Proposta de Correcção do Exame Nacional de Matemática A Prova

Correcção Proposta pela Sociedade Portuguesa de Matemática
para o Exame Nacional de Matemática do 12º Ano de Escolaridade do Ensino Secundário
2007  Prova 635, 1ª Chamada
1-
D
2-
D
3- C
Grupo I (Versão 1)
4- B
5- A
1-
C
2-
C
3- A
Grupo I (Versão 2)
4- D
5- B
6- C
7- D
6- A
7- B
Grupo II
1.
1.1.
Sabemos que z = cisα. Sendo assim, z =cis(-α). Pela regra do paralelogramo, w = z+ z . Daqui sai
w = z+ z ⇔ w = cosα+isenα+ cos(-α)+isen(-α)⇔ w = 2cosα.
1.2.
z3 (cisα)3 cis(3α)
π
=
=cis(3α- 2 ). Para termos um número real é necessário que
i =
π
π
cis
cis
2
2
π
π
π
π
sen(3α- )=0 ⇔ 3α- = kπ (k∈Z). No intervalo ]0, [, a solução única corresponde α = .
2
2
2
6
2.
2.1.
Cálculo de P(A):
Número de casos possíveis = 93
Número de casos favoráveis = 9x9
9x9 1
Pela lei de Laplace, P(A)= 3 =
9
9
Cálculo de P(B):
Número de casos possíveis = 93
Número de casos favoráveis = 9x8x7
9x8x7 8x7
Pela lei de Laplace, P(B)= 93 = 92
Cálculo de P(A∩B):
Número de casos possíveis = 93
Número de casos favoráveis = 8x7
8x7 8x7
Pela lei de Laplace, P(A∩B)= 93 = 93
Verifica-se que P(A∩B)= P(A)xP(B), logo os acontecimentos são independentes.
2.2.
Existem 9A3 números com três algarismos diferentes. Os números para os quais o produto dos seus
três algarismos é ímpar são exactamente aqueles cujos algarismos são ímpares. O total de números
com três algarismos todos ímpares é 5A3 (os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9). Assim a
resposta correcta é 9A3 - 5A3.
3.
Usando a propriedade distributiva, (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C). Sendo a união de dois conjuntos
o vazio, ambos têm de ser vazios. Sendo assim,
A∩C = ∅ P(A∩C) = 0 e daqui
P(A∪C) = P(A) + P(C) - P(A∩C) = 0,21 + 0,47 – 0 = 0,68
4.
Sendo x a abcissa do ponto P, a sua ordenada será ln(x). O rectângulo em causa tem base de
medida igual a 5-x e altura igual a ln(x). Consequentemente, a área do rectângulo é dada
por (5-x)ln(x).
A abcissa de P é 2,57. Ponto de ordenada máxima é P(2.57,2.29).
5.
5.1.
f´(x) = ex-1, g´(x) = cos(x), h(x) = ex-1 - cos(x). A função h é contínua em IR e em particular no
π
intervalo [0, 2 ] porque é a diferença de duas funções contínuas em IR . Estamos em condições de
aplicar o teorema de Bolzano:
h(0) = e-1 – cos(0) = e-1 – 1<0
π
π
π
π
h(2 ) = e^(2 -1)– cos( 2) = e^(2 -1) >0
π
π
Como h(0) x h(2 ) < 0 , existe a pertencente ao intervalo ]0, 2 [ tal que h(a) = 0.
5.2.
h(a) = 0 ⇔ f´(a) – g´(a) = 0 ⇔ f´(a) = g´(a)
Como a derivada de uma função em x = a é o declive da recta tangente ao gráfico dessa função no
ponto de abcissa a, podemos concluir que as rectas tangentes aos gráficos de f e g têm o mesmo
declive no ponto de abcissa x = a, logo são paralelas.
6.
6.1.
Intensidade da luz solar à superfície = Ι(0) = a
Intensidade da luz solar a 20 metros de profundidade =
a
2
a
a
1
1
ln(2)
⇔ a.e-20b = ⇔ e-20b = ⇔ -20b = ln( ) ⇔ b =
2
2
2
20
2
b ≈ 0,03
Ι(20) =
6.2.
Ι(x) = 10e-0,05x
Ι´(x) = -0,5e-0,05x
Como a função exponencial é sempre positiva, Ι´<0 e, consequentemente, Ι é decrescente em todo
o seu domínio.
Quanto à existência de assimptotas: lim
10e-0,05x = 0. Sendo assim, y = 0 é uma assimptota
x→+∞
horizontal de Ι, como I é uma função contínua em [0 ,+∞[ não tem assimptotas verticais. À medida
que a profundidade aumenta, a intensidade da luz diminui ( função decrescente),tendendo para
zero (assimptota horizontal y = 0).
Obs: A solução primeiramente publicada não estava explícita na pergunta 6.2. Agradecemos aos
associados que o notaram.