Aula 18

Transformada de Laplace
Parte 3
Elementos de circuito no domínio da
frequência
• O resistor no domínio da frequência
Pela lei de OHM : v= Ri
A transformada da equação acima é V(s) = R I(s)
• O indutor no domínio da frequência
v= L di/dt
Aplicando Laplace:
V= L[sI – i(0-)] = sLI – LI0
sL é uma impedância de sL Ohms e LI0 é uma fonte
de tensão em volts-segundos.
Modelo alternativo:
I = (V+LI0)/sL = V/sL
+ I0/s
• O capacitor no domínio da frequência
i = Cdv/dt
Aplicando Laplace:
I=C[sV – v(0-)] = sCV – CV0 , sC é uma admitância siemens e 1/sC é a
impedância em Ohms.
Modelo alternativo
V = (1/sC) I + V0/s
Análise de circuitos no domínio da
frequência
•
Tem-se que se a energia armazenada inicial for zero no domínio da
frequência:
V(s) = Z(s) I(s)
em que Z refere-se a impedância do elemento no domínio da
frequência.
•
As leis de Kirchhoff aplicam-se a correntes e tensões em s.
•
As regras de associação de impedâncias (admitâncias) em s são
as mesmas em t.
Aplicações
• Resposta natural de um RC
Tendo o circuito RC no tempo abaixo:
Levando para o domínio s, temos:
A soma das tensões ao longo da malha é:
Tendo I:
A transformada inversa é:
Logo:
Pode-se determinar a tensão antes da corrente. Apenas utilizar o
modelo alternativo ( circuito equivalente alternativo)
• Resposta ao degrau de um RLC
Tendo o RLC abaixo:
O circuito equivalente em s:
Temos que:
IL = V/sL
As somas das corrente que saem do nó superior leva à:
Temos:
Logo:
Substituindo os valores numéricos temos:
Aplicando o teorema do valor final, temos:
Utilizando frações parciais:
Logo:
• Resposta ao degrau de um circuito de múltiplas malhas
Tendo o circuito abaixo:
Em s temos:
As duas equações de correntes de malha são:
Utilizando Cramer para calcular I1 e I2, obtemos:
As correntes são:
Expandindo em frações parciais:
Em t:
Os valores iniciais e finais das correntes são:
i1 (0) = i2(0) = 0
i1(∞) = 15 A
i2(∞) = 7 A
• Utilizando Thévenin
Tendo o circuito abaixo, a energia armazenada é zero:
Em s:
A tensão de Thévenin:
A impedância de Thévenin:
Logo:
Em frações parciais:
Logo:
Pela expressão temos que iC(0) = 6 A.
E é igual se calculamos pelo circuito original: 480/80 = 6 A
A tensão no capacitor em s é:
VC = IC /sC = 12 105 / (s+5000)2
Logo:
vC(t) = 12 105 t e-5000t u(t)
• Resposta transitória de RLC paralelo
Tomando o mesmo circuito RLC anterior, porém colocando uma fonte
de corrente senoidal:
Ig = Imcosωt A
Im = 24 mA e ω = 40000 rad/s
No domínio s:
A tensão:
A corrente no indutor:
Substituindo os valores numéricos:
ω = 40000, α = 32000 e β = 24000
Em frações parciais:
Os valores dos coeficientes:
Logo:
• Teorema da superposição no domínio da frequência
Tendo o circuito abaixo: determinar v2
Em s:
Para determinação de V2 por superposição, calculamos a componente
de V2 devido à ação individual de cada fonte e somamos depois os
componentes.
Primeiramente calculamos a componente devido a fonte de tensão:
Introduzimos a notação:
Logo:
Temos:
Devido à fonte de corrente Ig.
Temos:
Devido à energia inicial no indutor.
Temos:
Devido à energia inicial no capacitor.
A expressão de V2
Função de Transferência
• É a razão, no domínio da frequência, entre a transformada de
Laplace da saída (resposta) e a transformada de Laplace da
entrada (fonte).
• No cálculo da função de transferência, restringimos o estudo a
circuitos nos quais todas as condições iniciais são nulas.
• No caso de múltiplas fontes independentes,podemos determinar a
função de transferência para cada fonte e usar a propriedade de
superposição para determinar a resposta para todas as fontes.
Para o circuito abaixo:
Se a corrente for definida como resposta:
Se a tensão no capacitor for definida como saída:
Exemplo1
Tendo o circuito abaixo. O sinal de resposta é a tensão no
capacitor.Calcule a função de transferência e calcule os polos e
zeros.
Em s:
Somando as correntes que saem no nó superior:
(V0 – Vg)/1000 + V0/(250+0,05s) + V0s/106 = 0
Temos:
Portanto:
Os polos e os zeros:
p1= -3000 + j 4000
p2 = -3000 – j4000
z = -5000
• Os polos devem estar na metade esquerda do plano s para que a
resposta a um sinal limitado seja finita (estabilidade).
• Os termos gerados pelos polos de H(s) dão origem à componente
transitória da resposta global.
• Os termos gerados pelos polos de X(s) à componente de regime
permanente.
Exemplo2
•
a)
b)
c)
d)
O circuito do exemplo anterior é alimentado por uma fonte de
tensão cujo valor aumenta linearmente com o tempo, ou seja,
vg=50tu(t).
Determine v0
Identifique a componente transitória da resposta
Identifique a componente de regime permanente da resposta
Fazer o gráfico de v0
Solução:
a)
Do exemplo anterior temos:
A transformada da entrada é 50/s2, logo a expressão da saída é:
Por frações parciais:
Avaliando os coeficientes temos:
A expressão no domínio do tempo para v0:
b) A componente transitória é:
Observar que esse termo é gerado pelo polos da função de
transferência.
c) A componente de regime permanente
Gerado pelo polo de segunda ordem K/s2.
d)O gráfico de v0
Observações sobre H(s) em análise de
circuitos
• H(s) está relacionada com a resposta de um circuito
• Se a entrada estiver a segundos retardada
Logo a resposta:
Se
Logo, atrasar a entrada de a segundos, a resposta é atrasada de a
segundos (invariância no tempo).
• Se a entrada for um impulso unitário
x(t) = δ(t), então X(s) = 1
e Y(s) = H(s)
Daí:
y(t) = h(t)
Isso implica que a transformada inversa da função de transferência é
igual à resposta do circuito ao impulso unitário.
Logo, a resposta ao impulso unitário, contém informação suficiente
para calcular a resposta para qualquer fonte que alimente o circuito.
A integral de convolução é usada para calcular a resposta de um
circuito a uma fonte arbitrária.
A integral de convolução
t
f(t) = f1X f2 = ∫ f (λ ) f
1
0
t
2
(t − λ )dλ = ∫ f1 (t − λ ) f 2 (λ )dλ
0
F(s)= F1(s)F2(s)
Exemplo 3
• H(s) = Vs(s)/Vf(s) =10/(s+5)
A entrada é uma função degrau Vf = 1/s.
Usar convolução para determinar a tensão
de saída vs(t).
Exemplo 3
• Temos que h(t) é 10e-5t ;Vf(t) é u(t)
e
Vs(s) = H(s)Vf(s)
Por convolução:
t
t
vs(t ) = ∫ 10u (t )e −5( t −λ ) dλ = 10e −5t ∫ e5λ dλ = 2[1 − e −5t ]u (t )
0
0
Função impulso em análise de circuitos
• Operações de chaveamento
Vamos usar um circuito capacitivo para ilustrar como uma função
impulso pode ser criada com uma operação de chaveamento
Em t:
Em s:
Analisando o circuito em s temos:
Ce é o capacitor equivalente
Em t:
A expressão acima mostra que se R decresce, a corrente inicial cresce
e cte de tempo decresce, i tende a uma função impulso.
Veja o gráfico mostrando a influência do R na resposta I.
Em termos expressão se R tende para zero temos:
Em t:
• Fontes impulsivas
Uma fonte impulsiva que alimenta um circuito fornece uma quantidade
finita de energia ao sistema instantaneamente.
O circuito RL abaixo é alimentado por uma fonte impulsiva de tensão.
Em s temos:
A expressão de corrente em s é:
Logo: em t