Teoria dos conjuntos:

b) 1 
2009
1.
Redução de Quadrante
Redução do Segundo ao primeiro quadrante.
Ângulos Suplementares
Ficha:03
3
3
c)  1 
3
3
d)  1 
3
3
e) n.d.a
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
Sen(180° - x) =
Cos(180° - x) =
Tg(180° - x) =
Exemplo:
Dados dois arcos a e b, valem para eles as seguintes
identidades:
Obs:
2.
Redução do Terceiro ao primeiro quadrante.
Ângulos que diferem de 180°( rad)
Sen(180° + x) =
Cos(180° + x) =
Tg(180° + x) =
Exemplo:
a)
b)
c)
d)
sen( a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen( a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
cos( a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
cos( a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
e)
tg ( a + b) =
f)
tg ( a - b)
tga  tgb
1 tga.tgb
tga  tgb
1 tga.tgb
0bs:
Obs:
Exercício
01.(Mack –SP) O valor de cos 15° . cos 75° é:
3.
Redução do Quarto ao primeiro quadrante.
Ângulos Simétricos
Sen(360° - x) =
Cos(360° - x) =
Tg(360° - x) =
Exemplo:
a)
1
2
b) 1
3
2
1
d)
4
c)
e) outro valor
Obs:
02. (FEI-SP) Se cos x =
Ângulos complementares
a) Sen(90°- x) = sen x
b) Cos(90°- x) = cos x
c) Tg (90°- x) = cotg x
d) cossec(90°- x) = secx
a)
EXERCÍCIO
01.( PUC – SP) O valor de sen 1.200° é igual a:
a) cos 60°
b) – sen 60°
c) cos 30°
d) – sen 30°
e) cos 45°
02.(Unicap) Para x = 1 410º, assinale a única alternativa
corresponde ao valor de y =
a) 1 
3
3
3
5
b) 
sec x  tg x
.
 sen x  cos x
c)

3
, então sen ( + x) é igual a:
5
2
3
5
4
5
d) 
4
5
e) n.d.a
03. ( UnG-SP) A expressão abaixo
sen( a + b) . sen b + cos ( a + b) . cos b é igual a:
a) 2 . sen a
b) sen a
c) cos a
d) sen b
e) n.r.a.
04.(UFJF-MG) Considere as expressões M = cos a + cos b e N
= sen a – sen b. Sendo a + b = 120 °, o valor de M2 + N2 é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 1
05.(FAAP-SP) Para a instalação de um caixa eletrônico
Bradesco Dia e Noite(BDN), dispõe-se de uma área triangular
de esquina com frentes de 6 metros e 8 metros. As ruas
formam um ângulo de 75°. A área do terreno( em metros
quadrados) é:

a) 6 2 1  3


b) 12 2 1  3

c) 6 3 1  2
d)
e)
24 2 
6
3


d)
e)
a)
d)
e)
2
06.(UFPB) Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a
uma distância de 6 m do poste onde a pipa engalhou. Maria
notou que a tangente do ângulo  formado entre a linha da
3
, como mostra a figura abaixo.
4
3  2  3
8
1 3  2
4
48
65
112
65
48
60
56
65
16
65
10.(USF-SP) A partir dos valores de sen 30°, cos 30°, sen 45°
e cos 45°, é possível determinar o de sen 75°, que é igual a:
a)
b)
c)
d)
A altura do poste é:
a) 4,5m
b) 6 m
c) 7,5 m
e)
d) 8 m
e) 9 m
07.(UFPB) Prosseguindo no estudo, Maria e João resolveram
corretamente o seguinte problema:
“Sabendo-se que 
      , cos(  ) = - ½ e 0   
, qual é o valor de  ?”. A resposta encontrada foi:
2
a)
3
5
b)
3

c)
3
d)
e)

4

6
08.(UFES) Se x= 105°, então sen x é:
a)
6 6 2
8
b)
6 3 7
4
12
4
e sen y  , 0  x , y 
13
5

, então sen(x – y) é igual a:
2
c)

7 3 5
8
09. (MACK-SP) Sendo sen x 
b)
3 1
pipa e a rua era
c)
32
4
3 1
2
2 6
2
2 6
4
2 6
4
11.(UNESA-RJ)A expressão
2

sen x  sen x 
3

4


  sen x 
3



 vale:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -1
12.(PUC-SP) Se tg( x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
13.(MACK-SP) Se y = cos 15° . cos 75°, então y2 vale:
a) 1
b) ¼
c) ½
d) ¾
e) 2
14. (FISS-RJ) Se a e b são do 1° quadrante, cos a 
cos b 
3
5
e
5
, o valor de cos(a +b) é:
13
a) – 4/9
b) – 64/65
c) – 33/65
d) 33/65
e) 64/65
15.(FEPAR-PR) O produto sen( a + b) por sen( a - b) é igual a:
a) sen2 b – sen2 a
b) sen2 a + sen2 b
c) cos2 b – cos2 b
d) cos2 b – cos2 a
e) sen2 b + sen2 a
ARCO DUPLO
a) Seno Duplo
4. (Fecap -SP) Sendo
quadrante, então tg 2 x vale:
a)
Observação:
a)Cotangente Dupla
b) Secante Dupla
c) Cossecante Dupla
Exercício
1. (FEBA) A expressão 2.senx. cos x corresponde a:
a) sen x
b) cos x
c) sen2 x
d) cos 2 x
e) tg2 x
2. ( UFMA) Se cos(2 ) =
a)
b)
c)
d)
e)

5
e 0 <  < , então sen é:
6
2
3
2
1
2
2
2
3
6
11
36
3. (PUC-MG) A expressão (senx  cos x)
a)
b)
c)
d)
1 sen 2 x
1 cos 2 x
1 2 sen x
1 2 sen x
1
2
e X pertence ao 1º
1
2
2
2
3
c)
2
d) 3
b)
e) n.r.a.
5. (PUC –SP)Se senx =
2
, x é um arco do primeiro quadrante,
3
então sen (2x) é igual a:
a)
1
3
b)
4
c)
5
9
b) Cosseno Duplo
c) Tangente Dupla
sen X 
5
9
d)
5
3
e)
n.r.a.
6.(UFAL) A expressão sen 2x + cos 2x + 2.sen2x é equivalente
a:
a) 2 sen x . (1 + sen x)
b) (1 + cos x)2
c) (sen x + cos x)2
d) 1 – 2 sen x . cos x
e) 1 + cos2x – sen2x
7.(Fuvest-SP) O valor de ( tg 10° + cotg 10°) sen 20° é:
a) ½
b) 1
c) 2
d) 5/2
e) 4
8.(FEI-SP) Se cotg(x) + tg(x) = 3, então sen(2x) é igual a:
1
3
3
b)
2
a)
c) 3
d)
2
3
e) nenhuma anterior é correta.
2
é idêntica a:
9.(Fatec-SP) na figura abaixo o ângulo  é reto, Se sen  =
0,6, então a medida do segmento AB é:
Obs:
EXERCÍCIO
x 3
1. (FUVEST –SP) Se cos 
, então cos x vale:
2 4
3
a)
8
3
b)
8
a) 30 cm
b) 25 cm
c) 48 cm
d) 40 cm
e) 45 cm
10.(UCMG) A expressão
14
4
c)
d)
1
8
34
4
e)
2 tgx
2
1  tg x
é idêntica a:
2. Dado cos a 

3
a
, com 0  a 
, o valor de cos é:
5
2
2
a) tg(2x)
b) cos(2x)
c) 2 sen x
d) sen 2x
e) cos x . sen x
a)
5
b)
2 5
5
c)
11.(PUCCAMP-SP) Sabendo-se que sen x – cos x = , qual é o
valor de y = 1 + sen (2x)?
a) y = 2 - 2
b) y = 2 – 2
c) y = 2
d) y = 2 - 1
e) y = 1 - 2
5
3
d) n.d.a
3.(UPE - adaptada) Na questão abaixo, assinale:
Na coluna ( I ) as proposições verdadeiras e na coluna ( II )
as proposições falsas.
0
0
sen (a- b) = sen a . cos b + sen b . cos a
1
1
cos (a + b) = cos a . cos b + sen a . sen b
2
2
a
1  cos a
cos

2
12.(UFCE) Se sen x + cos x =
1
, então o valor de sen(2x) é:
3
2
3
1
b) 
3
1
c)
3
2
d)
3
a) 
3
4
3
4
2
sen (a + b) + sen (a – b) = 2 . sen a . cos b
cos (a + b) + cos (a – b) = 2 . cos a . cos b
4. Na questão abaixo, assinale na coluna ( I ) as proposições
verdadeiras e na coluna ( II ) as proposições falsas:
0
1
0
1
sen 2x = 2 . sen x . cos x
2
2
3
3
cos 2 x  cos 2 x  sen 2 x
cos 2 x  2 cos 2 x  1
4
4
tg 2 x 
tgx
1  tg 2 x
1  cos x
 x
tg    
1  cos x
2
Observação:
Arco Triplo
a) Sen(3x)= 3. sen x – 4 sen3x
b) Cos(3x) = 4 cos3x – 3.cos x
5.(UCP-PR) Sabendo que cos 36° =
ARCO METADE( FÓRMULA DA DIVISÃO)
a) Seno Metade
a)
a)
Cosseno Metade
b)
Tangente Metade
1 5
4
5 1
b)
4
5 1
c)
2
1 5
d)
2
e)
1 5
, então cos 72° vale:
4