COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
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Conceito de funções – 2013 - GABARITO
1. Dados os diagramas:
Podemos afirmar que:
a) I, II e IV representam funções de A em B;
c) I e IV representam funções de A em B;
e) todos representam funções de A em B.
b) I, III e IV representam funções de A em B;
d) IV não representa função de A em B;
Solução. Analisando as figuras, temos:
I: Representa função de A em B, pois todos os elementos de A possuem imagem em B. E essa
imagem é única.
II: Representa função pela mesma razão exposta em (I).
III: Não representa função, pois um elemento de A possui duas imagens em B.
IV: Não representa função, pois além de um elemento de A não possuir imagens em B, há outro
elemento em A com duas imagens em B.
2. Dados os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, determine as relações de A em B que são funções.
a) R1 = {(0,2),(1,3),(2,4),(3,5)} – é função.
b) R2 = {(0,3),(1,3),(2,3),(3,3)} – é função.
c) R3 = {(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}
d) R4 = {(0,4),(1,5),(2,0)}
Solução. Analisando as opções, temos:
a) R1 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A possuem uma única imagem em B.
b) R2 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A possuem uma única imagem em B. O
fato do elemento 3 em B ser imagem de todos os elementos de A não caracteriza ambiguidade.
c) R3 não é uma função de A em B, pois há elementos de A que possuem mais de uma imagem em B.
Repare que, por exemplo, R(1) = 1 e R(1) = 2. O mesmo ocorre com os elementos 0, 2 e 3 de A.
d) R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 de A não possui imagem em B. Isso caracteriza
a exceção.
f : A IR B IR .
x
2x 1
x2
b) f ( x )
c) f ( x )
d) f ( x ) 2
3
2x 7
x 9
4x
x 1
x 1
f) f ( x ) x 1 x 2
g) f ( x ) x 2
h) f ( x )
x3
x2 4
3. Determinar o domínio máximo das seguintes funções
a)
f ( x ) x 2 2x
e)
f ( x) 7 x 2 9
Solução. Analisando as possíveis restrições em cada caso, temos:
a) Não há restrições. Logo, D(f) = IR.
b) O denominador não pode ser nulo. Logo, 2x 7 0 x
c) Há duas restrições:
- O radicando do numerador não pode ser negativo:
7
7
. Então, D( f ) IR .
2
2
x 2 0 x 2.
- O radicando no denominador não pode ser nulo. Pode ser negativo (raiz cúbica):
4 x 0 x 4 . Unindo as duas condições, temos: D(f ) 2, 4 4, .
d) O denominador não pode ser nulo. Logo, x 9 0 x 3 . Então,
2
D(f ) IR 3, 3.
e) Não há restrições, pois o índice da raiz é ímpar. Logo, D(f) = IR.
x 1
D( f ) 2, .
x 2
f) Os radicais não podem ser negativos. Logo, unido as condições temos:
g) O radical não pode ser negativo e o denominador não pode ser nulo. Unido as condições temos:
x 2
D( f ) 2, 3 3, .
x 3
h) O radical no denominador não pode ser nulo, nem positivo. Observa-se que g(x) = x2 – 4 possui
como gráfico uma parábola de concavidade para cima. As raízes são x = - 2 e x = 2. Os valores
negativos estão entre essas raízes. Logo, D(f ) , 2 2, .
4. Considere as funções
e
definidas por
e
a) Determine o ponto onde o gráfico de
corta o eixo das abscissas (x).
b) Determine o ponto onde o gráfico de
corta o eixo das ordenadas (y).
.
Solução.
a) O gráfico de f(x) corta o eixo das abscissas no ponto de ordenada nulo. Isto é f(x) = 0. Temos:
f ( x ) 0 x 1 0 x 1 . Logo, o ponto é (– 1,0).
b) O gráfico de g(x) corta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa nula. Isto é x = 0. Temos:
g( x ) 4 2x g(0) 4 2.( 0) g(0) 4 . Logo, o ponto é (0,4).
5. São dadas as funções f, g : R → R definidas por
f ( x ) x 2 2x 3 e g( x )
3
x m . Determine o
2
valor da expressão f(m) - 2g(m) se f(0) + g(0) = - 5.
Solução. Utilizando as informações, temos:
f ( x ) x 2 2 x 3
f (0) (0) 2 2(0) 3 3
f (0) g(0) 3 m
3 m 5 m 2 .
3
3
f (0) g(0) 5
g( x ) x m
g(0) (0) m m
2
2
Logo, f (m) 2.g(m) 22 2( 2) 3 2. .( 2) ( 2) 4 4 3 2. 3 2 5 10 15 .
3
2
4 x, se 0 x 1
6. Considere a função f, dada por: f ( x ) x 2 7 x 10 se 1 x 6 . Calcule:
4 x 28 se 6 x 7
9
4
a) f
b)
2
f 1 f (6)
c) f f
3
Solução. Calculando os valores de acordo com o intervalo na qual o valor de x pertence, temos:
2
a)
9
9
81 63
81 252 160
11
9 9
9
.
2,25 1 6 f 7. 10
10
4
4
4
4
4
16
4
16
16
f (1) 4.(1) 4
b)
2
f (6) (6) 7.( 6) 10 36 42 10 46 42 4
f (1) f (4) 4 (4) 0 .
2
2 8
i) f 4.
3
3 3
c)
.
2
2 8 8
8
64
56
64
168
90
154
168
14
ii) f f f 7. 10
10
3
3
3
9
3
9
9
9
3
7. Uma empresa de telefonia tem dois planos distintos para seus clientes: A e B. No plano A, o cliente paga
R$54,00 de mensalidade, com direito a uma franquia de 50 minutos de ligações no mês, e mais R$ 1,35 por
minuto de ligação que exceder os 50 minutos da franquia. No plano B, a cliente não paga mensalidade e
paga R$ 1,95 por minuto de ligação.
a) Um cliente tem o plano A e efetuou 63 minutos de ligações em um mês. Determine o valor da conta a ser
paga por esse cliente.
Solução. O cliente ultrapassou em 63 – 50 = 13 minutos a franquia de 50 minutos. Logo, pagará em
sua conta R$54,00 + 13.(R$1,35) = R$54,00 + R$17,55 = R$71,55.
b) Determine uma lei que expresse o valor , em reais, a ser pago por um cliente que tem o plano A, em
função do número de minutos utilizados em um mês.
(Não se esqueça de que são duas situações diferentes: o caso em que
e o caso em que
).
Solução. A lei que expressa o valor é formada por duas sentenças de acordo com gasto em minutos:
R$54,00 se 0 x 50
y
.
R$54,00 1,35x 50 se x 50
Observe o gráfico representando os dois planos.
