ADL 01 Transformada de Laplace

ADL 01
Transformada de Laplace
Um sistema representado por uma equação diferencial é difícil de modelar como diagrama de
blocos. Assim, vamos deixar agora o trabalho de base para transformada de Laplace. A Transformada de
Laplace é definida como:
(2.1)
em que .s = + j
é uma variável complexa. Assim, conhecendo-se f(t) e sabendo que a integral da
equação (2.1) existe, é possível obter uma função, F(s), chamada Transformada de Laplace de f(t).
Fig. 2.1 a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. representação em diagrama de blocos de uma
interconexão de subsistemas
Usando a Eq. (2.1), é possível deduzir uma tabela relacionando f(t) a F(S) para casos específicos.
Teoremas das transformadas de Laplace
Tabela 2.2
Exemplo 2
Transformada de Laplace inversa
Problema: Obter a transformada de Laplace inversa de Ft(s) = l/(s + 3)2.
Solução: Teorema do deslocamento em freqüência,
Transformada de Laplace de f(t) = tu{t).
Se a Transformada de Laplace inversa de F(s) = 1/s2 é . tu(t).,
Transformada de F(s + a) = 1/(s + a)2 é e-atu(t).
Então: f1(t) = e-3t. tu(t).
Expansão em Frações Parciais
Por exemplo, se:
(2.4)
Deve-se efetivar a divisão indicada até obter :
(2.5)
Tomando a Transformada de Laplace Inversa, utilizando a propriedade 1 da Tabela 2.1, juntamente
com o Teorema da derivação e o Teorema da linearidade da Tabela 2.2, obtém-se:
(2.6)
Caso 1: Raízes do denominador de F(s) reais e distintas
(2.8)
Para obter K2 multiplica-se primeiro a equação (2.8) por (S + 1), isolando K1. Assim:
(2.9)
Fazendo s tender a 1 elimina-se o último termo, resultando K1 = 2. De modo semelhante, obtém K2 =-2.
Portanto:
(2.10)
Em geral:
(2.11)
Assim, se quisermos obter Km, multiplicamos a equação (2.11) por (s + pm) e obtemos:
(2.12)
Se fizermos s tender a - p m:
(2.13)
Solução de equação diferencial com Transformada de Laplace
Problema: Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) se todas as condições iniciais forem zero.
(2.14)
Solução: Substituir o correspondente F(s) de cada um dos termos na equação (2.14) usando a propriedade 2 da
Tabela 2.l,os itens 7 e 8 da Tabela 2.2 e as condições iniciais de v(f) e dy(t)/dt, dadas por y(0-) = 0 e y(0~) =
0, respectivamente. Portanto, a Transformada de Laplace da equação (2.14) é:
Obtendo a solução para Y(s), resulta em:
Expansão em frações parciais:
em que:
pela Tabela 2.1:
Para Casa:
- Revisar o caso com raízes do denominador reais repetidas;
- Revisar o caso com raízes do denominador complexas.