Probabilidade: A maioria dos fenômenos de que

Probabilidade:
A maioria dos fenômenos de que trata a estatística é de natureza aleatória ou
probabilística. Por isso o estudo do cálculo de probabilidades é necessário para o estudo
da estatística indutiva ou referencial.
Experimento aleatório
Em praticamente tudo vislumbra-se o acaso. Deste modo da afirmação “é
provável que o Flamengo ganhe hoje” pode resultar:
a. que apesar de ser favorito ele perca;
b. que confirme o favoritismo e vença;
c. que empate.
O resultado final depende do acaso. Fenômenos assim são denominados
fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.
Definição:
Fenômenos aleatórios ou experimentos são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes
sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Espaço amostral:
Geralmente a cada experimento correspondem vários resultados possíveis. No
lançamento de uma moeda há dois resultados possíveis: cara ou coroa. No lançamento
de um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Definição:
O conjunto de resultados possíveis de um experimento chama-se espaço amostral ou
conjunto universo, representado por S.
Os experimentos citados têm os seguintes espaços amostrais:
Lançamento de uma moeda: S = {K, C}
Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}
Eventos
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um
experimento aleatório. O evento é representado pela letra E.
Definição:
Qualquer E, E  S ,  E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo.
Se E =  , E é chamado evento impossível.
Exemplos:
No lançamento de um dado, onde S = {1,2,3, 4, 5, 6}, temos:
A = {2, 4, 6}  S logo A é um evento de S
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  S e B = S, logo B é um evento certo de S.
C =  ; logo C é um evento impossível de S.
Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral vamos admitir
que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um
conjunto equiprovável.
Probabilidade de um evento A ( A  S ) :
Onde:
n(A) é o número de elementos de A.
n(S) é o número de elementos de S.
Exemplos:
Considerando o lançamento de uma moeda e o evento “obter cara”, temos:
S = {K, C} => n(S) = 2
A = {K} => n (A) = 1
P(A) =
1
2
Considerando o lançamento de um dado vamos calcular:
a) a probabilidade de “obter um número par na face superior”
b) a probabilidade de “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”
c) a probabilidade de “obter um número 4 na face superior”
d) a probabilidade de “obter um número maior que 6 na face superior”
A partir dos exemplos concluímos que:
a. A probabilidade de um evento certo ocorrer é igual a 1.
P(S) = 1
b. A probabilidade do evento impossível é igual a zero.
P()  0
c. A probabilidade de um evento qualquer E ocorrer () se um número P(E), tal que:
0  P( E )  1
d. A probabilidade de um evento elementar E qualquer é:
1
P( E ) 
n
Eventos complementares
Um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a possibilidade de que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento
existe sempre a relação:
p + q =1 => q = 1 – p
Assim, se a probabilidade de realizar um evento é p =
1
, a probabilidade de que
5
ele não ocorra é:
q = 1 – p => q = 1 -
1
4
= .
5
5
A probabilidade de tirar 4 no lançamento de um é p =
de não tirar o 4 no lançamento de um dado é:
q=
Eventos independentes
1
. Logo a probabilidade
6
Dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos
eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice versa.
Ex: no lançamento de dois dados o resultado de um independe do resultado do outro.
IMPORTANTE: se dois eventos são independentes a probabilidade de que eles se
realizam simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois
eventos.
p  p1  p2
Exemplo: no lançamento de dois dados que a probabilidade de obter 1 no primeiro dado
e 5 no segundo¿
Eventos mutuamente excludentes
Definição:
Quando dois ou mais eventos são mutuamente excludentes quando a realização de um
exclui a realização do(s) outro(s).
Ex: No lançamento de uma moeda o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são
mutuamente exclusivos.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos a probabilidade de que um OU outro
se realize é igual a soma das probabilidades de que cada um deles se realize.
p  p1  p2
Exemplo:
Lançamos um dado. A probabilidade de tirar 3 ou 5 é:
p
1 1 2 1
  
6 6 6 3
Exercícios exemplo:
1. Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas¿
2. Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de baralho de 52
cartas¿
3. Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a. A probabilidade dessa peça ser defeituosa.
b. A probabilidade dessa peça não ser defeituosa.
4. No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.
5. De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente uma carta do primeiro
baralho e uma carta do segundo. Qual a possibilidade de a carta do primeiro baralho ser
um rei e a do segundo ser o 5 de paus.
6. Uma urna A contém três bolas brancas, quatro pretas , duas verdes; uma urna B
contém cinco bolas brancas, duas pretas, uma verde; uma urna C contém duas bolas
brancas, três pretas quatro verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a
probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira serem,
respectivamente, branca, preta e verde?
7. De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a
probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
8. Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de
52 cartas¿
9. Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma
carta de baralho de 52 cartas¿
10. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não
inferior a 5¿
11. São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, concomitantemente, uma carta do
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama
e um rei, não necessariamente nessa ordem¿
12. Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser
10 ou maior que 10.