Exercícios

Exercícios
Livro: ALENCAR FILHO, Edgar – Teoria Elementar dos Conjuntos.
Relações de Equivalência. Pg 168 – 170:
1, 3, 4, 5, 7, 8, 14 e 16.
Relações de Ordem. Pg 182 – 184:
1, 2, 4, 6, 8 e 9.
Elementos notáveis de um conjunto ordenado. Pg 197 – 199:
1, 3, 5, 6, 7, 8 e 9.
1) Define R em ℕ* × ℕ* por:
(m,n) R (p,q) ⇔ mq=np
a) Prove que R é uma relação de equivalência em ℕ* × ℕ*.
b) Dê três elementos para cada classe de equivalência: (1, 1), (1, 2) e (2,5).
c) Dê uma descrição do conjunto (m, n) para qualquer m,n ∊ ℕ.
2) Seja F a coleção de todos os conjuntos finitos.. Define R em F por:
X R Y se, e somente se existe um bijeção f: X → Y.
a) Prove que R é uma relação de equivalência em F.
b) Quais são as classes de equivalência dos conjuntos ∅, {0} e {1, 2, 3}?
c) Qual é a classe de equivalência de um conjunto qualquer {a1, a2, ... , an} com n
elementos?
d) Mostre que existe uma bijeção entre conjunto quociente F /R e o conjunto dos
números naturais ℕ.
3) Sejam a, b ∊ ℤ e m ∊ ℕ*. Dizemos que a é congruente a b módulo m se e
somente a diferença a-b é um múltiplo de m.
Notação: a ≡ b (mod m).
Simbolicamente: a ≡ b (mod m) ⇔ ∃ k ∊ℤ tal que a – b = km.
Prove que a relação de congruência R em ℤ definida por
x R y ⇔ x ≡ y (mod m)
é uma relação de equivalência em ℤ.
4) Sejam A e B conjuntos ordenados pela relação de ordem ≤ . Prove que a relação
R em A × B definida por:
(a, b) R (c, d) ⇔ a< c ou a=c e b ≤ d
é uma relação de ordem. Esta relação é conhecida como ordem Lexicográfica
(ordem do dicionário).
5) Seja ℕ × ℕ ordenado lexicograficamente. Inserir o símbolo correta, < ou > , entre
cada um dos seguintes pares de elementos de ℕ × ℕ.
a) (5, 78) ____ (7, 1).
b) (4, 6) ____ (4, 2).
c) (5, 5) ____ (4, 23).
d) (1, 3) ____ (1,2).