Produto interno, ângulo entre vetores e ortogonalidade

MA33 - Introdução à Álgebra Linear
Unidade 15 - Produto interno, ângulo entre vetores e
ortogonalidade
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Produto interno
Nesta unidade, apresentaremos a noção de produto interno em
espaços vetoriais. Esta noção, como veremos, generaliza a noção de
produto escalar em R2 e em R3 e enriquece a estrutura de um espaço
vetorial, permitindo definir vários conceitos de caráter geométrico
previamente estudados em R2 e R3 .
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno em V é uma função
que a cada par de vetores u e v em V associa um número real, denotado por hu, v i, que satisfaz as seguintes condições: para quaisquer
vetores u, v e w de V e qualquer número real k, vale
PI 1 hv , v i > 0 e hv , v i = 0 se, somente se, v = 0;
PI 2 hu, v i = hv , ui;
PI 3 hu + v , w i = hu, w i + hv , w i;
PI 4 hk · u, v i = k · hu, v i.
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Produto interno
A seguir, apresentamos alguns exemplos de espaços vetoriais com um
produto interno ou, abreviadamente, de espaço com produto interno.
Exemplo: Sejam u = (x1 , . . . , xn ) e v = (y1 , . . . , yn ) vetores em Rn .
Definimos
hu, v i = x1 y1 + · · · + xn yn .
(1)
Deixamos a cargo do leitor verificar que as propriedades PI 1 − PI 4
são válidas. Assim, (1) define um produto interno em Rn , chamado de
produto interno usual de Rn ou produto escalar de Rn , generalizando
a noção de produto escalar de R2 e de R3 .
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Produto interno
Exemplo: Sejam A, B ∈ M(n × n), definimos hA, Bi = tr (B t A).
Verifica-se que o produto definido é um produto interno em M(n×n).
Exemplo: Sejam p(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n e q(x) = b0 + b1 x +
· · · + bn x n vetores em R[x]n . Defina
hp(x), q(x)i = a0 b0 + a1 b1 + · · · + an bn .
(2)
Temos que (2) define um produto interno em R[x]n .
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Produto interno
Em todo espaço com produto interno define-se a noção de comprimento e distância. A saber, seja V um espaço com produto interno.
Definimos a norma do vetor v de V , ou comprimento de v , denotado
por ||v ||, como o número real
p
||v || = hv , v i.
Se ||v || = 1, dizemos que v é um vetor unitário.
A distância d(u, v ) entre dois vetores u e v de V é definida como
p
d(u, v ) = ||u − v || = hu − v , u − v i.
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Ângulos entre vetores e ortogonalidade
Provaremos a seguir, a desigualdade de Cauchy-Schwarz que nos possibilitará definir ângulo entre dois vetores de um espaço com produto
interno. A desigualdade de Cauchy-Schwarz é muito útil e aparece
em vários contextos da Matemática, em Álgebra Linear, em Análise
ela surgiu nas séries infinitas e no produto de integrais, e na Teoria de Probabilidades a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplica-se na
variância e na covariância.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: Se u e v são vetores de um
espaço com produto interno V , então
|hu, v i| 6 ||u|| · ||v ||
com igualdade valendo se, e somente se, u e v são linearmente dependentes.
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Ângulos entre vetores e ortogonalidade
Se u ou v é o vetor nulo, a desigualdade claramente é válida. Para o
caso geral, ou seja u 6= 0 e v 6= 0, considere o polinômio
p(t) = htu + v , tu + v i.
Sendo p(t) > 0, segue que o discriminante de p deve ser não positivo. Deste fato, segue a demonstraçao da Desigualdade de CauchySchwarz.
Vamos agora definir a noção de ângulo em espaços com produto
interno arbitrários. Suponhamos que u e v são vetores não nulos de
um espaço com produto interno V . Dividindo ambos os lados da
desigualdade de Cauchy-Schwarz por ||u|| · ||v ||, obtemos
|hu, v i|
6 1.
||u|| · ||v ||
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Ângulos entre vetores e ortogonalidade
Equivalentemente,
−1 6
hu, v i
6 1.
||u|| · ||v ||
Como cos θ assume, uma única vez, cada valor no intervalo [−1, 1]
quando θ varia no intervalo [0, π], segue que existe um único θ ∈ [0, π]
tal que
hu, v i
cos θ =
.
||u|| · ||v ||
Definimos o ângulo entre u e v como o número real θ acima mencionado.
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Ângulos entre vetores e ortogonalidade
Sejam u e v dois vetores não nulos de um espaço com produto interno
V e seja θ o ângulo entre eles. Segue que cosθ = 0 se, e somente
se, hu, v i = 0. Equivalentemente, temos θ = π2 se, e somente se
hu, v i = 0. Convencionamos que se u ou v é o vetor nulo, o ângulo
entre eles é π2 . Assim, dizemos que dois vetores quaisquer u e v em
V são ortogonais quando π2 .
A seguir, introduziremos a noção de ortogonalidade entre um vetor
e um subespaço. Sejam v um vetor de V e W um subespaço de V .
Dizemos que v é ortogonal a W se v é ortogonal a cada vetor de
W . O conjunto de todos os vetores de V que são ortogonais a W é
chamado complemento ortogonal de W e é denotado por W ⊥ . Ou
seja,
W ⊥ = {v ∈ V : hv , w i = 0 ∀w ∈ W }.
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Ângulos entre vetores e ortogonalidade
Exemplo: Seja R3 com o produto interno usual e seja W o plano de
equação cartesiana x +y +z = 0. Para determinarmos W ⊥ , devemos
encontrar um vetor (a, b, c) em R3 que seja ortogonal a todo vetor de
W . Como um vetor de W é da forma (−y − z, y , z), para y , z ∈ R,
devemos encontrar (a, b, c) tal que
h(−y − z, y , z), (a, b, c)i = 0.
Fazendo y = 0 e z = 1, temos a = c. Analogamente, fazendo y = 1
e z = 0 obtemos a = b. Portanto,
W ⊥ = {(a, a, a) : a ∈ R}.
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