exercitando - Instituto UFC Virtual

(
EXERCITANDO (Aula 8 - Tóp. Único)
Nos exercícios 1 e 2, calcule o campo gradiente da função indicada:
1. f ( x, y)  x cos( xy)  y sen( xy);
2. g( x, y, z)  xye xz  yz n( xy).
Nos exercícios 3 a 6, o campo F é conservativo, encontre o potencial escalar f
que satisfaça a condição indicada:
3. F(x, y)  (2x,  2y) e f (1,1)  0;
4. F(x, y)  (e y  ye x , xe y  e x ) e f (0,0)  1;


5. F(x, y,z)  2xy  z3,x 2 ,3xz2 e f (0, 1,0)  1;
6. F(x, y,z)  (y 2 cos x  z3 ,2ysen x  4,3xz 2  2) e f (0,0,0)  0.
7. Se r  xe1  ye2  ze3 e f (x, y,z)  n | r |, mostre que f (x, y,z) 
r .
|r|2
8. Se r  xe1  ye2  ze3 e f (x, y, z)  | r |1, mostre que f (x, y,z)  
r .
|r|3
Nos exercícios 9 e 10, calcule o divergente do campo vetorial dado:
9. F( x, y)  ( x 2 y  y 2 , xy 2 );
10. G( x, y, z)  ( x 2  y 2 z, y 2  x 2 z, z 2  x 2 y).
11. Verifique que o campo F( x, y, z)  (2xy  2xz, x 2 y 2  y 2  2x, 2xy 3  2x 2 yz  z 2 )
solenoidal no seu domínio. Encontre um potencial vetorial do campo F.
é
12. Se v é um vetor constante e r  xe1  ye2  ze3 , mostre que   ( v  r )  0. Encontre
um potencial vetorial do campo F( x, y, z)  v x r.
Nos exercícios 13 e 14, calcule rotacional do campo indicado:
13. F(x, y, z)  (xye x , xye y , ze xy );
14. G( x, y, z)  ( x 2 yz, x 2  yz 2 , xy 2 z).
Nos exercícios 15 e 16, mostre que os campos dados são irrotacionais:
15. F( x, y, z)  ( y 2 cos x  z 2 , 2y sen x  4, 2xz  3);
16. G( x, y, z) | r|2 r onde r  xe1  ye2  ze3 .
17. Se v é um vetor constante e r  xe1  ye2  ze3 , mostre que:
(a)   ( v  r )  2v;
(b)  | r |3 (r  v)   | r |3 (v  r).
18. Se r  xe1  ye2  ze3 , mostre que:
(a) v  ( v  r ) onde v é um vetor constante;
(b) dw  w.dr onde w é uma função real de três variáveis.
19. Se r  xe1  ye2  ze3 e f : I  R  R é diferenciável, mostre que:
2 (Aula 8) GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL
(a) f | r | 
f '(| r |)
r;
|r|
(b) f(|r|)  f '(| r|) .
20. Se f ( x, y, z) é a distância de um ponto fixo Po a um ponto arbitrário P( x, y, z) ,
mostre que f ( x, y, z) é um campo vetorial unitário no sentido do vetor PP o .
21. Se r  xe1  ye2  ze3 e f (x, y,z)  x 3 g
,
y z
x x
onde g é diferenciável, mostre que
f (x, y,z)  13  r f (x, y,z) .
22. Sejam f uma função diferenciável de u e v, u  g( x, y, z) e v  h( x, y, z) também
diferenciáveis, mostre que os vetores f , g e h são linearmente dependentes.
r  x e1  ye2  ze3 , ache a solução da equação vetorial
f (0,0,0)  3.
23. Sendo
| r| r  f  0
se
f é um campo vetorial radial
24. Se f : A  Rm  R (m  2,3) é diferenciável e
(isto é, f está ao longo de uma reta que contém a origem), mostre que:
(a) f é constante sobre qualquer circunferência de centro na origem. Sugestão: mostre
que f restrita a uma circunferência, tem derivada nula:
(b) f é constante sobre qualquer esfera de centro na origem.
25. Se r  xe1  ye2  ze3 e f : I  R  R é diferenciável, mostre que:
(a)   f | r|r  3f | r|| r| f ' | r|;
4

f ' | r|  f " | r| r se f " existe.
 | r|

(b)    f | r| r   


26. Use o exercício 25(b) para mostrar que   | r |n r  n(n  3) | r |n 2 r.
27. Se
r  xe1  ye2  ze3 e
f :I  R  R
é duas vezes diferenciável, mostre que
 
 f | r |  |r|2 f ' | r |  f " | r |  e use para calcular  2 | r|n .
2
28. Se r  xe1  ye2  ze3 e f : I  R  R é diferenciável, mostre que   f | r|r  0.
29. Se uma função real f : A  R m  R ( m  2,3 ) tem derivadas parciais de segunda
ordem num subconjunto aberto B  A, mostre que f f é irrotacional em B.
30. Mostre que a equação de Laplace definida no tópico 4 desta aula pode ser escrita nas
formas dadas no exercitando do tópico 2 da aula 4.
31. Demonstre as propriedades dadas no tópico 2 desta aula para o:
(a) Gradiente;
(b) Divergente;
(c) Rotacional.
32. Se f e g são funções reais com derivadas parciais de segunda ordem, mostre que:
(
(a)  2 ( fg)  f 2 g  2 f  g  g 2 f ;
(b) f 2 g  g 2 f    ( fg  gf ).
33. Se F é um campo vetorial conservativo e de classe C1 num subconjunto aberto
B R 3 , mostre que F é irrotacional em B.
34. Se F tem um potencial vetorial de classe C 2 num subconjunto aberto B R 3 , mostre
que F é solenoidal em B.
35. Mostre que o produto vetorial de dois campos vetoriais irrotacionais é solenoidal.
36. (a) No exemplo resolvido 6 do tópico 2 desta aula, fazendo g1 (x, y, z)  (x), mostre

que G(x, y, z)   (x),


x
xo
f3 (x, y, z)dx  (y),

y
yo
f1 (x o , y, z)dy 

x
xo

f 2 (x, y, z)dx  ;

(b) Mostre que adicionando a G o gradiente de qualquer função com derivadas
parciais de primeira ordem, ainda se tem um potencial vetorial de F.
37. Demonstre as identidades vetoriais:
(a)  ( F  G)  G    F  F    G;
(b)     F   F   2 F onde  2 F  ( ) F;
(c)   ( F  G)  F G  (G ) F  ( F  )G onde
( G  ) F1 gx F
2
gy F

3
gz Fse
G  (g1 , g 2 , g 3 );
(d) ( F. G)  F  (  G)  G  (  F)  ( F )G  (G  ) F.
38. Dados os campos F  f , G    vf e H    (  G) onde v é um vetor constante
e f é solução da equação 2 f  m2 f  0 (m é uma constante), mostre que os campos:
(a) F, G e H são soluções da equação  2 J  m2 J  0;
(b) F e G são ortogonais:
(c) G e H são solenoidais.
39. Se   G  f e  G  (p, q, r), mostre que as componentes do campo G são soluções
das equações: 2 g1  f x  ry  qz , 2 g 2  f y  pz  rx e 2 g3  f z  q x  p y .
RESPOSTAS (Exercícios Ímpares)


1. f ( x, y)  (1  y 2 ) cos xy  xy sen xy,  (1  x 2 ) sen xy  xy cos xy ;
3. f ( x, y)  x 2  y 2 ; 5. f ( x, y, z)  x 2 y  xz 3  1; 9.   F( x, y)  4xy;


11. G(x, y, z)   x 2 y 2  y 2  2x  z  (x), x 2 y3  2 x 3 yz  2xz 2  2xyz, (z) ;
3
13.  F(x, y, z)   xzexy ,  yzexy , ye y  xe x  ; 23. f (x, y,z)   1 | r |3 3; 27. n(n  1) | r |n  2 .
3