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ALUNO(A) _______________________________________________
AULA 001 MATEMÁTICA
DATA __18___/__10___/2013
PROFESSOR: Paulo Roberto Weissheimer
AULA 001 - DE MATEMÁTICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos números naturais (IN)
IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
Conjunto dos números inteiros (Z)
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:
Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e
denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros
com as frações positivas e negativas.
Assim, podemos escrever:
Q {x | x
a
, com a
b
Z, b Z e b
0}
OBS. Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito
na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2
e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número =3,1415926535...
2
1,4142135...
3
1,7320508...
Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:
IR=Q
{irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como
subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
1)
(ENEN) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75%
dela
com
conceitos
e
explicações,
conforme
a
figura
seguinte.
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao
anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa, vez, utilizando 40% do espaço dela.
Uma representação possível para essa segunda situação é
A)
B)
C)
D)
E)
Comentário
Para resolver esta questão, é preciso analisar as imagens com cuidado, pois as divisões feitas não são todas
iguais. Na letra A, por exemplo, o quadro foi dividido em quatro partes iguais e foi utilizada apenas uma parte,
ou seja, 25% do quadro. A resposta correta é a letra C em que o quadro foi dividido em 5 partes iguais e 2
partes foram preenchidas. A razão 2/5 pode ser escrita em porcentagem como 40% .
2)
(ENEN) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua.
Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA,
informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A.
Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura
mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.
Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA
e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica,
conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
A) 60 min.
B) 90 min.
C) 120 min.
D) 180 min.
E) 360 min.
Comentário
Analisando as informações do enunciado, temos 5 clientes a serem visitados. Para encontrarmos as
possibilidades totais do trajeto, basta calcularmos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Como aparecem sempre dois trajetos
que têm o mesmo custo, basta dividirmos esse resultado por 2, ou seja, 120 : 2 = 60.
Se João gasta 1min30s para examinar cada trajeto, então temos que multiplicar os 60 trajetos pelo tempo que
ele gasta com cada um.
Assim, 60 x 1min30s = 90 minutos.
3)
(ENEN) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a
uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de
números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do
computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
A) 24
Comentário
B) 31
C) 32
D) 88
E) 89
Como os números gerados possuem 5 dígitos distintos e são 5 os algarismos que não são pares, os números são
formados por permutações dos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.
Para ordená-los até chegar ao número 75.913, é necessário, primeiro, obter as permutações que começam com
1, 3 e 5.
Para cada um dos casos, temos o primeiro algarismo, e os demais são permutações de 4 algarismos.
Começando com 1 : 4! = 24 números
Começando com 3 : 4! = 24 números
Começando com 5 : 4! = 24 números
Em seguida, consideramos os casos que têm o 7 como primeiro algarismos e 1 e 3 como segundos algarismos.
Os algarismos restantes, nesses casos, são permutações de 3 algarismos.
Começando com 71 : 3! = 6 números
Começando com 73 : 3! = 6 números
Em seguida, consideramos os números que começam com 751 e 753.
Começando com 751 : 2! = 2 números
Começando com 753 : 2! = 2 números
O número 75.913 é o seguinte. Antes dele, portanto, temos:
3 x 24 + 2 x 6 + 2 x 2 = 88
O número 75.913 é o 89º.
(ENEN) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de
quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
4)
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do
número
é
formada
pelo
último
algarismo
ultrapassado
pelo
ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
A) 2 614.
B) 3 624.
C) 2 715.
D) 3 725.
E) 4 162.
Comentário
Importante observar a informação do enunciado de que cada posição do número é formada pelo último
algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
Assim, podemos afirmar que o número é 2 614.
5) (ENEN) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de
quadrados de lado medindo 1m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC
medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um
para a parte sombreada da figura, que custa R$30,00 o m² , e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e
BCDQB), que custa R$50,00 o m². De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na
fabricação de um vitral?
A) R$22,50
B) R$35,00
C) R$40,00
D) R$42,50
E) R$45,00
Comentário
Para resolver esta questão vamos calcular a área branca que é formada por 4 triângulos congruentes (de mesma
área) com 0,25 m de base e 0,50 m de altura. Área branca =([ 0,25x0,50]:2)x 4 = 0,25 m² Se a área branca é
0,25 m², então área cinza será 1 - 0,25 = 0,75m² Valores= 0,25 x 50,00 + 0,75 x 30,00 = R$ 35,00
6) (ENEN) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para
que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2400cm³?
A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ?car com 20,2 cm de altura.
B) O nível subiria 1cm, fazendo a água ?car com 21cm de altura.
C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ?car com 22 cm de altura.
D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Comentário
O volume do paralelepípedo retângulo é calculado pela expressão V = a. b. c sendo a e b as dimensões da base.
Como a base mede 40 cm por 30 cm, teremos: V = a. b. c 2 400 = 40. 30. c 2 400 = 1 200. c c = 2 cm Esse é o
aumento no nível da água, passando de 20 cm para 22 cm.