gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
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Conceito de funções – 2013 - GABARITO
1. Dados os diagramas:
Podemos afirmar que:
a) I, II e IV representam funções de A em B;
c) I e IV representam funções de A em B;
e) todos representam funções de A em B.
b) I, III e IV representam funções de A em B;
d) IV não representa função de A em B;
Solução. Analisando as figuras, temos:
I: Representa função de A em B, pois todos os elementos de A possuem imagem em B. E essa
imagem é única.
II: Representa função pela mesma razão exposta em (I).
III: Não representa função, pois um elemento de A possui duas imagens em B.
IV: Não representa função, pois além de um elemento de A não possuir imagens em B, há outro
elemento em A com duas imagens em B.
2. Dados os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, determine as relações de A em B que são funções.
a) R1 = {(0,2),(1,3),(2,4),(3,5)} – é função.
b) R2 = {(0,3),(1,3),(2,3),(3,3)} – é função.
c) R3 = {(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}
d) R4 = {(0,4),(1,5),(2,0)}
Solução. Analisando as opções, temos:
a) R1 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A possuem uma única imagem em B.
b) R2 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A possuem uma única imagem em B. O
fato do elemento 3 em B ser imagem de todos os elementos de A não caracteriza ambiguidade.
c) R3 não é uma função de A em B, pois há elementos de A que possuem mais de uma imagem em B.
Repare que, por exemplo, R(1) = 1 e R(1) = 2. O mesmo ocorre com os elementos 0, 2 e 3 de A.
d) R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 de A não possui imagem em B. Isso caracteriza
a exceção.
f : A  IR  B  IR .
x
2x  1
x2
b) f ( x ) 
c) f ( x ) 
d) f ( x )  2
3
2x  7
x 9
4x
x 1
x 1
f) f ( x )  x  1  x  2
g) f ( x )  x  2 
h) f ( x ) 
x3
x2  4
3. Determinar o domínio máximo das seguintes funções
a)
f ( x )  x 2  2x
e)
f ( x)  7 x 2  9
Solução. Analisando as possíveis restrições em cada caso, temos:
a) Não há restrições. Logo, D(f) = IR.
b) O denominador não pode ser nulo. Logo, 2x  7  0  x 
c) Há duas restrições:
- O radicando do numerador não pode ser negativo:
7
7 
. Então, D( f )  IR    .
2
2
x 2  0  x  2.
- O radicando no denominador não pode ser nulo. Pode ser negativo (raiz cúbica):
4  x  0  x  4 . Unindo as duas condições, temos: D(f )  2, 4  4,   .
d) O denominador não pode ser nulo. Logo, x  9  0  x  3 . Então,
2
D(f )  IR   3, 3.
e) Não há restrições, pois o índice da raiz é ímpar. Logo, D(f) = IR.
x  1
 D( f )  2,   .
x  2
f) Os radicais não podem ser negativos. Logo, unido as condições temos: 
g) O radical não pode ser negativo e o denominador não pode ser nulo. Unido as condições temos:
x  2
 D( f )  2, 3  3,   .

x  3
h) O radical no denominador não pode ser nulo, nem positivo. Observa-se que g(x) = x2 – 4 possui
como gráfico uma parábola de concavidade para cima. As raízes são x = - 2 e x = 2. Os valores
negativos estão entre essas raízes. Logo, D(f )   ,  2  2,   .
4. Considere as funções
e
definidas por
e
a) Determine o ponto onde o gráfico de
corta o eixo das abscissas (x).
b) Determine o ponto onde o gráfico de
corta o eixo das ordenadas (y).
.
Solução.
a) O gráfico de f(x) corta o eixo das abscissas no ponto de ordenada nulo. Isto é f(x) = 0. Temos:
f ( x )  0  x  1  0  x  1 . Logo, o ponto é (– 1,0).
b) O gráfico de g(x) corta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa nula. Isto é x = 0. Temos:
g( x )  4  2x  g(0)  4  2.( 0)  g(0)  4 . Logo, o ponto é (0,4).
5. São dadas as funções f, g : R → R definidas por
f ( x )  x 2  2x  3 e g( x ) 
3
x  m . Determine o
2
valor da expressão f(m) - 2g(m) se f(0) + g(0) = - 5.
Solução. Utilizando as informações, temos:
f ( x )  x 2  2 x  3
f (0)  (0) 2  2(0)  3  3
f (0)  g(0)  3  m




 3  m  5  m  2 .

3
3
f (0)  g(0)  5
g( x )  x  m
g(0)  (0)  m  m
2
2


Logo, f (m)  2.g(m)   22  2( 2)  3  2. .( 2)  ( 2)  4  4  3  2. 3  2  5  10  15 .


3
2

4 x, se 0  x  1

6. Considere a função f, dada por: f ( x )  x 2  7 x  10 se 1  x  6 . Calcule:
 4 x  28 se 6  x  7

9

4
a) f 
b)
  2 
  
f 1  f (6)
c) f  f   
 3 
Solução. Calculando os valores de acordo com o intervalo na qual o valor de x pertence, temos:
2
a)
9
9
81 63
81  252  160
11
9 9
9
.
 2,25  1   6  f       7.   10 

 10 

4
4
4
4
4
16
4
16
16
   
 
f (1)  4.(1)  4
b) 
2
f (6)  (6)  7.( 6)  10  36  42  10  46  42  4
 f (1)  f (4)  4  (4)  0 .
2
2 8
i) f    4.  
3
3 3
c)
.
2
  2   8   8 
8
64
56
64

168

90
154

168
14
 
ii) f  f     f       7.   10 

 10 


3
3
3
9
3
9
9
9
3
      
7. Uma empresa de telefonia tem dois planos distintos para seus clientes: A e B. No plano A, o cliente paga
R$54,00 de mensalidade, com direito a uma franquia de 50 minutos de ligações no mês, e mais R$ 1,35 por
minuto de ligação que exceder os 50 minutos da franquia. No plano B, a cliente não paga mensalidade e
paga R$ 1,95 por minuto de ligação.
a) Um cliente tem o plano A e efetuou 63 minutos de ligações em um mês. Determine o valor da conta a ser
paga por esse cliente.
Solução. O cliente ultrapassou em 63 – 50 = 13 minutos a franquia de 50 minutos. Logo, pagará em
sua conta R$54,00 + 13.(R$1,35) = R$54,00 + R$17,55 = R$71,55.
b) Determine uma lei que expresse o valor , em reais, a ser pago por um cliente que tem o plano A, em
função do número de minutos utilizados em um mês.
(Não se esqueça de que são duas situações diferentes: o caso em que
e o caso em que
).
Solução. A lei que expressa o valor é formada por duas sentenças de acordo com gasto em minutos:
R$54,00 se 0  x  50
y
.
R$54,00  1,35x  50  se x  50
Observe o gráfico representando os dois planos.