aq = = a = q = aq

Prof. Rivelino – Matemática Básica
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
⎧a 1 =
⎨
⎩q =
Introdução
Chama-se
Progressão
⎧a1 =
⎨
⎩q =
⎧a 1 =
⎨
⎩q =
Exercícios
Geométrica
(PG) a uma seqüência (finita ou infinita) em que
1. Dada a PG finita { 1, 2, 4, 8, 16, 32 },
qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao
determine:
anterior multiplicado por uma constante. Essa
a) a razão (q)
constante chama-se razão (q) da progressão
b) o número de termos (n)
geométrica.
c) o produto de a e a .
1 6
Exemplos:
a) P.G. = ( 1, 3, 9, 27, 81, 243, ..... )
b) P.G. = ( 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... )
2. Dada a PG { 160, -80, 40, -20, 10, -5,
c) P.G. = ( -4, -4, -4, -4, .... )
5
},
2
determine:
Obs: q =
a) a razão
a
a2
a
a
= 3 = 4 = ... = n
a1
a2
a3
a n-1
b) o número de termos
c) a1. a 7
Definição
d) a 2 . a 6
Progressão Geométrica (PG) é toda
sequência
definida
pela
seguinte
lei
e) a 3. a 5
de
recorrência:
3. Escrever os 5 primeiros termos da PG infinita
⎧a 1 = α
, n ∈ ` / n ≥2
⎨
⎩a n = a n −1 . q
nos casos:
onde α e q são constantes reais dadas que
a) a1 = 5 , q = 2
determinam a P.G
b)
a1 = -18 , q = -
c)
a1 =
Nos três exemplos anteriores temos:
a) P.A. = (1, 3, 9, 27, 81, 243, .....)
1
2
1
1
,q=
2
2
d) a 5 = 16 , a 8 = 128
b) P.A. = (2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)
c) P.A. = ( -4, -4, -4, -4, .... )
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Fórmula do termo geral da PG
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Na P.G. com primeiro termo
a1 e
Dada a PG = (
razão
a1 , a 2 , a3 , a 4 , .... a n , ... ),
a soma dos n primeiros termos da mesma é
q, temos:
PG = (
dada por:
a1 , a 2 , a3 , a 4 , .... a n , ... ).
O termo geral a n (enésimo termo da
Sn =
a1. ( q n -1 )
q-1
PG) é dado pela expressão:
a1 = primeiro termo
a = a . q n-1
n
1
q = razão
( n ∈ ` ) onde,
*
n = quantidade de termos a serem somados
a1 = primeiro termo
S n = Soma dos n primeiros termos da PG
q = razão
n = posição de a n na PG ( índice de a n )
8. Determine a soma dos 7 primeiros termos das
seguintes PGs:
a n = valor do enésimo termo da PG
a) (5 , 10 , 20 , ... )
b) ( -
Exercícios
4. Obtenha
o
centésimo
termo
da
c) (
P.G.
2 2
, , ... )
9 3
27
9
,−
, ... )
4
2
d) ( - 8 , - 8 , - 8 , ... )
(2, 6, 18, ...).
e) ( 6 , - 6 , 6 ... )
5. Calcule o vigésimo primeiro termo da
9. Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da
sequência ( 1, 0, 3, 0, 9, 0, ... )
série 1 +
6. Se o oitavo termo de uma progressão
geométrica é
1
1
e a razão é , qual é o
2
2
10. Se S3 = 21 e S4 = 45 são, respectivamente,
primeiro termo dessa progressão?
as somas dos três e quatro primeiros termos
7. Os três primeiros termos de uma progressão
geométrica
são
a1 =
2
,
a2 =
1
1
1
+ + + ...
2
4 8
3
2
de uma progressão geométrica cujo termo
inicial é 3, determine a soma dos cinco
e
primeiros termos da progressão.
a3 =
6
2
. Qual o quarto termo da mesma?
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Soma dos termos da PG Infinita (S)
Dada a PG = (
14. O lado de um triângulo eqüilátero mede 3.
a1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... ),
Unindo os pontos médios de seus lados,
a
obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo
soma dos seus infinitos termos é dada por:
os pontos médios do novo triângulo obtém-se
outro
a
S = 1 , com -1<q<1
1-q
triângulo
sucessivamente.
eqüilátero,
Calcule
a
e
assim
soma
dos
perímetros de todos os triângulos citados.
11. Calcule a soma dos termos das seguintes
15. O conjunto solução da equação
sequências:
( x − 1)2
( x − 1)2
( x − 1)2
+
+
+ ... = 4 é dado
2
4
8
2 2
2
⎛
⎞
,
, ... ⎟
a) ⎜ 2 , ,
5 25 125
⎝
⎠
por:
1 1
⎛
⎞
b) ⎜ -3 , -1 , - , - , ... ⎟
3 9
⎝
⎠
a) {-1}
b) {1 , 3}
1
1
⎛
⎞
, ... ⎟
c) ⎜ 5 , -1 , , 5 25
⎝
⎠
c) {3}
d) {-1,3}
12. Calcule a soma da série infinita:
n
1+2+
16. O valor da soma: 1 +
n
1
2
1
2
⎛1⎞
⎛1⎞
+ + +
+ ... + ⎜ ⎟ + 2. ⎜ ⎟ + ...
3
5
9
25
⎝3⎠
⎝5⎠
1 1
+ + ... é:
3 9
a) 2
b) 3
13. Usando a fórmula da soma dos termos da PG
c) 4
infinita, determine a fração geratriz de cada
d) n.d.a
uma das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,666...
17. Deixa-se cair uma bola elástica de uma altura
de 3 metros. Após cada choque com o solo, a
b) 3,888...
bola salta até uma altura igual a
c) 12,333...
1
da altura
5
que tinha anteriormente. A distância teórica
total, em metros, que seria percorrida pela
d) 0,3636...
bola até ele ficar em repouso é:
e) 1,4545...
a) 3,5
c) 3,75
b) 4,5
d) 4,75
f) 0,2444...
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18. A soma das raízes da equação
2x
x2 +
31
+
2x
32
+
2x
33
+ ... = 2 é:
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
19. Calcule o valor de S = 64 + 64 + 64 + 64 + ...
5
25
20. Os números x e y são tais que
é
(
uma
progressão
2 - 1 , x , y , 7.( 2 + 1) )
125
25 ⎞
⎛ 1
⎜− , x , y ,
⎟
6 ⎠
⎝ 6
aritmética
é
e
uma
progressão geométrica. Determine o valor de
x 2 y + xy 2 .
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