FUNÇÃO LOGARITMO

FUNÇÃO
LOGARITMO
OPERAÇÃO INVERSA DA EXPONENCIAL
• A função logaritmo surge da necessidade de utilizarmos a
operação inversa da função exponencial.
• Exemplo da aula anterior:
P(x)  população em uma cultura de bactérias;
x  geração.
Crescimento da população
x
P
(
x
)

132

(1,2)
de 20% a cada geração :
• Pergunta-se agora como escrever x em função de P ou
seja,
 o valor de x para uma determinada população P.
 para qual geração a população terá um determina-
do valor P.
x( P)  ?
A FUNÇÃO LOGARITMO
 Definição: a função logaritmo de x na base 10
(ou lo-garitmo decimal)
y ( x)  log10 x
é a operação que resulta na potência de 10
necessá-ria para se obter x.
• Notação: é comum escrever log x no lugar de
log10 x O log x é a operação inversa de
10x !!!
• Exemplo: log 2  0,30103...log 2  0,30103...
porque
100,30103...  2
PROPRIEDADES DO LOGARITMO
• Logaritmo do produto
log(a  b)  log a  log b
Exemplo:
log10  log(2  5)  log 2  log5  0,30103  0,69897  1
a

log    log a  log b
b
• Logaritmo da divisão
Exemplo:
log 52  log 2  log5  0,30103  0,69897  0,39794
• Logaritmo da potência
Exemplo:
log(a p )  p  log a
log 25  log52  2  log5  2  0,69897  1,39794
ALGUMAS APLICAÇÕES do
LOGARITMO
• Alguns valores: log1  0
log10  1
• Exemplo 1: cálculo de alguns logaritmos
log1000  log(103 )  3  log10  3
1 )  log(101)  1  log10  1
log 0,1  log(10
• Exemplo 2: encontre x tal que3x  15
Aplicamos o logaritmo nos dois lados
log3x  log15
log15 1,1761

 2,465
x log3  log15  x 
log3 0,47712
GRÁFICO DO LOGARITMO
1.5 log10 x
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
x
1
2
3
4
5
6
Atenção! Não existe
logaritmo de número
negativo
IR
lim log x  
x0
lim log x  
x
D  xR  x  0
Exemplo: invertendo a equação da população
de bactérias (1)
• P(x)  população em uma cultura de bactérias;
x  geração.
x
P  132 1,2
Crescimento:
• Aplicamos o logaritmo nos dois lados:
log P  log(132 1,2 x )
log P  log132  log(1,2 x )
log P  log132  x log1,2
Logaritmo do
produto
Logaritmo da
potência
P )
log(132
log P  log132
P )
x

 12,629log(132
log1,2
0,079
Exemplo: invertendo a equação da população
de bactérias (2)
P )
x( P)  12,629log(132
• Para qual geração a população de bactérias dobra
do seu valor inicial?
264 )  3,8
x(264)  12,629log(132
x(P)
10
5
P
200 400 600 800 1000
-5
-10
• Para qual geração a população alcança um milhão de
bactérias?
)  11,1067
P  1000 x(1000)  12,629log(1000
132A operação inversa
• Resultado geral:
do
y ( x)  log x  x( y )  10 y
logaritmo decimal é a
exponencial de base
10