Lista 5

Lista 5
Cálculo Vetorial
Aplicações
4 — Um fio comprido no qual passa uma corrente
−
→
I produz uma indução magnética B dada por
1 — Para uma região R limitada por uma curva
)
−
→ µ0 I (
y
x
simples C, Mostre que a área A de R é dada por
B =
− 2
,
,
0
˛
˛
˛
2π
x + y2 x2 + y2
1
−
→
x dy − y dx ,
A = − y dx =
x dy =
Encontre um potencial vetor magnético A .
2 C
C
C
onde C é orientada de modo que a região R fique
sempre a esquerda.)
(Dica Use o teorema de Green e o
˜
fato que A = 1 dA.)
−
→
−
→
5 — Seja B o campo vetorial dado por B = ∇u ×
∇v, onde u e v são funções escalares.
R
−
→
a) mostre que B é solenoidal;
−
→ 1
−
→
−
→
b) mostre que A = (u∇v − v∇u) é um poten2 — Se F é uma força dada por F = (x2 + y2 +
−
→
−
→
−
→
−
→2
2
n
z ) (x i + y j + z k ), determine:
cial vetor para B .
−
→
a) ∇ · F ;
−
→
b) ∇ × F ;
6 — Considere as seguintes equações de Maxwell:
−
→
c) um potencial escalar ϕ(x, y, z) tal que F =
−
→
−
→
∂B
∇ × E = − , onde E é o campo elétrico.
−∇ϕ;
∂t
d) para qual valor de n o potencial escalar di−
→
−
→
∇ · B = 0, onde B é a indução magnética.
verge em ambos na origem e no infinito?
a) Por que existe um potencial vetor eletromag−
→
−
→
−
→
−
→
nético A para B , isto é, B = ∇ × A ?
3 — A origem do sistema de coordenadas cartesi−
→
b) Mostre que A não é único. Sugestão: consianas está no centro da Terra. Suponha que a Lua
−
→
−
→
dere A ′ = A + ∇ψ, onde ψ é uma função
esteja sobre o eixo z a uma distância R da Terra
escalar.
(centro-a-centro). A força de maré exercida pela
−
→
Lua sobre uma partícula na superfície da Terra
−
→
∂A
. Mostre que
c) Mostre que ∇ × E = −∇ ×
(ponto (x, y, z)) é dada por
∂t
isto implica que existe uma função escalar ϕ
−
→
( x
−
→
y 2z )
−
→
∂A
F = GMm − 3 , − 3 , 3
tal que E = −
− ∇ϕ.
R
R R
∂t
−
→ −
→
∂ψ
Encontre o potencial escalar para esta força de
d) Sejam A ′ = A + ∇ψ e ϕ ′ = ϕ −
. Mostre
∂t
maré.
−
→′ −
→
que E = E .
−
→ −
→
Conclusão: E e B ficam invariantes pelas
−
→
transformações de Gauge (ou calibre) A ′ =
−
→
∂ψ
A + ∇ψ e ϕ ′ = ϕ −
.
∂t
resultado provado neste exercício:
Um campo vetorial que é ao mesmo tempo
. . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . em Ω é o gradiente de uma função . . . . . . . . . . . . . . . em Ω.
7 — Seja H(x, y, z) = (x2 yz, xy2 z, xyz2 ) um campo 9 — Seja H(x, y, z) = (yz, xz, xy) um campo vetovetorial. Determine campos F e G, F solenoidal e G rial. Mostre que H é solenoidal e irrotacional. Pela
questão anterior, segue que H é o gradiente de uma
irrotacional tais que H = F + G.
função harmônica. Determine uma função que realiza esta propriedade.
−
→
1
8 — Seja V um campo vetorial de classe C em um
aberto simplesmente conexo Ω de R3 . Considere as
−
→
10 — Use as equações de Maxwell no vácuo e na
seguintes afirmações sobre V :
ausência de fontes, para mostrar que os campos E
−
→
−
→
−
→
(i) ∇ × V = 0 e V = ∇ × U , para algum campo e B satisfazem a equação de onda
−
→
vetorial U de classe C1 em Ω;
(
)
(
)
(ii) existe um campo escalar ϕ de classe C1 em Ω e
2
2
1
∂
1
∂
−
→
∇2 − 2
E = 0 , ∇2 − 2
B = 0,
tal que V = ∇ϕ e ∆ϕ = 0 em Ω.
c ∂t
c ∂t
a) Prove que (i) implica (ii);
b) Complete a frase com uma palavra para cada isto é, mostre que campos eletromagnéticos se prolacuna e de modo a expressar em palavras o pagam com velocidade c no vácuo.
2