Análise de Sistemas Físicos usando Transformada de Laplace

Análise de Sistemas Físicos usando Transformada de Laplace
Cálculo IV – Prof. Fabiano.
Entrega: 26/04/05 – Atraso: -1 ponto/dia
Objetivos: analisar a resposta de sistemas físicos modeláveis por equações diferenciais lineares através dos
métodos da Transformada de Laplace:
1) transformação inversa usando tabela e propriedades da Transformada de Laplace;
2) convolução.
Definição: a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a razão
da transformada de Laplace da resposta do sistema pela transformada de Laplace da excitação do sistema,
considerando-se nulas todas as condições iniciais (sistema é passivo) [2].
Em outras palavras, se r  r (t )
é a resposta de um sistema (passivo) devido a uma excitação
e  e(t ) , então sua função de transferência G  G (s ) é dada por
G ( s) 
R( s)
,
E ( s)
(1)
onde R  R(s ) é a transformada de Laplace da resposta do sistema e E  E (s ) é a transformada de
Laplace da excitação do sistema. Reescrevendo (1) na forma
R( s )  G ( s ) E ( s ) ,
(2)
observamos que a transformada de Laplace da resposta do sistema é dada pelo produto da função de
transferência do sistema (passivo) pela transformada de Laplace da excitação. Assim, pelo Teorema da
Convolução, a resposta do sistema é dada pela convolução:
t
t
r (t )  L 1R( s )  L 1 G ( s ) E ( s )  g (t ) * e(t )   g ( )e(t   )d   e( ) g (t   )d ,
0
0
onde g  g (t ) é a transformada inversa da função de transferência.
Sistema mecânico translacional: a figura a seguir ilustra um sistema amortecedor viscoso-mola-massa.
k
F
y
m
a
posição de equilíbrio
(3)
Este sistema consiste de um pistão de massa m envolto em um cilindro com óleo e uma mola. Uma
força externa de módulo F gera um movimento do pistão; a força de atrito viscoso do óleo e a força elástica
da mola resistem a este movimento. O amortecedor essencialmente absorve a energia, que é dissipada na
forma de calor e som (o sistema como um todo é dissipativo, não acumulando nenhum tipo de energia).
A equação diferencial que governa o sistema é obtida pela Segunda Lei de Newton, e dada por (a
dedução desta equação pode ser estudada nas referências [1] e [2])
my' ' (t )  ay ' (t )  ky(t )  F (t ) ,
onde:






(4)
t : tempo;
m : massa do pistão (considerando-se a massa da mola desprezível);
a : coeficiente de fricção viscosa (coeficiente de atrito do óleo);
k : constante da mola;
F : força externa (em módulo) (excitação);
y : posição vertical da mola em relação à posição de equilíbrio (resposta).
Neste sistema a excitação é a força externa F e a resposta é a posição vertical (amplitude de vibração)
y da massa em relação à posição de equilíbrio.
Problemas propostos:
1) Usando (1), determine a função de transferência do sistema mecânico translacional passivo.
2) Suponha um sistema translacional mecânico passivo onde m  1 Kg, k  4 N/m e força externa
F (t )  sen( 20t ) (trata-se de um sistema não amortecido, uma vez que não existe atrito viscoso).
a)
Determine a resposta y  y (t ) usando a equação (2) e decomposição em frações parciais.
b) Determine a resposta y  y (t ) usando a equação (3), isto é, através de uma convolução. Compare
com o resultado obtido anteriormente.
c) Use o Matlab para traçar o gráfico de y versus t .
3) Suponha um sistema translacional mecânico passivo onde m  1 Kg, k  4 N/m e força externa
F (t )  sen( 2t ) (trata-se de um sistema não amortecido, uma vez que não existe atrito viscoso).
d) Determine a resposta y  y (t ) usando a equação (2) e decomposição em frações parciais.
e)
f)
Determine a resposta y  y (t ) usando a equação (3), isto é, através de uma convolução. Compare
com o resultado obtido anteriormente.
Use o Matlab para traçar o gráfico de y versus t .
4) Suponha um sistema translacional mecânico passivo onde
m  1 Kg, a  4 kg/s e k  3 N/m e
F (t )  u2 (t ) .
a) Determine a resposta y  y (t ) usando a equação (2).
b) Determine a resposta y  y (t ) usando a equação (3). Compare com o resultado obtido
força externa
c)
anteriormente.
Use o Matlab para traçar o gráfico de
y versus t .
Circuito RLC – malha única fechada: consideremos um circuito RLC , consistindo de uma
bobina (indutor) de L Henrys, um capacitor de C Farads e um resistor de R ohms, com tensão E . A
equação diferencial que governa o sistema é obtida pela Lei das Tensões de Kirchhoff, e dada por (a dedução
destas equações foi feita em sala de aula e também pode ser estudada nas referências [2] e [3])
1t
Li ' (t )  Ri (t )   i ( )d  E (t ) ,
C0
(5)
ou
Li' ' (t )  Ri ' (t ) 
onde:



1
i (t )  E ' (t ) ,
C
(6)
t : tempo;
E : tensão aplicada (excitação);
i : corrente no circuito (resposta).
Problemas propostos:
5) Determine a função de transferência de um circuito
matemático dado por (5).
RLC passivo considerando seu modelo
6) Determine a função de transferência de um circuito
matemático dado por (6).
RLC passivo considerando seu modelo
7) Explique a diferença entre estas funções de transferência.
RLC passivo onde L  1 H, R  8  , C  1/12 F e tensão
F (t )  Vmax sen(120 t ) .
a) Determine a resposta i  i (t ) usando a equação (2).
b) Determine a resposta i  i (t ) usando a equação (3). Compare com o resultado obtido anteriormente.
c) Use o Matlab para traçar o gráfico de i versus t .
8) Suponha um circuito
RLC passivo onde L  1 H, R  8  , C  1/16 F e tensão
F (t )  V 0 u3 (t )  u5 (t ).
9) Suponha um circuito
a)
Determine a resposta i  i (t ) usando a equação (2).
b) Determine a resposta i  i (t ) usando a equação (3). Compare com o resultado obtido anteriormente.
c)
Use o Matlab para traçar o gráfico de
i versus t .
Referências bibliográficas
[1] Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Willian E. Boyce; Richard C.
Diprima. 3ª Edição, Editora Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, RJ, 1990. (Seção 3.7).
[2] Engenharia de controle moderno. Katsuhiko Ogata. Editora Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro,
RJ, 1982. (Capítulo 4)
[3] Advanced Engineering Mathematics. Erwin Kreyszig. Editora John Wiley & Sons, Inc. Third
Printing, March, 1964. (Seção 2.14)