raciocínio lógico mpu 2017

RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Braian Azael da Silva
Aula 00
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RACIOCÍNIO LÓGICO
MPU 2017
PROF. BRAIAN AZAEL DA SILVA
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Braian Azael da Silva
Aula 00
APRESENTAÇÃO
CURRÍCULO DO PROFESSOR
Braian Azael da Silva é professor de Matemática
que atua no Ensino Médio, Superior e cursos
preparatórios para Concursos Públicos. Formado
em Licenciatura em Matemática pela Pontifícia
Universidade Católica do Paraná, (PUC-PR) e
Mestre em Matemática pela Universidade Federal
do Paraná (UFPR). Atua a 8 anos como docente em
matemática em escolas da Rede Privada de
Curitiba e Região. Também atua no ensino superior
como professor de Cálculo Diferencial e Integral
para diversos cursos de engenharia. No campo do
concurso público acumula vasta experiência e
conhecimento
em
provas
de
Matemática,
Matemática Financeira e Raciocino Lógico onde
ministrou mais de 50 cursos preparatórios online
para diversos concursos de todo país.
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1. O CONCURSO DE TÉCNICO DO MPU
O concurso do Ministério Público da União é um dos mais aguardados
para o ano de 2017, uma excelente oportunidade para aqueles que procuram
se tornarem servidores federais.
.O SALÁRIO INICIAL ULTRAPASSA R$6.000,00 para o regime de 40 horas
semanais.
Atenção: se você quer começar logo a estudar as questões vá para o item 4 
O último concurso do MPU foi realizado em 2013 e contou com uma
oferta total de 263 vagas para nível médio nas áreas de técnico administrativa
especialidade tecnologia da informação e comunicação, técnico da área de
saúde. A banca organizadora foi o Cebraspe (Centro Brasileiro de Pesquisa em
Avaliação e Seleção e de Promoção de Eventos) o antigo CESPE/Unb da
Universidade de Brasília.
Não deixe esta oportunidade passar.
Sobre a banca Cebraspe – tem bastante coisa dela para praticarmos e
conhecermos o seu estilo, de maneira que o treino com questões passadas
será extremamente necessário. Nosso edital:
Conteúdo programático de Noções de Controle Externo
1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências,
deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1
Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas verdade. 3.3 Equivalências. 3.4
Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas lógicos. 4 Lógica de primeira ordem. 5
Princípios de contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7
Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
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Faremos muitas questões por cada item ou subitem, algumas com
alternativas e outras no estilo assertivas, tomando como base as provas
anteriores e provas de cargos similares que já foram aplicadas pela banca.
Deixaremos também algumas sugestões de possíveis perguntas (temos
acertado MUITAS questões de prova).
Assim, você estará com grande
DIFERENCIAL COMPETITIVO. SONHE. ACREDITE!!! Nosso edital está neste
link:
http://www.cespe.unb.br/concursos/MPU_13_2/arquivos/ED_1_2013_MPU_13_2_ABERTURA.PDF
Muitos alunos comentam que as questões de Raciocínio Lógico não têm
nada de lógica e ficam assustados toda vez que precisam viver a experiência
de experimentar esse tipo de questão. Pedimos a você nosso aluno e leitor a
oportunidade de resolver seu problema definitivamente, ao longo de nossas
aulas vamos tornar possível a resolução e compreensão de questões da
disciplina tomando como base as questões do Cebraspe, que além da banca
elaboradora do último concurso do MPU, trata-se de uma das bancas de maior
reconhecimento no país quando o assunto são provas de Raciocínio Lógico.
2. CRONOGRAMA DO CURSO TÉCNICO DO MPU
Aula
Tema
N° de
questões
Data
20
Disponível
20
10/04/2017
20
24/04/2017
Aula demonstrativa
Estruturas Lógicas, sentenças abertas e fechadas, Lógica
0
Sentencial
(ou
proposicional),
Proposições
Simples
e
Compostas. Questões diversas do Cespe.
1
Tabelas verdade, Equivalências, Leis de De Morgan.
Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e
2
conclusões, Lógica de primeira ordem, Diagramas lógicos.
3
Princípios de contagem e probabilidade.
20
08/05/2017
4
Operações com conjuntos.
20
22/05/2017
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Raciocínio
5
lógico
envolvendo
problemas
aritméticos,
geométricos e matriciais.
Simulado
8
Total de Questões que você saberá a mais que seu concorrente
20
05/06/2017
10
17/06/2016
130
Preparando-se para estudar

Tenha marca-texto amarela em mãos!

Desligue o celular e saia da internet.

Iluminação adequada (luz branca).

Ligue seu cronômetro!
3. AULA 00 – Introdução a Lógica Proposicional
A Lógica Proposicional é um tópico muito cobrado em diversos
concursos de todo país, em cargos de diversos níveis, nas esferas Municipal,
Estadual e Federal. Entretanto esse conjunto de leis e regras não é ensinado
nos bancos escolares de ensino médio mesmo considerado um tema que pode
ser abordado em nível médio. Surge então um problema a você candidato de
concurso, pois você precisa resolver e acertar questões de um assunto que
nunca foi abordado no âmbito escolar.
Em virtude desses fatos precisamos iniciar o trabalho do zero, definindo
as regras mínimas e esclarecendo conceitos que você certamente irá precisar
saber para ler e entender as questões. Não podemos nos esquecer que até ao
final você precisa ter a capacidade de resolver questões aplicando os conceitos
abordados ao longo da aula. As questões de raciocínio lógico da Cebraspe são
carregadas de muitos textos específicos da área, recheados com símbolos e
conectivos lógicos, um convite ao desespero aqueles que jamais tiveram
contato com a disciplina. Mas fique calmo! Ao longo do curso vamos superar
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um a um, os tópicos do edital transformando dúvidas e incertezas em
motivação e garantias de uma excelente prova de Raciocínio Lógico. Vamos
começar?
O primeiro tópico que você precisa saber é o que estuda a Lógica
Proposicional?
Até mesmo um especialista na área teria dificuldades em definir de forma
rigorosa o objeto de estudo Lógica Proposicional. Como a intenção não é
escrever um material teórico com muita densidade sobre o tema, podemos
trazer uma boa ideia sobre o que estuda a lógica. Podemos entender a ciência
da lógica como o estudo de princípios e métodos que permitem estabelecer
uma condição de validade ou invalidade de argumentos matemáticos ou não
matemáticos.
O que é um argumento?
Um argumento é uma parte daquilo que falamos ou escrevemos em que
podemos localizar algumas sentenças chamadas de premissas que nos
permite chegar a uma outra sentença chamada de conclusão.
Em linhas gerais um argumento pode receber duas classificações, Verdadeiro
ou Falso, e precisamos destacar que não é qualquer sentença que pode ser
chamada de premissa ou conclusão, por isso vamos mostrar abaixo algumas
ideias sobre sentenças.
O que é uma sentença aberta?
Segunda a enciclopédia virtual Wikipédia uma sentença aberta pode ser
definida como:
Na lógica matemática, uma fórmula aberta é uma fórmula que contém
variáveis livres. Fórmulas abertas não são verdadeiras nem falsas.
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Sobre a definição trazida acima precisamos esclarecer alguns fatos
importantes. Primeiro que a lógica matemática não trabalha especificamente
com operações e conceitos matemáticos, ou seja, existe lógica mesmo que não
apresente nenhum conceito matemático. Segundo esclarecimento é sobre a
ideia de variável livre, quando um texto apresentar uma variável livre não
significa que precisaremos resolver uma equação ou coisa do tipo, entenda que
neste caso não conseguimos determinar quem o agente dentro do contexto,
veja alguns exemplos abaixo de sentenças abertas:

Ele gostou do material.

Se deixarmos aquelas pessoas ajudar, estaremos com problemas.

X + Y é sempre par.
Observe duas coisas nas frases acima, primeiro que não podemos classificálas em verdadeiras ou falsas e além disso, não sabemos quem é ele, não
conseguimos saber quem são aquelas pessoas e não sabemos quem é X e Y
para dizer se a soma é par. Exatamente por isso dizemos que as três
sentenças acima são chamadas de sentenças abertas.
Já uma sentença fechada não apresenta variáveis, ou seja, podemos
dizer com precisão quem é o agente e consequentemente podemos classificála em verdadeira ou falsa, veja exemplos a seguir:

Manoel gostou do material.

Se deixarmos Darci e Eli ajudar, estaremos com problemas.

5 + 3 é sempre par.
As sentenças abertas não são objeto de estudo da lógica matemática, logo não
vamos estudá-las em detalhes ao longo de nossas aulas. Sabendo a diferença
entre sentenças abertas e fechadas podemos definir agora um dos principais
conceitos da lógica, as sentenças chamadas de proposição:
Chamamos de proposição uma sentença fechada declarativa que pode
assumir apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso.
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Toda proposição segue três princípios lógicos, o Princípio da Não
Contradição, que garante a uma proposição apenas um valor lógico, não
podendo ser simultaneamente verdadeira ou falsa. Outra exigência que toda
proposição cumpre é o Princípio do Terceiro Excluído que associa a toda
proposição o fato de ela ser Verdadeira ou Falsa, não existindo um terceiro
valor que ela possa assumir e ainda o Princípio da Identidade que garante
que toda proposição é igual a ela mesma.
Uma proposição nunca estará no sentido interrogativo, exclamativo e
nem imperativo, ou seja, perguntas e exclamações e ordens não são
consideradas proposições.
Perguntas, exclamações e ordens não são consideradas
proposições.
Note que o início do estudo da lógica é marcado por uma série de
conceitos e definições e tenha certeza que sem eles você não conseguiria
chegar muito longe. Talvez você ao longo da leitura esteja se perguntando:
Para

Mas será que isso caia na PROVA?

Será que eu preciso saber tudo isso?

Cadê a parte que fala de Matemática?
responder
esses
questionamentos
extremamente
pertinentes,
selecionamos uma bateria de questões do Cebraspe/Cespe que aplicam os
conceitos trazidos até aqui, gostaria de você percebesse que a questão de
lógica proposicional não tem necessariamente conteúdo matemático, veja a
seguir:
1. (CESPE) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos
que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos
ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente,
esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser
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verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica
apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que
uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao
princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para
uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue
o item a seguir.
Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma
proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.
Certo
Errado
Resposta: Certo. Perceba que a questão aplica exatamente os conceitos
trabalhados anteriormente, apenas preciso ressaltar que a lógica bivalente é
sinônimo da lógica proposicional, a ideia de bivalente entra como duas
possibilidades de classificação, verdadeiro ou falso.
2. (CESPE) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos
que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos
ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente,
esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser
verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica
apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que
uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao
princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para
uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue
o item a seguir.
A frase "Que dia maravilhoso!" Consiste em uma proposição objeto de estudo
da lógica bivalente.
Certo
Errado
Resposta: Errado. Seguindo a ideia da questão número 1, note a presença
mais uma vez do termo lógica bivalente, ou seja, duas classificações possíveis.
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O item está errado pois a frase "Que dia maravilhoso!" é uma exclamação, que
assim como perguntas e ordens não são consideradas proposições.
3. (CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode
ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim,
frases como “Como está o tempo hoje? ” e “Esta frase é falsa” não são
proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V
nem F. As proposições são representadas simbolicamente por letras
maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc.
Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e
uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso
contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma
sequência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre
que as proposições anteriores na sequência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item
subsequente.
Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira. ”

A expressão X + Y é positiva.

O valor de √4 + 3 = 7

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

O que é isto?
Certo Errado
Resposta: Errado. Apenas duas frases trazidas pelo enunciado são
consideradas proposições. Vamos explicar em detalhes:
A primeira frase “A frase dentro destas aspas é uma mentira. ” É uma frase
paradoxal, ou seja, se a considerarmos a frase verdadeira seu conteúdo é falso
e caso a considerarmos falsa seu conteúdo será verdadeiro. Assim como
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perguntas, exclamações e ordens um paradoxo não é considerado uma
proposição.
Paradoxo não é considerado uma proposição.
A segunda frase, A expressão X + Y é positiva, é uma sentença aberta uma
vez que temos variáveis livres o que não é considerada uma proposição.
A terceira frase, O valor de √4 + 3 = 7, apesar de apresentar valor lógico falso
é uma proposição, por não apresentar variável livre podemos classificá-la como
uma proposição.
A quarta frase, Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, é uma sentença
fechada e declarativa, ou seja, as exigências para termos uma proposição.
A quinta frase, O que é isto? É uma pergunta que assim como as exclamações
e às ordens não são consideradas proposições.
Portanto o item está errado por apresentar apenas duas proposições.
Além dos conceitos iniciais a lógica proposicional tem uma simbologia
específica que muitas vezes causa estranheza e até um certo desespero
aqueles que nunca tiveram contanto com a disciplina. Apesar das questões a
seguir apresentarem termos e símbolos muitos particulares as perguntas são
basicamente as mesmas.
Observação: Imediatamente após encerrarmos o ciclo de questões sobre
sentenças que são ou não consideradas proposições, vamos trabalhar em
detalhes com toda a simbologia e vocabulário próprio da lógica.
4. (CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são
usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por
exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela
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preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧, então obtém-se a forma P∧Q,
lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se
a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨, então
obtém-se a forma P∨Q, lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem
F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e
avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.
Um argumento é uma sequência de proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas
premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido,
se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento
válido. A partir desses conceitos, julgue o próximo item.
Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
Certo
Errado
Resposta: Certo. Vamos primeiro a resolução do item em seguida vamos
comentar o enunciado, vejamos as sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980, trata-se de uma sentença fechada declarativa,
portanto uma proposição que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
(II) Faça seu trabalho corretamente, trata-se de uma ordem, lembre-se que
ordens não são proposições.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade é mais uma sentença fechada e
declarativa, ou seja, mais uma proposição que pode ser classificada em
verdadeira ou falsa.
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Notemos algumas características comuns em enunciados da banca
Cebraspe, primeiro que na maioria das vezes são enunciados longos que
fazem referência a algum conceito ou definição da lógica proposicional. Quero
chamar a atenção que no enunciado da questão 4 foi definida a ideia de
proposição, argumento e foi destacado a possibilidade de trabalharmos com
mais de uma proposição, utilizando uma preposição que o enunciado chamou
de conexão. Esse tipo de enunciado é muito comum em provas do Cebraspe,
quero trazer mais um, no entanto, a pergunta é muito similar as anteriores,
veja:
5. (CESPE) Uma proposição é uma frase declarativa, que pode ser julgada
como verdadeira — V — ou falsa — F —, mas não como V e F
simultaneamente. É usual representar uma proposição pelas letras maiúsculas
do alfabeto: P, Q, R etc. A construção de proposições compostas é feito
usando-se os denominados símbolos lógicos e proposições previamente
construídas. Parênteses, chaves e colchetes são usados para evitar
ambiguidades. Uma proposição da forma P∧Q, lida como “P e Q”, tem valor
lógico V, se P e Q forem V e, nos demais casos, é F; uma proposição da forma
P∨Q, lida como “P ou Q”, tem valor lógico F, se P e Q forem F e, nos demais
casos, é V; uma proposição da forma P→Q, lida como “se P, então Q”, tem
valor lógico F, se P for V e Q for F e, nos demais casos, é V; uma proposição
da forma ¬P, lida como “não P”, é a negação de P e tem valor F quando P for
V, e valor V quando P for F. Uma proposição é simples quando não existir
nenhuma outra proposição que faz parte dela.
Acerca de proposições, considere as seguintes frases.
I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de
financiamento de projetos.
II O que é o CT-Amazônia?
III Preste atenção ao edital!
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IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser
pleiteados recursos do fundo setorial verde amarelo.
São proposições apenas as frases correspondentes aos itens
a) I e IV.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, II e IV.
Resposta: A. Apesar de incomum algumas provas do Cebraspe são do tipo
múltipla escolha, mas em sua maioria são do modelo certo ou errado, vamos a
análise da questão:
I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de
financiamento de projetos, é uma proposição por ser uma sentença fechada e
declarativa que permite classificação em verdadeiro ou falso.
II O que é o CT-Amazônia? Note que a sentença não é uma proposição pois
estamos diante de uma pergunta, lembre-se que perguntas não são
consideradas proposições.
III Preste atenção ao edital! Assim como no item anterior a sentença não é uma
proposição por se tratar de uma exclamação.
IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser
pleiteados recursos do fundo setorial verde amarelo. Novamente temos uma
sentença declarativa fechada, onde temos um agente determinado, sendo
assim, temos uma proposição.
A próxima questão tomamos a liberdade de fazer um recorte de uma prova do
Cespe para você já ir sentido como será a grande hora. Não se assuste com o
tamanho do enunciado e com muitas definições trazidas no texto, vamos
apresentar cada uma delas ao longo do curso. Vamos a questão!
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6. (CESPE)
Acerca do texto foram feitas algumas perguntas e uma delas já pode ser
respondida com os conhecimentos trazidos até aqui.
A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10
anos? ” não pode ser considerada uma proposição.
Certo Errado
Resposta: Certo. Repare que a frase não pode ser uma proposição pois tratase de uma pergunta, que assim como exclamações e ordens não são
consideradas proposições.
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Para fecharmos esse contato inicial com a lógica vamos a mais uma questão
com mais um recorte de uma prova do Cespe.
7. (CESPE)
Tendo como referência as informações acima, julgue o item que se segue.
Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.
A: 12 é menor que 6.
B: Para qual time você torce?
C: x + 3 > 10.
D: Existe vida após a morte.
Certo
Errado
Resposta: Certo. Mais uma vez precisamos analisar as sentenças uma a uma,
vamos lá!
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A: 12 é menor que 6, apesar de uma sentença falsa é considerada uma
proposição, por se tratar de uma frase declarativa e uma sentença fechada.
B: Para qual time você torce? Não é considerada uma proposição por se tratar
de uma interrogação que assim como exclamações e ordens não são
consideradas proposições.
C: x + 3 > 10, não é considerada uma proposição por se tratar de uma
sentença aberta, lembre-se que esse tipo de frase que deixa variáveis não é
considerado proposição.
D: Existe vida após a morte, é uma sentença fechada e declarativa que permite
a classificação em verdadeiro ou falso, portanto trata-se de uma proposição.
Gostaríamos de ressaltar a evolução dos enunciados ao longo da aula,
que ficaram recheados de conceitos que no mínimo causam estranheza a
quem está iniciando os trabalhos com a lógica matemática. Para chegarmos ao
domínio pleno dos enunciados precisamos conhecer outros conceitos e
definições acerca da lógica, como por exemplo a diferença entre proposição
simples e composta.
Chamamos de proposição simples uma sentença declarativa fechada
que contém uma única afirmação, como aquelas que classificamos como
proposições anteriormente, veja exemplos:

12 é menor que 6.

Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser
pleiteados recursos do fundo setorial verde amarelo.

O BB foi criado em 1980.

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
Apesar de extremamente funcionais apenas com proposições simples não
conseguimos fazer todo o estudo da lógica, pois na maioria das vezes
precisamos trabalhar com duas ou mais proposições.
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Chamamos de proposição composta quando tivermos uma sentença
fechada declarativa formada de pelo menos duas proposições simples. Assim
como na linguagem comum onde muitas vezes utilizamos palavras explícitas
para interligar frases com algum sentido, na Lógica Matemática faremos o
mesmo procedimento, mas com a ressalva de aqui chamarmos de conectivos
lógicos ou operadores lógicos. Sendo assim uma proposição composta será
identificada a partir da presença dos conectivos lógicos presentes na sentença.
Temos basicamente cinco operadores lógicos, sendo quatro deles
responsáveis por ligar proposições e um encarregado para fazer negação de
uma proposição, são eles a disjunção, conjunção, condicional, bicondicional e
negação, vamos apresentar cada um deles e suas aplicações.
 Conjunção
Uma conjunção é o resultado de proposições simples ligadas por meio da
palavra e que na lógica proposicional é identificada pelo símbolo ∧, veja abaixo
algumas proposições compostas formadas a partir de uma conjunção:
João chegou mais cedo e Maria chegou atrasada.
Marcos gosta de lógica e Alfredo não gosta de estatística.
Notemos que a partir das proposições simples obtemos proposições
compostas utilizando a conjunção, ou seja, aplicando o conectivo e.
 Disjunção
Uma disjunção é o resultado de proposições simples ligadas por da palavra ou
que na lógica proposicional é identificada pelo símbolo ∨, abaixo separamos
algumas proposições compostas formadas a partir de uma disjunção:
João chegou mais cedo ou Maria chegou atrasada.
Marcos gosta de lógica ou Alfredo não gosta de estatística.
Além dos conectivos e juntamente com ou, temos outras duas formas de ligar
proposições simples.
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 Condicional
O condicional é sem dúvida o operador lógico mais cobrado em concursos de
todo o país, inclusive nas provas do Cebraspe. Um condicional é um conetivo
que liga proposições simples por das palavras se então, e seu símbolo é →.
Todo condicional assim como os conectivos anteriores é utilizado para “colar”
duas proposições e sua aplicação se faz colocando a palavra se antes da
primeira proposição e o então entre as duas proposições, veja um exemplo
muito conhecido de uma afirmação dada por meio de um condicional:
Se a esmola é demais então o santo o desconfia.
As duas proposições usadas para formar um condicional são chamadas de
premissa (ou antecedente) e tese (ou consequente) respectivamente, ou seja:
Se a esmola é demais então o santo desconfia.
Premissa
Tese
Veja outro exemplo de um condicional:
Se João prometeu então ele irá cumprir.
Premissa
Tese
 Bicondicional
Um bicondicional é o operador lógico que identifica um duplo condicional,
reconhecemos seu uso quando utilizamos as palavras se, e somente se, e sua
representação é dada pelo símbolo ↔. Veja alguns exemplos do uso do
bicondicional:
Ganhará seu dinheiro, se e somente se, completar o seu trabalho.
Note que na proposição composta acima temos duas condições a ser
cumpridas, se ganhar o dinheiro então completou o trabalho, se completar o
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trabalho então ganhará o dinheiro. Exatamente por pensarmos na ida e na
volta da sentença chamamos o operador de bicondicional, veja outro exemplo:
O professor Braian fica feliz, se e somente se, você conseguir a vaga.
Mais uma vez temos um duplo condicional, se você conseguir a vaga então o
professor Braian fica feliz, e se o professor Braian ficar feliz então você
conseguiu a vaga.
Além dos quatros operadores utilizados para “colar” proposições simples temos
um quinto operador lógico utilizado para negarmos uma proposição simples.
 Negação
A negação não é um conectivo para ligar duas proposições, ele faz o papel de
negar a proposição que o precede. Para entendermos a negação basta
pensarmos da seguinte forma, se a proposição for verdadeira a sua negação
será falsa e se a proposição for falsa sua negação será verdadeira. Existem
dois símbolos igualmente válidos para representarmos a negação o (~) e (¬),
veja alguns exemplos:
P: O professor Braian está feliz.
¬P: O professor Braian não está feliz.
Q: Haverá diminuição da violência.
¬Q: Não haverá diminuição da violência.
Toda a simbologia apresentada até agora é largamente utilizada no
estudo da lógica, mas antes de atacarmos os exercícios temos de trazer a
notação dada as proposições. Uma proposição simples é representada por
meio de uma letra maiúscula (provas Cespe) de nosso alfabeto, mas temos
textos científicos que trabalham com letras minúsculas de nosso alfabeto, veja
alguns exemplos:
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P: 12 é menor que 6.
Q: Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser
pleiteados recursos do fundo setorial verde amarelo.
R: O BB foi criado em 1980.
S: Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
A partir da representação das proposições simples podemos formar com o
auxílio dos conectivos as proposições compostas, veja alguns exemplos:
P^R: 12 é menor que 6 e o BB foi criado em 1980.
R∨S: O BB foi criado em 1980 ou Pelé marcou dez gols para a seleção
brasileira.
S→R: Se Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira então o BB foi criado
em 1980.
Agora com toda a simbologia apresentada vamos aplicá-la em mais algumas
questões da banca Cespe.
8. (CESPE) Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática,
apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente
para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na
faculdade. Neste semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada
Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente
para estudar e não será aprovada nessa disciplina. A partir das informações
apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca das
estruturas lógicas.
Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo suficiente para
estudar” e “Mariana será aprovada nessa disciplina”, respectivamente, então a
proposição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será
aprovada nesta disciplina” é equivalente a ¬p ∧ ¬q.
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Certo
Errado
Resposta: Certo. Vamos analisar a sentença “Mariana não tem tempo
suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina”:
Notemos que Mariana não tempo de estudar é a negação da proposição p
proposta pelo enunciado, já a frase não será aprovada nesta disciplina é a
negação da proposição q presente no enunciado, sendo a assim a simbologia
está correta com o texto pois as proposições simples foram ligadas com o uso
da conjunção, ou seja, o uso do conectivo e.
9. (CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu
estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas
afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de
sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime
B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação
hipotética, julgue o item que se segue.
A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não
necessariamente
encarcerado
nem
poderá
pagar
fiança”
pode
será
ser
corretamente simbolizada na forma (P∧Q)→((~R)∨(~S)).
Certo
Errado
Resposta: Errado. Vamos fazer uma análise do texto presente na questão,
mas antes precisamos fazer uma ressalva sobre o uso do conectivo nem.
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Oficialmente temos a apenas os conectivos e, ou, se então e se, e somente se,
no entanto, é muito comum em provas do Cespe e de outras grandes bancas
do país a presença de questões que trabalham com o operador nem, que
tecnicamente é o emprego do e somado com não, por isso tome cuidado:
NEM = E + NÃO
Depois do alerta vamos ao enunciado:
“Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente encarcerado
nem poderá pagar fiança” pode ser corretamente simbolizada na forma
(P∧Q)→((~R)∨(~S)).
Notemos que o texto não é uma reprodução fiel das proposições propostas
inicialmente mas com um mínimo de interpretação chegamos lá:
(P∧Q)→((~R)∨(~S)). Se cometeu o crime A e o crime B então
P
^
Q
não será necessariamente encarcerado nem poderá pagar fiança.
~R
^
~S
Note que a questão está errada exatamente por dar o tratamento de ou quando
o correto é o uso do conectivo e.
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10. (CESPE) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações
com conjuntos. Dadas as proposições simples p: “Sou aposentado” e q: “Nunca
faltei ao trabalho”, a proposição composta “Se sou aposentado e nunca faltei
ao trabalho, então não sou aposentado” deverá ser escrita na forma (p ^ q) ⇒
~p, usando-se os conectivos lógicos.
Certo
Errado
Resposta: Certo. Vejamos a simbologia adotada pelo enunciado (p ^ q) ⇒ ~p,
sua leitura se dá forma “Se p e q então não p”, ou seja, se sou aposentado e
nunca faltei ao trabalho então não sou aposentado.
11. (CESPE) Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente.
Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a
probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é
não fumante” representa uma proposição composta.
Certo
Errado
Resposta: Certo. Muitas vezes a banca não traz as questões de forma que
podemos aplicar os conectivos de forma imediata, ou seja, as vezes
precisamos interpretar mesmo que de forma mínima o que foi dito, como neste
caso, notemos que se trata de um condicional, “Se Antônio fuma 10 cigarros
por dia então a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a
de Pedro, que é não fumante”.
12. (CESPE) A respeito de lógica proposicional, julgue o item subsequente. A
proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao
longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%”
pode ser corretamente escrita na forma (P∨Q)→R, em que P, Q e R sejam
proposições convenientemente escolhidas.
Certo
Errado
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Resposta: Certo. Mais uma vez precisamos fazer algumas adaptações, mas é
possível escrever a sentença como uma proposição composta, vejamos:
“Quando um indivíduo consome álcool ou
v
v
P
consome tabaco em excesso ao longo da vida então
→
Q
sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%”
R
Sendo assim a simbologia está adequada com a expressão, portanto o item
está correto. Agora que você já viu muitas questões do Cespe sobre o tema
chegou a hora de praticar, vamos lá sem medo vamos por a mão na massa!
4. EXERCÍCIOS
1. (FCC) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II.
𝑥+𝑦
5
é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS
a) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas.
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c) II e III são sentenças abertas.
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.
2. (FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica
lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
3. (CESPE) Com relação às proposições lógicas, julgue o próximo item.
A expressão “Como não se indignar, assistindo todos os dias a atos de
violência fortuitos estampados em todos os meios de comunicação do Brasil e
do mundo? ” é uma proposição lógica que pode ser representada por P→Q, em
que P e Q são proposições lógicas convenientemente escolhidas.
Certo
Errado
4. (VUNESP) A lógica clássica possui princípios fundamentais que servem de
base para a produção de raciocínios válidos. Esses princípios foram
inicialmente postulados por Aristóteles (384 a 322 a.C.) e até hoje dão suporte
a sistemas lógicos. Tais princípios são os
a) da inferência, da não contradição e do terceiro incluído.
b) da diversidade, da dedução e do terceiro incluído.
c) da identidade, da inferência e da não contradição.
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d) da identidade, da não contradição e do terceiro excluído.
e) da diversidade, da indução e da não contradição.
5. (VUNESP) A proposição pode ser caracterizada como sentença declarativa
que admite um, e somente um, valor de verdade (verdadeiro ou falso).
Considerando essa definição, assinale a alternativa correta.
a) A sentença exclamativa “Quero comprar um bom carro! ” é falsa.
b) A sentença declarativa “Choveu no dia do jogo de basquete? ” é falsa.
c) A sentença exclamativa “Parabéns pelo seu aniversário” é verdadeira.
d) A sentença interrogativa “Florianópolis é a capital do Pará?” é verdadeira.
e) A sentença declarativa “Brasil é um Estado soberano” é verdadeira.
6. (VUNESP) Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma
proposição lógica.
a) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida!
b) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime.
c) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo!
d) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística?
e) Instruções especiais para perito criminal.
7. (CESPE) Considerando que P seja a proposição “A Brasil Central é uma das
ruas mais movimentadas do centro da cidade e lá o preço dos aluguéis é alto,
mas se o interessado der três passos, alugará a pouca distância uma loja por
um valor baixo”, julgue o item subsecutivo, a respeito de lógica sentencial.
A proposição P pode ser expressa corretamente na forma Q∧R∧(S→T), em
que Q, R, S e T representem proposições convenientemente escolhidas.
Certo
Errado
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8. (CESPE) Julgue o item que se segue, relacionados à lógica proposicional.
A sentença “A crença em uma justiça divina, imparcial, incorruptível e infalível é
lenitivo para muitos que desconhecem os caminhos para a busca de seus
direitos, assegurados na Constituição” é uma proposição lógica simples.
Certo
Errado
9. (CESPE) A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem
com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples.
Certo
Errado
10. (CESPE) Considere que as proposições sejam representadas por letras
maiúsculas e que se utilizem os seguintes símbolos para os conectivos lógicos:
∧ – conjunção; ∨ – disjunção; ⇒ – condicional; ⇔ – bicondicional. Nesse
sentido, julgue o item seguinte.
A proposição “Se João implica com Maria e Maria implica com João, então
evidencia-se que a relação entre João e Maria é conflituosa” pode ser
corretamente representada por [(P⇒Q)∧(Q⇒P)]⇒R.
Certo
Errado
5. GABARITO E COMENTÁRIOS
1
2
3
4
5
A
D
E
D
E
6
7
8
9
10
B
C
C
C
E
1. Letra A
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. Note que trata-se de um
sentença aberta pois não conseguimos definir quem é o agente, ou seja, fica
uma variável.
II.
𝑥+𝑦
5
é um número inteiro. Da mesma forma do item anterior não sabemos o
valor de x e y, ou seja, mais uma vez temos uma variável o que caracteriza
uma sentença aberta.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
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2000. Aqui temos uma sentença fechada pois sabemos que João da Silva é o
agente, sendo assim podemos classificar a frase em verdadeira ou falsa, logo
trata-se de uma proposição.
2. Letra D
I. Que belo dia! Ressaltamos mais uma vez que exclamações não são
consideradas proposições logo a sentença I não é uma proposição.
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. Muitos candidatos podem ficar em
dúvida se essa sentença é ou não é uma proposição, mas vamos lá! A
sentença II não é considerada uma proposição pela ausência do verbo, toda
proposição precisa de uma ação ou estado, exatamente o que entendemos
como o uso do verbo.
III. O jogo terminou empatado? Assim como as exclamações as perguntas
tambem não são consideradas proposições logo a sentença II não é uma
proposição.
IV. Existe vida em outros planetas do universo. Note aqui que estamos com
uma sentença declarativa e fechada (com verbo inclusive) portanto além de
podermos classificá-la em verdadeira ou falsa podemos conferir a sentença IV
o título de proposição, portanto a única com característica diferente das outras.
V. Escreva uma poesia. A sentença V trata-se de uma ordem que assim como
perguntas e exclamações não são consideradas proposições.
3. Errado
A expressão “Como não se indignar, assistindo todos os dias a atos de
violência fortuitos estampados em todos os meios de comunicação do Brasil e
do mundo? ” é uma proposição lógica que pode ser representada por P→Q, em
que P e Q são proposições lógicas convenientemente escolhidas.
Temos duas coisas para pontuar sobre o item:


Primeiro que trata-se de uma pergunta, que já comentamos algumas
vezes que não é proposição.
O segundo comentário é sobre a simbologia que a o exercício sugere,
P→Q trata-se de um condicional, ou seja, se P então Q, lembre-se que
um condicional tem premissa e tese, note em que nenhum momento
conseguimos encontrar a implicação, não encontramos um antecedente
que nos permita tirar uma conclusão.
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4. Letra D.
Exatamente a definição de proposição trazida na página 8 (confere lá!)
Uma proposição segue três princípios o da identidade, da não contradição e do
terceiro excluído.
5. Letra E.
a) A sentença exclamativa “Quero comprar um bom carro! ” é falsa.
Exclamação não é proposição, logo não recebe classificação em verdadeira ou
falsa
b) A sentença declarativa “Choveu no dia do jogo de basquete? ” é falsa.
A sentença é interrogativa e perguntas não são proposições, logo não
podemos classificar.
c) A sentença exclamativa “Parabéns pelo seu aniversário” é verdadeira.
Exclamação não é proposição, logo não recebe classificação em verdadeira ou
falsa
d) A sentença interrogativa “Florianópolis é a capital do Pará?” é verdadeira.
Perguntas não são proposições, logo não podemos classificar.
e) A sentença declarativa “Brasil é um Estado soberano” é verdadeira.
Correto, trata-se de uma sentença declarativa com sujeito verbo e predicado
logo é uma proposição e podemos classificar em verdadeiro ou falso.
6. Letra B
a) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! Perguntas e exclamações
não são proposições
b) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime
Sentença fechada e declarativa, com sujeito, verbo e predicado logo trata-se de
uma proposição.
c) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo!
Exclamações não são proposições
d) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística?
Perguntas não são proposições.
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e) Instruções especiais para perito criminal. Não se esqueça ainda que ordens
não são consideradas proposições.
7. Correto.
Podemos fazer alguns ajustes na interpretação de modo a encaixar os
conectivos lógicos, veja abaixo: Q∧R∧(S→T)
“A Brasil Central é uma das ruas mais movimentadas do centro da cidade e
∧
Q
lá o preço dos aluguéis é alto, mas se o interessado der três passos
∧
R
S
,
Então →
alugará a pouca distância uma loja por um valor baixo”
R
Note que parece que falta o então para o condicional, mas a vírgula após a
proposição S pode ser trocada pelo então (Algo comum em provas Cespe).
Outro ponto importante da questão é o fato da presença do mas, gostaria de
alertá-lo que podemos trocar o mas pela conjunção, ou seja pelo conectivo e.
MAS é sinônimo do conectivo E.
8. Correto.
“A crença em uma justiça divina, imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo
para muitos que desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos,
assegurados na Constituição”
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Tome muito cuidado com esse tipo de questão, não é verdade que toda vez
que temos palavras como e, ou trata-se de proposições compostas, note que a
frase se refere a uma única informação, os diretos assegurados na
Constituição, mesmo sendo muitos motivos para tal desconhecimento.
9. Correto.
“No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que
consumiram bebida alcoólica.” Trata-se de uma sentença declarativa e fechada
que admite classificação em verdadeira ou falsa, ou seja, uma proposição
simples.
10. Errado
Se (João implica com Maria e Maria implica com João), então (evidencia-se
que a relação entre João e Maria é conflituosa.)
O item está errado pois a sentençã João implica com Maria é uma proposição
simples assim como Maria implica com João também é uma proposição
simples, e não um condicional como proposto pelo problema, a notação correta
seria: (P^Q) →R.
6. REVISÃO RÁPIDA
Na lógica matemática, uma fórmula aberta é uma fórmula que contém
variáveis livres. Fórmulas abertas não são verdadeiras nem falsas.
Chamamos de proposição uma sentença fechada declarativa que pode
assumir apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso.
Perguntas, exclamações e ordens não são consideradas proposições.
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Conectivos lógicos:
Conjunção: E Símbolo (∧)
Disjunção: OU Símbolo (∨)
Condicional: SE ENTÃO Símbolo (→)
Bicondicional: SE, E SOMENTE SE Símbolo (↔)
NEM = E + NÃO
MAS é sinônimo do conectivo E.
7. CONCLUSÃO
Opaaaa! Acabou...
Esperamos de você gostado e aproveitado a aula, lembre-se que é
nosso primeiro contato com o estudo da lógica onde partirmos da premissa que
você não conhecia nada sobre o tema e iniciou com a gente o estudo. Temos
muitas coisas para debater conceituar e aplicar ainda em nosso curso!
Nos vemos na próxima aula, que Deus abençoe sua vida sempre e
desejamos todo o sucesso do mundo a você!
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