Análise e Síntese de Sistemas Usando a Transformada de Laplace

Exper.
Análise e Síntese de Sistemas Usando a
Transformada de Laplace
4
Objetivos
•
•
•
Definir a Função de Transferência de um SLITC;
Obter a Função de Transferência de um circuito elétrico usando a Transformada
de Laplace;
Desenvolver programa no MatLab para definir os componentes de um filtro;
Fundamentação Teórica
Dado um SLTIC qualquer cuja resposta ao impulso é representada no domínio do tempo
por h(t), sabemos que se esse sistema for submetido a uma entrada x(t), ele gerará uma
saída y(t), conforme mostra a Figura 1.
x(t) y(t)
h( t )
Figura 1 – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo (SLITC).
A saída y(t) pode ser obtida pela convolução entre os sinais x(t) e h(t):
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)
(1)
Calculando a Transformada de Laplace da equação (1), teremos:
𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠). 𝑋(𝑠)
(2)
H(s) é a Função de Transferência do referido sistema, também conhecida por Função
de Rede do Sistema, ou ainda, por Função Sistema. Podemos obter H(s), que é a
Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva h(t), a partir da equação (2):
𝑌(𝑠)
𝐻(𝑠) = 𝑋(𝑠)
(3)
H(s) relaciona a saída e a entrada de um sistema no domínio da frequência complexa.
Com a Função de Transferência podemos avaliar a estabilidade de um SLITC, bem como
a resposta do sistema no domínio da frequência complexa.
Para que possamos estabelecer a Resposta em Frequência de um sistema é necessário
substituir a variável complexa s =σ+ jω pela variável complexa constituída apenas de
sua parte imaginária jω.
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Material Utilizado
Software MATLAB.
Procedimento Prático
1) Vamos calcular a Função de Transferência e a Resposta em Frequência do
circuito RC série, mostrado na Figura 2, para avaliar o seu comportamento
frequencial.
SLITC
R
x(t)
vs(t)
x(t)
C
i(t)
vc(t)
y(t)
y(t)
SLITC
Figura 2 – Circuito RC
A corrente e a tensão no circuito são relacionadas por:
𝑣𝑐(𝑡) = 𝑣𝑠(𝑡) − 𝑅. 𝑖(𝑡)
e
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣𝑐 (𝑡)
𝑑𝑡
Usando variáveis genéricas x(t) e y(t) para representar a entrada e a saída do sistema,
respectivamente (Figura 2), teremos:
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑅𝐶
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑦(𝑡)
1
1
+
𝑦(𝑡) =
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
Tomando a Transformada de Laplace em ambos lados da última equação, e admitindo
o capacitor descarregado inicialmente, vc(0) = 0, teremos:
1
1
𝑠𝑌(𝑠) +
𝑌(𝑠) =
𝑋(𝑠)
𝑅𝐶
𝑅𝐶
Logo, a Função de Transferência será dada por:
1⁄
𝑌(𝑠)
𝑅𝐶
𝐻(𝑠) =
=
1
𝑋(𝑠) 𝑠 + ⁄
𝑅𝐶
2
A Resposta em Frequência pode ser calculada substituindo-se a variável 𝑠 por 𝑗𝜔:
1⁄
𝑌(𝑗𝑤)
𝑅𝐶
𝐻(𝑗𝑤) =
=
𝑋(𝑗𝑤) 𝑗𝑤 + 1⁄
𝑅𝐶
2) Desenvolver um script matlab para traçar o gráfico da magnitude da Resposta
em Frequência H( jω) dB de um circuito RC série. Os valores dos componentes
do filtro são: R = 8 Ω (auto-falante) e C = 0,2 µF . Classifique o filtro quanto ao
tipo de sinais que passam ou são rejeitados pelo circuito.
Dica: |𝐻(𝑗𝑤)|𝑑𝑏 = 20 log(|𝐻(𝑗𝑤)|)
3) A frequência de corte de um filtro é a frequência para a qual a potência de saída
é a metade da potência de entrada, ou seja, -3 dB na magnitude da Resposta em
Frequência. A frequência de corte também é conhecida por frequência de meia
potência. Modifique o script do item anterior para calcular e mostrar as
frequências de corte do filtro sugerido.
1
3 / 20
H ( jω) dB = −3dB = 20 log10 H ( jω) → H ( jω) = 10 −
= 0,707 =
2
H ( jω) =
1
1 RC
=
2 1 RC + jω
1
1
=
2
2
1 + (ωRC )
1
1
=
2 1 + jωRC
1 + (ωRC ) = 2
2
ωc =
1
RC
Para os componentes do item anterior, teremos: ωc = 1/(8 . 0,2e-6) = 625000 rad/s
Logo:
fc = ωc / (2π) = 99471,84 Hz Programa:
% SL - Transf. de Laplace % Circuito RC como filtro passa-baixas;
R = 8; C = 0.2e-6; tau = 1/R/C; f
= 0: 1000 : 300000; w = 2*pi*f;
H = tau ./ (tau + j*w);
% resposta em freqüência
Hmod = abs(H);
% módulo da resp. em freq.
Hfase = angle(H);
% fase da resp. em freq. HdB =
20*log10(Hmod);
% módulo em dB da resp. em freq.
wc = tau; fc = wc / 2 / pi; % freq. de corte clf;
plot(f,HdB); title('Resposta em Freqüência'); grid;
hold on; plot(fc,-3,'*r'); text(fc,-3.5,'fc');
xlabel('freqüência (Hz)'); ylabel('Módulo (dB)');
figure; plot(f,Hfase); title('Resposta em
Freqüência'); grid; xlabel('freqüência (Hz)');
ylabel('Fase (rad)');
3
4) Repita a análise feita nos três itens anteriores para um circuito obtido a partir da
troca de posição dos componentes passivos da Figura 2, ou seja, o resistor ocupará
a posição do capacitor, e vice-versa.
5) Idem, para um circuito RLC série.
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