MA520 - Geometria plana turma Z 1oS/2012 Lista 2 1. Qual é a

MA520 - Geometria plana
turma Z 1oS/2012
Lista 2
1. Qual é a medida do ângulo formado pelos ponteiros do relógio que marca 13h25min?
2. Mostre que:
(a) Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, então o triângulo é isósceles.
(b) Todo triângulo equiângulo é equilátero.
3. Seja m a mediatriz de um segmento [QT ], e seja P um ponto do mesmo lado de m que Q. Seja
R = m ∩ [P T ]. Mostre que P T = P R + RQ.
4. Seja [AB] a corda de uma circunferência de centro C. Mostre que uma reta r, contendo o ponto C e
interceptando [AB] em seu ponto médio é perpendicular a (AB).
5. Na figura abaixo tem-se AD = DE, Â ' DÊC e AD̂E ' B D̂C. Mostre que os triângulos ADB e
EDC são congruentes.
6. Seja ABCD um quadrilátero no qual os ângulos  e B̂ são retos e os lados [AD] e [BC] são congruentes. Mostre que os ângulos Ĉ e D̂ são congruentes.
7. Seja P um ponto interior do triângulo ABC. Mostre que B P̂ C > B ÂC.
8. No triângulo isósceles RAF tem-se RA = RF e seja B um ponto sobre a reta suporte ao lado [AF ]
tal que RÂB < RB̂F . Mostre que RB < RF .
9. Mostre que se uma mediana de um triângulo não é perpendicular ao lado correspondente, então os
comprimentos dos outros dois lados do triângulo são desiguais.
10. Mostre que a soma dos comprimentos das medianas de um triângulo é maior que o semiperímetro e
menor que o perímetro do triângulo.
11. (a) Se ABC é um triângulo e [AD) é a bissetriz de  com D ∈ [BC], então
DB
DC
=
AB
AC
.
(b) Se ABC é um triângulo e [AM ) é a bissetriz externa relativa ao vértice A com M pertencente
B
C
a reta suporte ao lado [BC], então M
=M
.
AB
AC
12. Considere o quadrado ABCD e E, F, G, H os pontos médios dos lados [AB] , [BC] , [CD] e [DA], respectivamente. Mostre que o quadrilátero cujos vértices são as interseções dos segmentos [AF ] , [BG] , [CH]
e [DE] é um quadrado.
13. Mostre que a soma dos comprimentos dos segmentos, traçados desde um ponto qualquer na base de
um triângulo isósceles até os outros dois lados e respectivamente perpendiculares a eles, é igual à
altura correspondente a qualquer desses lados.
14. Mostre que se r e s são duas retas paralelas, e m é uma terceira reta que intercepta r em um ponto
P , então m também intercepta s.
15. Considere uma reta r e pontos A, B ∈
/ r no mesmo semi-plano; construa P ∈ r tal que o comprimento
k(P ) = AP + P B seja mínimo.
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