Lista de exercícios 2

Lista de exercícios 2
MCTB026-13 – Topologia
Quadrimestre 2016.3
1. Sejam (X, d) um espaço métrico, (xn )n∈N uma sequência em X e x ∈ X. Prove que
n→∞
n→∞
xn −→ x (com respeito à topologia em X associada a d) se, e somente se, d(xn , x) −→ 0
(na topologia euclidiana em R+ ).
2. Mostre que, se (X, τ ) é um espaço topológico separável, então {x ∈ X : {x} ∈ τ } é um
conjunto enumerável.
3. Sejam X um conjunto munido da topologia cofinita e Y ⊆ X. Sejam τc e τs , respectivamente, a topologia cofinita em Y e a topologia de subespaço em Y induzida pela topologia
de X. Compare τc e τs com respeito à inclusão (⊆).
4. Seja X um conjunto não vazio munido da topologia cofinita τ . Caracterize, em termos
da cardinalidade de X, as seguintes propriedades:
(a) (X, τ ) tem caráter enumerável;
(b) (X, τ ) admite uma base enumerável;
(c) (X, τ ) é separável.
5. Repita o exercício anterior considerando sobre X a topologia coenumerável — i.e.
τ 0 = {X \ E : E ⊆ X ∧ |E| ≤ ℵ0 } ∪ {∅}.
6. Sejam X um espaço topológico separável e Y ⊆ X um subespaço. Mostre que, se vale
alguma das condições a seguir, então Y também é separável.
(a) X é metrizável.
(b) Y é aberto em X.
(c) X tem caráter enumerável e Y é denso em X.
7. Seja
τ = {U ⊆ R : ∀x ∈ U ∩ Q ∃ ε > 0 tal que ]x − ε, x + ε[ ⊆ U }.
Mostre que τ é uma topologia sobre R que contém a topologia usual de R e que não
admite base enumerável. [Obs.: Este espaço recebe o nome de reta de Michael.]
8. Seja X um espaço topológico que possui uma base enumerável. Mostre que, se A ⊆ X é
não enumerável, então existe x ∈ A que é ponto de acumulação de A.
9. Mostre que todo subespaço discreto da reta de Sorgenfrey é enumerável.
10. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y uma função. Mostre que f é contínua
se, e somente se, para todo A ⊆ X tem-se que f A ⊆ f [A].
11. Sejam (X, τ ) e (Y, ρ) espaços topológicos e f : X → Y .
(a) Mostre que, se A ⊆ X é tal que f é contínua em cada x ∈ A, então a restrição
f A : A → Y é contínua.
(b) Mostre que, se A ∈ τ é tal que a restrição f A : A → Y é contínua, então f é contínua
em cada ponto de A.
(c) Mostre, através de um contraexemplo, que a afirmação do item anterior pode não ser
válida se A ⊆ X não for aberto em X.
(d) Sejam F, G ⊆ X fechados em (X, τ ) tais que X = F ∪ G. Prove que f é contínua se, e
somente se, f F e f G são ambas contínuas.
S
(e) Conclua que, se n ∈ N \ {0} e F1 , . . . , Fn ⊆ X são fechados tais que nk=1 Fk = X,
então f é contínua se, e somente se, f Fk é contínua para todo k ∈ {1, . . . , n}.
(f ) Mostre, através de um contraexemplo, que o resultado do item anterior não é válido se
a família de fechados for infinita.
(g) Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra “fechados” não pode ser omitida
no enunciado do item (d).
12. Sejam X um conjunto, (Y, σ) um espaço topológico e f : X → Y uma função. Mostre
que:
(a) τ = {f −1 [U ] : U ∈ σ} é uma topologia sobre X;
(b) f é uma função contínua entre (X, τ ) e (Y, σ);
(c) se τ 0 é uma topologia sobre X tal que f é uma função contínua entre (X, τ 0 ) e (Y, σ),
então τ 0 ⊇ τ .
Q
13. Sejam X um espaço topológico, I um conjunto não vazio e Y = i∈I Yi um produto
topológico. Para cada i ∈ I, seja fi : X → Yi uma função. Prove que a função
f : X → Y
x 7→ (fi (x))i∈I
é contínua se, e somente se, fi é contínua para cada i ∈ I.
Q
14. Sejam I 6= ∅ e X = i∈I Xi um produto topológico. Para cada i ∈ I, seja Ai ⊆ Xi um
Q
subconjunto fechado. Prove que i∈I Ai é um subconjunto fechado de X.
15. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → R e g : Y → R funções contínuas. Mostre
que a função
h : X ×Y → R
(x, y) 7→ f (x) + g(y)
é contínua.
16. Considere a topologia produto em {0, 1}R . Para cada A ⊆ R, seja
χA : R → {0,
( 1}
1, se x ∈ A;
x 7→
0, se x ∈
/ A.
Considere agora F = {χA : A ⊆ R ∧ |A| ≤ ℵ0 } ⊆ {0, 1}R .
Prove que, se g : R → {0, 1} é a função constante tal que g[R] = {1}, então g ∈ F
mas não existe F0 ⊆ F enumerável tal que g ∈ F0 — em particular, não existe nenhuma
sequência em F que converge para g.
17. Sejam n um inteiro positivo e (X1 , d1 ), . . . , (Xn , dn ) espaços métricos. Considere, sobre
Q
o produto cartesiano X = ni=1 Xi , a topologia de Tychonoff τ obtida a partir dos espaços
topológicos (X1 , τd1 ), . . . , (Xn , τdn ).
(a) Seja d : X × X −→ R+ definida por
d(x, y) = max{d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn )}
para quaisquer x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X e y = (y1 , . . . , yn ) ∈ X.
Prove que d é uma métrica sobre X satisfazendo τd = τ .
(b) Sejam d0 : X × X −→ R+ e d00 : X × X −→ R+ definidas por
d0 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn )
e
d00 (x, y) =
p
d1 (x1 , y1 )2 + · · · + dn (xn , yn )2
para quaisquer x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X e y = (y1 , . . . , yn ) ∈ X.
Mostre que d0 e d00 são métricas sobre X tais que τd0 = τ = τd00 .
[Sugestão: Use o Exercício 1(a) da Lista 1.]
18. Seja S ⊆ R um subgrupo com respeito à operação de soma. Suponha que R \ S tem
interior não vazio (considerando-se sobre R a topologia euclidiana). Mostre que S é fechado
em R. [Sugestão: Considere a = inf{x ∈ S : x > 0} e mostre que a > 0.]