Probabilidade I

Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Distribuição de Bernoulli e Binomial
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Distribuições Discretas
Apresentaremos agora alguns dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias
discretas.
Seguem, abaixo, alguns resultados que serão utilizados em algumas demonstrações.
Seja a > 0 e b < 1.
1. (a + b)n =
2. ex =
Pn
( n ) x n −x
x =0 x a b
P∞
xn
n=0 n!
3.
P∞
ax =
4.
P∞
xax
5.
P∞
x =k
x =1
x =2 x (x
(a + b)n−1 =
P n −1
x =0
(n−x 1)ax bn−1−x ;
;
ak
,
1− a
=
e
k ≥ 0;
a
(1−a)2
;
2
− 1)ax = (12a
;
− a )3
n −1
n
6. x (x ) = n(x −1);
n −1
n
7. ( r ) = nr ( r −1 );
8.
Pr
9.
P∞
x =0
m
(mx)(nr −
−x )
(nr)
=1 e
x =0 [(1 − a)e
10. (1−1b)r =
P∞
t ]x
x =0 b
=
Pr −1 (mx−1)(n−r −1−1−mx−1)
x =0
1
1−(1−a)et
−1
(nr −
)
1
para t < ln
=1
€
1
1− a
Š
, pois (1 − a)et < 1 para a série ser convergente.
x.
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Distribuição Bernoulli
Distribuição de Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1.
Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2.
O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou
negativa.
3.
Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4.
No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5.
No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, a
probabilidade de sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será a
probabilidade de fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.
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Distribuição Bernoulli
Distribuição de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com
probabilidade de sucesso p, isto é,
1, se ocorrer “sucesso”
X=
0, se ocorrer “fracasso”
Temos então que:
A função de probabilidade de X é dada por:
p(x)=px (1-p)1-x , para x=0,1.
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com
parâmetro p.
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Distribuição Bernoulli
Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
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Distribuição Bernoulli
EXEMPLO 1: Suponha que a probabilidade de óbito de um paciente, ao dar
entrada na terapia intensiva, seja de 25% (risco de morte). Seja X uma variável
binária indicadora de óbito, se um paciente der entrada no CTI, obtenha a
distribuição de probabilidade, a média e a variância.
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Distribuição Bernoulli
EXEMPLO 2: Seja X uma variável aleatória de Bernoulli com p = 0.6. Encontre a
função de distribuição acumulada de X .
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Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Exemplo 2: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e
probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a
distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3
lançamentos.
Denotemos:
S: sucesso, ocorrer cara (k)
F:fracasso, ocorrer coroa(c)
P(sucesso)=p
P(fracasso)=q=1-p
Ω={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Xi
é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3).
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Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
Daí temos que:
P ( X = 0) = P({FFF }) =
P ( X = 1) = P ({FFS , FSF , SFF }) =
P ( X = 2) = P({FSS , SFS , SSF }) =
P ( X = 3) = P ({SSS}) =
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
x
0
1
2
3
P(X = x)
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:

P ( X = x) = 

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Distribuição Binomial
Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios idênticos de Bernoulli independentes.
Seja X o número total de sucessos obtidos.
Diremos que X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p e sua função de
probabilidade é dada por:
 n  x
  p (1 − p ) n − x , x = 0,1, L , n
p ( x ) = P ( X = x ) =  x 

0,
c.c

n
n!
onde   =
, representa o coeficient e Binomial.
 x  x! ( n − x )!
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
E (X )
=
=
n
X
x =0
n
X
‚
x
‚
n
x =1
n ‚
X
= n
n
x
Œ
n−1
x −1
Œ
= np
x =1
= np
‚
y =0
px (1 − p)n−x (iniciando
n−1
x −1
x =1
n ‚
X
n −1
X
Œ
soma
em
1 e
usando
6.)
p x (1 − p )n − x
p.px −1 (1 − p)n−x −1+1
n−1
x −1
Œ
n−1
y
Œ
px −1 (1 − p)(n−1)−(x −1) (fazendo
py (1 − p)n−1−y (usando
y = x − 1)
1.)
= np(p + 1 − p)n−1
= np
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
2
E (X )
=
=
=
=
n
X
‚
x
2
x =1
n
X
Œ
n
x
px (1 − p)n−x (usando
‚
n
x
[x (x − 1) + x ]
x =1
n
X
‚
x (x − 1)
x =1
n
X
‚
x =1
n
X
‚
(x − 1)n
= n
(n − 1)
x =1
= n(n − 1)p
2
n
X
x =1
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n
x
artificio
x 2 = x (x − 1) + x )
Œ
px (1 − p)n−x
Œ
x
p (1 − p )
n −x
+
n
X
x =0
n−1
x −1
Œ
n−2
x −2
Œ
‚
o
‚
x
n
x
Œ
px (1 − p)n−x
px (1 − p)n−x + E (X )
n−2
x −2
p2 px −2 (1 − p)n−x −2+2 + np
Œ
px −2 (1 − p)(n−2)−(x −2) + np
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Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.
2
E (X )
= n(n − 1)p
2
n
X
‚
x =2
= n(n − 1)p
2
n −2
X
‚
y =0
n−2
x −2
Œ
n−2
y
Œ
px −2 (1 − p)(n−2)−(x −2) + np
(y = x − 2)
py (1 − p)(n−2)−y + np
= n(n − 1)p (p + 1 − p)n−2 + np
2
= n2 p2 − np2 + np
Var (X )
= n2 p2 − np2 + np − n2 p2
= np(1 − p)
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 4: Discuta a validade do modelo binomial nos seguintes casos:
a) Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos 5 e contamos
quantos se declaram usuários de drogas.
b) Escolhemos 20 lâmpadas ao acaso na prateleira de um
supermercado, sendo 10 de uma fábrica e 10 de outra. Contamos
o número total de defeituosas.
c) Quinze automóveis 0 km de uma mesma marca e tipo são
submetidos a um teste anti-poluição e contamos o número deles
que passaram no teste.
d) Um motorista é submetido a um teste em que deve estacionar seu
veículo num pequeno espaço (baliza). Em 10 tentativas, contamos
o número de vezes em que o motorista estacionou corretamente.
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 5: Determinar a probabilidade de, ao lançar três vezes uma moeda
honesta, aparecerem:
a) 3 caras.
b) 2 caras e 1 coroa.
c) 2 coroas e 1 cara.
d) 3 coroas.
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 6: Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças são
consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5
unidades cada uma.
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em
uma caixa?
b) Qual a probabilidade de haver pelo menos duas peças defeituosas
em uma caixa?
c) Se a empresa paga uma multa de R $10.00 por caixa em que
houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa
em um total de 1000 caixas?
d) Considerando 10 caixas com 5 peças em cada, qual a
probabilidade de que seja necessário pagar multa para no máximo
uma caixa?
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 7: Um exame consta de 10 perguntas de igual dificuldade e mesma
pontuação. Sendo 7 a nota de aprovação, qual a probabilidade de que seja
aprovado um aluno que sabe 40% da matéria?
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 8: Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada.
Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão
indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0.98.
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
b) Se o produtor vende 1000 pacotes qual o número esperado de
pacotes indenizados?
c) Quando o pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de
R $1.20, e se o pacote não for indenizado, ele tem um lucro de
R $2.50. Qual o lucro líquido esperado por pacote?
d) Calcule a mádia e a variância da variável número de sementes
que não germinam por pacote.
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 9: Uma máquina apresenta 20% de defeitos na sua produção. Um
inspetor de qualidade, ignorando a percentagem real de defeitos da máquina,
retira ao acaso uma amostra de 8 peças da sua produção. Qual é a probabilidade
de que ele venha a concluir, com base nessa amostra, que a proporção de
defeitos é superior a 20%? Tirando-se 6 amostras de 8 peças cada uma, qual é a
probabilidade de se terem 3 amostras com mais de um defeito?
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Distribuição Binomial
EXEMPLO 10: Verifique que a atribuição de probabilidade nos modelos Bernoulli
e Binomial satisfazem às propriedades de função de probabilidade. EXEMPLO
11: Se X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p, qual a distribuição de
Y = n − X?
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Uso da Tabela da Binomial
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