Lista de exercícios 5

Lista de exercícios 5
MCTB026-13 – Topologia
Quadrimestre 2016.3
1. Caracterize as funções contínuas f : R → N.
2. Sejam X um espaço topológico, C ⊆ X conexo e Y ⊆ X. Prove que, se C ∩ Y 6= ∅ e
C \ Y 6= ∅, então C ∩ ∂(Y ) 6= ∅.
3. Sejam X um espaço topológico conexo, f : X → R contínua e a, b ∈ X distintos, e
suponha que f (a) < f (b). Prove que, dado c ∈ ]f (a), f (b)[, existe x ∈ X \ {a, b} tal que
f (x) = c.
4. Sejam X um espaço topológico e {An : n ∈ N} uma família de subconjuntos conexos de
S
X. Mostre que, se An ∩ An+1 6= ∅ para cada n ∈ N, então n∈N An é conexo.
5. Caracterize as componentes conexas de Q (com a topologia euclidiana).
6. Prove ou dê um contraexemplo:
(a) Se X é um espaço topológico discreto, então todas as componentes conexas em X são
conjuntos unitários.
(b) Se X é um espaço topológico tal que todas as componentes conexas em X são conjuntos
unitários, então X é discreto.
7. Seja X um espaço topológico T3 1 com 1 < |X| < 2ℵ0 . Mostre que X não é conexo.
2
8. Mostre que, se E ⊆ R2 é tal que |E| < 2ℵ0 , então R2 \ E é conexo por caminhos.
Exercício extra. O objetivo deste exercício é demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de
Banach:
Sejam (X, d) um espaço métrico completo e f : X → X. Suponha que existe
c ∈ [0, 1[ tal que, para quaisquer x, y ∈ X, ocorre d(f (x), f (y)) ≤ c · d(x, y).
Então existe um único a ∈ X tal que f (a) = a.
(a) Tome x0 ∈ X arbitrário e, para cada n ∈ N, defina xn+1 = f (xn ). Mostre que (xn )n∈N
é uma sequência de Cauchy.
[Sugestão: Mostre que, se m, n ∈ N são tais que m < n, tem-se que
d(xm , xn ) ≤ cm r(1 + c + · · · + cn−m−1 ) ≤
cm r
,
1−c
sendo r = d(x0 , x1 ).]
(b) Como (X, d) é completo, segue-se que a sequência (xn )n∈N é convergente; seja então
lim xn = a ∈ X. Mostre que f (a) = a.
n→∞
(c) Finalmente, prove que, se b ∈ X é tal que f (b) = b, então b = a.
(d) Mostre, através de um contraexemplo, que não se pode substituir a hipótese
existe c ∈ [0, 1[ tal que, para quaisquer x, y ∈ X, ocorre d(f (x), f (y)) ≤
c · d(x, y)
pela hipótese mais fraca
para quaisquer x, y ∈ X, ocorre d(f (x), f (y)) < d(x, y).