Representação de sinais periódicos em Série de Fourier

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Representação de sinais periódicos em Série de Fourier
Seja o sinal periódico xt  com Período Fundamental T0 
2
, onde 0 é a
0
Freqüência Angular em radianos por segundos. Este sinal pode ser representado pela
Série Exponencial de Fourier mostrada abaixo:

xt    c k e jk t
0
k  
; ck 
1
T0
 xt e
 jk0t
dt
T0
A demonstração é feita utilizando-se o conceito de ortogonalidade de um
conjunto de funções n t  onde se diz que este conjunto é ortogonal se para quaisquer
pares de funções m t  e k t  pertencentes a este conjunto, com m e k inteiros, a
condição abaixo seja satisfeita:
b
0 , m  k
*
a m t k t dt   , m  k ,
Na expressão acima  é uma constante e  k* t  é o complexo conjugado de
k t  .
Pode-se mostrar que o conjunto de funções periódicas e jk0t é ortogonal no
intervalo igual ao seu período T0 , vejamos:
t0 T0
e
jk0t
t0
1
dt 
e jk0t
jk0
t0 T0
t0
e jk0t0 jk0T0

e
1 
jk0


 jk0 2
 e jk0t0 2j
0
e
 1 
e

 jk0


 cos 2  jsen2  1 logo:
e jk0t0

jk0
Como e 2j
t0 T0

e
jk0t

k

1
dt  0 para k  0
t0
e
t0 T0
t0 T0
t0
t0
jk t
 e 0 dt para k  0 vale
 dt  t
t0 T0
t0
 T0
Logo aplicando o conceito de ortogonalidade no conjunto e jk0t e considerando o
resultado acima temos:
t0 T0
t0 T0
0 , m  k
jm0t  jk0t
j  m k 0t
e
e
dt

dt 
t
t e
T0 , m  k
0
0
Agora façamos a integral abaixo:
t0 T0
 jm t
 xt e 0 dt , e considerando que xt  
t0

c e
k  
k
jk0t
teremos:
t0 T0
 xt e
 jm0t
dt 
t0
t0 T0

 

  ck e jk0t e  jm0t dt   ck
k  
 k 


t0
t0 T0
 xt e
 jm0t
dt 
t0 T0

c e 
k  
t0
j k  m 0t
k
t0 T0
e
jk0t  jm0t
e
dt
t0
dt
t0
Podemos observar então que a integral do lado direito só irá ser diferente de zero
quando k  m e valerá T0 e, portanto, o somatório quando k varia de menos infinito até
mais infinito, só restará o termo c m , logo temos:
t0 T0
 xt e
 jm0t
dt  cmT0
t0
ou
cm 
t0 T0
 xt e
1
T0
 jm0t
dt
t0
Trocando m por k temos então que para:
xt  

c e
k  
temos que ter:
1
ck 
T0
jk0t
k
 xt e
 jk0t
dt
c.q.d.
T0
Série Trigonométrica de Fourier:
xt  
a0 
  a k cosk0 t   bk senk0 t 
2 k 1
a0
 c0 ; a k  2 Reck  ; bk  2 Imck 
2
A demonstração é feita a partir da série exponencial da seguinte forma:
xt  

c e
k  
jk0t
k

1
c e
k  
jk0t
k

 c0   ck e jk0t
k 1
Trocando k por  k no somatório de   até  1 temos:


xt    ck e  jk0t  c0   ck e jk0t
k 1
k 1


xt   c0   ck e  jk0t  ck e jk0t

k 1

xt   c0   ck cos k0t  jsenk0t   ck cos k0t  jsenk0t 
k 1

xt   c0   ck  ck cos k0t   j ck  ck senk0t 
k 1
ck 
Observe que como
c k 
1
T0
 xt e
jk0t
1
T0
 xt e
 jk0t
dt , trocar
k
por
 k obtemos
T0
dt e portanto, considerando que xt  é real c  k é o complexo
T0
conjugado de ck , assim se consideramos que ck    j , ck    j e as
expressões ck  ck    j    j  2 , que é igual a duas vezes a parte real de
ck e a expressão j ck  ck   j   j    j   j 2 j   2 , que é igual a menos
duas vezes a parte imaginária de ck , logo utilizando as definições:
a0
 c0 ; ak  2 Reck  ; bk  2 Imck 
2
Temos:
xt  
a0 
  a k cosk 0 t   bk senk 0 t  , c.q.d.
2 k 1
Representação Harmônica da Série de Fourier:

xt   C0   C k cosk0t   k 
k 1
C0 
a0
2
;  k  tg 1
; C k  ak2  bk2
bk
ak
A demonstração é dada pelo desenvolvimento a seguir. Considerando a
definição de série trigonométrica temos:
xt  
a0 
  ak cosk0t   bk senk0t  
2 k 1
xt  
 a
 
a0   2
bk
k
   ak  bk2 
cosk0t  
senk0t  
2 k 1 
 ak2  bk2
 
ak2  bk2

Como ck    j ; ak  2 Reck  ; bk  2 Imck  suas representações no plano
complexo podem ser dadas pela figura abaixo:
Imaginário
bk  2 Imck 
C k  ak2  bk2
 k  tg 1
bk
ak
a k  2 Rec k 
ck
cos  k 
ak
a b
2
k
2
k
; sen k 
bk
a  bk2
2
k
xt  
a0 
  Ck cos  k cosk0t   sen k senk0t 
2 k 1
Como cos A  B  cos A cos B  senAsenB , temos:

xt   C0   Ck cosk0t   k  , c.q.d
k 1