SISTEMAS LINEARES

SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
• Um sistema de m equações a n variáveis é chamado sistema de equações
lineares. Ele tem a forma genérica seguinte:
a11 x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  ....  a2 n xn  b2
............................................
am1 x1  am 2 x2  ....  amn xn  bm
• Um conjunto de n valores (x1, ..., xn) verificando as equações do sistema é
uma solução do sistema.
• Um sistema cujo os valores dos coeficientes bn são iguais a 0 é um sistema
homogêneo: a x  a x  ....  a x  0
11 1
12 2
1n n
a21 x1  a22 x2  ....  a2 n xn  0
............................................
am1 x1  am 2 x2  ....  amn xn  0
Uma solução evidente (trivial) do sistema linear homogêneo é (0, 0, ..., 0). Se o sistema linear homogêneo
admitir outra solução, onde as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.
Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares
Classificação dos Sistemas Lineares
Resolução de um Sistema Linear
1) Regra de Cramer
- A regra de Cramer consiste num método para resolver um sistema linear.
- Podemos generalizar essa regra da seguinte forma:
Num sistema linear o valor da incógnita xi é dado pela seguinte expressão
xi 
det A i
det A
 A é a matriz incompleta do sistema;
 Ai é a matriz obtida de A substituindo-se as
colunas dos coeficientes de xi pela coluna dos
termos independentes.
Exemplos
Discussão de um Sistema Linear
Exemplos
Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento
Um sistema é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas:
x  3 y  4

0 x  y  1
x  2 y  z  2

0 x  5 y  z  1
0 x  0 y  z  7

Idéia: A cada equação uma variável desaparece.
O processo de escalonamento envolve a eliminação de incógnitas usando
as seguintes operações elementares:
• Trocar as posições de duas equações
• Trocar a posição de duas incógnitras
• Multiplicar/Dividir uma das equações por um número real diferente de
zero.
•Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a
outra equação.