricas
Função seno
Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na circunferência
unitária com centro na origem. Seja M o ponto de intersecção do lado terminal do ângulo x,
com essa circunferência.
Denominamos de seno de x a ordenada Oy ' do ponto M em relação ao sistema x y.
Definimos uma função seno como a função f de R em R que a cada x em R faz corresponder o
número real y = sen x, isto é,
f :RR
x  y  senx
O domínio da função seno é R e o conjunto imagem é o intervalo [-1,1]. A função seno é
periódica e seu período é de 2π, já que sen (x + 2π) =senx.
Em alguns intervalos a função y = senx é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo,
nos intervalos [0,  / 2] e [3 / 2,2 ] a função é crescente. Já no intervalo [ / 2,3 / 2] ela é
decrescente.
A função y = sem x é uma função ímpar pois sen(-x) = - sen(x)
O gráfico da função f (x) = senx, denominado senóide, pode ser visto abaixo:
x
y
-2 
-(3  ) / 2
-
-(  ) / 2
0
 /2

3 / 2
2
Exemplo: Esboce o gráfico de f(x) = 1 + 2senx.
x
-2 
-(3  ) / 2
-
-(  ) / 2
0
 /2

3 / 2
2
y
A imagem é obtida a partir dos valores máximo e mínimo
de sen x. Dessa forma, -1 e 3 são os valores extremos de f(x):
1 + 2.(1) = 1 + 2 = 3
e
1 + 2.(-1) = 1 - 2 = -1.
Logo, Im(f)= [-1,3] . Nesse exemplo, o eixo de simetria da onda localiza-se
sobre a reta y = 1. Ainda, a amplitude da onda mede 2.
EXERCÍCIOS
01) Determine o período, a imagem e construa o gráfico de
cada uma das funções abaixo:
a) f(x) =-sen(x)
b) f(x) = sen (x+
c) f(x) = sen ( x -

2

2
)
)
d) f(x) = sen 2x
e) f(x) = 1 - sen(3x)
f) f(x) =-1+2sen(0,5x)
02) (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?
3) Determine o domínio da função
sen2 x
Função cosseno
Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abscissa Ox' do ponto M em relação ao
sistema xy. Definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada x em R faz
corresponder o número real y =cos x, isto é,
f :RR
x  y  cos x
O domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo [-1,1].
Para todo x em R, temos cos (x + 2π) = cos x. Portanto, a função é periódica e seu período é 2π.
Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente. Por exemplo, no
intervalo [0, π] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo [π, 2π] ela é crescente.
y = cos x é uma função par pois cos(-x) = cos(x)
O gráfico da função f(x) = cos x, denominado cossenóide:
x
-2/ 2
3
-(3
 ) / 2
2
-
-(  ) / 2
0
 /2
y
Exercícios:
1) Determine o período, a imagem e construa o gráfico de
cada uma das funções abaixo:
a. f(x) = 2 cos x
b. f(x) = -1 + 3 cos 2x
c. f(x) = - cos ( x/2)
d. f(x) = cos ( 2x -

4
)
2) A partir dos gráficos de f(x) = senx e g(x) =
[0,2  ],conforme a figura abaixo:
1
+ cos x, esboçados no intervalo
2
Considere as afirmações:
I.
A equação f(x) = g(x) apresenta uma única solução nesse intervalo
9
9
)
) g (
10
10
II.
f(
III.
Nesse intervalo, para todo x tal que g(x) <0, temos f(x) >0
Então:
a) I, II e III são verdadeiras
b) I,II e III são falsas
c) Somente I é verdadeira
d) Somente II é verdadeira
e) Somente III é verdadeira
3) Na figura abaixo tem-se representada parte do gráfico de uma função trigonométrica f de R
em R.
Usando as informações dadas nesse gráfico, analise as afirmações seguintes:
a) Tal gráfico é o da função dada por f(x) = 2 sen
x
2
b) O período de f é 3 
c) F admite duas raízes no intervalo [-2  ,2 ]
d) Se -2   x  0 , então f(x) <0
e) O conjunto imagem de f é o intervalo [-2,2]
4) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de
produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais,
respectivamente, pelas funções: C(x) = 2 – cos (
x
x
) e V ( x)  3 2 sen ( ), 0  x  6. O
6
12
lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:
a) 500
b) 750
c) 1000
d) 2000
e) 3000
Função Tangente
Esta função é definida em termos de seno e cosseno:
tgx 
senx
cos x  0 .
cos x , com
O domínio da função tg x é o conjunto de todos os números reais x para os quais cos x  0 .
 3 5


,

,

,...
x

 n , n  Z . Temos,
Como cos x =0 quando x for 2
,isto é, quando
2
2
2
Dom (tg x ) = {x  R | x  n , n  Z }
Gráfico
Mais sobre funções trigonométricas
cos ² x  sen ² x  1
Soma de arcos :
cos( a  b)  cos a cos b  senasenb
sen(a  b)  sena cos b  senb cos a
sen2a = 2 sena cos a
cos 2a  cos 2 a  sen 2 a
1 1
 cos 2 x
2 2
1 1
sen ² x   cos 2 x
2 2
cos ² x 
Exercícios
1) Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 2 senx cos x
b) f(x) = cos 2 x  sen 2 x
c) f(x) = 2 – 2 sen 2 x
Funções trigonométricas inversas:
y = sen 1 x  sen y = x ( y é o arco cujo seno é x)
ex: y = sen 1 (
1
1
)  sen y =
2
2
y = arc cos x  cos y = x ( y é o arco cujo cosseno é x)
ex: y = cos 1
2
2
 cos y =
2
2
y = tg 1 x  tg y = x ( y é o arco cuja tangente é x)
ex: y = tg 1 1  tg y = 1