Luciana Nagano Leopize Barros

Propaganda
Luciana Nagano Leopize Barros
Maria Regina Pereira Manzoli Trindade
Nova Andradina – MS/ Outubr/2010.
MATEMÁTICA
Matrizes
Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez
mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras.
Vejamos um exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na
segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no
exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são
denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:


é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna
que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
2
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna
que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª
coluna.
Na matriz
, temos:
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Matrizes
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
 Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a
matriz
A
=[4
7
-3
1],
do
tipo
1
x
4.

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por
exemplo,

,
do
tipo
3
x
1
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas
e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz
é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A
principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
3
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
 Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por
0m x n.
Por
exemplo,
.

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na
diagonal principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal
principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a
ordem da matriz. Por exemplo:
Assim,

para
uma
matriz
identidade
.
Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
4
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde
à 2ª coluna de At.
 Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja,
sempre
a
=
a
ij
ij.
temos

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos
de A. Por exemplo,
.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos
que ocupam a mesma posição são iguais:
.
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes
, chamamos de soma dessas matrizes a matriz
, tal que Cij = aij + bij , para todo
:
A+B=C
Exemplos:


Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a
adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
5
Dadas as matrizes
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
, chamamos de diferença entre essas
A-B=A+(-B)
Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B
do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B = x.A
Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus
respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que
cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da
i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz
Cij:
 1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna
para entender como se obtém cada
6
Assim,
Observe que:
Portanto,
comutativa.
.
.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade
Vejamos outro exemplo com as matrizes
:
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for
igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
 Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
 Se
A
e
B
então
(
A
.
B
)
4
x
2
2
x
1,
4
x
1
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes
propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes.
Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n
não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Matriz inversa
7
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal
que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa por A-1
.
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja,
é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
 Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
 Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas
as coordenadas dos seus vértices;
Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou
seja, é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
 Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
 Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas
as coordenadas dos seus vértices;
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que
não têm o significado de módulo.
Por exemplo:

M= [5]
det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3]
det M = -3 ou I -3 I = -3
Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz
, de ordem 2, por definição o determinante associado a M,
determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto
dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o
exemplo a seguir.
Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e
de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando
suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
8
a) Dada a matriz
, de ordem 2, para determinar o menor complementar
relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo

, de ordem 3, temos:

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz
quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Veja:
a) Dada
b) Sendo
, os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
9
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn
pode ser obtido pela soma dos
produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos
cofatores.
Assim, fixando
, temos:
Em que
é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m,
.
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático,
denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para
.
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve
ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma
deve ser precedida do sinal negativo):
10
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de
Laplace encontraremos o mesmo número real.
Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem
3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para
chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Determinantes
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes
propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante
dessa matriz é nulo.
Exemplo:
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é
nulo.
11
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos
correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos
aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de
filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
12
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda
de sinal.
Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por
.
Exemplos:
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,
Como:
Exemplo:
.
13
P12)
Exemplo:
Software Winmat
Estudando Matrizes e Determinantes utilizando o Software Winmat
1ª Parte - Conhecendo o Software Winmat
Trata-se de um programa gratuito, desenvolvido por Richards Parris, disponível,
em Português, no endereço eletrônico http://www.math.exeter.edu/rparris/winmat.html .
Nesta seção apresentamos algumas informações básicas sobre a utilização do software
Winmat, adaptadas do material produzido por Mauri C. Nascimento, disponível em
http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Winmatpr.pdf. Outras informações poderão ser
obtidas no “ajuda” do programa.
Ao abrir o software, visualizamos a seguinte tela: Para entrar com uma matriz,
acione “Matriz” e, em seguida “Nova”(ou Ctrl+N), na barra de menu do Winmat. Ao fazer
isso, abre-se uma janela onde se escolhe a dimensão e o tipo de matriz (zeros, aleatório,
valor diagonal, linhas de probabilidade ou colunas de probabilidade). Acionando o botão
“criar”, a matriz aparecerá. Se você quiser uma matriz particular, escolha qualquer tipo e
troque os elementos aij da matriz usando o botão da esquerda (para trocar somente um
elemento) ou direito (para trocar todos os elementos) do mouse e acione a tecla “Enter” no
teclado para realizar as trocas. Na parte superior da janela “nova matriz” aparece escrito
“nova matriz [real]”. Isto significa que a matriz a ser criada é uma matriz com elementos
reais. É possível entrar com matrizes com elementos inteiros ou complexos. Para isso
acione, na barra de menu do Winmat, “Matriz” e, em seguida “Modo”.(figura 2)
14
Conhecendo os comandos
Ao abrir o programa a primeira tela que aparecerá será esta indicada pela
figura 1:
Comando da barra de menu do Winmat:
- Matriz:
Nova: para entrar com uma matriz.
Abrir: para abrir uma matriz salva anteriormente.
Colar: para colar uma tabela de números reais, inserida em um texto (fora do
programa). Cada campo numérico é interpretado como uma entrada da matriz. Todo o
material de texto restante é ignorado quando o programa extrai a matriz.
Modo: para escolher o tipo de elemento da matriz (reais, inteiros, complexos).
Rotação 2D: matriz de rotação do plano.
Rotação 3D: matriz de rotação do espaço.
Refletir/ Projetar: matriz para projeção e reflexão.
Fórmula: para escolher o tipo de matriz e digitar a lei de formação da matriz.
Copiar coluna: para criar uma matriz formada por uma coluna de uma das
matrizes já definidas.
Fundo Branco: para que a cor de fundo da matriz seja branca.
Ajuda: para tirar dúvidas sobre os itens desse menu.
Sair: para sair do programa.
- Calc (algumas das opções descritas abaixo só aparecem no modo Real):
Uma Matriz: para obter informações sobra a matriz (posto, traço, determinante,
polinômio característico com suas raízes).
Calcular: para realizar operações com matrizes, por exemplo, AB-2C+B^2, 1/A ou
A^(-1) para inversa de A, A’ para a transposta de A, A/B para justapor as matrizes A e B
(veja ajuda).
Resolver: para resolver um sistema de equações lineares na forma matricial
MX = B, onde B é uma matriz coluna.
Prog Linear: para maximinizar ou minimizar funções lineares definidas em regiões
convexas descritas por desigualdades lineares.
Forma Escalonada: abre uma caixa de diálogo que permite você levar uma matriz
“passo a passo” à forma escalonada por linhas.
Operações linhas/Colunas: para realizar operações elementares sobre linhas e
colunas.
- Ver: acionando “fechar” na janela de uma matriz, ela desaparece da tela. Para
voltar a ver a matriz acione “Ver” e em seguida, a letra que designa a matriz.
15
_
Comando da barra de menu da Matriz:
- Arquivo: para salvar a matriz como matriz (salvar ou salvar como), como texto
(texto externo) ou .tex (TeXto matriz).
- Editar:
Desfazer: desfaz as últimas operações.
Dimensões: para mudar as dimensões da matriz.
Formato: para definir o formato, sendo que “espessura do campo” define o espaço
destinado a cada elemento (aij) e “num decimal” define o número de casas decimais depois
da vírgula.
Resolver: para resolver linhas ou colunas.
Inserir: para inserir linhas ou colunas.
Trocar: para trocar linha ou colunas.
Col por col autoavanço: para entrar com os elementos por colunas (clicando com
o botão direito do mouse). Caso contrário, a entrada dos elementos será realizada por
linhas.
- Misc: Fonte: para escolher o tipo de fonte
Hífen do menos: para aumentar o “sinal de menos”
Cor do bordo: para alterar a “cor dos índices do bordo”
Notas: para digitar notas suplementares sobre uma dada matriz. De início é
mostrada apenas a descrição de usa criação.
- Fechar: para fazer desaparecer da tela a janela da matriz.
_ 2ª Parte – Resolvendo Sistemas Lineares
Nesta seção apresentamos algumas informações sobre a utilização do software
Winmat na resolução de sistemas lineares. Estas informações foram retiradas da apostila
“Cenários
sobre
Sistemas
Lineares”,
disponível
em
http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/CenarioSistemaLinear.pdf .
_ 3ª Parte – Atividades
_ Explorando Algumas Propriedades da Adição e Multiplicação de Matrizes
Atividade 1
a) Clique em Matriz e selecione Nova. Na janela que abrirá, solicite uma matriz
A3x4. Em seguida, clique em aleatório e escolha o intervalo de 0 para 10. Clique em criar.
b) Solicite duas outras matrizes: uma B3x4 e outra C4x2 .
c) Clique em Calc na barra de menu principal e, em seguida, em Calcular. Na
janela que abrirá solicite uma matriz A + C, nomeando-a D. Clique em criar e observe a
mensagem exibida. Reflita sobre o porquê dessa mensagem.
d) Na janela calcular solicite uma matriz A + B, nomeando-a D. Clique em criar.
e) Na janela calcular solicite uma matriz B + A, nomeando-a E. Clique em criar.
f) Compare as matrizes D e E. Descreva o que você observou.
Atividade 2
a) Feche as janelas que contêm as matrizes D e E.
b) Na janela calcular solicite uma matriz A * B, nomeando-a F. Clique em criar e
observe a mensagem exibida. Reflita sobre o porquê dessa mensagem,
comparando o número de colunas de A com o número de linhas de B.
c) Novamente na janela calcular, solicite uma matriz B * C, nomeando-a F.
d) Observe o número de linhas e colunas da matriz F. Compare o tipo da matriz F
com o tipo das matrizes B e C. Descreva o que você observou.
e) Na janela calcular solicite uma matriz C * B, nomeando-a G. Observe a
mensagem exibida. Reflita sobre o porquê dessa mensagem e descreva o que você
observou.
f) Na janela da matriz A, clique em Editar, selecione Remover e, em seguida
clique em Colunas. Na janela que abrirá remova a primeira coluna da matriz A, tornando-a
uma matriz quadrada de ordem 3.
g) Repita o que foi feito no item f, tornando também a matriz B uma matriz
quadrada de ordem 3.
h) Na janela calcular solicite uma matriz A * B, nomeando-a G.6.
16
i) Na janela calcular solicite uma matriz B * A, nomeando-a H.
j) Compare as matrizes G e H. Descreva o que você observou.
k) Feche todas as janelas.
l) Crie a matriz _l) Crie a matriz _
n) Clique em Calc e, em seguida, em calcular. Solicite uma matriz J * K,
nomeando-a L.
o) Na janela calcular, solicite uma matriz K * J, nomeando-a M.
p) Compare as matrizes L e M. Descreva o que você observou.
q) As matrizes L e M comutam. Para que uma matriz comute com outra é
necessário que ambas sejam quadradas de mesma ordem. O fato de duas matrizes
atenderem a esta condição é suficiente para afirmar que elas comutam?
r) Feche todas as janelas.
_ Explorando Algumas Propriedades dos Determinantes
Antes de iniciar as atividades a seguir, certifique-se de que o software
está no modo real.
Atividade 1:
a) Clique em Matriz e selecione Nova. Na janela que se abrirá, solicite uma matriz
A3x3, aleatória.
b) Clique em Calc e selecione Uma matriz, clicando em seguida em A. Isso fará
abrir uma janela com algumas informações, dentre as quais o valor do
determinante dessa matriz. Deixe anotado esse número: __________.
c) Feche a janela que contém o determinante.
d) Na janela da matriz A, clique em Editar, selecione Trocar e, em seguida, clique
em Linhas. Na janela que abrirá, troque a 1° linha pela 3° linha da matriz A
e) Siga os comandos do item b e registre o determinante da matriz assim de
acordo com a figura.
obtida:___________ .
f) Feche a janela que contém o determinante.
g) Na janela da matriz A, clique em Editar e em seguida em Desfazer. Isso desfará sua
última modificação na matriz, fazendo com que a matriz A original volte a ser
apresentada na tela
h) Na janela da matriz A, clique em Editar, selecione Trocar e, em seguida, clique em
Colunas. Na janela que abrirá, troque a 1ª coluna pela 2ª coluna da matriz A.
7
i) Siga os comandos do item b e registre o determinante da matriz assim
17
obtida:___________
j) Feche a janela que contém o determinante.
k) Descreva o que você observou.
l) Feche todas as janelas.
Atividade 2
a) Clique em Matriz e selecione Nova. Na janela que se abrirá, solicite uma matriz A3x3,
aleatória.
b) Substitua os elementos da matriz A por números inteiros.
c) Clique em Calc e, em seguida, em Calcular. Na janela que abrirá solicite uma matriz
2A, nomeando-a B.
d) Novamente na janela Calcular, solicite uma matriz 3A, nomeando-a C.
e) Registre os determinantes com o auxílio do software:
Det A = ______ Det B = ________ Det C = ______
f) Calcule (sem utilizar o software):
Det A
DetB
= _____
Det A
DetC
= _____
g) Feche todas as janelas. Clique em Matriz, selecione Nova e solicite uma matriz D2x2 .
h) Substitua os elementos da matriz D por números inteiros.
i) Clique em Calc e, em seguida,em Calcular. Na janela que abrirá, solicite uma matriz
2 D, nomeando-a E .
j) Novamente na janela Calcular, solicite uma matriz 3D, nomeando-a F.
k) Registre os determinantes com o auxílio do software:
Det (D) = ______ Det (E) = _______ Det (F) = ______
l) Calcule (sem utilizar o software):
DetD
DetE
= _____
DetD
DetF
= _____
m) Observe os itens f e l e descreva um meio de obter determinantes de matrizes do tipo
kM, k R , a partir do determinante da matriz M, sendo M uma matriz quadrada de
ordem n.
8
Atividade 3
a) Mantenha na tela somente a matriz A da atividade 2 .
b) Clique em Calc e, em seguida, selecione Calcular. Na janela que abrirá, solicite uma
matriz A’, nomeando-a B. Isso abrirá uma janela com a matriz B, transposta de A.
c) Registre os determinantes:
Det (A) = ______ Det (B) = _______
d) Feche as janelas. Clique em Matriz, selecione Nova e solicite uma matriz C4x4 ,
aleatória.
e) Repita os comandos do item b para determinar a matriz D, transposta de C.
f) Registre os determinantes:
g) Det (C) = ______ Det (D) = _______
h) Descreva o que você observou.
_ Atividades:
1) Com o auxílio do programa Winmat, resolva as matrizes abaixo:
a) Dadas as matrizes A =
-1 3
4 0
e B= 1
-1
b) Dadas as matrizes A =
1
3
5
e
2
4
6
B=
0
4
-1
2
3
0
, calcule 2.A – 3.B
2
1
, calcule A + 3.B – B
18
c) Dadas as matrizes A = - 2 - 4 e B = - 1
3 5
1
Determine:
I-A+B
II- A + B + C
d) Sendo A =
1
3
2
6
Calcule:
I-A. B
e
B= -2
1
5
-3
e C=
0 -1
-4 -2
III - A – B
4
-2
II - B. A
2) Determine a matriz inversa com o auxílio do programa Winmat da matriz
A= 1
3
2 , se existir.
1
3) Determine, se existir, a inversa das matrizes abaixo com o auxílio do programa
Winmat:
a)
4
3
5
4
b)
3
5
1
2
c) 1
0
0
0
4) Com auxílio do programa Winmat, resolva os determinantes abaixo:
1 0
2 3
-1 2
a)
d)
0
1
3
2
4
2
8
8
-2
1
-2
-3
2
5
4
b)
-2
2
5
6
1
2
2
3
c)
-1
- 2
0
3
5
1
1
-3
2
Download
Random flashcards
A Jornada do Herói

6 Cartões filipe.donner

teste

2 Cartões juh16

Estudo Duda✨

5 Cartões oauth2_google_f1dd3b00-71ac-4806-b90b-c8cd7d861ecc

Estudo Duda✨

5 Cartões oauth2_google_f1dd3b00-71ac-4806-b90b-c8cd7d861ecc

Matemática

2 Cartões Elma gomes

Criar flashcards