Lista 1 - MTM

Variedades Diferenciáveis: Lista 1
Prof.: Martin Weilandt
16 de março de 2016
1. Seja X um espaço topológico e seja M ⊂ X . Mostre:
(a) M é aberto se, e somente se, M não contém nenhum ponto da sua
fronteira ∂M .
(b) M é fechado se, e somente se, ∂M ⊂ M .
(c) Se M é aberto ou fechado, então o interior de ∂M é vazio.
2. Mostre que para um espaço topológico X as seguintes armações são equivalentes.
(a) X é Hausdor.
(b) A diagonal D := {(x, y) ∈ X × X; x = y} é fechada em X × X .
(c) Para cada x ∈ X o conjunto {x} é a interseção de todas as vizinhan
as
fechadas de x.
3. Seja X um espaço topológico e seja ∼ uma relação de equivalência em X .
Munimos X/ ∼ da topologia quociente. Seja π : X → X/ ∼ a projeção
canônica.
(a) Um conjunto U ⊂ X é chamado saturado (em relação a ∼) se U é
uma reunião de classes de equivalência, i.e. U = π −1 (π(U )). Mostre
que X/ ∼ é Hausdor se, e somente se, para todos x 6∼ y existem
vizinhanças abertas disjuntas saturadas U de x e V de y .
(b) Seja X := [0, 1]. Encontre uma relação de equivalência em X tal que
X/ ∼ não é Hausdor.
Para entregar até 24 de março. Para mais informações veja
http://mtm.ufsc.br/∼martin/vd/index.html.
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