o conceito de logaritmo de um número real

o
conceito de logaritmo de um
número real
PAULO PEREIRA MUNIZ*
1 -
PRELIMINARES
o conceito de logaritmo de um número real, de extraordinária importância pelas suas inúmeras aplicações, pode
ser estabelecido por três métodos distintos:
a -
a partir do conceito de potência de expoente real;
b -
a partir da correspondência entre uma progressão
aritmética e uma progressão geométrica;
c -
a partir da quadratura da hipérbole.
No Curso Colegial somente os dois primerios métodos,
principalmente o primeiro, são divulgados, sendo pràticamente desconhecido o método que parte da quadratura
da hipérbole, e que é considerado por FELIX KLEIN como
o mais adequado para a introdução de logarítimos.
Nas presentes notas estabeleceremos o conceito de logarítimo partindo da hipérbole e, em seguida mostraremos
como são deduzidas as .prqpriedades dos logaritmos.
Usaremos em tal estudo as seguintes propriedades do
Cálculo Integral:
*
PAULO PEREIRA MUNIZ -
Vice-Diretor e Professor de Física do C.N.F.
CURRICULUM 12/67
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ex
x
dx
dx
J
x
que se deduz para uma
x
c
mudança de variável z=cx.
2. a ) Teorema da Adição
X,
dx
J
x
o
2 -
dx
X
Xl XJ
+ I ----
_..
Xl X2
j
dx
x
I
CONCEITO DE LOGARITMO
Consideremos dois eixos de coordenadas cartesianas retangulares e a curva de equação xy = 1.
A curva em questão é uma hipérbole equilátera, constituída de dois ramos, um no primeiro e outro no terceiro quadrante.
No presente estudo, faremos as considerações com relação
ao ramo do orimeiro quadrante.
Sejam os pontos M e N de
curva de coordenadas:
M (1,1)
N (x, l/x)
Seja a porção do plano limitada pelas coordenadas de M
e N, pelo segmento do eixo
das abscissas compreendido entre tais ordenadas e
N
pela parte da hipérbole com-I-_.L-_"':""'_ _Y_=_Yx___ x preendida entre as mesmas
o
ordenadas.
Do Cálculo Integral sabemos que a área da superfície considerada é
y
r
x
X
A
1
f(x)
. dx ou A
r
1
dx
x
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CONCEITO DE LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL
Por definição, a área A é o logaritmo da abscissa de N.
x
clx
f
log x
x
I
Os logaritmos assim definidos são denominados naturais,
hiperbólicos ou neperianos.
OBSERVAÇÕES
a) A abscissa de N é sempre um número positivo, donde
concluímos que somente os números positivos têm logaritmos.
b) Todo número positivo tem um e um só logarítmo.
c) Se x> 1 (exemplo ilustrado na figura), vemos pelo valor da integral EJ.ue log x> O.
d) Sendo x =
1, temos
J
o,
cl:
O.
ou seja log 1
< 1, a integral nos mostra que log x < O.
e) Se x
PROPRIEDADES
3.1 -
Adição de Logaritmos
X.
Xl
log
Xl
+ log
Xl X 2
Xl
=f
dx
X
+
f
Xl
f
X2
dx
X
-
clx
x
Xl X 2
+
f
dx
X
I
dx
X
log
(Xl
X:!)
74
CURRICULUM 12/67
GENERALIZAÇÃO
A generalização da propriedade da adição de logaritmos é
imediata, permitindo-nos escrever:
log
+
Xl
log
+ log Xn = log (Xl
+
Xz
• X2 • • . Xn)
CONSEQüÊNCIA
1
Sendo x.,
- - , temos
X
log 1
log
X
1
1
+
log
1
X
I
ou seja
log
X
log
1
1
X
3 .2 -
Logaritmo de uma Potência
3 . 21 log X1
I
Sendo
X
=
X
1:2
=
+ log X + . . . + log X
2
...
n
=
= log
X
(X
n
1
x, tem-se
=
. X
~
"
ou
+
log
X = log X =
log
L - -______y -______
X
=
log
Xn
~
n
parcelas
Donde
log xn = n . log x, n sendo inteiro e positivo.
3.22 -
Façamos agora xn = u.
. X )
n
CONCEITO DE LOGARITMO DE UM NúMERO REAL
Donde x
= U l/n
Log u = n log x = n log
log
75
U l/n
U l/n
log u, n sendo inteiro e positivo.
1
n
3 .23 -
Consideremos agora u m;n
Sabemos que u m;n = (u l/n)
m
Apliquemos sucessivamente os dois resultados anteriores:
log u m/n = log (u l/n)
m . log u l/n =
=
m
m .
m . log
U l/n
. log u
1
n
log u m/n
m
log u
n
3 .24 - Seja agora u positivo qualquer
u- N
log u -
N
=
log 1 -
N,
N sendo um número racional
1
log u
N
=
-
N log u
3.25 - Sendo então M um número racional qualquer,
positivo ou negativo
log
UM
m . log u
BIBLIOGRAFIA
KLEIN, Félix, Matemática elemental desde wn ponto de vista superior I - Madrid.
MEDEIROS, Luiz Adauto da Justa, Loguitmos. Rio de Janeiro, 1955.
Vol.