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UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle
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Revisão de Álgebra Linear
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par
ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou
complexo).
Uma forma muito comum e prática para representar uma matriz
definida na forma acima é através de uma tabela contendo m x n
números reais (ou complexos).
Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.
 a11
a
 21
 "

a m1
a12
a 22
"
am2
! a1n 
! a 2 n 
# " 

! a mn 
Observações
• m indica o número de linhas e n o número de colunas da
matriz A.
• Dizemos que a ordem da matriz A é mxn. Se m=n, dizemos
que a matriz A é (quadrada) de ordem n.
• Na tabela acima a posição de cada elemento aij = a(i,j) é
indicada pelo par ordenado (i,j).
• Indicamos uma matriz A pelos seus elementos como: A = aij
• A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da
forma aij onde i=j.
• Uma matriz quadrada é a que tem o número de linhas igual
ao número de colunas, i.e., m=n.
• A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é
indicada pelos n elementos:
a1n, a2(n-1), a3(n-2), a4(n-3), a5(n-4), ..., a(n-1)2, an1
• Uma matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da
diagonal principal.
• Uma matriz real tem todos os elementos como números
reais.
• Uma matriz complexa tem todos os elementos como
números complexos.
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•
•
•
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Uma matriz nula tem todos os elementos são iguais a zero.
Uma matriz identidade , denotada por Id, tem os elementos
da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal
principal.
Uma matriz diagonal tem todos os elementos que estão fora
da diagonal principal são iguais a zero, podendo ocorrer que
alguns elementos da diagonal principal sejam nulos.
Exemplos:
Matriz 4x4 de números reais:
−6
 12
− 23 − 24

 0
0

0
 0
Matriz 4x4 de números complexos:
7 18
0 0

5 0

0 9
7
i 
12 − 6 + i
− i − 24
0
0 


0
0
5 + i 5 − i


0
0
9 
0
Matriz nula com duas linhas e duas colunas:
0 0 
0 0 


Matriz nula com três linhas e duas colunas:
0 0 
0 0 


0 0
Matriz identidade com três linhas e três colunas:
1 0 0
0 1 0 


0 0 1 
Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
0
23
 0 − 56

0
0

0
0
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0 0 
0 0 

0 0 

0 100
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Matrizes iguais
Duas matrizes A= aij e B= bij, de mesma ordem mxn, são iguais se
todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
aij = bij
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais
as matrizes:
1 2
3 4


e
 x −1
x + y

y − 1
x 2 
Soma de matrizes
A soma (adição) de duas matrizes A= aij e B= bij de mesma ordem
mxn, é uma outra matriz C= cij, definida por:
cij = aij + bij
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B, representadas
respectivamente por:
− 23 10
 7
9 

e
10 5
 8 9


é a matriz C = A+B, representada por:
− 13 15
 15 18


Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa
Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a
igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
A2: Comutativa
Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem mxn, vale a
igualdade:
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A + B = B + A
A3: Elemento neutro
Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz
A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
A4: Elemento oposto
Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta
de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma
ordem, isto é:
A + (-A) = 0
Multiplicação de escalar por matriz
Seja k um escalar e A= aij uma matriz. Definimos a multiplicação
do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=kA,
definida por:
cij = k. aij
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida
por:
− 2 10
7
9 

é a matriz C = -4.A
− 40
 8
− 28 − 36 


Propriedades da multiplicação de escalar por matriz
E1: Multiplicação pelo escalar 1
A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a
própria matriz A, isto é:
1.A = A
E2: Multiplicação pelo escalar zero
A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a
matriz nula, isto é:
0.A = 0
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E3: Distributividade das matrizes
Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer
escalar k, tem-se:
k.(A+B) = k.A + k.B
E4: Distributividade dos escalares
Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:
(p+q).A = p.A + q.A
Multiplicação de matrizes
Seja a matriz A= aij de ordem m x n e a matriz B= bkl de ordem
nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra
matriz C=A.B, definida por:
cuv = au1.b1v + au2.b2v + ... + aum.bmv
para todo par (u,v) em Smr.
Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto
C=A.B, isto é, o elemento c23, devemos:
• multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• somar os quatro produtos obtidos anteriomente.
Assim:
c23 = a21.b13 + a22.b23 + a23.b33 + a24.b43
Podemos visualizar esta operação através das matrizes
seguintes. Basta observar a linha e a coluna em negrito:
 a11
a
 21
a 31

a 41
a12
a13
a 22
a32
a 42
a 23
a33
a 43
a14  b11
a 24  b21
.
a34  b31

a 44  b41
b12
b22
b32
b42
b13
b 23
b 33
b 43
b14   x
b24   x
=
b34   x
 
b44   x
x x
x c 23
x x
x x
x
x

x

x
Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da
segunda.
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Propriedades da multiplicação de matrizes
Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas,
temos algumas propriedades:
M1: Nem sempre vale a comutatividade
Em geral, A.B é diferente de B.A, como é o caso do produto que
segue:
1 2 3  1 2 
2 4 6.3 5 



3 6 9  7 9 
M2: Distributividade da soma à direita
A.(B+C) = A.B + A.C
M3: Distributividade da soma à esquerda
(A+B).C = A.C + B.C
M4: Associatividade
A.(B.C) = (A.B).C
M5: Nulidade do produto
Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz
nula, isto é: A.B = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas,
como é o caso do produto:
0 1  0 2  0 0 
0 0.0 0  = 0 0


 

M6: Nem sempre vale o cancelamento
Se ocorrer a igualdade A.C = B.C, então nem sempre será
verdadeiro que A = B, pois existem matrizes como a matriz C
dada por:
0 5 
0 0 


e as matrizes A e B dadas respectivamente por:
0 1 
0 0 


e
0 2 
0 0 


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de forma que A.C = B.C e não temos que A = B.
Matrizes com propriedades especiais
1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:
Ak = 0
2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:
Ak+1= A
3. Uma matriz A é idempotente, se:
A2 = A
4. As matrizes A e B são comutativas, se:
A.B = B.A
5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:
A.B = - B.A
6. A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A,
fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer
sentido.
Id . A = A
7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:
A.B =Id
e
B.A = Id
A transposta de uma matriz
Dada uma matriz A=ai,j de ordem mxn, definimos a transposta da
matriz A como a matriz
At = aj,i
e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas
de At.
Propriedades da transposição de matrizes
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.
(At)t = A
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz
é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.
(kA)t= k(At)
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T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das
transpostas dessas matrizes.
(A+B)t = At + Bt
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto
das transpostas das matrizes na ordem trocada.
(A.B)t = Bt . At
Análise Vetorial – Matricial
Definições
• Matriz conjugada
1 − j
 1 1 + j
 1
A=
⇒A=

0 
 j −1 0 
− 1 − j
• Matriz Transposta
1 2
1 3 
A=
⇒ AT = 


3 4
 2 4
• Transposta da conjugada A* é a transposta da matriz
conjugada A* = ( A ) T
• Matriz simétrica é aquela que é igual a sua transposta A = AT
• Matriz anti-simétrica é aquela que é igual a negativa de
sua transposta - A = − AT
Notas:
1. A soma de qualquer matriz quadrada a sua
transposta gera uma matriz simétrica - A + AT = B .
Logo B é simétrica;
2. A subtração de qualquer matriz quadrada de sua
transposta gera uma matriz anti-simétrica:
A − AT = C . Logo C é anti-simétrica.
3. A inversa de uma matriz simétrica é simétrica (se a
inversa existir).
Exercício: Podemos escrever qualquer matriz quadrada
como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica !
Prove ?
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• Matriz ortogonal: AT A = AAT = I ; A é real ⇒ A = ±1 e então
A é não singular;
• Matriz Hermitiana: Matriz com elementos complexos
onde A* = A ou aij = a ji . A matriz que satisfaz esta
condição é chamada matriz hermitiana. Uma matriz
hermitiana tem que ser quadrada e os elementos de sua
diagonal principal devem ser reais.
Seja A = B + jC onde A é hermitiana e B e C Reais; Então
B = B T → B é simétrica
C = −C T → C é anti-simétrica
Notas:
1. A inversa de uma matriz hermitiana é hermitiana:
A −1 = ( A −1 ) *
2. O determinante de uma matriz hermitiana é
sempre real
• Matriz anti-hermitiana: A* = − A ; Se
A = B + jC , onde B e C são matrizes reais, então
B = − B T → B é anti-simétrica
C = C T → C é simétrica.
• Matriz unitária: Matriz complexa em que a inversa é
igual a conjugada da transposta
A −1 = A * ou AA* = A * A = I
• Matriz normal: Comuta com sua transposta conjugada
AA* = A * A → onde A é uma matriz complexa, ou
AAT = AT A → onde A é uma matriz real
Determinante
a
a 
Seja uma matriz A =  11 12  , então det(A) = A = a11 a 22 − a12 a 21
a 21 a 22 
 a11
Para uma matriz 3 x 3 tem-se: A = a 21
 a31
det( A) = a11 a 22 a33 + a 21 a 32 a13 + a 31 a12 a 23 − a31 a 22 a13
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a12
a 22
a 32
a13 
a 23  , logo

a33 
− a 21 a12 a 33 − a11 a 23 a32
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Para matrizes de dimensão maior que 3 utiliza-se seguinte
método:
1. Define-se o menor de um elemento aij de uma matriz
quadrada, ao determinante da matriz que resultar ao
suprimirmos a linha (i) e a coluna (j) referente a este
elemento. Exemplo: O menor do elemento a21 referente a
matriz 2 x 2 anterior vale a12. O menor do elemento a12 da
matriz 3 x 3 anterior vale a21a33 – a23a31.
2. Define-se como cofator de um elemento aij de uma matriz
quadrada, ao menor deste elemento com um sinal que
depende da linha e coluna do elemento aij. Para determinar
o sinal basta calcular (-1)i+j. Se a soma da linha i com a
coluna j for um número par, o sinal será positivo, caso
contrário, o sinal será negativo.
3. Para o cálculo do determinante de uma matriz quadrada
qualquer, basta escolher uma linha (ou coluna) e somar cada
elemento desta linha (ou coluna) multiplicado pelo seu
respectivo cofator.
Propriedades do determinante
1. Se duas linhas (ou colunas) são trocadas, somente o sinal do
determinante é mudado;
2. O determinante é invariante pela adição de um múltiplo
escalar de uma linha (ou coluna);
3. Se uma matriz n x n tem duas linhas (ou colunas) idênticas,
então o determinante é igual a zero.
4. Para uma matriz A, n x n, det (AT ) = det ( A ),
det( A* ) = det( A ) ;
5. O determinante do produto de duas matrizes quadradas A
e B vale: det ( AB ) = det (A) det (B) = det ( BA );
6. Se uma linha (ou coluna) é multiplicada por um escalar K,
então o determinante é multiplicado por K.
7. Se A, n x n, então det ( KA ) = Kn det (A).
8. Se os autovalores de A são λi ( i = 1, 2, ..., n), então det ( A )
= λ1λ2...λn.
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9. Se A, n x m e B, m x n, então det (In + AB) = det (Im + BA).
Inversão de matrizes
• Para uma matriz quadrada (n x n) não singular define-se
{∃B BA = AB = I }→ então B = A −1 . A inversa de A existe se A
for não singular, ou o determinante de A for diferente
de zero, ou A não tenha linhas e/ou colunas linearmente
independentes. As três condições são idênticas.
• Uma matriz quadrada é dita singular quando não existe
sua inversa, ou seja, se o determinante da mesma for
nulo o que é a mesma coisa de afirmar que existem linhas
e/ou colunas linearmente dependentes.
• Propriedades da matriz inversa
1. Seja A, n x n e K um escalar, então
( KA) −1 =
1 −1
A
K
2. O determinante da matriz inversa de A é igual ao
inverso do determinante de A
det( A −1 ) =
1
det( A)
• O cálculo da inversa de uma matriz pode ser efetuado do
seguinte modo:
1. Calcula-se o determinante de A. Se este existir,
então A possui inversa.
2. Calcula-se os cofatores de todos os elementos de ª
3. A inversa de A será dada pelo produto do inverso
do determinante de A pela matriz transposta dos
cofatores de ª
A −1 =
1
[cofatores _ A]T
det( A)
Derivada e integral de uma matriz
• Derivada
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da1m (t ) 
 da11 (t )
!
 dt
dt 
dA(t ) 
=
"
#
" 
 da (t )
dt
da nm (t ) 
 n1

!
dt 
 dt
• Integral
 a11 (t )dt !
∫
#
∫ A(t )dt =  "
 a (t )dt !
 ∫ n1
(t )dt 

"

(
)
a
t
dt
∫ nm 
∫a
1m
• Diferenciação de uma matriz
d ( A(t ) + B(t )) dA(t ) dB(t )
=
+
dt
dt
dt
d ( AB) dA
dB
B+ A
=
dt
dt
dt
dAk (t ) dA
dk (t )
k (t ) + A
=
dt
dt
dt
b
b
dA
dB
b
∫a dt B.dt = AB a − ∫a A dt dt
• Derivada de uma função escalar em relação a um vetor
 ∂2J
 ∂J 

 ∂x 
∂x12
∂J  1  ∂ 2 J 
= "
,
=
∂x  ∂J  ∂x 2  ∂ 2 J


 ∂x ∂x
 ∂x 
 n
 n 1
∂2J
∂x1∂x 2
"
∂2J
∂x n ∂x 2
∂2J 

∂x1∂x n 
#
" 
∂2J 
!
∂x n2 

!
• Jacobiano: se uma matriz f(x), m x 1, é uma função
vetorial de um n-vetor x, então:
 ∂f 1
 ∂x
 1
∂f
∂f  1
=  ∂x
∂x  2
"
 ∂f
 1
 ∂x n
∂f 2
∂x1
∂f 2
∂x 2
"
∂f 2
∂x n
∂f m 
∂x1 

∂f m 
!
∂x 2 
# " 
∂f m 

!
∂x n 
!
Vetores e análise vetorial
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• Independência linear de vetores: diz-se que vetores xi
são linearmente independentes caso ocorra
c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n = 0 , somente se c1 = c 2 = ... = c n = 0
• Produto interno
n
< x, y >= x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n = ∑ xi y i
i =1
• Um vetor complexo ou real x é dito normalizado se
< x, x >= 1
• Norma de um vetor (euclidiana) – conceito semelhante ao
de valor absoluto ou P.U. x =< x, x > 2 = x1 + x 2 + ... + x n
1
2
2
2
• Distância entre dois pontos
x − y = ( x1 − y1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + ... + ( x n − y n ) 2
• Ortogonalidade de vetores
• Se o produto interno de dois vetores x e y é igual a
zero, então x e y são ortogonais entre si. Exemplo:
1 
 0
1




x1 = 1 , x 2 = 0 e x3 = − 1
 
 
 
0
1
 0 
• Um conjunto de vetores é dito ortonormal se os mesmos
estão normalizados e são ortogonais, ou seja,
< xi , xi >= 1
< xi , x j >= 0, i ≠ j
Polinômio característico de uma matriz quadrada
• Chama-se polinômio característico de uma matriz An x n , o
polinômio p(λ) = det(A-λIn)
Autovalores de uma matriz
• Os autovalores de uma matriz An x n são as raízes de seu
respectivo polinômio característico.
• O determinante de uma matriz An x n também pode ser
calculado multiplicando-se os autovalores de A.
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Autovetores de uma matriz
• Seja An x n e λ um autovalor de A, se existe um vetor não
 v1 
nulo V =  "  tal que AV1 = λV1 e V1 é não nulo, então V1 é
v n 
1
chamado de autovetor de A.
• Observe que uma matriz A com n autovalores terá n
autovetores (um vetor associado a cada autovalor).
Diagonalização de matrizes quadradas
• Uma matriz An x n é diagonalizável se, e somente se, ela
possui n autovetores linearmente independentes.
• Se uma matriz A é diagonalizável então existe uma
matriz P tal que: P-1AP = D, onde D é uma matriz diagonal
e os elementos desta diagonal são os autovalores de A
(observe que o determinante deve ser invariante).
•
λ1
0
D=
"

0
0
λ2
"
0
! 0
! 0 
a matriz P será composta pelos
# "

! λn 
autovetores associados a cada autovalor da matriz A:
P=[V1 V2 ... Vn].
Formas quadráticas
• Para uma matriz An x n real e simétrica e um n-vetor x, a
n
forma x T Ax = ∑∑ j =1 aij xi x j onde a ji = aij é chamada forma
n
i =1
quadrática real em xi.
• Qualquer forma quadrática real sempre pode ser escrita
como xTAx. Por exemplo:
x12 − 2 x1 x 2 + 4 x1 x3 + x 22 + 8 x32 = [x1
x2
 1 − 1 2  x1 
x3 ]− 1 1 0  x 2 

 
 2 0 8   x3 
• Critério de Sylvester para determinar se uma forma
quadrática é positiva definida: Uma condição necessária
e suficiente para uma forma quadrática xTAx, onde A é
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uma matriz n x n real simétrica, ser positiva definida é
que o determinante de A seja positivo e que os
determinantes menores principais e sucessivos do
determinante A sejam positivos.
Pseudo-inversas
• O conceito de pseudo-inversa de uma matriz é uma
generalização da noção de uma inversa. Ele é útil para se
determinar uma “solução” de um conjunto de equações
algébricas em que o número de incógnitas e o número de
equações linearmente independentes não são iguais.
• Matriz pseudo-inversa: Para uma equação vetorialmatricial Ax = b onde A é uma matriz n x m com posto n,
x é um m-vetor e b é um n-vetor. A solução que minimiza
a norma ||x|| é dada por xo = (ATA)-1AT b
Bibliografia Recomendada
CALLIOLLI, C.A, Domingues, H. Cirta, Roberto C.F. – Álgebra
Linear e Aplicações. São Paulo, Editora Atual 1998.
LAWSON, Terry. Álgebra Linear, São Paulo, Ed. Edgard Blucher,
1997.
KALMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear. Rio de Janeiro.
Ed. Prentice Hall, 1998.
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Revisão de Álgebra Linear