Motivação Localização gráfica de raízes

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Solução de equações:
Motivação
Localização gráfica de raízes
ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
Um número real z é um zero da função f(x) ou raiz da
equação f(x)=0 se f(z)=0.
O que queremos ?
Métodos numéricos para resolver equações da forma
f(x) = 0
f(x) é uma função de uma variável real.
Exemplo: ax2 + bx + c = 0
Solução: Bashkara.
mas e se o problema for:
h(x)= x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0
ou f(x)=x+ln(x)
Graficamente
Localização gráfica de raízes
Teorema 3.1- (Franco): Se uma função contínua f(x)
assume valores de sinais opostos nos pontos extremos
do intervalo [a,b], isto é, se f(a).f(b) <0, então existe ao
menos um ponto x ∋ ]a,b[, tal que f(x) = 0.
f(a)
x
a
f(b)
b
Exemplos: f : (o, ∞) → ℜ, f ( x) = ln( x)
f(0.5) < 0
f(1.5) > 0
Existe uma raiz no intervalo ]0.5,1.5[
(de fato, x* = 1 é a única raiz da equação)
Exemplos:
f : ℜ → ℜ, f ( x) = e x
função nunca toca o eixo dos x.
não há raiz real
Exemplos: f : (0,2π ) → ℜ, f ( x) = cos( x)
f(1). f(2) < 0.
f(4). f(5) < 0
De fato: raízes em π/2 e 3π/2
Exemplos: f: R → R; f(x) =
Problema ?
Traçar esse gráfico!
2-2
2
x
(x+1) e
-1=0
Exemplos: f: R → R; f(x) =
Qual o valor de x tal que f(x) = 0 ?
2-2
2
x
(x+1) e
-1=0
14:25
Utilidade
Podemos fazer uso dos gráficos (traçados na mão ou
computacionalmente) para ter uma idéia de onde está a
raiz (localização).
Em seguida, usamos métodos mais elaborados para
obter com maior precisão o valor desta raiz
(refinamento).
Métodos numéricos
Fase I - Localização
Localizar a raiz num intervalo [a,b];
Fase II - Refinamento
Escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado,
melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação
para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada.
Localização (relembrando)
Vale parte 2 no intervalo ]a,b[?
Técnica mais simples isolamento
Voltando ao exemplo : f: R → R; f(x) =
2-2
2
x
(x+1) e
-1=0
x
f(x)
-3
4385,5
-2
6,4
-1
-1
0
-0,9
1
0,5
2
65,5
3
17545,1
Intevalos [-2,-1]
[0,1]
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Exercício
Dada a função: f(x)=x2 – sen(x)
Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em
intervalos.
8
y = x^2
y = sin(x)
y
7
6
5
4
3
2
1
x
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
x
f(x)
-3
-2
-1
9,14112 4,909297 1,841471
0
0,1
0,5
0,7
1
2
0 -0,08983 -0,22943 -0,15422 0,158529 3,090703
3
8,85888
−4
2
3
4
5