Lista de exercícios 3

Lista de exercícios 3
MCTB026-13 – Topologia
Quadrimestre 2016.3
1. Sejam X um espaço topológico e Y ⊆ X um subespaço. Prove que, para i = 1, 2, 3, 3 12 ,
se X é Ti então Y também é Ti . Prove ainda que, se X é T4 e Y é fechado em X, então Y é
T4 .
2. Seja X um espaço topológico. Mostre que:
(a) X é T1 se, e somente se, para todo x ∈ X e todo sistema fundamental de vizinhanças
T
abertas Vx para X em x, tem-se que V ∈Vx V = {x};
(b) X é T2 se, e somente se, para cada x ∈ X, a intersecção de todas as vizinhanças fechadas
de x em X é igual a {x}.
[Obs.: Note que isso não é equivalente à afirmação “para cada x ∈ X, a família de todas
as vizinhanças fechadas de x em X é um sistema fundamental de vizinhanças para x
em X”.]
3. Seja X um espaço topológico. Mostre que X é T1 se, e somente se, dados A ⊆ X e x ∈ X
arbitrários tais que x é ponto de acumulação de A, tem-se que toda vizinhança de x contém
infinitos pontos de A.
4. Considere as seguintes afirmações sobre um espaço topológico X:
(i) X é T2 .
(ii) Para cada sequência em X, existe no máximo um ponto para o qual ela converge.
(iii) X é T1 .
Prove que:
(a) (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii);
(b) (iii) 6⇒ (ii) 6⇒ (i);
(c) se X tem caráter enumerável, então (ii) ⇒ (i).
5. Seja X um conjunto infinito.
(a) Mostre que a topologia cofinita é a menor topologia T1 sobre X — ou seja, mostre que,
se τ é a topologia cofinita sobre X, então (X, τ ) é um espaço T1 e, para toda topologia
τ 0 sobre X tal que (X, τ 0 ) é um espaço T1 , tem-se que τ ⊆ τ 0 .
(b) Mostre que não existe uma topologia sobre X que é a menor topologia T2 sobre X.
[Sugestão: Fixe x1 , x2 ∈ X distintos e sejam τ1 e τ2 , respectivamente, as topologias
sobre X que têm
B1 = {{x} : x ∈ X \ {x1 }} ∪ {X \ F : F ⊆ X é finito}
e
B2 = {{x} : x ∈ X \ {x2 }} ∪ {X \ F : F ⊆ X é finito}
como bases de abertos. Mostre que (X, τ1 ) e (X, τ2 ) são espaços T2 , mas o espaço
(X, τ1 ∩ τ2 ) não é T2 .]
6. Seja
τ = {U ⊆ R : ∀x ∈ U \ Q ∃ ε > 0 tal que ]x − ε, x + ε[ ∩ Q ⊆ U }.
(a) Para cada i ∈ {1, 2, 3, 3 12 , 4}, determine se (R, τ ) é Ti .
(b) (R, τ ) tem caráter enumerável?
(c) (R, τ ) é separável?
(d) (R, τ ) possui base enumerável?
7. Sejam τ1 e τ2 topologias sobre um conjunto X tais que τ1 ⊆ τ2 . Prove ou dê um
contraexemplo:
(a) Se (X, τ1 ) é T1 , então (X, τ2 ) também é T1 .
(b) Se (X, τ1 ) é T2 , então (X, τ2 ) também é T2 .
(c) Se (X, τ1 ) é T3 , então (X, τ2 ) também é T3 .
(d) Se (X, τ1 ) é T4 , então (X, τ2 ) também é T4 .
8. Seja X um espaço topológico. Prove que X é T2 se, e somente se, {(x, x) : x ∈ X} é um
subconjunto fechado do produto X × X.
9. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y uma função contínua. O gráfico de f é o
conjunto Gr(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y .
(a) Prove que X é homeomorfo a Gr(f ) (com a topologia de subespaço herdada de X × Y ).
(b) Prove que, se Y é T2 , então Gr(f ) é um subconjunto fechado de X × Y .
10. Dizemos que um espaço topológico Y é perfeitamente normal se, para quaisquer F, G ⊆
Y fechados em Y com F ∩ G = ∅, existe uma função contínua f : Y → [0, 1] tal que
f −1 [{0}] = F e f −1 [{1}] = G.
Sendo X um conjunto não vazio, considere sobre X uma métrica d e a topologia τ associada a d.
(a) Prove que, para todo A ⊆ X, a função
d(·, A) : X → R+
def
x 7→ d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}
é contínua.
(b) Mostre que, dados x ∈ X e A ⊆ X arbitrários, tem-se que d(x, A) = 0 se, e somente
se, x ∈ A.
(c) Conclua que (X, τ ) é perfeitamente normal. [Sugestão: Dados F, G ⊆ X fechados
disjuntos não vazios, mostre que a função
f : X → [0, 1]
)
x 7→ d(x,Fd(x,F
.
)+d(x,G)
é contínua.]