Aula 22 - Problemas Relacionados a Circunferência, Retas e

MATEMÁTICA V
AULA 22: PROBLEMAS RELACIONADOS
À CIRCUNFERÊNCIA, RETAS E
INEQUAÇÕES
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
ANUAL
VOLUME 5
01. Sejam as circunferências:

 12 6 
Centro =  ,  ⇒ ( −6, −3)
 −2 −2
C1 : x 2 + y 2 + 12x + 6y + 36 = 0 ⇒ 
Raio = ( −6)2 + ( −3)2 − 36 = 3


 −4 −6 
,
⇒ (2, 3)
Centro = 
 −2 −2 
C2 : x 2 + y 2 − 4 x − 6y + 9 = 0 ⇒ 
Raio = (2)2 + (3)2 − 9 = 2

Onde:
( −6 − 2)2 + ( −3 − 3)2 = 10
d (C1, C2 ) =
Observe a ilustração:
A
C1
3
x
m
n
10 – x
2
B
C2
o
Por semelhança de triângulos temos:
10 − x x
= ⇒x=4
3
2
Logo:
4
m
3
2
n
6
2
2
2
62 = 32 + m2 ⇒ m = 3 3 e 4 = 2 + n ⇒ n = 2 3
Portanto:
AB = m + n = 3 3 + 2 3 = 5 3
Resposta: D
02. Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são:
A(5, 4)
B(–3, 1)
C(4, 2)
D(–4, –3)
Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação:
x2 + y2 – 2x – 4y – 31 ≤ 0
A ⇒ 52 + 42 – 2 · 5 – 4 · 4 – 31 ≤ 0 ⇒ OK!
B ⇒ (–3)2 + 12 – 2 · (–3) – 4 · 1 – 31 ≤ 0 ∴ –19 ≤ 0 ⇒ OK!
C ⇒ 42 + 22 – 2 · 4 – 4 · 2 – 31 ≤ 0 ∴ –27 ≤ 0 ⇒ OK!
D ⇒ (–4)2 + (–3)2 – 2 · (–4) – 4 · (–3) –31 ≤ 0 ∴ 14 ≤ 0 ⇒ FALSO!
Resposta: D
OSG.: 103590/16
Resolução – Matemática V
03. Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro).
 0 + 4 6 + 0
C= 
,
 ⇒ C = (2, 3)
 2
2 
y
Cálculo do raio da circunferência.
r=
(0,6)
( 4 − 0)2 + (6 − 0)2 2 13
=
= 13
2
2
C
r
Equação da reta tangente à circunferência.
y + 2 = m(x – 3) ⇒ mx – y – 3m – 2 = 0
Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever:
2m − 3 − 3m − 2
= 13 ⇒ (– m – 5)2 = 13(m2 + 1) ⇒ 12m2 – 10m – 12 = 0 ⇒ 6m2 – 5m + 6 = 0
m2 + 1
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:
5 ± 169
3
2
m=
⇒m=
ou m = −
2⋅6
2
3
Se m =
(0,0)
(4,0)
x
3
3
a equação da reta será dada por y + 2 = · (x – 3) ⇒ 3x – 2y – 13 = 0
2
2
Se m = −
2
2
a equação da reta será dada por y + 2 = − · (x – 3) ⇒ 2x + 3y = 0
3
3
Portanto, a alternativa A é a correta.
Resposta: A
04. Como A(–6, 0) e B(0, 4) é diâmetro (note que AÔB = 90°), o centro C da circunferência é ponto médio de AB : x C =
0+4
AB
= 2, ou seja, C = (–3, 2). Já o raio R será R =
=
2
2
(x + 3)2 + (y – 2)2 = 13.
yC =
−6 + 0
= −3 e
2
62 + 42
= 13. Logo, a equação da circunferência será:
2
Resposta: D
05. As coordenadas das intersecções das curvas dadas são iguais às raízes do sistema:
y = x 2
2
 + − = → x + x − 2 = 0 → x = −2 ou x = 1
x y 2 0
Quando x = −2, y = 4 → P1( −2 , 4 )
Quando x = 1, y = 1 → P2 (1 , 1)
Assim, a circunferência de diâmetro P1P2 tem como centro C:
 −2 + 1 4 + 1
 1 5
C
;
 → C  − ; 
 2
2 
2 2
E o raio r da circunferência, portanto, será igual a:
R=
(−2 + 12) + (4 − 5 2)
2
2
=
(− 3 2) + ( 3 2)
2
2
= 9 + 9 = 18 → R = 18
4
4
4
4
A equação da circunferência, portanto, será igual a:
2
2
2
 18 
1 
5

x
+
y
+
−

 
 = 

2
2
 4
1
25 18
x 2 + x + + y 2 − 5y +
=
→ x 2 + y 2 + x − 5y + 2 = 0
4
4
4
Resposta: E
Raul: 11/04/16 – Rev.: AC
10359016-fix-Aula 22 - Problemas Relacionados à Circunferência , Retas e Inequações
OSG.: 103590/16