UDESC Encontro 4 Sistemas não lineares e linearizados utilizando

 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Alunos:
Nota:
1Data:
2-
Encontro 4
Sistemas não lineares e linearizados utilizando Simulink.
1. Objetivo.
Através de simulações no SIMULINK avaliar e comparar os efeitos das não linearidades
para um caso de estudo referente a um circuito não linear.
Os modelos matemáticos serão representados no domínio da freqüência e domínio do
tempo.
2. Introdução.
Sistemas dinâmicos lineares são aqueles representados por equações diferenciais (ou a
diferenças) lineares. O termo linear refere-se à aplicabilidade do Princípio da Superposição e
Homogeneidade. O principio de superposição refere-se se o sinal de entrada u1(t) produz como
solução y1(t) e se o sinal de entrada u2(t) produz como solução y2(t), então o sinal de entrada
u1(t) + u2(t) produzirá a solução y1(t) + y2(t). O termo “homogeneidade” refere-se se o sinal de
entrada u1(t) produz como solução y1(t) , então o sinal de entrada Au1(t) produzirá a solução
Ay1(t).
A análise e o projeto de sistemas lineares são extremamente facilitados devido à existência
de soluções analíticas para equações diferenciais (ou a diferenças) lineares. Entretanto, sistemas
reais são em geral não lineares, com comportamento dinâmico complexo se comparado com os
sistemas lineares. Sistemas não lineares são descritos por equações diferenciais (ou a diferenças)
não lineares e não satisfazem o Princípio da Superposição nem homogeneidade. Quase sempre
estas equações não possuem soluções analíticas e freqüentemente é possível obter apenas
estimativas ou soluções aproximadas das verdadeiras soluções.
Os procedimentos para determinar as soluções de problemas que possuam sistemas não
lineares, em geral, são complexos. Devido a esta dificuldade matemática inerente a sistemas não
lineares, normalmente é necessário introduzir sistemas lineares equivalentes no lugar dos não
lineares. Estes sistemas lineares equivalentes somente são válidos dentro de uma faixa limitada
de operação. Uma vez que um sistema não linear é aproximado por um modelo matemático
linear, várias ferramentas lineares podem ser aplicadas para fins de análise e projeto.
Na prática, muitos sistemas eletromecânicos, hidráulicos, pneumáticos e outros envolvem
relações não lineares entre as variáveis. Por exemplo, a saída de um componente pode saturar
para sinais de entrada de grande amplitude ou a presença de uma zona morta que afeta em
relação a pequenos sinais.
1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Nesta experiência será utilizado um circuito não linear.
3. Caso de estudo.
Na Fig. 1. Apresenta-se o circuito não linear para análise.
Fig 1. Sistema para análise
Considerar como entrada do sistema a fonte de pequenos sinais i(t), e como saída a tensão
v(t). O circuito contém um resistor não linear cuja relação tensão-corrente é definida por
iR (t ) = evR ( t ) .
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões tem-se:
dv(t ) v ( t )
+ e = i (t ) + 2
dt
(1)
Considerando v(t) como variável de estado, o sistema não linear representado no espaço
de estados será:
v(t ) = −ev (t ) + 2 + i (t )
(2)
v(t ) = v(t )
O diagrama de blocos será conforme apresentado na Fig. 2.
i(t)
Step
2
Constant
1
s
dv(t)/dt
v(t)
Integrator1
Scope1
Math
Function
e
u
Fig 2. Diagrama de blocos do sistema não linear.
2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Para efeitos de simulação considerar como corrente de entrada um degrau de valor 0,1 a
ser aplicado em t=10s.
Na continuação será linearizado o sistema anterior.
O ponto de operação da tensão de saída será vo=ln(2). Ainda, seja δv(t) = v(t)-vo, onde
δv(t) é a tensão ao redor do ponto de operação. A linearização da equação (1) ao redor do ponto
de operação será:
d δ v (t )
+ 2δ v(t ) = i (t )
dt
(3)
Considerando δv(t) como variável de estado. A equação do sistema no espaço de estados
com relação à referencia absoluta será:
δv(t ) = −2δ v(t ) + i(t )
v(t ) = δ v(t ) + ln(2)
(4)
O diagrama de blocos será conforme apresentado na Fig. 3.
i(t)
1
s
d(delta_v(t))/dt
Step
delta_v(t)
Integrator1
Scope1
Gain
2
log(2)
Vo
Fig 3. Diagrama de blocos do sistema linearizado.
Ainda, considerando a tensão ao redor do ponto de operação, a equação no espaço de
estados será:
δv(t ) = −2δ v(t ) + i(t )
δ v(t ) = δ v(t )
(5)
Observa-se que na saída apenas foi removido o ponto de operação vo=ln(2).
A partir da equação (3) também pode ser obtido o modelo no domínio da freqüência
(Função de transferência), conforme segue:
δ V ( s)
I ( s)
=
1
s+2
(6)
3 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO Lembra-se que as equações (5) e (6) podem ser representados no simulink conforme o foi
visto no encontro anterior.
Para efeitos de comparação finalmente monta-se todos os sistemas e gráfica-se em um
único diagrama conforme apresentado na Fig. 4.
i(t)
Step
2
1
s
dv(t)
Constant
v(t)
v(t)
Integrator1
Scope1
Math
Function
e
i(t)
Step1
d(delta_v(t))/dt
1
s
u
delta_v(t)
v(t)
Integrator2
Gain
2
log(2)
Vo1
1
v(t)
s+2
Step2
Transfer Fcn
log(2)
Vo
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Step3
v(t)
State-Space
log(2)
Vo2
Fig 4. Diagrama contendo todos os casos de representação.
4. Exercícios.
Seja o sistema apresentado na Fig. 5, com entrada f(t) e saída x(t).
Fig 5. Sistema para análise do exercício.
O sistema possui uma mola não linear cuja função está dada por fm(t)=0,5x2m(t).
A força aplicada é f(t)=6+δf(t), onde δf(t) é uma pequena força em torno do valor
constante de 6N.
a) Determinar o modelo não linear no espaço de estados.
b) Determinar o modelo linear no espaço de estados com relação à referência
absoluta.
4 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ‐ UDESC CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE EXPERIMENTAL PROFESSOR: CÉSAR R. CLAURE TORRICO c)
d)
e)
f)
Determinar o modelo linear no espaço de estados em torno ao ponto de operação.
Determinar a função de transferência.
Representar e graficar os modelos obtidos no Matlab/Simulink.
Comentar os resultados obtidos.
5