o conceito de logaritmo de um número real PAULO PEREIRA MUNIZ* 1 - PRELIMINARES o conceito de logaritmo de um número real, de extraordinária importância pelas suas inúmeras aplicações, pode ser estabelecido por três métodos distintos: a - a partir do conceito de potência de expoente real; b - a partir da correspondência entre uma progressão aritmética e uma progressão geométrica; c - a partir da quadratura da hipérbole. No Curso Colegial somente os dois primerios métodos, principalmente o primeiro, são divulgados, sendo pràticamente desconhecido o método que parte da quadratura da hipérbole, e que é considerado por FELIX KLEIN como o mais adequado para a introdução de logarítimos. Nas presentes notas estabeleceremos o conceito de logarítimo partindo da hipérbole e, em seguida mostraremos como são deduzidas as .prqpriedades dos logaritmos. Usaremos em tal estudo as seguintes propriedades do Cálculo Integral: * PAULO PEREIRA MUNIZ - Vice-Diretor e Professor de Física do C.N.F. CURRICULUM 12/67 72 ex x dx dx J x que se deduz para uma x c mudança de variável z=cx. 2. a ) Teorema da Adição X, dx J x o 2 - dx X Xl XJ + I ---- _.. Xl X2 j dx x I CONCEITO DE LOGARITMO Consideremos dois eixos de coordenadas cartesianas retangulares e a curva de equação xy = 1. A curva em questão é uma hipérbole equilátera, constituída de dois ramos, um no primeiro e outro no terceiro quadrante. No presente estudo, faremos as considerações com relação ao ramo do orimeiro quadrante. Sejam os pontos M e N de curva de coordenadas: M (1,1) N (x, l/x) Seja a porção do plano limitada pelas coordenadas de M e N, pelo segmento do eixo das abscissas compreendido entre tais ordenadas e N pela parte da hipérbole com-I-_.L-_"':""'_ _Y_=_Yx___ x preendida entre as mesmas o ordenadas. Do Cálculo Integral sabemos que a área da superfície considerada é y r x X A 1 f(x) . dx ou A r 1 dx x 73 CONCEITO DE LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL Por definição, a área A é o logaritmo da abscissa de N. x clx f log x x I Os logaritmos assim definidos são denominados naturais, hiperbólicos ou neperianos. OBSERVAÇÕES a) A abscissa de N é sempre um número positivo, donde concluímos que somente os números positivos têm logaritmos. b) Todo número positivo tem um e um só logarítmo. c) Se x> 1 (exemplo ilustrado na figura), vemos pelo valor da integral EJ.ue log x> O. d) Sendo x = 1, temos J o, cl: O. ou seja log 1 < 1, a integral nos mostra que log x < O. e) Se x PROPRIEDADES 3.1 - Adição de Logaritmos X. Xl log Xl + log Xl X 2 Xl =f dx X + f Xl f X2 dx X - clx x Xl X 2 + f dx X I dx X log (Xl X:!) 74 CURRICULUM 12/67 GENERALIZAÇÃO A generalização da propriedade da adição de logaritmos é imediata, permitindo-nos escrever: log + Xl log + log Xn = log (Xl + Xz • X2 • • . Xn) CONSEQüÊNCIA 1 Sendo x., - - , temos X log 1 log X 1 1 + log 1 X I ou seja log X log 1 1 X 3 .2 - Logaritmo de uma Potência 3 . 21 log X1 I Sendo X = X 1:2 = + log X + . . . + log X 2 ... n = = log X (X n 1 x, tem-se = . X ~ " ou + log X = log X = log L - -______y -______ X = log Xn ~ n parcelas Donde log xn = n . log x, n sendo inteiro e positivo. 3.22 - Façamos agora xn = u. . X ) n CONCEITO DE LOGARITMO DE UM NúMERO REAL Donde x = U l/n Log u = n log x = n log log 75 U l/n U l/n log u, n sendo inteiro e positivo. 1 n 3 .23 - Consideremos agora u m;n Sabemos que u m;n = (u l/n) m Apliquemos sucessivamente os dois resultados anteriores: log u m/n = log (u l/n) m . log u l/n = = m m . m . log U l/n . log u 1 n log u m/n m log u n 3 .24 - Seja agora u positivo qualquer u- N log u - N = log 1 - N, N sendo um número racional 1 log u N = - N log u 3.25 - Sendo então M um número racional qualquer, positivo ou negativo log UM m . log u BIBLIOGRAFIA KLEIN, Félix, Matemática elemental desde wn ponto de vista superior I - Madrid. MEDEIROS, Luiz Adauto da Justa, Loguitmos. Rio de Janeiro, 1955. Vol.