Trigonometria

Trigonometria
1
História
As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que
envolvem a cotangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na
tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.
O desenvolvimento da trigonometria está bastante ligado à astronomia.
Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas aos gregos. Foi essa astronomia primitiva que
deu origem à trigonometria esférica.
Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis trigonométricas. Em "Os elementos"é possível encontrar as leis do cosseno para
ângulos obtusos e agudos, porém enunciadas em linguagem geométrica.
Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria"pois fez um tratado em doze livros que se ocupa da construção do
que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica: uma tábua de cordas.
Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas que fornece o seno dos
ângulos com incrementos de 15". Evidentemente Hiparco fez estes cálculos
para usá-los em sua astronomia.
Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em 360o
na sua tábua de cordas.
A mais influente e significativa obra trigonométrica da antiguidade foi a
"Syntaxis matematica", obra escrita por Ptolomeu. Este tratado é famoso
por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi associado
a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram
Almagesto, por designação da língua, e a partir de então a obra é conhecida
por esse nome.
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Aplicações
Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas.
Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar
1
a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre
divisas, em sistemas de navegação por satélite e em GPS. As funções seno e
cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, que descrevem
as ondas sonoras e luminosas.
Campos que fazem uso da trigonometria incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, na qual
a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em
aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos
(por exemplo, tomografia computadorizada e ultrassom), farmácia, química,
teoria dos números (e portanto criptografia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura,
fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.
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Razões Trigonométricas
Figura 1: Triângulo Retângulo
2
b
a
c
cos(θ) =
a
b
tg(θ) =
c
Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sidos tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões
sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas
leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer
triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou
três lados conhecidos.
Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos
livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.
Para os triângulos retângulos, em que 0 < θ < 90o (figura 1), temos:
sen(θ) =
1. tg(θ) =
sen(θ)
,
cos(θ)
θ 6=
π
2
+ Kπ, K ∈ Z
2. sen(θ) = cos(90o − θ)
3. tg(θ) =
4
Ângulos Notáveis
0o
sen(θ) 0
cos(θ) 1
tg(θ)
0
5
1
tg(90o −θ)
30o
1
√2
3
√2
3
3
o
45
√
2
√2
2
2
1
o
60
√
3
2
1
√2
3
90
1
0
@
Unidades de Arcos
1. Grau:
• 1o =
1
360
0
da circunferência
• 1o = 60 (60 minutos de grau)
• 10 = 60” (60 segundos de grau)
3
2. Radiano: Medida do arco cujo comprimento tem a mesma medida do
raio da circunferência.
πrad = 180o
6
Ciclo Trigonométrico
Através do ciclo trigonométrico (figura 2), podemos expandir as definições
das funções trigonométricas para quaisquer valores de θ.
Figura 2: Ciclo Trigonométrico
• O raio da circunferência vale uma unidade.
• O eixo dos senos é análogo ao eixo y e o dos cossenos ao eixo x do plano
cartesiano.
• O sentido positivo dos arcos é anti-horário (à partir do ponto (1;0) do
plano cartesiano, denominado "origem dos arcos").
• Como podemos observar, −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 e −1 ≤ cos(θ) ≤ 1, já a
tangente e a cotangente podem assumir qualquer valor real.
Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para
todos os ângulos e são conhecidas como ”identidades trigonométricas”. Muitas expressam relações geométricas importantes. Aqui há algumas das identi4
dades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes
conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.
Para cada grupo de identidades, uma delas será demonstrada, as demais
ficam a cargo do leitor.
6.1
Identidades Fundamentais
1. tg(θ) =
sen(θ)
cos(θ)
2. cotg(θ) =
cos(θ)
sen(θ)
3. cossec(θ) =
4. sec(θ) =
1
sen(θ)
1
cos(θ)
5. sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1
6. 1 + tg 2 (θ) = sec2 (θ)
Demonstração:
Temos que sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1.
Dividindo a igualdade por cos2 (θ), temos:
1 + tg 2 (θ) = sec2 (θ)
cqd.
7. 1 + tg 2 (θ) = cossec2 (θ)
6.2
Identidades de Adição
1. sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± sen(b)cos(a)
Demontração:
Temos o seguinte triângulo:
Sabendo que a área de um triângulo (figura 1) é dada por:
A=
a.b.sen(θ)
2
Sendo θ o ângulo entre os lados de medidas a e b.
Assim:
5
 b.c.sen(α+β)

=

2
cos(α) = hc


cos(β) = hb
b.h.sen(β)
2
+
c.h.sen(α)
2
b.c.sen(α + β) = b.h.sen(β) + c.h.sen(α)
Dividindo por bc:
sen(α + β) =
h
h
.sen(α) + .sen(β)
b
c
sen(α + β) = sen(α).cos(β) + sen(β).cos(α)
cqd.
2. cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sen(a)sen(b)
3. tg(a ± b) =
tg(a)±tg(b)
1∓tg(a)tg(b)
4. cotg(a ± b) =
cotg(a)cotg(b)∓1
cotg(a)±cotg(b)
Utilizando as "Identidades de Adição", podemos deduzir as "Identidades
de Duplicação", considerando, em cada uma das fórmulas, b = a e sinal
positivo.
6.3
Identidades de Duplicação
1. sen(2a) = 2sen(a)cos(a)
Demonstração:
sen(2a) = sen(a + a)
6
sen(2a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a)
sen(2a) = 2sen(a)cos(a)
cqd.
2. cos(2a) = cos2 (a) − sen2 (a)
3. tg(2a) =
2tg(a)
1−tg 2 (a)
4. cotg(2a) =
cotg 2 (a)−1
2cotg(a)
Desafio: Deduza as fórmulas de
sen (nθ)
cos (nθ)
Dica:
eiθ = cos (θ) + isen (θ)
6.4
Identidades de Fatoração
1. sen(a) ± sen(b) = 2sen( a±b
)cos( a∓b
)
2
2
Demonstração:
Sendo:
(
x = a+b
2
y = a−b
2
Temos:
sen(a) ± sen(b) = sen(x + y) ± sen(x − y)
sen(a)±sen(b) = [sen(x)cos(y) ± sen(y)cos(x)]±[sen(x)cos(y) ∓ sen(y)cos(x)]
sen(a)±sen(b) = sen(x)cos(y)±sen(y)cos(x)±sen(x)cos(y)∓sen(y)cos(x)
sen(a) ± sen(b) = 2sen(x)cos(y)
sen(a) ± sen(b) = 2sen(
cqd.
2. cos(a) + cos(b) = 2cos( a±b
)cos( a∓b
)
2
2
3. cos(a) − cos(b) = −2sen( a±b
)sen( a∓b
)
2
2
7
a±b
a∓b
)cos(
)
2
2
4. tg(a) ± tg(b) =
sen(a±b)
cos(a)cos(b)
5. cotg(a) ± cotg(b) =
6.5
sen(a±b)
sen(a)sen(b)
Identidades de Prostaférese
A prostaférese é o contrário da fatoração, ou seja, a transformação de um
produto em uma soma.
1. 2sen(a)cos(b) = sen(a + b) + sen(a − b)
Demonstração:
Sabendo que:
sen(a) + sen(b) = 2sen(
a+b
a−b
)cos(
)
2
2
Sendo:
(
x=
y=
a+b
2
a−b
2
Temos:
sen(x + y) + sen(x − y) = 2sen(x)cos(y)
2sen(x)cos(y) = sen(x + y) + sen(x − y)
cqd.
2. 2cos(a)cos(b) = cos(a + b) + cos(a − b)
3. 2sen(a)sen(b) = cos(a − b) − cos(a + b)
7
Equações Trigonométricas
• Equações Fundamentais em θ
sen(θ) = a
cos(θ) = a
tg(θ) = a
..
.
8
• Equações não Fundamentais:
1. Redutíveis por meio de identidades trigonométricas.
2. a.sen(θ) + b.cos(θ) = c
– 1a Solução:
c − b.cos(θ)
a
2
c − b.cos(θ)
+ cos2 (θ) = 1
a
2
2
c
b
2bc
2
cos(θ) +
+ 1 cos (θ) −
−1 =0
a2
a2
a2
sen(θ) =
– 2a Solução:
√
Num triângulo retângulo de catetos a e b; e hipotenusa a2 + b2 ,
temos:
b
a
e sen(α) = √
2
2
+b
a + b2
b
c
a
√
sen(θ) + √
cos(θ) = √
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
c
sen(θ)cos(α) + sen(α)cos(θ) = √
a2 + b 2
c
sen(θ + α) = √
a2 + b 2
cos(α) = √
a2
3. a.sen2 (θ) + b.sen(θ)cos(θ) + c.cos2 (θ) = d
Solução:
(a − d).tg 2 (θ) + b.tg(θ) + (c − d) = 0, cos(θ) 6= 0
p
−b ± b2 − 4(a − d)(c − d)
tg(θ) =
2a
4. Redutíveis por fatoração.
5. Redutíveis por prostaférese.
6. Equações não-coordenáveis:
Não podem ser reduzidas às fundamentais por nenhum dos métodos anteriores.
9
8
Identidades Triangulares
Figura 3: Identidades Triangulares
• Lei dos Senos
A lei dos senos é uma relação entre os lados e ângulos de um triângulo
qualquer e o raio R de sua circunferência circunscrita.
O teorema diz que:
b
c
a
=
=
= 2R
sen(A)
sen(B)
sen(C)
Podendo ser demonstrado por Geometria Analítica e Vetores ou por
Teorema do ângulo inscrito.
As duas demonstrações podem ser encontradas nas referências.
• Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo,
seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria.
Este teorema é atribuído ao matemático persa Ghiyath al-Kashi.
O teorema diz que:
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2ac.cos(A)
c2 = a2 + b2 − 2ab.cos(A)
Podendo ser demonstrado por Geometria Analítica e Vetores ou por
Teorema de Pitágoras.
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As duas demonstrações podem ser encontradas nas referências.
Referências
• http://www.ime.usp.br/ leo/imatica/historia/trigonometria.html
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_senos
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_cossenos
• Livro de Matemática do Sistema de Ensino Poliedro
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