Auto-valores, Cholesky

CCI-22
CCI-22
Matemática Computacional
Auto-valores e auto-vetores
Notas complementares
Carlos Henrique Q. Forster
Auto-valores e auto-vetores
10 − 4
A=

12 − 4
1 
1 
A⋅   = 2⋅  
2
2
2
2
A⋅   = 4⋅  
3
3
Av = λv
( A − λI )v = 0
Sistema homogêneo só tem
solução não-trivial se a matriz
de coeficientes for singular
det ( A − λI ) = 0
Polinômio característico da
matriz A.
10 − λ
det 
 12
−4 
=0
− 4 − λ 
P (λ ) = λ2 − 6λ + 8 = 0
λ1 = 2
λ2 = 4
Propriedades de auto-valores
Fazendo os vetores da forma
1 
vi =  
 x
− 4  1 
10 − 2
⋅
=0
− 4 − 2  x 
 14
λ1 = 2 → 
1 
8 − 4 x = 0 → x = 2 → v1 =  
 2
O traço da matriz (soma dos elementos da
diagonal) é igual à soma dos auto-valores.
O determinante da matriz é igual ao produto
dos auto-valores.
Se λi são autovalores de A, então 1/λi são
autovalores de A-1.
A transposta de A possui os mesmos
autovalores de A.
− 4  1 
10 − 4
 1 
⋅   = 0 → v2 = 


− 4 − 4  x 
 14
3 / 2
λ2 = 4 → 
Propriedades de matrizes e autovalores
Matriz diagonalizável
Seja A=P-1BP. Se existe a matriz P inversível,
então A e B são ditas similares.
Matrizes similares possuem os mesmos
autovalores. (E portanto, mesmo traço, mesmo
determinante e mesmo posto).
Numa matriz real simétrica, todos os
autovalores são reais.
Uma matriz é dita positivo-definida se
zTMz>0 para qualquer vetor z real não-nulo.
Numa matriz positivo-definida, todos autovalores são positivos.
Uma matriz é diagonalizável se for quadrada e
similar a uma matriz diagonal, isto é, A é
diagonalizável se existe P tal que:
A=P-1DP, onde D é diagonal.
Uma matriz diagonalizável terá auto-vetores
linearmente independentes
Alguns casos especiais
2 0 
0 2 


Decomposição espectral
2 0 Auto-valor nulo
0 0 


Auto-valor múltiplo
 0,3 0,4
− 0,4 0,3 Auto-valores complexos


No caso de uma matriz diagonalizável A
com n autovalores λi e seus autovetores
correspondentes (e linearmente
independentes)
Av i = λi v i , i = 1..n
Na forma matricial:
1
0

2 Matriz defectiva: A multiplicidade algébrica
não corresponde à multiplicidade geométrica
1 (multiplicidade 2, mas apenas 1 auto-vetor)
2 0
0 3


Dois auto-valores e autovetores
correspondentes
M
A ⋅  v 1
 M
M
v2
M
M  M
v 3  = λ1 v1
M   M
M
λ2 v 2
M
M 
λ3 v 3 
M 
Decomposição espectral
Decomposição espectral
Como multiplicamos cada *coluna* por um
escalar diferente, utilizamos a multiplicação à
direita por uma matriz diagonal para
representar essa operação.
Como V contém colunas linearmente
independentes, podemos invertê-la e
reescrever o problema de autovalor da forma:
A = V ⋅ Λ ⋅ V −1
AV = V ⋅ Λ
onde
M
V =  v 1
 M
M
v2
M
M
v 3 
M 
e
λ1 0
Λ =  0 λ2
 0 0
0
0 
λ3 
Que é a decomposição espectral da matriz A
Exemplo
Exemplo(cont)
Fixando o primeiro elemento de cada vetor no
valor 1, encontramos os auto-vetores:
14 − 2
 7

A =  − 3 − 10 2 
− 12 − 28 5 
7 − λ
D(λ ) = det( A − λI ) = det  − 3
 − 12
14
− 10 − λ
− 28
−2 
2 
5 − λ 
= −λ3 + 2λ2 + 11λ − 12 = 0
Raízes:
 1 
1
1
v1 = − 0,5, v2 =  − 1, v3 =  − 1
− 4
 − 2 
− 2
Que forma a matriz V:
1
1
 1

V = − 0,5 − 1 − 1
 − 2 − 4 − 2
Cuja inversa é...
2
0 
2
V −1 = − 1 0 − 0,5
 0 − 2 0,5 
λ1 = 4 λ2 = 1 λ3 = −3
Exemplo
Aplicações
Assim a decomposição espectral de A é:
Solução de sistema:
14 − 2  1
1
1  4 0 0   2
2
0 
 7
A =  − 3 − 10 2  = − 0,5 − 1 − 1  ⋅ 0 1 0  ⋅ − 1 0 − 0,5
− 12 − 28 5   − 2 − 4 − 2 0 0 − 3  0 − 2 0,5 
Ax=b, decompondo A:
VDV-1x=b
x=VD-1V-1b
Inversa:
A=VDV-1
A-1=VD-1V-1
Note que a inversa da matriz diagonal é
simplesmente uma matriz diagonal com os
recíprocos dos elementos da matriz diagonal
original.
Aplicações
Aplicações
Soma com mesmos auto-vetores:
Potência de matrizes:
A2=AA=VDV-1
VDV-1=
VD2V-1
An = VΛnV −1
Escala
Notar que:
λ1n
λ1




λ2
 → Λn = 
Λ=



O



λ

m

A1=VD1V-1
A2=VD2V-1
A1+A2=V(D1+D2)V-1
Basta portanto, somar os auto-valores nas matrizes D
λ2
n




O
n
λm 
aA=V(aD)V-1
Polinômio matricial
P(A)=V P(D) V-1
Exponencial de matriz
Exp(A)=V Exp(D) V-1
Assim, basta aplicar a função a cada elemento da diagonal.
Exemplo
Exemplo(cont)
Lembrando a série de Fibonacci, com a
definição recursiva:
Encontrar a decomposição da matriz:
F(0)=1
F(1)=1
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
1 1
A=

1 0
Reescrevemos na forma matricial:
1 − λ
det 
 1
 F ( n + 2) 1 1  F (n + 1)
 F (n + 1)  = 1 0 ⋅  F (n) 

 
 

λ1 =
1 
= λ2 − λ − 1 = 0
− λ 
1+ 5
1− 5
, λ2 =
2
2
Obtemos os auto-vetores, Fazendo vi=[x y]T,
com x=1 e substituindo em
x + y = λx → y = λ − 1
O resultado da decomposição é:
 1 
 1

v1 =  5 − 1, v2 =  − 5 − 1




 2 
 2 
Encontrando a inversa da matriz dos auto-vetores.
 1
V =  5 −1
2

5 + 5

1

−1
10
− 5 − 1 , V = 
5 − 5
2 
 10
5 

5 
− 5
5 
 1
A =  5 −1

2
1 + 5
1
 2
− 5 −1 
2   0

5 + 5

  10
1− 5 5 − 5
2   10
0
5 

5 
− 5
5 
Para calcular F(n) a partir do vetor [1 1]T:
 F ( n) 
T
n
 F (n − 1) = A [1 1]


1
 F ( n) 
n −1  
 F (n − 1) = VD V 1



Justificativa para os métodos de GaussSeidel e Jacobi
Abrindo a expressão matricial, obtemos:
n
1 1+ 5 
1 1− 5 

 −


F ( n) =


5 2 
5  2 
n
Qual o polinômio de Taylor para calcular o
recíproco de um número real?
É recomendável calcular ao invés disso, a
seguinte função:
f ( x) =
1
= 1+ x + x2 + L
1− x
Para quais valores de x a série é válida para
calcular o recíproco de 1-x?
No caso matricial, podemos usar a seguinte
série de Taylor para obter uma matriz
inversa:
(I-T)-1=I+T+T2+T3+...
Se o raio espectral ρ(T)<1, então “1” não é
auto-valor de T, “0” não é auto-valor de (I-T),
então (I-T)-1 existe.
x k +1 = Tx k + c
converge se ρ(T)<1, independente de x 0
A sequência gerada por
A convergência dessa série depende do
chamado “raio espectral” da matriz T, isto é,
o maior auto-valor em módulo de T:
ρ (T ) = λ max (T )
x k + 2 = T (Tx k + c) + c = T 2 x k + (T + I )c
x k = T k x 0 + (T k +1 + L + T 2 + T + I )c
Decomposição de Cholesky
Quando k tende a infinito, temos:
lim x k = ( I − T ) −1 c
k →∞
Com a matriz A=D-L-U, onde D são os
elementos da diagonal, -L aqueles debaixo
dela e -U aqueles acima dela:
Jacobi: T=D-1(L+U) e c=D-1b
Seidel: T=(D-L)-1U e c=(D-L)-1b
Propriedades da matriz real C=ATA de posto
completo:
Simétrica
Positiva-definida
Estas são condições necessárias e suficientes
para que exista uma matriz triangular inferior
L tal que:
C=LLT
 c11 c12
c
 21 c22
c31 c32
 c11 c12
c
 21 c22
c31 c32
c13  l11 0
c23  = l21 l22
c33  l31 l32
0  l11 l21 l31 
0  ⋅  0 l22 l32 
l33   0 0 l33 
2
c13   l11
l21l11

2
2

c23  = l21l11 l22 + l21
c33  l31l11 l32l21 + l32l22

l31l11

l32l21 + l32l22 
2
2
2
l33 + l32 + l31 
Igualando termo a termo (notar que é
simétrica)
 c11 c12
c
 21 c22
c31 c32
l11 = c11
l21 =
A solução do sistema Cx=b é muito similar ao
método utilizado na decomposição LU:
Resolve-se Ly=b
Resolve-se LTx=y
c12
l11
2
c13   l11
l21l11

2
2

c23  = l21l11 l22 + l21
c33  l31l11 l32l21 + l32l22

l31l11

l32l21 + l32l22 
2
2
2
l33 + l32 + l31 
c13
l11
c23 − l21l31
l22
l31 =
l22 = c22 − l21
l32 =
2
2
l33 = c33 − l31 − l32
2