Teorema do Binômio de Newton (Triângulo de - Imecc

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
Instituto de Matemática e Computação Científica – IMECC
Matemática - Licenciatura
Ana Cláudia Piau Candido - 154615
Carla Cristina Zauli Pereira - 154954
Bárbara de Souza Pinto Silva - 157709
Maria Carolina Ramalho - 156576
Otávio de Nadae- 156899
Patrícia Cristina Vitor - 108355
Rafael Ferezini- 157053
Victor Matheus Nascimento Zeni - 160017
Viviane Silva Freire - 160036
Teorema do Binômio de Newton
(Triângulo de Pascal)
Campinas-SP
Abril/2014
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 2
2. OBJETIVOS ............................................................................................................ 3
3. BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON ......................................................................... 4
4. O BINÔMIO DE NEWTON ...................................................................................... 6
4.1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO ................................................................ 6
4.2 DEMONSTRAÇÃO ............................................................................................ 6
4.3 PROPRIEDADES............................................................................................... 8
4.3.1 Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio, já apresentado: ........... 8
4.3.2 Propriedade 2 – Termo geral .................................................................... 8
4.3.3 Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento
....... 9
4.3.4 Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos ............................ 9
4.3.5 Propriedade 5 – Soma dos coeficientes .................................................. 9
5. O TRIÂNGULO DE PASCAL ................................................................................ 10
5.1 PROPRIEDADE GERAL: ................................................................................. 10
5.2 PROPRIEDADE NÚMERO 1 (OU RELAÇÃO DE STIFEL) ............................. 11
5.3PROPRIEDADE NÚMERO 2 ............................................................................ 11
5.4PROPRIEDADE NÚMERO 3 ............................................................................ 12
5.5PROPRIEDADE NÚMERO 4 ............................................................................ 13
5.6PROPRIEDADE NÚMERO 5 ............................................................................ 13
6. APLICAÇÕES DO BINÔMIO DE NEWTON ......................................................... 15
7. CONCLUSÃO ....................................................................................................... 17
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 18
2
1. INTRODUÇÃO
Pelos produtos notáveis, sabe-se que (a+b)² = a²+2ab+b²; para calcular
(a+b)³, escreve-se: (a+b)2(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3; e para obter(a+b)4 , pode-se
adotar o mesmo procedimento: (a+b)4 = (a+b)3 (a+b) = a+4a3b+6a2b2+4ab3+ b4.De
modo análogo, pode-se calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, é
possível obter o desenvolvimento de uma potência (a+b)n a partir da anterior, ou
seja, de (a+b)n-1.
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de
cálculo se torna muito trabalhoso. (Só Matemática, 2013)
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,
conhecido como Binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642
- 1727). Para esse método é necessário saber o que são Coeficientes Binomiais,
algumas de suas propriedades e o Triângulo de Pascal. (Só Matemática, 2013)
O coeficiente binomial, também chamado de número binomial, de um
número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k. O
número binomial de um número n, na classe k, pode ser escrito como:
O Triângulo de Pascal (Blaise Pascal, físico e matemático francês, 16231662) é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações
entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que
justifica o nome quelhe é dado. (Educ, 2012)
3
2. OBJETIVOS
Obter conhecimento a respeito da origem do Binômio de Newton; entendera
relação entre o Triângulo de Pascal, os Coeficientes Binomiais e o Binômio de
Newton;
apresentar
alguns
resultados
e
demonstrações
para
o
melhor
entendimento; e, além disso, dar exemplos da utilização do Binômio de Newton na
atualidade.
4
3. BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON
Isaac Newton foi, e ainda é, considerado um dos maiores cientistas
conhecidos historicamente. Nascido em 25 de dezembro de 1642 numa pequena
aldeia conhecida por Woolsthorpe-by-Colsterworth, localizada na Inglaterra, ele
tornou-se um dos principais precursores do Iluminismo, é responsável pelo teorema
binomial, mais conhecido como Binômio de Newton (apresentado ao longo desta
monografia), e, fez ainda, outras descobertas importantes para o avanço da ciência
como o cálculo infinitesimal, que é utilizado para o estudo de taxas de variação de
grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a
área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), a lei da gravitação, principal
responsável pelo seu reconhecimento, não apenas academicamente, mas também
mundialmente por pessoas comuns, e por fim, mas não menos importante, também
realizou estudos relacionados à natureza das cores.
Por volta do ano de 1665, vários países sofriam com a peste que se
alastrava por toda a Europa, o que fez com que muitas faculdades fossem fechadas,
e entre uma delas estava a Universidade de Cambridge, onde Newton cursava sua
graduação neste mesmo período. Com a universidade fechada, Newton tivera que
estudar em casa, e foi em sua própria residência, na fazenda da família que suas
principais descobertas floresceram.
O cientista publicou diversas obras que contribuíram significativamente para
todo o contexto da matemática e da física, além disso, escreveu também sobre
química, alquimia, cronologia e teologia.
Newton sempre esteve envolvido com questões filosóficas, religiosas e
teológicas e também com a alquimia e suas obras mostravam claramente seu
conhecimento a respeito destes assuntos. Devido a sua modéstia, não foi fácil
convencê-lo a escrever o livro Principia, considerado uma das obras científicas mais
importantes do mundo.
Durante a sua vida, Newton conquistou o respeito como quaisquer outros
cientistas jamais conseguiram. O matemático italiano Joseph-Louis Lagrange
frequentemente dizia que Newton foi o maior gênio que já viveu, e uma vez
5
acrescentou que Newton foi também "o mais afortunado, dado que não se pode
descobrir mais de uma vez o sistema que governa o mundo".
No final de sua vida, Newton passou por diversos problemas renais que
culminaram com sua morte na noite do dia 20 de março de 1727.
6
4. O BINÔMIO DE NEWTON
O binômio de Newton é um método que permite desenvolver um polinômio
correspondente à potência de um binômio; esse estudo surgiu de forma
complementar ao estudo dos produtos notáveis. (BRASIL ESCOLA)
4.1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO
Já eram conhecidos alguns produtos notáveis, como:
Com o desenvolvimento de mais potências binomiais, foi possível observar
uma relação entre esses produtos notáveis e os coeficientes binomiais, pois:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
A partir dessa observação, deduziu-se uma equação geral para o
desenvolvimento de números binomiais da forma
∑( )
( )
( )
:
(
)
( )
4.2 DEMONSTRAÇÃO
Pretende-se demonstrar que o binômio de Newton é válido para qualquer
, a partir do princípio da indução finita.
Primeiramente, precisa-se demonstrar que o resultado é válido para n=1.
7
Do lado esquerdo da igualdade, temos
.
Do lado direito da igualdade, temos ( )
( )
.
Logo, pode-se concluir que o binômio de Newton é válido para n=1.
Denota-se:
∑( )
∑(
)
E precisa-se demonstrar que P(k) ⇒ P(k + 1).
Partindo da hipótese de P(k), multiplica-se ambos os lados da equação por
(a + b):
∑( )
Efetuando a propriedade distributiva:
∑( )
∑( )
E utilizando a propriedade distributiva para todos os termos do somatório:
∑( )
∑( )
Calculando o 0-ésimo termo do primeiro somatório e em seguida retirando-o
do somatório, tem-se:
∑( )
∑( )
Calculando o k-ésimo termo do segundo somatório e retirando-o do
somatório, e em seguida redefinindo a variável p como
∑( )
∑( )
, tem-se:
∑(
)
Dessa forma, obtém-se:
∑( )
Colocando em evidência o termo
∑(
)
nos dois somatórios:
8
∑ [( )
Mas ( )
(
)
(
(
)]
) (mostrado em 5.2), então:
∑(
)
Como o (k + 1)-ésimo termo do somatório é igual a
e o 0-ésimo termo
é igual a
, podemos incorporar esses dois termos ao somatório modificando o
índice p = 1 para p = 0, e o índice k para k + 1:
∑(
)
Logo, a partir de P(k), foi possível provar P(k +1), e o resultado é válido para
todo número inteiro natural
. (PASSOS SILVA, 2012)
4.3 PROPRIEDADES
4.3.1 Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio, já apresentado:
∑( )
4.3.2 Propriedade 2 – Termo geral
De acordo com o desenvolvimento, é fácil observar que o termo de ordem k
+ 1 do desenvolvimento de
é determinado por:
( )
9
4.3.3 Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento
O desenvolvimento de
tem n + 1 termos.
4.3.4 Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos
.
Os coeficientes de dois termos eqüidistantes dos extremos de
são
iguais.
Estes termos são formados por binomiais complementares
4.3.5 Propriedade 5 – Soma dos coeficientes
A soma dos coeficientes de
( )
é igual a
( )
( )
( )
. É fácil demonstrar essa propriedade pois basta fazer a = b =
1.
A soma dos coeficientes de qualquer tipo de binômio pode ser obtida por
procedimento semelhante.
Exemplo: a soma dos coeficientes de (3x2 + 2y)5 = (3 + 2)5 = 55 = 3125.
Para obter esse resultado fez-se x = y = 1.
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5. O TRIÂNGULO DE PASCAL
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números
relacionados entre si. O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo (a
descoberta inicial é creditada ao matemático persa Omar Khayyám), mas foi
nomeado como o 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos feitos e relações
descobertas pelo filósofo e matemáticofrancês.
Exemplo de um triângulo de Pascal :
Cada linha do triângulo possui um número a mais que a anterior, de modo
que toda linha n possui n+1 elementos, sempre aplicando a primeira linha como
sendo a linha 0. O triângulo também possui algumas propriedades interessantes que
permitem construir com facilidade a linha seguinte.
As principais propriedades estão enumeradas a seguir:
5.1 PROPRIEDADE GERAL:
A propriedade geral diz que a fórmula matemática para se construir uma
pirâmide é: em que n é o número da linha e k é o número da coluna; ambos com
contagem iniciada em 0.
11
Demonstrando esta propriedade algebricamente temos que:
Seja n a quinta linha e k terceiro o elemento da linha.
O elemento
5.2 PROPRIEDADE NÚMERO 1 (OU RELAÇÃO DE STIFEL)
Esta propriedade diz que qualquer número, seu valor é exatamente a soma
dos dois números que se encontram na linha acima.
Observe:
1
11
(1 + 2) 1
1 (3) 3 1
1 4 (6 + 4) 1
1 5 10 (10) 5 1
1 6 15 20 15 6 1
...
Esta propriedade é válida para qualquer linha e é o modo mais simples de
encontrar a linha seguinte.
5.3PROPRIEDADE NÚMERO 2
Esta propriedade diz respeito sobre a soma dos números dispostos em
diagonal, partindo sempre de um número 1 ser igual ao número exatamente a lateral
contraria a contagem:
1
11
12
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
...
Ou seja, somados a partir do número 1 da extrema direita da segunda linha,
tem-se que:
1+2+3+4= 10.
Esta propriedade, assim como todas as outras, é aplicável em toda e
qualquer linha do triângulo.
5.4PROPRIEDADE NÚMERO 3
Esta propriedade está relacionada à soma dos elementos das linhas. Para
demonstra-la, vamos associar um número para cada linha do triângulo, começando
da linha 0:
Linha 0: 1
Linha 1: 1 1
Linha 2: 1 2 1
Linha 3: 1 3 3 1
Linha 4: 1 4 6 4 1
Linha 5: 1 5 10 10 5 1
Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1
...
A propriedade diz que, a soma dos números em determinada linha n, se dá
pelo resultado da expressão 2n.
Pode-se demonstrar algebricamente esta propriedade da seguinte maneira:
Escolhe-se ao acaso uma linha, por exemplo, a linha 4.
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A propriedade nos diz que o resultado da soma dos elementos desta linha é
igual a 24.
24= 2x2x2x2=16.
Somando os elementos da linha 4, temos: 1+4+6+4+1=16.
5.5PROPRIEDADE NÚMERO 4
Se colocar o triângulo de Pascal, alinhado pela esquerda, temos como
resultado da soma das diagonais, a sequência de Fibonacci:
A soma dos elementos da primeira diagonal é 1, a soma dos elementos da
segunda, 1; a soma dos elementos da terceira diagonal é dois. E assim, diagonal por
diagonal, temos como resultado os números da sucessão de Fibonacci.
5.6PROPRIEDADE NÚMERO 5
Esta propriedade diz respeito a encontrar os elementos de uma linha n sem
conhecer a linha anterior.
Demonstração:
Encontrar a linha 12 do triângulo:
O 1º elemento da linha é 1.
O 2º elemento é n, aqui tomado como 12.
O 3º elemento é
. Nesta linha, temos que:
14
O 4º elemento é igual a
. Nesta linha temos:
O 5º elemento é igual a
. Temos que:
Seguindo esta linha de raciocínio, temos que a linha 12 é:
1, 12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1
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6. APLICAÇÕES DO BINÔMIO DE NEWTON
Uma das áreas, além da matemática, em que o binômio de Newton é
utilizado é na área biológica que envolve genética. Como a genética em si divide-se
em alguns segmentos, alguns destes, em que podemos observar a aplicação, estão
descritos.
Na Herança Quantitativa temos que esta é um caso de interação gênica em
que os fenótipos são contínuos e que a variação genética se dá maior ou menor em
relação ao número de genes atuantes (GARCIA, 2011).
Os genes que fazem parte de tal herança são denominados poligenes,
sendo que cada um desses contribui com uma parcela do fenótipo em questão.
Neste tipo de herança, existe um padrão de distribuição que segue ao binômio de
Newton: (p + q)n, sendo n=número de poligenes. Pode-se desenvolver o binômio
para muitos valores de n, podendo gerar a construção do triângulo de Pascal
baseando-se na distribuição dos coeficientes binomiais. Assim, o coeficiente
binomial será o numerador da representação fenotípica e o número total será o
denominador (BARRETO, 2010).
Alguns exemplos em que se utiliza herança quantitativa é, cor de pele
humana, cor do olho humano, altura, peso, cor do cabelo, entre outras (CMS, 2013),
porque esta é determinada por no mínimo dois pares de alelos, sendo que estes
estão localizados em cromossomos não homólogos.
Exemplo:
Se acontecer um cruzamento entre diíbridos, quais serão as proporções
genéticas da descendência?
Gametas gerados – NnBb x NnBb
Usando o Triângulo de Pascal:
Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou
b).
Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4.
Então se tem(p+q)4 (binômio de Newton), o que gera como coeficientes 1, 4, 6, 4, 1
(vê-se no triângulo de Pascal).
O binômio de Newton desenvolvido possui a seguinte forma:
16
1p4q0 + 4p3q1 + 6p2q2 + 4p1q3 + 1p0q4.
Então, segundo as definições de herança quantitativa, tem-se que 1
corresponde a negro, 4 a mulatos escuros, 6 a mulatos médios, 4 a mulatos claros e
1 a brancos (CMS, 2013).
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7. CONCLUSÃO
Em virtude das informações aqui abordadas, analisadas e demonstradas,
conclui-se que o Binômio de Newton, juntamente com o triângulo de Pascal, foram
obras de mentes brilhantes ao longo do desenvolvimento da matemática. Conforme
visto, o Binômio de Newton se faz uma poderosa ferramenta matemática, com alta
aplicabilidade no mundo contemporâneo, auxiliando os próximos passos do futuro
matemático e tecnológico.
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REFERÊNCIAS
BARRETO, Cindy. Pleiotropia, Interação Gênica e Herança Quantativa.
Disponível em:
<http://biometodologia.webnode.com.br/products/pleiotropia,%20intera%C3%A7%C3
%A3o%20g%C3%AAnica%20e%20heran%C3%A7a%20quantitativa/> Acessado em
26 abr. 2014
CMF Ensino. Herança Quantitativa.
Disponível em:
<http://www.cmf.ensino.eb.br/sistemas/pipa/files/arquivos/NA/2120_26_05_2013_Ar
quivo.pdf> Acessado em 26 abr. 2014
Educ. Curiosidades sobre o Triângulo de Pascal.
Disponível em:
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/curios.htm>Acessado
em 26 abr. 2014.
Educ. O Triângulo de Pascal.
Disponível em:
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm>
Acessado em 26 abr. 2014
GARCIA, Juliana Fabris Lima. Genética – Herança quantitativa.
Disponível em:
<http://www.cfnp.com.br/2011/material_de_apoio/BIO/3/Heran%C3%A7a%20quantit
ativa.pdf> Acessado em 26 abr. 2014
Matemática Didática. Triângulo de Pascal.
Disponível em:
<http://www.matematicadidatica.com.br/TrianguloDePascal.aspx> Acessado em 23
abr. 2014
Só Matemática. Binômio de Newton.
Disponível em:
<http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio.php> Acessado em 25
abr. 2014
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Wikibooks. Triângulo de Pascal.
Disponível em:
<http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_divertida/Tri%C3%A2ngulo_de_Pa
scal> Acessado em 26 abr. 2014.
Wikipedia. Triângulo de Pascal.
Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal> Acessado em 25 abr.
2014
Brasil Escola. Binômio de Newton
Disponível em:
<http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-de-newton.htm> Acessado em 27
abr. 2014
Cesário José Ferreira - MEU MUNDO. Binômio de Newton
Disponível em:
<http://www.cesariof.xpg.com.br/tn/alglog_28.htm> Acessado em 27 abr. 2014
Rodrigo Thiago Passos Silva. Demonstração do binômio de Newton
Disponível em:
<http://pt.slideshare.net/RodrigoThiagoPassosSilva/demonstrao-do-binmio-denewton> Acessado em 27 abr. 2014