1 Tópico Trigonometria do Triângulo Rectângulo. Objectivos

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Tópico
Trigonometria do Triângulo Rectângulo.
Objectivos
Identificar e determinar as razões trigonométricas de ângulos agudos de um triângulo
rectângulo.
Conhecimentos Prévios
Noção de triângulo rectângulo, de ângulo agudo, de amplitude de um ângulo, do
Teorema de Pitágoras e de grandezas directamente proporcionais.
Formato de Ensino
Explorações em pares.
Actividade Motivacional
A empresa Trigonoma fez um esboço de um projecto para a construção de um teleférico
entre a EB2, 3 de Lamaçães (A) e o Bom Jesus (B) com 22,6º de inclinação, tendo como
referência o seguinte triângulo rectângulo [ABC]:
o
B
β
F
75m
130
E
Com esta
actividade
pretende-se que os
alunos revejam o
teorema de
Pitágoras, como
também se
pretende favorecer
a introdução de
dois casos de
semelhança de
triângulos (a
existência de dois
ângulos iguais
entre os triângulos,
ea
proporcionalidade
entre os seus
lados).
25m
Escola E2,3
de Lamaçãe s
A
22.6º
60m
D
120
G
C
Para o esboço de tal projecto, a empresa considerou que o desnível entre a tua escola e o
Bom Jesus é de 75m e que [FG] e [DE] representam os pilares do teleférico.
1. Quantos triângulos decompõem o esboço do teleférico? Relativamente aos seus
ângulos o que têm de comum?
Na abordagem
desta actividade
procurar-se-á
questionar os
alunos sobre as
designações dos
lados de um
triângulo
rectângulo, e sobre
o teorema de
Pitágoras.
1
2. Determina AE e FG .
3. Sendo os lados correspondentes dos triângulos que compõem o triângulo [ABC]
proporcionais, determina AC e o comprimento do cabo necessário para ligar o Bom
Jesus à tua escola.
4. Completa:
4.1.
DE
FG
BC
= ...... ;
= ......
= ...... , o que observas?
AD
AG
AC
4.2.
DE
FG
BC
= ...... ;
= ...... ;
= ...... , o que observas?
AE
AF
AB
4.3.
AD
AG
AC
= ...... ;
= ...... ;
= ..... ., o que observas?
AE
AF
AB
Com esta questão
pretende-se
introduzir as
razões
trigonométricas de
um ângulo agudo
de um triângulo
rectângulo.
Exploração
1. Da análise de exemplos e de contra-exemplos de triângulos semelhantes, procurar
que os alunos definam os casos de semelhança de triângulos.
2. Da análise das razões entre as medidas dos lados correspondentes dos triângulos
apresentados na actividade motivacional, identificar as razões trigonométricas de um
dos seus ângulos agudos.
3. Considerando um triângulo rectângulo qualquer cujas medidas dos seus lados sejam
Generalização das
razões
trigonométricas.
a, b e c pedir aos alunos para determinarem as razões trigonométricas dos ângulos
agudos do triângulo.
Prática
1)Para se fazerem arranjos no telhado de sua casa, o Senhor João encostou à parede
uma escada de 3 metros, fazendo um ângulo de 30º. Qual é a distância h?
Aplicação das
razões
trigonométricas na
resolução de
problemas.
x
2
2) De um barco, um pescador avista o cimo de uma falésia segundo um ângulo de 50º.
O barco dista 100 metros da falésia. Determina aproximadamente a distância do
barco ao ponto mais alto da falésia.
?
100
3) O Manuel e a Sara pretendem saber a que distância do solo está o balão. A Sara,
que mede 1,65 metros, vê o balão olhando na vertical e o Manuel, que está
distanciado da Sara 100 metros, vê o balão segundo um ângulo de 40º com a
horizontal. A que altura se encontra o balão?
4) Considera alfa igual a 63,4º. Calcula x:
4.1. Usando a trigonometria.
4.2. Usando o teorema de Pitágoras.
3
5) Observa a figura:
No ponto T está colocado um observador. O ângulo sob o qual vê o Sol é de 32º. TO
é a bissectriz do ângulo ATB. Qual o diâmetro do Sol se a distância
TO = 150 ×106 Km ?
Desafio
No Verão passado, a Joana, a irmã e os pais foram passar férias. Estavam acampados
perto de um castelo antigo, bem conservado, que tinha um fosso a toda a volta. O
fosso do castelo estava seco e podiam ver completamente a torre do castelo. Sugeriu a
mãe: Meninas tentem determinar a altura da torre do castelo!
Observando a figura seguinte, que tem os dados que as irmãs recolheram, tenta
responder à sugestão da mãe.
Síntese/Discussão
B
A
Imagina que te encontras na posição A
numa das margens de um rio e pretendes
saber a distância de A a C. Como farias?
C
4
Tarefa adicional
As diagonais de um losango têm 12 cm e 16 cm.
Sendo α a amplitude do ângulo que a diagonal menor
faz com um dos lados, calcula:
1. senα
α
2. cos α
3. tgα
Trabalho de casa
Determinar a altura de um edifício, de uma árvore ou de algo à escolha dos alunos com
o recurso a um medidor de ângulos e com um T.
Materiais: Quadro, giz, multimédia, computador.
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