Funções Trigonométricas

Funções Periódicas
• Uma função diz-se periódica se se repete ao
longo da variável independente com um
determinado período constante.
• Quando se observam fenômenos que se
repetem periodicamente , como temperatura
média diária ao longo de um mês ,
ordenação das folhas em uma planta etc.,
estes podem ser modelados pro funções
trigonométricas.
As funções
Trigonométricas
• Em matemática, as funções trigonométricas são
funções angulares, importantes no estudo dos
triângulos e na modelação de fenômenos
periódicos.
• Ângulo É a região de um plano concebida pela
abertura de duas semi-retas que possuem uma
origem em comum, dividindo este plano em
duas partes.
• A abertura do ângulo é uma propriedade
invariante deste e é medida, no SI, em radianos.
Radiano
• O ângulo definido no centro de um
círculo por um arco de circunferência
com o mesmo comprimento que o raio
do círculo é 1 radiano.
• O radiano é útil para distinguir entre
quantidades de diferentes naturezas,
mas com a mesma dimensão.
Radiano
• Por exemplo, velocidade angular pode
ser medida em radianos por segundo
(rad/s).
• Fixando a palavra radiano enfatiza-se o
fato de a velocidade angular ser igual a
2 vezes a frequência rotacional.
Radiano
• Ângulos medidos em radianos são
frequentemente apresentados sem
qualquer unidade explícita.
• Quando, porém, uma unidade é
apresentada, usualmente se usa o
símbolo rad .
Radiano
• Existem 2 (aproximadamente 6.28318531)
radianos num círculo completo, portanto:
2 rad = 360º
360º 180º
=
= 57, 29577951º
1rad =
2
• Em cálculos, ângulos devem ser representados
em radianos nas funções trigonométicas, dado
que simplifica e torna as coisas mais naturais.
Circulo trigonométrico
Circulo Trigonométrico Fundamental:
Raio=1
Ângulos em Radianos
/2
1
Eixo dos senos
1
-1
0 rad
Eixo dos cossenos
2
-1
3 / 2
Seno
• O seno é uma função trigonométrica. Dado um
triângulo retângulo com um de seus ângulos
internos igual a , define-se sen como sendo a
proporção entre o cateto oposto a e a
hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
sen =
cateto oposto
hipotenusa
Seno
coseno
• O co-seno (usam-se ainda as formas coseno e
cosseno) é uma função trigonométrica.Dado um
triângulo retângulo com um de seus ângulos
internos igual a , define-se cos() como sendo a
proporção entre o cateto adjacente a e a
hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
cos =
cateto adjacente
hipotenusa
Coseno
Seno x Coseno
Elementos de funções
Seno x Coseno
• Amplitude: é a metade da distância entre
os valores de máximo e mínimo.
• Período: é o tempo necessário para a
oscilação evoluir um ciclo completo.
Seno x coseno
• De acordo com os gráficos , tanto as
funções seno quanto coseno tem
amplitude 1, pois -> 1-(-1)/2 = 1
• O período de ambas as funções é 2 que
é o tempo necessário em radianos para a
função completar um ciclo
Seno x coseno
• Note ainda que as duas tem fases
deslocadas (uma em relação a outra)de
/2... ou seja:
)
2
sen x= - cos(x+ )
2
cos x = sen(x +
exercício
• A partir das duas funções a seguir ,
encontre a amplitude , o período e
esboce o gráfico:
a) 3 sen 2t
x
b) -5 cos
2
Resolução
a) como no maximo o valor que um seno pode assumir é 1
a amplitude vai ser dada pelo valor que está multiplicando o seno,
neste caso a amplitude da função é 3
O periodo é calculado se fazendo a substituição pelo periodo normal
de um seno que é 2 , assim:
2t=2
2
t=
=
2
Resolução
Resolução
b)usando o mesmo raciocinio a amplitude nesse caso é 5 ,
o sinal negativo só indica que a onda inicia com
valor negativo( começa em -5)
x
o periodo: = 2 ..x = 2 * 2 = 4
2
Resolução
Exercício 2
• Com base nos gráficos ache as funções
originais...
Exercício 2
• Com base nos gráficos ache as funções
originais...
Tangente
• Em trigonometria, é uma função
trigonométrica. Define-se tan(), como sendo
a proporção entre o cateto oposto a e o
cateto adjacente a em um triângulo
retângulo
Tangente
tg x=
Cateto oposto
senx
=
Cateto adjacente cos x
Os valores de tangentes mais usados na resolução de problemas
são as tangentes dos ângulos:
3
3
tg 45º= 1
tg 30º=
tg 60º =
3
Tangente
• O período de uma tangente sempre é
igual a , pois o gráfico sempre se repete
após unidades.
• Quanto a amplitude , no caso da
tangente não faz sentido se trabalhar
com a amplitude uma vez que ela se
torna infinitamente grande quando se
aproxima da assíntota vertical.
Tangente
Funções Trigonométrica
• A partir das 3 funções trigonométricas já
introduzidas , podemos definir três outras
funções trigonométricas : a secante, a co-secante
e a co-tangente, dadas respectivamente por:
1
cos x
1
cosec x =
senx
1
cotg x=
tg x
sec x =
Funções Inversas
• Em matemática, as funções trigonométricas inversas
são as inversas das funções trigonométricas.
•
Algumas vezes são chamadas de função de arco,
pois retornam o arco correspondente a certa função
trigonométrica
exemplo de funções
inversas
Sabendo-se que sen =
1
e que sen =0.4695 , encontre os
2
valores de e .
calculadora!!!
Identidades
trigonométrica
cateto oposto
sen(- )= = sen
hipotenusa
cateto adjacente
cos(- )=
= cos
hipotenusa
Identidades
trigonométrica
Através do teorema de pitagoras podemos chegar a:
sen(1 + 2 )= sen1 .cos 2 + cos1 .sen 2
cos(1 + 2 ) = cos1 . cos 2 sen1 . sen 2
sen(1 - 2 )= sen1 .cos 2 cos1 .sen 2
cos(1 2 ) = cos1 . cos 2 + sen1 . sen 2
Chamamos esse conjuntos de identidades de lei dos
senos.
exercício
• Dado que sen (/12)=0.258 e que cos(/5)=0.809 ,
calcule sem usar a calculadora os seguintes
valores:
a) sen(11/12)
b) cos(-/5)
c) sen(13/12)
Exercício
11
)
12
11
) = sen( - )
sen(
12
12
)=sen .cos - cos . sen
sen( 12
12
12
sen( )= 0 .cos
- 1. sen , logo ...
12
12
12
11
) = sen( ) = 0.258
sen(
12
12
a)sen(
Exercício
)
5
cos( ) = cos( ) = 0.809
5
5
13
) = sen( + )
c)sen(
12
12
)=sen .cos + cos . sen
sen( +
12
12
12
sen( +
)= 0 .cos + 1. sen , logo ...
12
12
12
13
) = sen( ) = 0.258
sen(
12
12
b)cos(
Exercício
• Defina a amplitude e o período de cada
uma das funções , em seguida esboce os
gráficos.
a)ƒ(t)=2 sen t
b) g(x)= -5 sen 2x
x
5
1
x
d) f (x) = cos
2
3
c) h(x) = 3 cos
e)h(x) = 3cos x
f )g(t) = 5 sen2t
g) f (x) = 1 + 3cos 2t
h)h(y) = 3cos 2y
Exercício-Resolução
• 2 exercícios resolvidos e comentados , o
resto fica para o aluno resolver.
b) g(x)= -5 sen 2x
Amplitude : o valor maximo que qualquer seno pode valer é
1 , se substituir-mos 1 na equação ficamos com
g(x)= -5 sen 2x=-5*1=-5 , como a amplitude deve ser obtida
como modulo retiramos o sinal ficando com...
[1]amplitude = 5
Exercício-Resolução
No caso do período da função analizamos somente o seno ...
sen 2x , se fosse um seno de x o periodo seria 2 , para calcular
o periodo de seno de 2x igualamos o 2x com x e depois substituimos
x por 2 , isso vale pra qualquer variavel ( x, y , t etc..)
logo:
2
2x=x ... 2x=2 ...x= ...x = 2
logo o periodo da função sen2x é igual a [2]Período = Exercício-Resolução
Com esses valores é só desenha um seno normal,
porém como a equação é g(x)= -5 sen 2x
devemos observar que o sinal negativo
no -5 faz com que o seno comun seja invertido .
Quanto ao periodo, no final do seno ao invés de
colocar 2 colocamos o novo perido calculado igual
a , confira o grafico, foram plotados duas
funçoes 5 sen2x (verde) e -5sex2x( vermelha)
para que o aluno entenda as implicações do sinal
negativo na função
Exercício-Resolução
g) f (x) = 1 + 3cos 2t
Amplitude : o valor maximo que qualquer cosseno pode valer é
1 , se substituir-mos 1 na equação ficamos com
g(x)= 1+3 cos 2t =1+3*1= 4
[1]amplitude = 4
Exercício-Resolução
No caso do período da função analizamos somente o cosseno ...
cos 2t , se fosse um cosseno de t o periodo seria 2 , para calcular
o periodo do cosseno de 2t igualamos o 2t com t e depois substituimos
t por 2 , isso vale pra qualquer variavel ( x, y , t etc..)
logo:
2
...t = 2
logo o periodo da função cos2t é igual a 2t=t ... 2t=2 ...t=
[2]Período = Exercício-Resolução
Grafico:
Para fazer o grafico temos que analisar a
equação inteira g(t)=1+3cos2t
primeiramente desenhamos o grafico de
3.cos 2t , e depois fazemos os ajustes
o periodo deve valer e a amplitude deve valer
inicialmente 3, o grafico ficaria da seguinte
maneira.
Exercício-Resolução
Grafico:
Como o grafico da função é g(t)=1+3cos2t
o que vai acontecer com o grafico inicial
é deslocar o grafico inteiro uma unidade pra
cima por que para cada valor da curva 3cos2t
uma unidade será somada .. o grafico final
está em vermelho e o original está em azul,
tudo para destacar o que acontece quando
se soma um valor a uma função trigonométrica
Referencias
[1]R. S. Ferreira, Matemática Aplicada às Ciências Agrárias Análise de Dados e Modelos, 1º ed. Viçosa: Editora UFV, 1999.
[2] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo:
Editora Saraiva, 2005.
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