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GUIA DO PROFESSOR
Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo
e-mail:
[email protected]
DESCRIÇÃO
Esta atividade oferece um conjunto de aplicativos interativos orientados para o estudo das funções
trigonométricas como funções reais.
OBJETIVOS
Apresentar a função de Euler; apresentar as definições das funções trigonométricas como funções reais
através do uso da função de Euler; apresentar uma tabela trigométrica exata para ângulos cujas medidas
em graus são multiplos inteiros de 15; apresentar os gráficos das funções trigonométricas.
QUANDO USAR?
Sugerimos que a atividade seja usada quando da apresentação das funções trigonométricas como funções
reais.
COMO USAR?
Decidir como usar o computador é uma questão que depende de alguns fatores: número de alunos na
turma, número de computadores disponíveis no laboratório de informática e tempo disponível em sala de
aula. Em virtude disto, vamos sugerir três estratégias de uso desta atividade:
1. Como um exercício extraclasse.
Nesta modalidade, você pode propor a atividade para seus alunos como um dever de casa
(valendo um ponto extra), para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um
horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um
computador. Você pode definir um prazo pré-determinado para a realização da atividade (por
exemplo, uma semana). Achamos que não é preciso que você explique o funcionamento
do software da atividade, pois incluímos uma animação ilustrando todos os seus recursos.
Naturalmente, no decorrer do prazo do dever de casa, você poderá tirar dúvidas eventuais de
seus alunos.
Para tornar o trabalho mais orientado e focado, recomendamos fortemente que o dever de casa
seja conduzido através de algumas questões que os alunos deverão estudar com o auxílio
do software da atividade. O formulário de acompanhamento do aluno, apresentado mais
embaixo, sugere vários exercícios. Este formulário também será útil como instrumento para
uma discussão posterior em sala de aula (quando da devolução do formulário) e fornecerá
subsídios para uma possível avaliação.
2. Em sala de aula com um projetor multimídia (datashow)
Se você tiver acesso a um projetor multimídia (datashow) ou a um computador ligado na TV,
você poderá usar o software desta atividade em sala de aula para, por exemplo, ao invés de
desenhar os poliedros no quadro, exibi-los e manipulá-los através do computador. Se houver
tempo, mesmo alguns exercícios do formulário de acompanhamento do aluno poderão ser
resolvidos em sala de aula sob sua orientação.
3. Como uma atividade de laboratório sob a supervisão do professor.
A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os seus
alunos estão interagindo com o computador.
Principalmente nas modalidades 1 e 3, recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de
questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre
para modificá-lo de acordo com suas necessidades):
ftr-aluno.rtf.
Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade
através do seguinte ícone:
.
As respostas dos questionamentos propostos neste formulário não estão incluídas com a atividade, mas
elas podem ser solicitadas através do e-mail [email protected].
OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS
Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em
preencher o formulário de acompanhamento. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os
alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o
registro escrito de suas ideias.
Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no
preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a
habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas.
OBSERVAÇÕES TÉCNICAS
A atividade pode ser acessada usando um navegador (Firefox 2+ ou Internet Explorer 7+), através do
linkhttp://www.uff.br/cdme/ftr/ (endereço alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/). Se você
preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da sua escola instale a atividade para acesso offline,
isto é, sem a necessidade de conexão com a internet.
A atividade pode ser executada em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém,
para executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da
linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte
link http://www.java.com/pt_BR/.
Atenção: se você estiver usando a atividade offline através de uma cópia local em seu computador, é
importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou espaços.
Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é
compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo
laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no
link http://www.java.com/pt_BR/.
Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as
combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que
permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável.
Combinação de Teclas
Efeito
Ampliar
Reduzir
Voltar para a configuração inicial
Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e
aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem
uma programação nativa de acessibilidade.
DICAS
A função de Euler permite definir as funções trigonométricas como funções reais em um nível acessível a
estudantes do ensino médio. Com ferramentas de cálculo diferencial e integral, é possível definir estas
funções de uma outra maneira: através de séries de potências. Mais precisamente, é possível demonstrar
que existe um único par de funções definidas em IR, indicadas por sen e cos satisfazendo as propriedades:
(1) sen(0) = 0, (2) cos(0)= 1, (3) se a e b são números reais,
então sen(a − b) = sen(a) cos(b) − sen(b) cos(a), (4) se a e b são números reais,
então cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b), (5) existe r > 0 tal que 0 < sen(x) < x < sen(x)/cos(x),para
0 < x < r. Para mais detalhes, recomendamos os volumes da obra “Um Curso de Cálculo” do professor
Hamilton Luiz Guidorizzi publicado pela LTC.
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE
Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização da tarefa. Se você
optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da
atividade. Se você optou por um exercício extraclasse, a discussão pode ser feita quando da devolução do
questionário. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por
cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos
exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc.
AVALIAÇÃO
Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório
descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o
professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno.
Recomendamos que o questionário preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao
relatório.
REFERÊNCIAS
do Carmo, M. P.; Morgado, A. C.; Wagner, E. Trigonometria e Números Complexos. Sociedade
Brasileira de Matemática, Coleção do Professor de Matemática, 2005.
Espinosa, G. M. Estudio Socioepistemológico de la Función Trigonométrica. Tesis de Doctorado,
Instituto Politécnico Nacional, Cicata, México, 2005.
Guidorizzi, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Quinta Edição. LTC, 2001,
Kang, O. K. A New Way to Teach Trigonometric Functions. The 10th International Congress on
Mathematical Education, Topic Study Group 9: Research and Development in The Teaching and
Learning of Algebra, 2004.
Lima, E. L.; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E.; Morgado, A. C. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1.
Sociedade Brasileira de Matemática, Coleção do Professor de Matemática, 2003.
Niven, I. Irrational Numbers. The Mathematical Association of America, The Carus Mathematical
Monographs, 1956.
Underwood, R. S. On The Irrationality of Certain Trigonometric Functions. The American Mathematical
Monthly, vol. 28, n. 10, pp. 374-376, 1921.
Atividade: funções trigonométricas
Aluno(a): _____________________________________________________________ Turma: ______
Professor(a): ________________________________________________________________________
PARTE 1
[01] Seja E: IR  C a função de Euler definida considerando-se medidas de ângulos em radianos.
(a) Calcule: E(0), E(/2), E(), E(3/2), E(2), E(/4), E(/6), E(/3), E(/2), E(), E(3/2),
E(2), E(/4), E(/6) e E(/3). Justifique sua resposta!
(b) Em quais quadrantes estão os pontos E(1), E(2), E(3) e E(4)?
[02] Seja G: IR  C a função de Euler definida considerando-se medidas de ângulos em graus.
(a) Calcule: G(0), G(90), G(180), G(270), G(360), G(45), G(30), G(60), G(90), G(180), G(270),
G(360), G(45), G(30) e G(60). Justifique sua resposta!
(b) Em quais quadrantes estão os pontos G(1), G(2), G(3) e G(4)?
[03] Seja E: IR  C a função de Euler definida considerando-se medidas de ângulos em radianos. Se,
para um determinado número real t, E(t) = (15/17, 8/17), calcule E(t), E(t + ), E(t + /2), E(/2  t) e
E(  t).
PARTE 2
[01] Sejam sen: IR  IR e cos: IR  IR as funções seno e cosseno definidas considerando-se medidas de
ângulos em radianos.
(a) Por que (cos(t))2 + (sen(t))2 = 1 para todo t real?
(b) Calcule cos(0), cos(/6), cos(/4), cos(/3), cos(/2), cos(), cos(3/2) e cos(2).
(c) Calcule sen(0), sen(/6), sen(/4), sen(/3), sen(/2), sen(), sen(3/2) e sen(2).
(d) Em quais intervalos a função sen é crescente? Em quais intervalos ela é decrescente?
(e) Em quais intervalos a função cos é crescente? Em quais intervalos ela é decrescente?
(f) Por que cos(t) = cos(t) para todo t real? Isto mostra que cos é função par.
(g) Por que sen(t) = sen(t) para todo t real? Isto mostra que sen é função ímpar.
(h) Por que cos(t + 2 ) = cos(t) para todo t real? Isto mostra que cos é uma função periódica.
(i) Por que sen(t + 2 ) = sen(t) para todo t real? Isto mostra que cos é uma função periódica.
[02] Sejam sen: IR  IR e cos: IR  IR as funções seno e cosseno definidas considerando-se medidas de
ângulos em graus.
(a) Calcule cos(0), cos(30), cos(45), cos(60), cos(90), cos(180), cos(280) e cos(360).
(b) Calcule sen(0), sen(30), sen(45), sen(60), sen(90), sen(180), sen(280) e sen(360).
(c) Calcule cos(1935), sen(1935), cos(3000) e sen(3000).
(d) Por que cos(t + 360) = cos(t) para todo t real? Isto mostra que cos é uma função periódica.
(e) Por que sen(t + 360) = sen(t) para todo t real? Isto mostra que sen é uma função periódica.
[03] Na Parte 2 da atividade são apresentados aplicativos interativos que ilustram as definições das
funções seno e cosseno considerando-se as medidas de ângulos em radianos e graus, respectivamente.
Para o caso das funções seno e cosseno definidas usando medidas de ângulos em radianos, todos os
gráficos estão desenhados usando-se uma mesma escala para todos os eixos coordenados. O mesmo
acontece para os gráficos das funções seno e cosseno definidas usando-se medidas de ângulos em graus?
PARTE 3
[01] Usando o aplicativo da Parte 3 da atividade, escreva os 10 primeiros dígitos da expansão decimal de
sen(1) (lembre-se: aqui 1 indica a medida de um ângulo em radianos).
5
[02] Qual número é maior: sen(1.57) ou sen(1.59) (lembre-se: aqui 1.57 e 1.59 indicam medidas de
ângulos em radianos)?
PARTE 4
[01] Usando o aplicativo da Parte 4 da atividade, escreva os 10 primeiros dígitos da expansão decimal de
sen(1) (lembre-se: aqui 1 indica a medida de um ângulo em graus).
[02] Um dos valores da tabela trigonométrica apresentada por Johann Heinrich Lambert em sua obra
Algebraische Formeln für die Sinus von drey zu drey Graden está errado. Você consegue descobrir qual é
este valor?
[03] Na seção “Informações Suplementares” da Parte 4 da atividade, o seguinte resultado foi apresentado
e demonstrado: se s (considerado como uma medida de ângulos em graus) e sen(s) são números racionais,
então sen(s) pertence ao conjunto V = {−1, −1/2, 0, 1/2, 1}. Enuncie e justifique o resultado equivalente
para sen(t), onde t é uma medida de ângulos em radianos.
[04] (Opcional) A partir dos valores exatos de seno e cosseno calculados em 0, 18, 30, 45, 60 e 90
(números que indicam medidas em graus), calcule os valores de sen(s) para s múltiplo inteiro de 3.
[05] Na Parte 3 da atividade, todos os gráficos são desenhados usando-se uma mesma escala para todos os
eixos coordenados. O mesmo acontece para os gráficos da Parte 4?
PARTE 5
[01] Usando o aplicativo da Parte 5 da atividade, escreva os 10 primeiros dígitos da expansão decimal de
cos(1) (lembre-se: aqui 1 indica a medida de um ângulo em radianos).
[02] Qual número é maior: cos(12.57) ou cos(12.58) (lembre-se: aqui 12.58 e 12.58 indicam medidas de
ângulos em radianos)?
PARTE 6
[01] Usando o aplicativo da Parte 6 da atividade, escreva os 10 primeiros dígitos da expansão decimal de
cos(1) (lembre-se: aqui 1 indica a medida de um ângulo em graus).
[02] Na seção “Informações Suplementares” da Parte 4 da atividade, o seguinte resultado foi apresentado
e demonstrado: para todo número racional s (considerado como uma medida de ângulos em graus), cos(s)
pertence ao conjunto V = {−1, −1/2, 0, 1/2, 1}. Enuncie e justifique o resultado equivalente para cos(t),
onde t é uma medida de ângulos em radianos.
PARTE 8
Observação: todos os eixos apresentados no software desta parte usam uma mesma escala.
[01] Deixe ativas apenas as opções “cosseno”, “seno” e “tangente” no software da atividade. Explique por
que a posição do ponto T no eixo vertical com origem no ponto A é igual a tg().
[02] Deixe ativas apenas as opções “cosseno” e “secante” no software da atividade. Explique por que a
posição do ponto V no eixo x é igual a sec(). Nota: a reta PV é perpendicular ao segmento OP.
[03] Deixe ativas apenas as opções “seno” e “cossecante” no software da atividade. Explique por que a
posição do ponto W no eixo u é igual a cossec(). Nota: a reta PW é perpendicular ao segmento OP.
[04] Deixe ativas apenas as opções “cosseno”, “seno” e “cotangente” no software da atividade. Explique
por que a posição do ponto U no eixo horizontal com origem no ponto B é igual a cotg().
6
PARTE 9
[01] O software da Parte 9 exibe um cilindro circular reto cortado por um plano. Ele é interativo: clique e
arraste o cilindro para observá-lo de posições diferentes. Pergunta 1: o que é a curva vermelha resultante
da interseção do plano com o cilindro? Suponha agora que o cilindro seja feito de papel e que você tenha
marcado (desenhado) sobre sua superfície esta curva vermelha. Pergunta 2: se você cortar o cilindro
seguindo a direção de seu eixo, abri-lo e, então, colocá-lo sobre uma mesa plana, a curva vermelha que
você desenhou terá qual forma?
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