n - Universidade São Judas Tadeu

PROBABILIDADES E APLICAÇÕES PRÁTICAS
Prof. Me. Fábio Muniz do Amaral
Possui Mestrado no Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo (2010), Pós graduação em Fundamento da Educação(2004), Pós
graduação em Estatística pela Universidade de São Paulo (2002), Graduação em
Pedagogia (1998), Graduação em Matemática (1987), atualmente é Professor de
Matemática e ESTINTCI do Curso de Ciências Contábeis e Administração da
Universidade São Judas Tadeu, Vice-Diretor da Fundação Instituto Técnico de
Barueri, atuou como professor da Faculdade FAC-FITO no curso de Engenharia,
Administração, Ciências Contábeis e Ciências Econômicas - nas Disciplinas:
Cálculo, Matemática e Estatística, Coordenador da área de Ciências Exatas da
Fundação Instituto Técnico de Barueri, Diretor da Fundação Instituto Tecnológico de
Osasco, palestrante na área de Educação, e formação profissional com ênfase em
Métodos, Metodologia de Ensino e Formação Técnica.
PROBABILIDADES – APLICAÇÕES PRÁTICAS
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Objetivos:
Mostrar a origem matemática do estudo de probabilidades, familiarizando o
leitor com os métodos básicos desta teoria.
Compreender a importância da teoria de probabilidades na tomada de
decisão, tanto em aplicações práticas como em empresas nos dias atuais.
Mostrar como se aplicam as várias situações de probabilidades.
1 – INTRODUÇÃO
2- DESCRIÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO
Formamos ideia de conjunto como uma coleção qualquer de objetos, que
são os seus elementos. As noções de conjunto e elemento são primitivas em
Matemática (não são definidas)
Exemplo: Conjunto A formado pelos números 1, 2, 3, 4 e 5.
Podemos representá-lo colocando os elementos entre chaves:
A= {1, 2, 3, 4, 5}
Podemos representar o conjunto A, conhecida como diagrama de Venn
.
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3. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Para indicar que um elemento a pertence a um conjunto A, escrevemos:
a ∈ A (leia: a pertence a A)
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4. CONJUNTOS IGUAIS
Dizemos que dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos.
Exemplo1: Vejamos agora os conjuntos:
E das letras da palavra amor: E = {a, m, o, r}.
F das letras da palavra amora: F = {a, m, o, r, a}. = {a, m, o, r}.
G das letras da palavra Roma: F = {r, o, m, a} = {a, m, o, r}.
{a, m, o, r} = {a, m, o, r, a} = {r, o, m, a}, tem exatamente os mesmos elementos.
Quando a não pertence a A, escrevemos: a ∉ A (leia: a não pertence a A)
5- CONJUNTOS, SUBCONJUNTOS – RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Consideremos o conjunto A das vogais da palavra teoria: A = {e, o, i, a}, e o conjunto B de todas as
letras da palavra teoria:{t, e, o, r, i, a}. É evidente que todo elemento do conjunto A também é
elemento do conjunto B. Quando isso ocorre, dizemos que A é subconjunto de B, ou que A é
parte de B, e indicamos:
•
A⊄BeA⊂B
A ⊄ B, B⊄ A, C ⊄ A, C ⊄ B, A ⊂ C, e B ⊂ C
EXERCÍCIOS
2-) Seja A o conjunto de todos os cariocas e B o conjunto de todas as pessoas inteligentes.
Admitindo que seja verdadeira a frase “ todo carioca é inteligente”, como se representam num
diagrama os conjuntos A e B?
3-) Considerando os conjuntos A e B do exercício 12, e supondo que “existe carioca que não é
inteligente”, podemos ter os seguintes casos:
I
II
III
•
I II III
Ii
Associe cada caso a uma das seguintes sentenças:
a-)Nenhum carioca é inteligente.( II )
b) Existe carioca inteligente, carioca não inteligente e inteligente que não carioca. ( I )
c) Existe carioca não inteligente, mas todo inteligente é carioca. ( II )
6- INTERSECÇÃO E UNIÃO – OS CONECTIVOS E e OU
Utilizando dois conjuntos dados, A e B, podemos construir outros conjuntos. Por exemplo, se
estamos interessados nos elementos que pertencem simultaneamente a ambos os conjuntos A e
B, que indicamos por A ∩ B (leia: A inter B). Definimos:
• A ∩ B = {x| x ∈ A e x ∈ B}
• Exemplo
• 4) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e A ∩ B = {3, 5, 7, 11}
•
EXEMPLO
5-) A = {a, b, c, d, e}; B = {a, e, i, o, u}; A ∪ B = {a, b, c, d, e, i, o, u}
•
Para formar o conjunto A ∪ B, reunimos num só conjunto todos os elementos de A com
todos os de B
O conectivo ou pode ser representado pelo símbolo v (leia: ou).
•
A ∩ B = {a, e}
•
6-) Numa classe de 36 alunos, temos: 19 jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13 jogam basquete, 12
jogam futebol e vôlei, 8 jogam vôlei e basquete, 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os três
esportes. Determine a probabilidade de:
•
a) um aluno da classe não praticar nenhum esses esportes?
b) um aluno praticar exatamente um desses esportes?
c) um aluno praticar exatamente dois desses esportes?
Praticam os três esportes
Praticam futebol e basquete praticam futebol e vôlei.
P=
Praticam vôlei e basquete
Praticam basquete
Praticam futebol
Não praticam nenhum
dos três esportes
Praticam vôlei
a)
um aluno da classe não praticar
nenhum esses esportes?
3
1
=
36 12
b) um aluno praticar exatamente
um desses esportes?
P=
13
36
c) um aluno praticar exatamente dois desses
esportes?
p=
16 8 4
=
=
36 18 9
7 - ANÁLISE COMBINÁTORIA
POSSIBILIDADES OU PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTÁGEM
7-) Suponha-se uma pessoa que possua 2 calças e 3 camisas. Pergunta-se: de quantas
maneiras diferentes essa pessoa pode vestir-se com esses elementos?
Resolução:
Seja n o número de calças e m o número de camisas, então n X m=2 X 3 = 6.
Este princípio é conhecido como Princípio Fundamental da Contagem e o diagrama da
resolução é chamado de árvore de decisão.
Uma outra forma de resolver seria por meio do produto das possibilidades como se
segue:
____ ____
2 x 3 = 6 ⇒ número de possibilidades
8 - ARRANJOS
Considerando-se um conjunto de n elementos distintos, define-se como “arranjo de n
elementos
tomados k a k qualquer sequência ordenada de K elementos distintos formados a partir de
n elementos considerados.”
O número possível de arranjos é calculado por meio da fórmula:
An , k =
n!
( n − k )!
Exemplo: 8-) Dado um conjunto X = [0, 1, 2, 3] calcule o número de arranjos possíveis de 2
elementos.
Neste caso temos que o conjunto tem 4 elementos e desejamos formar subgrupos
com 2 elementos, ou seja, toma-los 2 a 2.
Então n = 4 e k = 2.
An,k =
n!
4!
4×3×2×1 24
=
= =12 arranjos ou
(n − k)! (4 − 2)!
2×1
2
=
___ ___
4 . 3 = 12
Total 12 arranjos de 2 elementos cada.
9 - PERMUTAÇÕES
Define-se permutação de n elementos ao arranjo dos n elementos tomados n a n, e escreve:
Pn = An.n =
n!
n!
=
= n!
(n − n) (0)!
Lembrar que (zero fatorial) 0!=1 e 1! =0, por definição
Exemplo: 10-) Dado um conjunto com 3 elementos, calcular o número de Permutações possíveis.
Então n = 3.
Pn = A n , n =
n!
3!
3!
=
=
= 3× 2×1 = 6
( n − n )!
( 3 − 3 )!
0!
Ou ___ ___ ___
3 . 2 . 1 =6
De fato as permutações seguintes são as seguintes:
(0,1,2); (0,2,1);(1,0,2);(1,2,0);(2,0,1);(2,1,0) totalizando 6 permutações.
10 - COMBINAÇÕES
Considerando-se um conjunto de n elementos, define-se combinação de n elementos
tomados k a k, a qualquer subconjunto deste, formado por k elementos:
n
n!
C n,k =   =
 k  k!(n − k )!
Exemplo:11-) Seja o conjunto X = {0, 1, 2, 3, 4}, pede-se formar todas as combinações
possíveis de dois elementos.
C 5,2 =
n!
5!
5!
5 × 4 × 3! 5 × 4
20
=
=
=
=
=
= 10
k ! ( n − k )!
2 ! ( 5 − 2 )!
2 !× 3!
2 !× 3!
2×1
2
Para um mesmo experimento teremos sempre, mais permutações do que combinações.
11 - PROBABILIDADES
Significado
A definição mais comum: “se o resultado de um evento pode manifestar-se de n maneiras
equiprováveis das quais s delas são reconhecidas como sucesso, a probabilidade de
sucesso é dada, então, pelo quociente”:
P( s ) =
S
n
12 - TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE
12.1 – O MÉTODO CLÁSSICO (OBJETIVO)
O método clássico aplica-se a situações que têm resultados igualmente prováveis. Por
exemplo, os jogos de azar.
12.2 - PROBABILIDADE: O LIMITE DA FREQUENCIA RELATIVA
12.2.1 – FREQUÊNCIA RELATIVA
O método da frequência relativa resume-se como:
P(A)=
número de ocorrência de A
número total de observações
Exemplo: 12-) Os arquivos de uma concessionária revelam que, num período de 20
dias, a frequência de carros vendidos por dia foi:
Número de carros vendidos
Número de dias
02
4
03
8
04
5
07
3
Total
20
5 1
Temos, então P(2) = 4 = 1 , P(3)= 8 = 2 , P(4) =
= e P(3) = 3
20 4
20 5
20 5
20
12.3 - O MÉTODO SUBJETIVO
A probabilidade subjetiva é uma avaliação pessoal do grau de viabilidade de um
evento.
A probabilidade subjetiva é o resultado de um esforço para quantificar nossa
crença a respeito de algo. Advogados, médicos e administradores utilizam esse
processo com razoável êxito.
13.1 - EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Dever-se entender o experimento aleatório como sendo, um tipo de
experimento que pode fornecer resultados diferentes a cada vez que for
repetido.
13.2 - ESPAÇO AMOSTRAL
Define Costa Neto (1977:229) que “espaço amostral, é o conjunto de todos os
resultados possíveis de ocorrer um experimento sujeito às leis do acaso”.
Ex: 13-) Resultado do lançamento de um dado.
S = {1,2,3,4,5,6}, todos os resultados possíveis do evento.
13.3 - PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO
Dado um espaço amostral S, define-se como evento, qualquer subconjunto desse
espaço amostral S.
Se considerarmos a probabilidade de ocorrer o evento A como sedo P(A) podemos
escrever que:
P(A) + P(B) + P(C) + ...+ P(N) = P(S). Esta relação mostra que, sendo o total das
possibilidades do espaço amostral P(S) = 1.
13.4 - PROBABILIDADE DE NÃO OCORRÊNCIA OU EVENTO COMPLENTAR DE A
Sendo assim, podemos afirmar que se P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, sua
probabilidade de não ocorrer será dada por: 1 – P(A).
13.5 - EXPERIMENO EM ETAPAS MÚLTIPLAS
A árvore de decisão pode ser entendida como uma ferramenta de análise que subdivide um
evento em estudo em duas ou mais etapas múltiplas (saídas binárias).
Ex: 15-) O lançamento de uma moeda por duas vezes consecutivas (duas etapas)
Tipos de Eventos: Evento certo; Evento nulo ; Evento intersecção; Evento União
Evento mutuamente exclusivo
Exemplo:
18-) Ao jogarmos um dado, qual a probabilidade de sair a face 1 e a face 5 ao mesmo
tempo?
Desta forma, a lei da adição, ou seja, a chance de obter-se uma face 1 ou uma 5 em
duas jogadas será a adição das duas probabilidades:
P ( A ∪ B ) = P (1) + P (5) =
1 1 2 1
+ = =
6 6 6 3
13.12 - EVENTOS NÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Pergunte-se: qual a probabilidade de chover ou fazer frio num certo dia de julho, se a
probabilidade A é de 75% e a de B fazer frio é 40%, e a de chover e fazer firo é de 25%.
Então teremos:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
P(A ou B) = 0,75 + 0,40 – 0,25 = 0,90 ou 90%
13.13 - EVENTOS EQUIPROVÁVEIS
Exemplo: 19-) Um lançamento de um dado onde cada uma das 6 faces tem probabilidade
de ocorrer 1/6, assim:
1 1 1 1 1 1 6
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = + + + + + = =1.
6 6 6 6 6 6 6
13.14 - EVENTOS COMPOSTOS
Suponha que um processo de análise de crédito analise empresas em boas condições
financeiras e em más condições financeiras. E que a concessão deste crédito seja decidida
através do índice LG (Liquidez Geral) cujo valor, se maior que 1 o crédito é atribuído.
Das empresas em boas condições financeiras, 90% delas tem LG > 1 e 10% tem LG < 1; das
empresas em más condições financeiras 15% tem LG > 1 e 85% tem LG < 1. Qual a probabilidade
de conceder crédito a uma empresa em más condições financeiras.
A probabilidade de se atribuir crédito a uma empresa nessas condições é de 7,5%.
13.15 - EVENTOS INDEPENDENTES
14 - LEI DA MULTIPLICAÇÃO (INDEPENDÊNCIA ESTÁTICA)
21-) Um comerciante sabe que 85% de seus clientes compram com cartões de crédito. Qual a
probabilidade de que os próximos dois clientes comprem com cartão de crédito?
P(A ∩ B) = P(A) X P(B) = 0,85 X 0,85 = 0,7225
Qual a probabilidade de que os próximos três clientes comprem com cartões de crédito?
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) X P(B) X P(C) = 0,85 X 0,85 X 0,85 = 0,6141
15 - PROBABILIDADE CONDICIONAL
 A  P( A ∩ B)
lê-se a probabilidade do evento A acontecer se o evento B já tiver ocorrido.
P  =
P( B)
B
Exemplo: 22-) Um estudante estima sua probabilidade de passar no exame de Matemática em
60% (evento A) e de passar em Física em 80% (evento B).
A probabilidade de passar em ambas as disciplinas não será P(A e B) = P(A) X P(B) = 0,6 x 0,8 =
0,6 x 0,8 = 0,48 pois devemos questionar ainda a probabilidade de passar em Física caso já
tenha passado Matemática. De posse desta nova informação, e supondo que esta
probabilidade seja 90%, pode-se calcular a probabilidade de passar em ambas as disciplinas
como: a probabilidade de passar em Física antes passando em Matemática (evento PA(B)
multiplicado pela propriedade de passar em Física (evento B), PA (B) x P(B) = 0,9 x 0,8 = 0,72
Ex. 23-) Depois do exame final de um curso de Ensino Médio, revelaram-se os seguintes
resultados reportados na tabela a seguir:
SEXO
APROVADOS
REPROVADOS
TOTAL
Homens
80
80/200
40
40/200
120
120/200
Mulheres
60
60/200
20
20/200
80
20/200
Total
140
140/200
60
60/200
200
200/200
a-)Se selecionarmos um candidato daqueles aprovados, qual a probabilidade de que
este seja uma mulher?
60
60
P( M ∩ A) = 200 =
= 0,4285
140 140
200
b-)Um aluno aprovado é selecionado ao acaso, qual a probabilidade de que seja homem?
80
80
P( H ∩ A) = 200 =
= 0,5715
140 140
200
16 - TEOREMA DA PROPRIEDADE TOTAL
A soma da probabilidade de ocorrência de um evento (A) com seu complementar (Â) será
sempre igual a 1.
Graficamente pode ser representado de duas formas:
24-) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas azuis. Uma segunda urna contém 4 bolas
brancas e 2 bolas azuis. Escolhe-se ao acaso uma das urnas e dela retira-se, também ao
acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que esta bola seja branca?
Temos:
P(B) = P(I) x P(B/I) + P(II) X (B/II)
P(B) =
 1 3   1 2  3 2 9 + 10 19
+ =
=
 × + ×  =
30
30
 2 5   2 3  10 6
Utilizando-se o diagrama de árvore :
Notar que a soma de todas as probabilidades (3/10 + 1/5 + 1/3 + 1/6) é igual a 1 ou 100%
A probabilidade de ocorrer uma bola branca, seja qual for a urna escolhida é a soma das
probabilidades de ocorrer uma bola branca no sorteio de cada urna multiplicado pela
probabilidade de se escolher cada uma das urnas, ou seja, 63,33%.
A probabilidade de ocorrer uma BOLA AZUL é definida como evento complementar do
evento anterior. P(A) = 1 – P(B)
P(A) = 1 – 0,633 = 0,3667 ou 36,67%.
17 - LEI DOS GRANDES NÚMEROS
Jacob Bernoulli (Jacob I) em 1689 enunciou o que desde então é conhecido como “a lei dos
grandes números” que frequentemente é chamada de “lei das médias”.
A fundamentação de Bernoulli é que se num evento, aumentarmos em muito o número de
tentativas, é praticamente certo que a frequência relativa dos sucessos tenderá a se igualar
a probabilidade deste sucesso.
18 - TEOREMA DE BAYES ( PROBABILIDADE A POSTERIOR)
Note-se ainda que a escolha das urnas I e II pode ainda ser condicionada à ocorrência de
outro evento, ou seja, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa jogando-se uma moeda
honesta.
Daí enuncia-se o Teorema de Bayes que relaciona uma das parcelas da probabilidade total à
própria probabilidade total, ou seja, utiliza-se o conceito de Laplace ou da frequência relativa
simples (quando % do total representa a probabilidade de ocorrer o evento estudado?)
Exercícios
25-) (ANPAD - Edição Fevereiro 2007) Uma urna contém bolinhas de gude de várias cores: oito
amarelas, doze vermelhas, cinco brancas, treze azuis e sete verdes. A quantidade mínima de
bolinhas de gude que precisamos retirar da urna para garantir que teremos três bolinhas de
uma mesma cor é:
26-) (ANPAD - Edição Fevereiro 2007) Realizou-se uma pesquisa com 57 estudantes, cuja
pergunta central era: “Se você tivesse uma camiseta, tênis ou boné, qual (is) peça (s) você
usaria para sair à noite?”. Analisando as respostas, constatou-se que:
• 15 pessoas usariam tênis; • 18 usariam boné; • 3 usariam camiseta e tênis; • 6 usariam
tênis e boné; • 4 usariam boné e camiseta; • 1 usaria as três peças; e • 15 pessoas não
usariam nenhuma dessas três pecas.
Quantos estudantes usariam somente camiseta, sem boné e sem tênis?
27-) (ANPAD - Fevereiro 2007). Em uma empresa trabalham 1.000 pessoas, todas com curso
superior. Nenhuma dessas pessoas tem mais do que dois cursos superiores, é:
• 200 são engenheiros, • 250 são contadores, • 230 são advogados, • 100 são apenas bacharéis
em computação, • 300 são administradores, • 50 são administradores e contadores, • 60 são
advogados e administradores, • 30 são contadores e advogados, e • 60 têm outras profissões.
A probabilidade de, numa escolha aleatória, a pessoa escolhida ser somente administrador é de
A) 0,3. B) 0,25. C) 0,24. D) 0,20 E) 0,19.
28-) (ANPAD - Junho 2007) Godofredo possui um cofre que tem 4 rodas na fechadura da porta,
sendo que cada uma delas tem 9 números que vão de 1 a 9. Ele esqueceu o segredo, mas sabe
que os quatros números são distintos, que os números da primeira e da última rodas são
ímpares, e que os da segunda e da terceira são pares e um é múltiplo do outro. Como não
gosta do número 4, ele também sabe que o 4 não faz parte do segredo do cofre. Assim, o
número máximo de tentativas que Godofredo deverá fazer para abrir seu cofre é:
A) 80. B) 100. C) 120. D) 150. E) 180.
29-) O total de anagramas da palavra ANPAD é exatamente igual à medida, em graus, do
ângulo de um triângulo compreendido entre dois lados congruentes que medem 5 cm cada.
Pode-se afirmar que :
A) o triângulo é equilátero e tem o perímetro de 15 cm.
B) o triângulo é equilátero e tem o perímetro de 16 cm.
C) o triângulo é equilátero e tem o perímetro de 20 cm.
D) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 30º cada.
E) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 70º cada.
30-) Em uma empresa, 30% dos funcionários cursaram apenas o Ensino Fundamental, 45%
cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio e o restante, além do Ensino Fundamental e
Médio, tem nível superior. Entre os que cursaram apenas o Ensino Fundamental 20%
trabalham no setor A; entre os que cursaram apenas o Ensino Médio além do Fundamental,
10% trabalham no mesmo setor A; e entre os que têm nível superior além do Ensino
Fundamental e Médio, 3% trabalham nesse setor A. Um funcionário desse setor pediu
demissão; a probabilidade aproximada de ele ter nível superior é de
0,15. B) 0,13. C) 0,10. D) 0,09. E) 0,07.
20 - Distribuições de Probabilidades
É o conjunto de valores possíveis de serem assumidos por uma variável dentro de um
processo de escolha probabilística.
Exemplo: 31-) Quer-se estudar a probabilidade de quebras em três máquinas:
Entre as três máquinas, podemos ter os seguintes números de quebras: 0, 1, 2 ou 3.
Chamemos as quebras de Q , ao contrário quando as máquinas não quebram de B.
Quando houver o
O evento (estado) correspondente para as três
número de quebras
máquinas será
0
(B,B,B)
1
(Q,B,B) ; (B,Q,B) ; (B,B,Q)
2
(Q,Q,B) ; (Q,B,Q) ; (B,Q,Q)
3
(Q,Q,Q)
Existem, portanto, 8 possibilidades de representação (associação da probabilidade aos
eventos).
Assim o evento 0 máquinas quebradas pode ocorrer 1 em 8 possibilidades = 1/8
O evento 1 máquina quebrada pode ocorrer de três maneiras diferentes em 8
possibilidades = 3/8
O evento 2 máquinas quebradas pode ocorrer de três maneiras diferentes em 8
possibilidades = 3/8
O evento 3 máquinas quebradas pode ocorrer de uma maneira em 8 possibilidades = 1/8
Assim temos que 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1 ou 100%
xi
fi
Prob. Simples
Prob. acumulada
0
1
1/8
1/8
1
3
3/8
4/8
2
3
3/8
7/8
3
1
1/8
8/8
32-) Jogando-se dois dados, cada dado tem 6 números e, portanto, o total de combinações
possíveis entre as 6 faces de cada dados será 6 x 6 = 36.
Desta forma, a soma possível dos dois dados será. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Soma
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Dado 1
1
1; 2
1; 2; 3
1;2;3; 4
1;2;3;4;5
1;2;3;4;5;6
2;3;4;5;6
3;4;5;6
4;5;6
5; 6
6
Dado 2
1
2; 1
3; 2; 1
4;3;2;1
5;4;3;2;1
6;5;4;3;2;1
6;5;4;3;2
6;5;4;3
6;5;4
6; 5
6
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Probabil
idade
1/36 2/36 3/36
Por exemplo, para se obter o resultado soma = 5, temos: (1 e 4) , (2 e 3), (3 e 2) e ( 4 e 1).
Portanto, o evento desejado de resultado 5 poderá acontecer de 4 formas diferentes.
P( E ) =
4
36
ou 11,11%.
21 - Distribuição de Bernoulli (Jacob I).
x = 1 ⇒ P
x = 0 ⇒ q = 1 − p

P( X ) = 
x ≠ 0 ⇒ 1
 x ≠ 1 ⇒ 0
A probabilidade será então:
P ( X = 1) = p x × q 1− x
33-) Uma empresa tem 30 funcionários contentes com o novo refeitório e 12 descontentes.
Qual a probabilidade de um trabalhador sorteado ao acaso estar descontente (sucesso)?
,
,
34-) Numa ala de um hospital, para a mesma patologia clínica, existem 28 pacientes que
estão em recuperação e 16 que não reagem ao tratamento. Qual a probabilidade de que um
paciente sorteado ao acaso não esteja reagindo ao tratamento?
22 - Distribuição Binomial
A fórmula da Binomial é:
n
n−k
P (k ) =   × p k (1 − p )
k 
Onde:
k é o número de sucessos desejados a serem obtidos no experimento.
n é o número de repetições do experimento (elementos)
p é a probabilidade do evento ocorrer (conhecida à priori)
(1-p) = q é a probabilidade do evento não ocorrer (ou probabilidade complementar)
n
n!
  = C n ,k =
k!(n − k )!
k 
Exemplos resolvidos:
35-) Suponha-se o espaço amostral de 8 possibilidades, por exemplo, atirar uma moeda ao ar 8
vezes. Pergunta-se qual a probabilidade de se obter quatro caras e quatro coroas?
36-) Um produtor de velas de ignição para motores a combustão vende no atacado, pacotes
com 20 velas cada. Os pacotes que apresentarem mais de 1 vela com defeito de fabricação são
passíveis de indenização. Sabe-se, entretanto que a probabilidade de uma vela de ignição não
apresentar defeito de fabricação é de 98%.
Qual probabilidade de um pacote não ser indenizado?
37-) Num processo de fabricação, 10% das peças são defeituosas. Sabendo-se que as
peças são embaladas em caixas com 5 unidades, determinar a probabilidade de que uma
caixa contenha exatamente 3 peças defeituosas.