UFPA * CCB Laboratório de Informática Biometria Probabilidade

UFPA * CCB
Laboratório de Informática
Biometria
Probabilidade
(Leitura complementar ao capítulo 2)
No século XVII os matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662)
iniciaram estudos sobre a teoria dos jogos.
O objetivo principal era prever um resultado e obter êxito em suas apostas.
Mas, seja nos jogos ou em qualquer outro experimento aleatório é possível associar uma medida para a
incerteza quanto à ocorrência, ou não, de algum evento.
Essa medida é chamada de probabilidade.
A probabilidade de um acontecimento ocorrer é definida como o quociente do número de eventos desejados
pelo total de eventos possíveis (que constitui o espaço amostral).
Probabilidade = número de eventos desejados / número de eventos possíveis
Ocorrência de 1 evento
Assim, a probabilidade de ocorrência de um evento é representada como um número real no intervalo que
contém os limites 0 e 1, pois:
- para eventos em que a ocorrência é garantida, dizemos que sua probabilidade é igual a 1 (um), ou seja,
há certeza de ocorrência do acontecimento e,
- para eventos que nunca ocorrerão a sua probabilidade é avaliada como 0 (zero), pois há impossibilidade
da ocorrência
impossibilidade da ocorrência
P=0
possibilidade de ocorrência
pode acontecer
certeza de ocorrência
P=1
Evidentemente, quanto mais próxima de 1 for a probabilidade de um evento, é mais provável que o evento
ocorra.
E ocorre o inverso quando se toma resultados com valor de probabilidade próximos a zero: eles tem
ocorrência mais improvável.
Entretanto, deve-se ressaltar que, quando se trata de um evento possível ele pode ocorrer com diferentes
probabilidades ( por exemplo: 12%, 53% 94%, etc) podendo aceitar valores desde muito próximos à
impossibilidade de ocorrência (por exemplo: 0.01%) até quase atingir a certeza de acontecimento (por
exemplo: 99%).
Já, se dois eventos forem ditos como igualmente prováveis, pode-se exprimir a probabilidade de cada
evento como "1 em 2", ou, "50%", ou ainda "1/2".
Exemplo 1
No lançamento de uma moeda não viciada, qual a probabilidade de cair coroa?
número de eventos desejados = 1 (só há uma face coroa)
número de eventos possíveis = 2 (há 2 faces na moeda).
Portanto, P = 1/2
Nesse caso os eventos são chamados de eqüiprováveis.
Caso idêntico a esse é o sexo de criança esperada após uma gravidez: P(menina) = 1/2 e P(menino) = 1/2.
Exemplo 2
No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de cair face 4?
número de eventos desejados = 1 (só há uma face 4)
número de eventos possíveis = 6 (há 6 faces no dado).
Portanto, P = 1/6
Exemplo 3
Supondo um casal, em que ambos são homozigotos dominantes para uma certa característica, qual a
probabilidade de terem uma criança também homozigota AA?
A resposta é P (AA) = 1 ou 100%. Ou seja, existe 100% de chance da criança ser AA.
Entretanto, e se a pergunta para o mesmo casal, fosse:
Qual a probabilidade da criança ser homozigota aa?
A ocorrência do evento (aa) tem probabilidade igual a zero, P (aa) = 0, pois não há genes a na família.
Ocorrência de 2 eventos
1. Probabilidade de ocorrência de um OU outro acontecimento
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um impede a ocorrência do outro e viceversa.
A probabilidade de ocorrerem eventos mutuamente exclusivos é dada pela soma das probabilidades
isoladas de ocorrência de cada um dos eventos.
Exemplos
a. Qual a probabilidade de cair face 3 ou face 6 em um único lançamento de dado?
P(3) = 1/6 P(6) = 1/6
P(3 ou 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
b. Qual a probabilidade de se retirar uma dama de um baralho previamente embaralhado?
P (dama copas) = 1/52, P (dama ouro) = 1/52, P (dama espadas) = 1/52 P, (dama paus) = 1/52
Portanto, P (dama) = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 = 1/13
2. Probabilidade de ocorrência de um E outro acontecimento
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não influencia a probabilidade do outro
ocorrer.
A probabilidade de ocorrerem eventos independentes é dada pela multiplicação das probabilidades isoladas
de ocorrência de cada um dos eventos.
Condição 1: Os acontecimentos são iguais.
Exemplo
Qual a probabilidade de caírem 2 faces 3 no lançamento de 2 dados?
P (3) = 1/6
Logo, P (3 e 3) = 1/6 X 1/6 = 1/36
Condição 2: Os acontecimentos são diferentes.
Neste caso há que se considerar 2 tipos de situação:
2.1. A ordem de ocorrência dos acontecimentos é importante.
Exemplo
Qual a probabilidade de, em 2 lançamentos, cair face 1 no primeiro e face 2 no segundo?
Quais são os eventos possíveis?
EVENTOS POSSÍVEIS = ESPAÇO AMOSTRAL = ( S )
Espaço amostral é o conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
{1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6}
Portanto: P (1) = 1/6 e P(2) = 1/6
P (1 no primeiro e 2 no segundo) = 1/6 x 1/6 = 1/36
2.2. A ordem de ocorrência dos acontecimentos não é importante
Notar que no espaço amostral do exercício anterior (S), há a parcela ( 2,1 ), ou seja, caiu o número 2 no
lançamento do primeiro dado e o 1 no outro. Isto não satisfazia a questão.
Mas, se a pergunta fosse: Qual a probabilidade de, em 2 lances, caírem faces 1 e 2?
P ( 1,2 ) = 1/36 P ( 2,1 ) = 1/36
Logo: P ( 1,2 ou 2,1) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18
3. Probabilidade condicional
Considerando o lançamento de um dado, qual a probabilidade de em 1 jogada resultar em um número ímpar
e menor que 3?
Menor que três: 1 e 2 e Ímpar = 1. Portanto, apenas o número 1 satisfaz ambas as condições. Assim, P =
1/6
Portanto, a probabilidade do resultado ser um número ímpar e menor que 3 é a interseção desses eventos:
Menor que três: (1, 2) = 2/6 e Ímpar = (1, 3, 5) = 3/6. Assim, P = 1/6
Exemplos:
a. De um baralho de 52 cartas (13 de ouro, 13 de espadas, 13 de copas e 13 de paus) qual é a
probabilidade de, ao ser retirada uma carta, ser uma dama de copas?
P = 1/52
b. De um baralho de 52 cartas (13 de ouro, 13 de espadas, 13 de copas e 13 de paus) qual é a
probabilidade de, ao ser retirada uma carta, ser uma dama, sabendo-se que a carta retirada é de copas.
Como há 4 tipos : P = 1/52 X 1/4
Como já se sabe que a carta é de copas, temos apenas 1 dama em um total de 13 cartas. A probabilidade é
então: P(Q, copas) = 1/13.
4. Ocorrência de eventos repetidos
Se trabalharmos com muitos eventos haverá um grande número de combinações possíveis (evidentemente,
se não considerarmos a ordem de sua ocorrência).
Exemplo: No lançamento de 4 moedas, qual a probabilidade de caírem 3 caras e 1 coroa?
ESPAÇO AMOSTRAL ( S ):
ca ca ca ca
ca ca ca co*
ca ca co ca*
ca co ca ca*
co ca ca ca*
ca ca co co
ca co ca co
ca co co ca
co ca co ca
ca co co ca
co co ca ca
co ca ca co
ca co co co
co ca co co
co co ca co
co co co co
Ou seja, há 16 combinações possíveis e, entre elas há 4 que satisfazem a pergunta.
Quando se monta o espaço amostral fica claro que a probabilidade de ocorrência do 3 caras e 1 coroa no
lançamento de 4 moedas é
P = 4/16 = !/4
Entretanto, a construção do espaço amostral pode ser muito trabalhosa.
Como calcularíamos essa probabilidade, com o uso de fórmulas? Há 2 modos:
1. Fórmula para Casos Complexos
- Número de combinações
Quantas combinações com 3 caras e 1 coroa são possíveis?
Este número pode ser calculado pela seguinte fórmula: C = n! / ( x!.y! ). Como y = (n-x). Portanto:
C = n! / [ x! . (n - x)! ]
em que:
n = número total de ocorrência dos eventos
! = fatorial
x = número de ocorrência de um dos eventos (nesse exemplo = cara )
Lembrar que, como só há 2 eventos, x e y: y = (n-x) .
Portanto, nesse exemplo: C = 4! / [3! x (4-3)!] = 4x3x2x1 / 3x2x1 x 1 = 24 / 6 = 4
Assim, há 4 combinações possíveis, que, como visto anteriormente, são:
ca ca ca co - ca ca co ca - ca co ca ca - co ca ca ca.
Levando-se em conta apenas o número de caras e de coroas os 16 tipos de resultados podem ser
agrupados em cinco classes, ou seja, com 0, 1, 2, 3 ou 4 resultados coroa, respectivamente com 4, 3, 2, 1
ou 0 resultados cara.
- Fórmula para casos complexos
Para o cálculo de uma certa probabilidade, pode-se usar a seguinte fórmula
P = C . px . (1-p) (n-x) em que:
C = número de combinações
p = Probabilidade de ocorrência do evento 1 (nesse exemplo = cara )
q = Probabilidade de ocorrência do evento 2 (nesse exemplo = coroa )
x = Número de vezes em que o evento 1 ocorre
n - x = Número de vezes em que o evento 2 ocorre
Voltando à questão: No lançamento de 4 moedas, qual a probabilidade de caírem 3 caras e 1 coroa?
P(cara) = P(coroa) = 1/2 e Número de combinações = C = 4
P = 4 x (1/2)3 x (1/2)1 = 4 x 1/ 8 x 1/2= 4/16 = 1/4.
Obteve-se, portanto, o mesmo valor visto no espaço amostral.
2. Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
Esses resultados também podem ser obtidos pelo desenvolvimento do ,
Para responder a mesma pergunta anterior (No lançamento de 4 moedas, qual a probabilidade de caírem 3
caras e 1 coroa?) o binômio será:
(p + q )4
A expansão desse binômio gera uma equação em que pode-se usar o Triângulo de Pascal para calcular os
coeficientes.
Eles serão 1 : 4 : 6 : 4 : 1. E a equação será:
(p + q)4 = 1 p4q0+ 4 p3q1 + 6 p2q2 + 4 p1q3 + 1 p0q4
1 p4 q0
4 coroas e 0 caras
4 p3q1
3 coroas e 1 cara
6 p2q2
2 coroas e 2 caras
4 p1q3
1 coroa e 3 caras
1 p0q4
0 coroas e 4 caras
Lembrando que p = ocorrência do evento "cara" e de q (ou 1-p), entre os resultados possíveis, a fração que
interessa é 4p3 q1 = 4 x 1/ 8 x 1/2= 4/16 = 1/4.
Ou seja, novamente foi obtido o mesmo valor visto no espaço amostral e quando se utilizou a fórmula para
casos complexos.
É importante notar que em Genética, o triângulo é bastante útil em casos de herança quantitativa,
determinada por vários pares de genes cumulativos. (Se desejar mais detalhes clicar aqui).
Exemplo 2:
Qual a probabilidade de um casal ter 5 filhos, sendo 3 homens e 2 mulheres?
Resolução 1: Usando a fórmula para casos complexos:
C = 5! / (3! x 2!) = 5x4x3x2x1 / 3x2x1 x 2x1 = 10
Portanto, há 10 modos de nascerem 3 homens e 2 mulheres em 5 gestações:
hhhmm-hhmmh-hhmhm-hmmhh-hmhmh
hmhhm-mmhhh-mhmhh-mhhhm-mhhmh
Assim, P(h) = P(m) = 1/2 e C = 10
Aplicando a fórmula P = C . px . (1-p) (n-x)
P(3h e 2m) = 10 x (1/2)3 x (1/2)2 = 10 x 1/ 8 x 1/4 = 10/32 = 5/16
Resolução 2: Utilizando o Binômio de Newton
Nesse caso a equação é (p + q )5
A expansão do binômio gera uma equação em que pode-se usar o Triângulo de Pascal para calcular os
coeficientes da equação.
Os coeficientes encontrados são: 1 : 5 : 10 : 10 : 5 : 1
Portanto, a expansão do binômio gerará:
(p + q)5 = 1 p5q0 + 5 p4q1 + 10 p3q2 + 10 p2q3 + 5 p1q4 + 1 p0q5
1 p5q0
5 homens e 0 mulheres
5 p4q1
4 homens e 1 mulher
10 p3q2
3 homens e 2 mulheres
10 p2q3
2 homens e 3 mulheres
5 p1q4
1 homem e 4 mulheres
1 p0q5
0 homens e 5 mulheres
Assim, a fração que interessa é 10p3 q2
Portanto, P(3h e 2m) = 10 x (1/2)3 x (1/2)2 = 10 x 1/ 8 x 1/4 = 10/32 = 5/16
Média, Variância e Desvio padrão, se a distribuição for binomial
Sendo conhecidos os parâmetros da (n e p):
Média da população = µ
µp = n.p usando o dado de um dos acontecimentos ou
µq = n.q usando o dado do outro acontecimento
Variância da população = σ2
Desvio padrão da população = σ
σ2 = n.p.(1 - p) = n.p.q
σ = raiz n.p.q
Exemplo
Qual é o número esperado de resultados cara e de resultados coroa em 1000 lances de moeda e seu
desvio padrão?
p (cara) = q (coroa) = 0,5
μp = n.p = 1000 x 0,5 = 500 caras são esperadas
μq = n.q = 1000 x 0,5 = 500 coroas são esperadas
σ = raiz (n.p.q) = raiz 1000 x 0,5 x 0,5 = 15,81
As últimas fórmulas caracterizam a distribuição binomial de probabilidades para a entidade estatística que
está sendo estudada.
É importante notar que para gerar uma distribuição binomial é necessário definir apenas 2 quantidades: n e
p, que caracterizam a distribuição de forma exata e são chamadas de parâmetros da distribuição.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson pode ser considerada como um caso particular da distribuição binomial, na qual a
probabilidade de ocorrência de um dado evento é muito pequena.
Diferentemente da distribuição binomial, que é definida por 2 parâmetros (média e desvio-padrão), a
distribuição de Poisson é definida por apenas um, a média, pois a variância é igual à média.
Tomando-se u = µ, de acordo com a distribuição de Poisson, as probabilidades de amostras ou
subamostras apresentarem 0, 1, 2, 3, 4 ou mais vezes o acontecimento cuja probabilidade de ocorrência é
muito pequena, são dadas por:
Número de ocorrências do evento:
Probabilidade de ocorrência:
0
/ 1eμ
1 / eμ
μ0
1
/ 1.eμ
μ / eμ
μ1
2
/ 2.eμ
2
μ / 2.eμ
μ2
3
2.3.eμ
3
μ / 2.3.eμ
μ3 /
4
/ 2.3.4.eμ
4
μ / 2.3.4.eμ
μ4
Nessas expressões:
. μ = é a esperança matemática, ou seja, a média esperada de ocorrência de algum acontecimento pouco
provável em um conjunto de sub-amostras
. o número irracional e tem valor igual a 2,71828182845904, sendo que seu logaritmo natural é,
aproximadamente, 0,434295...
Designando por n o número de subamostras analisadas, e simbolizando por u, os números esperados de
amostras em que o acontecimento pouco provável ocorre 0, 1, 2, 3, 4 ou mais vezes são:
Número de ocorrências do evento:
Números esperados de amostras
0
n.μ0 / eμ
n/eμ
1
n.μ1 / eμ
n.μ/eμ
2
n.μ2 / 2.eμ
n.μ2/2.eμ
3
n.μ3 / 2.3.eμ
n.μ3/2.3.eμ
4
n.μ4 / 2.3.4.eμ
n.μ4/2.3.4.eμ
Quando se quer calcular uma sucessão de valores esperados na distribuição de Poisson, por exemplo:
número de amostras com 0, 1, 2, etc, eventos, procede-se do seguinte modo:
1. Aceitar a média, (M), como o valor paramétrico μ da distribuição de Poisson,
2. Verifica-se qual é o número de amostras, o qual passa a ser aceito como n,
3. Aplica-se a fórmula para obtenção de amostras com zero eventos: n/eμ
(Note que, usando logaritmos: n/eμ = log n - (μ. log e), onde log e = 0,434295)
4. O antilog do número obtido será o número esperado de amostras com 0 eventos.
Continuando, aplica-se a fórmula para obtenção de amostras com um evento: n.μ / eμ, em que log e =
0,434295
Note que, usando logaritmos, n.u/eu = log u + log n - (u. log e)
Repare que a parte sublinhada corresponde à primeira fórmula, portanto pode-se tomar o valor ali obtido e
lhe acrescentar log u. Depois, toma-se o antilog do valor encontrado e tem-se o número esperado de
amostras com 1 evento.
Continuando, aplica-se a fórmula para obtenção de amostras com dois eventos: n.μ2 / 2.eu
Note que, usando logaritmos, n.μ2 /2.eμ = 2 log μ + log n - (μ. log e + log 2),
Repare que a parte sublinhada corresponde à segunda fórmula, portanto pode-se tomar o valor ali obtido e
lhe acrescentar log u (já que são 2) e diminuir o logaritmo do número de vezes que se deseja o evento
(nesse caso log 2) . Depois, toma-se o antilog do valor encontrado e tem-se o número esperado de
amostras com 2 eventos.
Continuando, aplica-se a fórmula para obtenção de amostras com três eventos: n.μ3/2.3.eμ
Note que, usando logaritmos, n.u3 / 2.3.eμ = 3 log μ + log n - (μ. log e) + log 2 + log 3)
Repare que a parte sublinhada corresponde à terceira fórmula, portanto pode-se tomar o valor ali obtido e
lhe acrescentar log u (já que são 3) e diminuir o logaritmo do número de vezes que se deseja o evento
(nesse caso log 3).
Depois, toma-se o antilog do valor encontrado e tem-se o número esperado de amostras com 3 eventos.
E continua-se com esse raciocínio até atingir o número de vezes desejado.
Logaritmo e antilogaritmo
Dados dois números reais positivos x > 0 e a > 1, chama-se de logaritmo de x na base a o expoente ao qual
se deve elevar a base a para se obter o número x.
Assim, a é chamado de base do logaritmo e x é o logaritmando ou antilogaritmo.
Ou seja, um antilogaritmo é a base elevada à potência do número dado.
Exemplo:
Log 78 = 1,8921,
Lembrar que a base 10 não precisa ser escrita. Seria: Log10 78 = 1,8921
Portanto, antilog 1,8921 = 78, pois 101,8921 = 78
O antilogaritmo consiste no inverso do cálculo do logaritmo de um número.
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
1. Ln (1) = 0
2. Ln (x.y) = Ln (x) + Ln (y)
3. Ln ( xk ) = k.Ln (x)
4. Ln (x/y) = Ln (x) - Ln (y)
Última alteração: 14 mar 2008
Este "site", destinado prioritariamente aos alunos de Fátima Conti, pretende auxiliar quem esteja
começando a se interessar por Bioestatística, computadores e programas, estando em permanente
construção. Sugestões e comentários são bem vindos. Agradeço antecipadamente.