Lista 5

U NIVERSIDADE F EDERAL DO PARANÁ - UFPR
C ENTRO P OLITÉCNICO
D EPARTAMENTO DE M ATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo I
Código: CM041
Turma: Honours
Semestre letivo: 2017/1
Professor: Roberto Ribeiro Santos Junior
Lista 5
1. Seja h(x) = 2x + cos x.
(a) Mostre que h é bijetora.
(b) Calcule h −1 (1).
(c) Admitindo h −1 derivável, determine (h −1 )0 (1).
2. A noção de “tamanho” de conjuntos infinitos é contra-intuitiva. No livro A Culpa é das
Estrelas1 (p. 215) a personagem Hazel diz o seguinte:
. . . Não sou formada em matemática, mas sei de uma coisa: existe uma quantidade infinita de números entre 0 e 1. Tem o 0.1 e o 0.12 e o 0.112 e uma infinidade de outros. Obviamente, existe um conjunto ainda maior entre o 0 e o
2, ou entre o 0 e o 1 milhão. Alguns infinitos são maiores que outros.
É natural pensar que o intervalo (0, 2) tenha mais elementos que o intervalo (0, 1),
como a própria Hazel Grace disse: “Não sou formada em matemática”. Seria de esperar que Hazel também imaginasse que o o conjunto dos números reais tivesse mais
elementos que o intervalo (0, 1). Nessa questão vocês mostrarão que o conjunto dos
reais e o intervalo (0, 1) tem a mesma quantidade de elementos, contrariando completamente a intuição de Hazel.
Mostre que a função
f : (0, 1) → R
¡ ¡
¢¢
x 7→ tg π x − 21
é bijetora. Concluindo assim que R e (0, 1) tem a mesma “quantidade"de elementos
3. Use o teorema do valor médio para provar as seguintes desigualdades:
(a) |sen b − sen a| ≤ |b − a|, para todos a, b ∈ R.
1
Green J. A culpa é das estrelas. Intrínseca: 2012.
p
p
(b) | a − b| ≤ 12 |a − b|, para todos a, b ∈ R, com a ≥ 1 e b ≥ 1.
(c) | ln a − ln b| ≤ |a − b|, para todos a, b ∈ R, com a ≥ 1 e b ≥ 1
4. Seja f uma função derivável no intervalo ]−1, +∞[. Mostre que se f (0) = 0 e 0 < f 0 (x) ≤
1, para todo x > 0, então 0 < f (x) ≤ x, para todos x > 0.
5. Prove as seguintes desigualdades:
p
(a) 2 x > 3 − x1 , para todo x > 1
(b) e π > πe
(c) e x > 1 + x para x > 0
(d) x n − 1 ≥ n(x − 1) para x ≥ 1
6. Prove que a função
f (x) = x 101 + x 51 + x + 1
não tem nem máximo nem mínimo locais.
7. Mostre que a equação 3x − 2 + cos( πx
2 ) = 0 tem exatamente uma raiz real.
8. Sejam f : R → R derivável e a, b ∈ R tais que f (a) = f (b) = 0. Mostre que se f 0 (a) f 0 (b) >
0, então existe c entre a e b tal que f (c) = 0.
9. Para que valores de k a equação 2x 3 − 9x 2 + 12x = k tem três raízes reais distintas ?
10. Um clube privado cobra a anuidade de R$100, 00 por membro, menos R$0, 50 para
cada membro acima de 600 e mais R$, 50 para cada membro abaixo de 600. Quantos
membros darão ao clube um rendimento anual máximo?
11. Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega de encomendas,
a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não deve ser maior do
que 100 cm. Se um pacote tiver o formato de uma caixa retangular com uma seção
quadrada, ache as dimensões do pacote tendo o maior volume possível que possa ser
despachado.
12. A resistência de uma viga retangular é conjuntamente proporcional à sua largura e ao
quadrado de sua profundidade. Ache as dimensões da viga mais resistente que possa
ser cortada de uma tora na forma de um cilindro circular reto com 72 cm de raio.
13. Mostre que dentre todos os triângulos com base e perímetro conhecidos, o triângulo
isósceles tem área máxima.
14. Mostre que dentre todos os triângulos com área conhecida, o triângulo equilátero tem
o menor perímetro.
15. Determine o comprimento dos lados do triângulo de área máxima que pode ser inscrito num círculo de raio r .
16. Determine a derivada das funções
(a) f (x) = arc sen(x 3 )
(b) f (x) = e −3x + ln(arc tg x)
Respostas
1 (b) 0; (c) 12 ; 9 4 < k < 5 10 400 11 50/3 cm por 50/3 com por 100/3 cm 12 A
p
p
2
largura é 48 3 cm; a espessura é 48 6 cm. 16 ( 16a) p3x 6 ; ( 16b) −3e −3x + (1+x 2 )1arc tg x
1−x