a solução dos circuitos com comutação - metaheuro

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METAHEURO EDUCACIONAL
José Roberto Marques – 2013 (direitos reservados)
A SOLUÇÃO DOS CIRCUITOS COM
COMUTAÇÃO UTILIZANDO A
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Introdução
Normalmente a análise de circuitos de corrente alternada (CA) é feita na
condição de regime, porem a condição de regime estacionário é um caso
particular dos circuitos elétricos onde se admite que não ocorrem alterações na
tensão de pico da onda de CA, em sua frequência e fase ou ainda nos modos
operacionais da carga que esta tensão aciona.
As condições expostas acima são uma impossibilidade teórica porque a
dinâmica da utilização da eletricidade está exatamente nas condições de
comutação possíveis de serem realizadas com a mesma.
A necessidade de realização de comutações gera a necessidade de
conhecimento dos fenômenos transitórios que acompanham essas comutações
e como esses fenômenos podem afetar as máquinas e equipamentos
acoplados a rede elétrica, ou ainda, como os transitórios provocados pelas
comutações das máquinas e equipamentos elétricos afetam o comportamento
da rede elétrica.
O regime estacionário
Nos estudos já realizados neste curso foi possível verificar, que a rede elétrica
e seus componentes, quando afetados por comutações, passam por um
fenômeno transitório de energização dos componentes e entram em regime
estacionário CA, onde ocorre uma acomodação do fluxo de energia entre os
elementos que compõem o circuito elétrico.
A condição de regime CA com frequência fixa (constante) permite o uso da
transformada de Fourier para sua análise e as entidades elétricas obtidas por
esse método podem ser investigadas e visualizadas com o uso de fasores, que
é um método largamente empregado.
Os conceitos de impedância e reatância e o plano de Argand (plano complexo)
tem origens nas considerações baseadas na transformada de Fourier para
componentes senoidais (cosenoidais) e na transformada de Fourier da
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derivada e da integral para a geração das reatâncias associadas a indutância e
a capacitância.
Assim para a indutância:
(1)
Onde a reatância indutiva é
E para a capacitância:
(2)
Onde a reatância capacitiva é
Os transitórios provocados pelas comutações nas redes elétricas
A análise das equações diferenciais que descrevem os circuitos elétricos no
domínio do pode ser realizado pode ser realizada diretamente, mas isso
necessita de um domínio avançado de solução de equações diferenciais, isso,
geralmente é muito difícil para um aluno de graduação. O mais comum é
buscarmos a solução no chamado domínio transformado ou domínio da
frequência complexa s, através da transformada de Laplace.
A transformada de laplace permite a algebrização das
equações diferenciais.
A prática tem demonstrado que a solução de regime estacionário deve ser
obtida pelo uso da transformada de Fourier e pela conceituação que ela
incorpora aos circuitos de CA, tais como reatância, impedância, componentes
associados em série e em paralelo, etc utilizando o estilo já utilizado em CC.
A utilização da transformada de Fourier permite a obtenção da
solução de regime estacionário na forma de reatâncias,
impedâncias, conexões em série e em paralelo em um estilo similar
ao que é utilizado em CC, lembrando que ao fazê-lo é necessário
incorporar o efeito da fase.
A solução completa pela transformada de laplace
Vamos analisar a comutação realizada em um circuito RL utilizando a
transformada de Laplace, mas buscando ao final a incorporação das condições
de regime imposta pela transformada de Fourier de modo a simplificar a
solução das situações de comutação dos circuitos de CA.
Exemplo 1
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Figura 1
No circuito da figura 1 temos um circuito RL acionado por uma fonte CA de
frequência angular fixa (
, onde f é a frequência da tensão do gerador
em ciclos por segundo ou Hertz). A segunda lei de Kirchhoff nos diz que,
para
:
(3)
Que envolvendo a corrente permite escrever:
(4)
Que passando para o domínio da frequência (Laplace) permite escrever:
(5)
Onde i(0) é a corrente no indutor no instante da comutação (t0).
Geralmente as formas de onda das tensões CA são expressadas nas formas
de onda senoidal e cosenoidal, cujas transformadas de Laplace são:
(6)
(7)
Aplicando a transformada de Laplace descrita em (6) na transformação da
tensão da fonte obtemos:
(8)
Substituindo em (5) e rearranjando os termos obtemos:
4
(9)
Ou
(10)
Na análise a seguir vamos levar em consideração apenas o primeiro termo, já
que o segundo tem transformada de Laplace inversa imediata (
).
Expandindo somente o primeiro termo de (10) em frações parciais obtemos:
(11)
(12)
Comparado termo a termo os elementos dos numeradores da expressão (12)
com relação a presença do termo s, obtemos:
(Não existe
no primeiro membro da equação (11))
(Não existe
no primeiro membro da equação (11))
(Não existe
no primeiro membro da equação (11))
(O único termo existente e independente de s)
Resolvendo esse sistema de equações obtemos:
(13)
(14)
(15)
5
(16)
Substituindo esses termos na expressão (11) colocando em evidência o termo
comum, obtemos:
(17)
Como
modificada para ficar:
, a expressão (17) pode ser
(18)
Que nos leva ao triângulo retângulo mostrado na figura 2.
Figura 2
Assim temos:
(19)
e
(20)
Substituindo na expressão de (18) temos.
(21)
Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos:
(22)
6
Para
Como
na forma:
a expressão (22) pode ser escrita
(23)
Considerando que no instante da comutação (t0) inicial a corrente no circuito é
necessariamente i(0) me que o termo relacionado a expressão (23) deve ser
zero, a correção mostrada na expressão abaixo deve ser realizada,
(24)
para
.
Notem que os termos da expressão (24) associados a função exponencial
praticamente desaparecem para
.
A solução de regime permanente pela transformada de fourier
Reescrevendo a expressão (4).
(25)
Aplicando a transformada de Fourier.
(26)
A aplicação direta da transformada de Fourier sobre a tensão da fonte introduz
um erro no que concerne a quantidade de energia concentrada no sinal
resultante, uma vez que metade da energia se concentra no lado positivo do
espectro e metade no lado negativo. Para solucionar esta situação é melhor
trabalhar com a função analítica referente a tensão da fonte uma vez que ela
concentra toda a energia do sinal no lado positivo do espectro.
A função analítica (adendo)
A função analítica envolve a aplicação da transformada de Hilbert à tensão da
fonte, da seguinte forma:
(27)
Onde
corresponde a transformada de Hilbert.
7
(28)
(29)
Portanto o sinal analítico da fonte é:
(30)
Daí o sinal analítico da tensão da fonte é:
(31)
A transformada de Fourier da tensão da fonte
Cuja transformada de Fourier é:
(32)
A notação indica que a tensão Vp é o valor atribuído a função impulso definida
na posição ω0. Isso é mostrado na figura 3.
Figura 3
É de uso comum na engenharia a utilização do módulo e da fase conforme
mostra a notação abaixo, senso que em muitos casos considera-se a fase com
um valor arbitrário qualquer, sendo importante preservar a função orinal no
momento da transformação inversa, ou seja se a função original for um seno, a
transformação inversa deve ser necessariamente um seno.
(33)
Voltando a solução do problema sugerido:
Aplicando a transformada de Fourier à expressão (26) obtemos:
(34)
Portanto:
8
(35)
Sendo
(36)
Cuja transformação inversa para o domínio do tempo é:
(37)
Que é exatamente o termo de regime permanente obtido pela aplicação da
transformada de Laplace, porém, a a obtenção deste termo está muito mais
próximo ao que se aprende normalmente nas aulas de eletricidade aplicada e
circuitos I.
Existe um modo mais fácil de realizar esta tarefa?
A obtenção da expressão da corrente de regime permanente é muito simples e
direta, se for realizado no modo clássico com o auxílio de fasores, que é um
legado da transformada de Fourier, os termos transitórios também podem ser
obtidos de forma intuitiva diretamente das condições operacionais iniciais do
circuito. Voltando ao exemplo 1, conhecendo o comportamento inicial do
indutor, podemos escrever somente pata o ciclo inicial:
(38)
De onde obtemos:
(39)
(40)
Vejamos como ocorre o comportamento da forma de onda em função do
tempo. A figura 4 mostra a corrente e a tensão do circuito da figura 1 com
. A tensão eficaz aplicada ao circuito é 220V e a tensão de pico de
aproximadamente 311,12V, porém a escala de tensão da figura é de 1/10. Os
parâmetros dos componentes do circuito são R=2Ω e L=50mH. Note como o
primeiro pico de corrente se aproxima de 28 A enquanto que a corrente de pico
de regime ocorre em torno de 16 A.
Note que
praticamente termina.
e que
quando o transitório
9
40
Fim do transitório
30
tensão (V/10) e corrente (A)
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
0.02
0.04
0.06
tempo (s)
0.08
0.1
0.12
Figura 4 – Transitório da corrente do circuito do exemplo 1 admitindo
Vp=311,12V, R=5Ω,L=50mH e a tensão de excitação
eo
instante de chaveamento t0=0. A tensão (V/10) é a senoide estável (verde).
Exemplo 2
Vamos considerar um circuito RC em série, mostrado na figura 5, aplicando as
mesmas condições de análise do exemplo 1, mas logo passando a análise pelo
método intuitivo.
Figura 5
10
A expressão da segunda lei de Kirchhoff para o circuito da figura 5 para
é:
Onde V(0) é a tensão inicial no capacitor. Aplicando a transformada de Laplace
a esta expressão obtemos:
(41)
Portanto:
(42)
(43)
Note que o segundo termo do segundo membro pode ser passado para o
domínio do tempo de forma direta, mas o primeiro envolve a transformação da
onda cosenoidal da fonte, cuja transformada de Laplace é
.
Vamos nos preocupar apenas com o primeiro termo do segundo membro.
(44)
(45)
(46)
Assim:
(47)
11
Comparando os coeficientes do polinômio em s do numerador:
(48)
(49)
(50)
Note que
uma vez que já foi definido que
(51)
Como (50) define que
então (51) toma a forma de (52).
(52)
Montando uma matriz com (49) e (52) obtemos (53).
(53)
Cujo determinante é
. Assim:
(54)
Resolvendo esta equação matricial com alguma manipulação do resultado
obtemos:
(55)
(56)
(57)
Substituindo em (45) temos (55).
(58)
Como
12
(59)
Podemos utilizar o triângulo retângulo mostrado na figura 6 para justificar as
expressões:
(60)
Utilizando o triangulo retângulo da figura 6 podemos interpretar:
(61)
(62)
Figura 6
Assim:
(63)
Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos:
(64)
Como
(65)
13
A expressão (43) mostra que a expressão (65 ) deve levar e conta a tensão
inicial no capacitor assim,
(66)
80
tensão (V/10) e corrente (A)
60
Fim do transitório
40
20
0
-20
-40
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
tempo (s)
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Figura 7 - Obtida da fórmula acima com
admitindo Vp=311,12V
(220Vrms), C=200uF, R=5Ω. t0=0 sendo a função de excitação
. (A senoide verde está multiplicada por 1/10)
Exercícios
1-Determinar a resposta da corrente do circuito abaixo em função do tempo
utilizando a transformada de Laplace e a transformada de Fourier em conjunto.
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2-Determinar a resposta da corrente do circuito abaixo em função do tempo
utilizando a transformada de Laplace e a transformada de Fourier em conjunto.
3-Determinar a resposta da corrente do circuito abaixo em função do tempo
utilizando a transformada de Laplace e a transformada de Fourier em conjunto.