Aula 02 - Subconjuntos do Rn

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 02
Assunto:Os espaços
Rn ,
Operações no
Rn ,
Sistemas de coordenadas retangulares tridimensi-
onais
Palavras-chaves: Espaço, operações, pontos, sistemas de coordenadas.
Os espaços Rn (continuação)
O último assunto ministrado na aula passada foi a interpretação geométrica do R, R2 e R3 . Vamos agora
ver o espaço R4 .
O espaço R4 é denido como
R4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ); x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R}
R4 e a planolândia
• Habitantes da planolândia
• A esfera visita o quadrado
• A esfera tenta entrar na planolândia
• A esfera leva o quadrado para o mundo tridimensional
• O quadrado fala de sua "viagem"e é incompreendido
2
• A fuga do quadrado com a ajuda da esfera
• O hipercubo
3
Distância entre pontos
No R2
Sejam P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ) pontos do R2 . A distância entre P1 e P2 é dada por
d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ⇒ d =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Portanto,
d(P1 , P2 ) =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Denotaremos por d(P1 , P2 ) ou |P1 P2 | a distância entre P1 e P2
No R3
Sejam P1 = (x1 , y1 , z1 ) e P2 = (x2 , y2 , z2 ) pontos do R3 . A distância entre P1 e P2 é dada por
D2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ⇒ D =
4
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Portanto,
D(P1 , P2 ) =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
No Rn
Sejam P1 = (x1 , x2 , ..., xn ) e P2 = (y1 , y2 , ..., yn ) pontos do Rn . A distância entre P1 e P2 é dada por
d(P1 , P2 ) =
p
(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + ... + (yn − xn )2
Equação da circunferência (no R2 )
Seja a gura abaixo a circunferência de centro c = (x0 , y0 ) e raio r.
5
Seja P = (x, y) um ponto genérico da circunferência. Logo
d(P, c) = r
Assim, teremos que
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
Casos Particulares
• Circunferência de centro na origem e raio r
x2 + y 2 = r
• Circunferência de centro na origem e raio 1
x2 + y 2 = 1
6
Equação da esfera (no R3 )
Seja a gura abaixo a esfera de centro c = (x0 , y0 , z0 ) e raio r.
Seja P = (x, y, z) um ponto genérico da circunferência. Logo
d(P, c) = r
Assim, teremos que
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2
Casos Particulares
• Esfera de centro na origem e raio r
x2 + y 2 + z 2 = r
• Esfera de centro na origem e raio 1
x2 + y 2 + z 2 = 1
7
Exemplo 1 Mostre que
x2 +y 2 +z 2 +4x−6y+2z+6 = 0 é a equação de uma esfera e encontre seu centro e raio.
Resolução:
Temos que,
x2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + 2z + 6
2
2
2
x + y + z + 4x − 6y + 2z
2
2
2
2
2
x + 2.2x + 2 + y − 2.3y + 3 + z + 2.1.z + 1
2
(x + 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2
2
2
2
2
2
2
(x − (−2)) + (y − 3) + (z − (−1))
(x − (−2)) + (y − 3) + (z − (−1))
A equação dada é de uma esfera de centro
Exemplo 2 Que região do
R3
(−2, 3, −1)
√
e raio
=
0
= −6
= −6 + 22 + 32 + 12
= −6 + 4 + 9 + 1
=
8
√
= ( 8)2
√
8 = 2 2.
é representada pelas seguintes inequações
1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4
Resolução:
Temos que,
1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ⇔
√
1≤
p
x2 + y 2 + z 2 ≤
Portanto, as inequações representam o conjunto
8
√
4 ⇒ 1 ≤ d((x, y, z), (0, 0, 0)) ≤ 2
{(x, y, z) ∈ R3 ; 1 ≤ d((x, y, z), (0, 0, 0)) ≤ 2}
o qual é o conjunto dos pontos do
Exemplo 3 Qual a região do
R3
R3
que distam da origem pelo menos
1
e, no máximo,
2.
é representada pelo seguinte sistema de inequações?
(
1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4
z≤0
Resolução:
O conjunto dos pontos do
R3
representado por esse sistema de inequações é, na verdade, um subconjunto
do conjunto do exemplo anterior que é constituído pelos pontos deste que se encontram abaixo do plano
sobre o mesmo.
9
xy
e
Exemplo 4 Esboce o subconjunto do
R3
representado pelo seguinte sistema de equações
(
x2 + y 2 = 1
z=0
Resolução:
O conjunto é dado por
{(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1
10
e
z = 0}
Exemplo 5 Idem para
(
x2 + y 2 = 1
z=3
(
x2 + y 2 = 1
0≤z≤3
Resolução:
Exemplo 6 Idem para
Resolução:
11
Exemplo 7 Idem para
x2 + y 2 = 1
Resolução:
O subconjunto do
R3
representado pela equação
{(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1
e
x2 + y 2 = 1
é dado por
z ∈ R} = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1}
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