Raiz enésima 49 7, Notação Propriedades

1
RAIZ ENÉSIMA E RACIONALIZAÇÃO
Raiz enésima
Se a é um número real positivo e n é um número natural maior que 1, a raiz enésima de a,
representada por
n
n
a , é um número b positivo tal que b = a.
2
49  7, pois 7 . 7 = 7 = 49


3
27  3, pois 3 . 3 . 3 = 3 = 27

4
16  2, pois 2 . 2 . 2 . 2 = 2 = 16
3
4
Se a é um número real negativo e n é um número natural ímpar maior diferente de 1, a raiz
enésima de a, representada por
n
n
a , é um número b positivo tal que b = a.

3
64  8, pois (8) . (8) . (8) = 7 = 49

5
243  3, pois (3) . (3) . (3) . (3) . (3) = (3) = 3
2
5
Se a é um número igual a 0 (zero) e n é um número natural maior que 1, então
n
a  0.
De modo geral, temos que
n
a  b, pois b = a
n
Notação
A raiz enésima de um número pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário.
n
ab  a
b
n
Propriedades

A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores.
n
a.b  n a .
n
b
ou
 a.b 

1
 a n .b
1
n
1
n
A raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor.
n
a

b
n
n
a
b
ou
a
 
b
1
n

a
b
1
1
n
n
2

A raiz de uma raiz pode ser transformada em uma única raiz em que o índice é o produto
dos índices.
n m
a  n.m a
ou
 a  
1
m
1
n
a
1
1
m. n
a
1
mn
Simplificando Radicais
Há casos em que não é possível extrair a raiz exata de um número. Quando isso ocorre, podemos
simplificar a escrita de algumas raízes.
Veja como podemos simplificar a escrita de
175.
1. Decompomos o radicando em fatores primos.
5 2 .7 em um produto de radicais, ou seja, aplicamos a propriedade
2. Transformamos
n
a.b  n a .
n
b.
5 2 .7  52 . 7  5. 7  5 7
Adição e Subtração de raízes
Duas ou mais raízes são classificadas como semelhantes se, e somente se, possuírem o mesmo
índice e o mesmo radicando.
É possível reduzir duas raízes em uma adição ou subtração a uma raiz somente se eles forem
semelhantes.
Em uma adição ou subtração de raízes pode ocorrer que:
 todas as raízes são semelhantes entre si;
 as raízes não são semelhantes a princípio, tornando-se ao se retirar um ou mais fatores do
radicando;
 existem apenas alguns termos semelhantes entre si.
Exemplos
a) 3 5  7 5  8 5  (3  7  8) 5  2 5
b) 4 2  12  18  4 2  22.3  2.32  4 2  2 3  3 2  2  2 3
3
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor de cada expressão.
a)
3
0,216  3
216 3 23.33 2.3 6 3


 
1000
10 10 5
103
102  92  (10  9).(10  9)  1.19  19
b)
c)
5
25 2
32
5 5 
3
243
3
d)
4
79  4 74.74.7  7.7.4 7  49 4 7
2. A expressão
3
3
228  230
é equivalente a um valor numérico. Calcule esse valor.
10


27
3
227 2  8  3 227.10 3 27
228  230 3 2 2  2

3

 2  29  512
10
10
10
10
3. Calcule o valor de x na equação x  5  9 . 5  9 .
x  5 9. 5 9 
 5  9 .  5  9  
4. Qual é o valor de n na expressão
132  122  n 125
(13  12).(13  12)  n 53
1  25  n 53
52  n 53
3
51  5 n
3
1 n3
n
52 
 9
132  122  n 125 ?
2
 25  9  16  4
4
5. O número
2352 é equivalente a:
a) 4 7
b) 4 21
28 3
c)
d) 56 3
2352  24.3.72  22.7. 3  28 3
6. Qual o valor de x, se x é igual a
3
x
212 
3
1
12 e
12  12 3 e 2 8  8
m.m.c.(2, 3) = 6
3
12  12
2
8 8
1
2
1
3
 12
8
Portanto,
2
3
6
2
6
1
2
8 é o maior?
2
 6 122  6 144
 6 83  6 512
8 é o maior número.
125   5
2
3
8. A expressão
4096 ?
24  22  2
7. Qual dos números
3
3


0
3 8 2 6
é equivalente a:
a) – 6
b) – 4
c) 4
d) 6
3

125   5
53   5
5  25 30



6
0
16
5
5
3 8 2 6
2

3
2
5
Multiplicação e Divisão de raízes
Existem dois casos a considerar:
 Se as raízes possuírem o mesmo índice, a multiplicação ou a divisão deve ser efetuada
conforme as propriedades apresentadas;
 Se as raízes tiverem índices diferentes deve-se inicialmente, reduzi-los ao mesmo índice.
Para isso, basta obter o m.m.c. entre os mesmos.
Exemplos


a)
3. 5  3 2  3.5  3 2. 3  5 3  3 6
b)
5. 32
m.m.c.(2, 3) = 6
5 . 3 2  6 53 .6 22  6 53.22  6 500
ou
1
3
    
2
5 . 3 2  5 2.2 3  5 6.2 6  53
1
1
6
. 22
1
6
 53.22

1
6
  500  6  6 500
1
Racionalização de Denominadores
Racionalizar uma fração consiste em eliminar por meio de propriedades algébricas, o radical ou os
radicais que estiverem no denominador. Esta operação é obtida multiplicando-se o numerador e o
denominador da correspondente fração pelo fator de racionalização.
Caso 1
a para a > 0, ou seja,
A fração possui um denominador da forma
N
.
a
N
N. a
N. a N. a



a
a
a. a
a2
Caso 2
A fração possui um denominador da forma
N
n
am

N.n a n m
n
a m .n a n  m

n
a m para a > 0 e n > 2 ou seja,
N.n a n m
n
a m .a n m

N.n a n m
n
a m  n m

N.n a n m
n
an

N
n
a
m
.
N.n a n m
a
Caso 3
A fração possui um denominador da forma
N
a b
.

a b a b
N.


a b
a  b para a > 0 e b > 0, ou seja,
a b


a
 a  b
b  a   b

N.
2
2

N.

N
.
a b
a b
ab

6
Exercícios Resolvidos
9. Racionalize as seguintes frações.
a)
b)
c)
2
2
3 2 3

.

3
3
3 3
3 2
3 2
3 2
3 2
1
1 3 431
4
4
4
4

.




3
3
3
3
3
3
3

1
2
2
3
3
4
4
4 4
4. 4
44
4
1
7 3
1

.

7 3 7 3
7 3

7 3
10. Ao racionalizar o denominador de
a)
3a a
5
b)
3 a
5
c)
8 4 a3
5
d)
34 a
5
e)
34 a
5a

7 3 .
7 3


7 3
7 3

79
2
3a
, obtemos:
54 a
3a 4 a3 3a4 a3 34 a3
.


5a
5
54 a 4 a3
11. Qual a expressão que se obtém ao racionalizar o denominador da fração
1 a a 1
a 1  a a 2 a  a 1
.


a 1
a 1
a 1 a 1
1 a
?
a 1
7
Exercícios Propostos
1. Seja o número real
500  3 20  2  2 5
x
.
5 1
3. A expressão 32  10 7  32  10 7 é
equivalente a um número natural. Qual é
esse número?
Escrevendo-se x na forma x  a  b c, qual
é o valor de a + b + c?
2. Calcule o valor de
1
sendo que
M
M  2 
a2 b2
 2
b2 a2
e que a = 0,998 e b = 1.
4. O valor da expressão
x  2 é:
2 2
a)
b)
2 2
c) 2
d)  0,75
4
e) 
3
x3  8
para
x2  2x  4
8
5. Considere a seguinte expressão
1
1
1


2
2 1
2 1
2
a)
Essa expressão é equivalente a:
a)
8 2
, então m2 é igual a:
2 2
7. Se m 
b)
2 2
2
2
1
2
b)
3 2
2
c)
c)
5 2
2
d) 
d) 3 2
e) 2
2
2
e) 5 2
6. Considere a seguinte expressão
3
8  (5)2
8.

A expressão
Essa expressão é equivalente a:
a) – 1
a) – 10
b) 1
b)  40
c) 40
c)
d)
10
6 2

84 3
2
é equivalente a:
1 3
d) 1  3
e) 0
e) 2 5
Gabarito
1
2
3
4
5
6
7
8
3 5
249500
10
a
b
a
e
b