aula 3 distribuição binomial

AULA 3
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Estatística II – Profa. Francisca de Souza
Distribuição Binomial
A distribuição binomial é um dos modelos de distribuição discreta de probabilidade e baseia-se no processo de amostragem de Bernoulli. Bernoulli estabeleceu um processo de amostragem para a realização de um experimento em que o resultado possa ser um “sucesso” (quando acontece o evento de interesse) ou um “fracasso” (quando o
evento não se realiza). No processo de amostragem, Bernoulli definiu que:



Em cada tentativa existem apenas dois resultados possíveis que são mutuamente exclusivos: o “sucesso” ou o “fracasso”;
As observações são eventos independentes, em que o resultado de qualquer uma das provas não deve afetar os resultados das provas seguintes;
As probabilidades de ocorrer P de “sucesso” ou q de “fracasso” permanecem constantes em cada tentativa.
A relação entre as probabilidades P e q é: P + q = 1  q = 1-P
A distribuição binomial é útil em estudos cujo enfoque é a determinação da probabilidade de se obter X sucessos em n tentativas, pois a distribuição binomial estabelece
uma fórmula para o cálculo da probabilidade que permite obter dado número de sucessos no processo de amostragem de Bernoulli.
A função abaixo expressa a probabilidade P(X) de que um evento realize-se X vezes em n tentativas:
n
P(X) n C X P X (1  P) n  X    P X (1  P) n  X
X
P( X) 
n!
P X (1  P) n X
X! (n  X)!
Sendo:
P = a probabilidade de “sucesso”
q = a probabilidade de “fracasso”  q = 1 - P
n = número total de tentativas independentes
X = número de vezes que ocorreu sucesso.
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Exemplo 1: Uma moeda é lançada seis vezes. Encontre a probabilidade de:
a) ocorrer quatro coroas;
b) ocorrer pelo menos duas coroas;
c) ocorrer no máximo três coroas.
Exemplo 2: Numa agência de viagens, de cada 100 passagens vendidas, 30 são para o Rio de Janeiro. Na venda de seis passagens:
a) Qual a probabilidade de que quatro sejam para o Rio de Janeiro?
b) Qual a probabilidade de que quatro ou mais sejam para o Rio de Janeiro?
c) Qual a probabilidade de que nenhuma seja para o Rio de Janeiro?
d) Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam para o Rio de Janeiro?
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Lista de Exercícios 3
1) Uma moeda é lançada sete vezes, encontre a probabilidade de:
a) ocorrer cinco caras;
b) ocorrer pelo menos três coroas;
c) ocorrer no máximo quatro coroas;
d) não ocorrer cara;
e) ocorrer sete caras.
2) Numa agência de viagens, de cada 500 passagens vendidas, 60 são para a Bahia. Na venda de cinco passagens:
a) Qual a probabilidade que três sejam para a Bahia?
b) Qual a probabilidade que duas ou mais sejam para a Bahia?
c) Qual a probabilidade que nenhuma seja para a Bahia?
d) Qual a probabilidade que no máximo duas sejam para a Bahia?
e) Qual a probabilidade que todas sejam para a Bahia?
3) Num acampamento de férias, os adolescentes formaram dois times: A e B. Os times jogaram oito vezes entre si. Encontre a probabilidade:
a) de o time A ganhar seis vezes;
b) de o time A ganhar pelo menos quatro vezes;
c) de o time A ganhar no máximo três vezes;
d) de o time A ganhar uma única vez;
e) de o time A não ganhar nem uma vez.
4) Admitimos que o nascimento de meninas e meninos sejam iguais; um jovem casal pretende ter quatro filhos, calcule a probabilidade de nascerem:
a) duas meninas;
b) pelo menos duas meninas;
c) no máximo duas meninas;
d) quatro meninas.
5) Considerando que 10% da população é canhota, uma escola encomendou carteiras especiais para canhotos. Numa classe de 40 alunos, qual a probabilidade de se ter:
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a) cinco alunos canhotos?
b) oito alunos canhotos?
c) três alunos canhotos?
d) nenhum aluno canhoto?
e) quatro alunos canhotos?
6) Supondo que uma empresa aérea X detém 30% de voos domésticos, determine a probabilidade de que, em oito acidentes aéreos, ocorram:
a) cinco acidentes com aviões da empresa X;
b) menos de três acidentes com aviões da empresa X;
c) nenhum acidente com aviões na empresa X.
7) Após a realização de uma pesquisa, onde obteve-se que 85% dos que reservaram lugares comparecem para o embarque, uma empresa aérea Y passou a adotar a política
de vender 105 passagens para um avião que dispõe de 98 assentos. Determine a probabilidade de que:
a) todos os assentos sejam preenchidos;
b) sobre um passageiro sem assento;
c) sobrem três assentos vazios.
8) Um levantamento mostrou que 1% das lâmpadas incandescentes produzidas numa fábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma lâmpada numa amostra aleatória de 30 lâmpadas sejam defeituosas, usando:
a) A distribuição Binomial e
b) A distribuição de Poisson.
9) Responda as seguintes questões, utilizando a distribuição binomial.
a) Suponha que a probabilidade dos pais terem um(a) filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas
terem cabelos loiros?
b) Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes?
c) Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de dez tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?
d) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?
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