Progressão Geométrica

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ÁLGEBRA - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Álgebra
Progressão geométrica (P.G.)
11. Determine o primeiro termo da P.G.
em que a 8 = 4374 e a razão é q = 3.
1. Calcule o valor de x, sabendo que:
a) x + 4, 6x e 20x - 16 formam nessa
ordem, uma P.G..
b) x, x + 3 e 2x + 6 formam, nessa ordem, uma P.G. crescente.
2. Calcule o sexto termo de uma progressão geométrica, sabendo que as expressões x, x + 5 e x + 15 são, nessa ordem,
os três primeiros termos.
3. Dada a P.G. (3,x,12,y), calcule x e y.
4. As expressões x + 2, 2x + 5 e 8 - x
formam, nessa ordem, uma P.G.. Calcular o valor de x e escrever a P.G..
5. Escreva:
a) uma P.G. de quatro termos em que
a 1 = 5 e q = 3.
b) uma progressão geométrica de 6
termos em que a 1 = -2 e q = 2.
c) uma progressão geométrica de cin-
12. Qual o primeiro termo da progressão
geométrica em que a 3 = 24 e a 7 = 384?
13. Qual o primeiro termo da progressão
geométrica em que a 3 = 10 e a 6 = 80?
14. Obtenha três números em P.G. de
modo que sua soma seja 13 e seu produto, 27.
15. Determine três números em P.G.,
sendo seu produto 64 e sua soma -6.
16. Calcular o quinto termo de uma P.G.,
sabendo que a 2 = 6 e a 7 = 192.
17. Determinar a posição do número 729
1 1 1

na P.G. 
, , , ... .
 243 81 27
18. Calcular o décimo termo da progressão geométrica  , , , 1, ...  .
1 1 1
8 4 2
1
co termos em que a 1 = 540 e q = .
3
a1 =
y3

19. Qual o termo geral da progressão geométrica (2, 8, ...).
d) uma progressão geométrica de 4
termos em que a 1 = 2 -3 e q = 2 2 .
e) uma P.G. de quatro termos em que
x

20. Encontre o termo geral uma progressão geométrica (1, 5, ...).
2
eq=y .
21. Qual o 6º termo da progressão geométrica 512, 256, ....
6. Determine o valor de x, de modo que
os números x + 1, x + 4 e x + 10 formem, nesta ordem, uma P.G..
7. Dados os números 1, 3 e 4, nesta ordem, determine o número que se deve
somar a cada um deles para que se tenha
uma P.G..
8. Três números estão em P.G. de tal
forma que a sua soma é 130 e o produto
é 27000. Calcule os três números.
9. Numa P.G. de 5 termos, a soma dos
dois primeiros é 32 e a soma dos dois últimos é 864. Qual o terceiro termo da
P.G.?
10. Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois
primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
22. Qual é o primeiro termo de uma
P.G., na qual o décimo primeiro termo é
3072 e a razão é 2?
23. Uma P.G. tem 6 termos, sendo 2 o
último termo e
1
a razão. Qual é o pri4
meiro termo dessa P.G.?
24. Calcule:
a) o décimo termo da progressão geo81 27 9
métrica  , , , ... .
 16 8
4

b) o décimo segundo termo da P.G.
1
1 1

,
, , ... .
definida por 
 729 243 81

c) o oitavo termo da progressão geométrica (729, 243, 81, ...).
1
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36. Numa P.G. crescente, com cinco termos, o quinto é 810 e o terceiro, 90. Escreva essa P.G..
25. Sabendo que, numa P.G.:
a) a 2 = 2 e a 5 = 54, calcule o primeiro
termo.
b) a 3 = 4 e a 5 = 54, calcule o sétimo
termo.
c) a 5 = 32 e a 8 = 256, calcule o 10º
termo.
d) a 1 = 2 e a 12 = 4096, calcule a razão.
26. Os três primeiros termos de uma P.G.
são x + 1, 2x + 12x. Calcule o valor do
quinto termo.
37. Sabe-se que, numa P.G., o terceiro
termo é 16 e o sexto, 1024. Escreva essa
P.G..
38. Numa P.G., o quinto termo é 32 e o
oitavo, 256. Calcule a razão e o primeiro
termo.
39. Quantos termos tem a progressão geométrica finita (3, 6, 12, ..., 3072)?
27. Determine a posição do número:
a)
40. Determine a posição ocupada pelo
termo de valor 13122 na P.G. finita em
que o primeiro termo é 2 e a razão, 3.
729
numa uma progressão geomé32
27
trica onde a 2 = 2 e a 5 =
4
41. Obtenha a P.G. em que a soma do
primeiro termo com o terceiro seja 20 e a
do segundo com o quarto, 60.
1 1 1
b) 4096 na P.G.  , , ,... 
8 4 2

42. Numa P.G., a soma dos dois primeiros termos é 1 e a do terceiro com o
quarto, 9. Determine a P.G..
28. Calcule o número de termos de uma
P.G., sabendo que o último termo é
1250, o primeiro é
2
e a razão é 5.
25
43. Determine a soma dos termos de cada
P.G.:
29. Faça a interpolação de :
a) cinco meios geométricos entre 3 e
12288
b) cinco meios geométricos entre 1 e


a)  30, 15,
15 15 15 15 
,
,
,

2 4 8 16 
b) (-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512)
792
64
c)
1
e
c) oito meios geométricos entre
243
(
2 , 2, 8 , 4, 32 , 8, 128 , 16
)
1 1 1 1 1 1
d) 1, , , , , , 
 2 4 8 16 32 64 
81.
30. Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.
31. Insira dois meios geométricos reais
entre -3 e 24.
32. Entre os números 18 e b foram inseridos 2 termos, obtendo-se uma P.G. de
razão 3. Qual o valor de b?
33. Inserindo-se quatro meios geométricos entre a e 486, obtém-se uma P.G. de
razão igual a 3. Qual o valor de a ?
34. Inserindo-se cinco meios geométricos
entre 8 e 5832 obtém-se uma seqüência.
Determine o quinto termo dessa seqüência.
35. Numa P.G. de razão 3, o primeiro
termo é 9 e o último é 3 20 . Quantos termos tem essa P.G.?
e) (2, -4, 8, -16, 32, -64, 128)
44. Calcule a soma dos vinte primeiros
termos da P.G. (- 5, - 5, - 5, ...).
45. Determine a soma dos dez primeiros
termos da P.G. (1000, 100, 10, ...).
46. Numa P.G. conhecemos S 8 = 1530 e
q = 2. Calcule a 1 e a 5 .
47. Obtenha a soma dos seis primeiros
termos da P.G. (7, 14, ...).
48. Qual será a soma dos vinte primeiros
termos de uma P.G. em que o primeiro
termo é 1 e a razão, 2.
49. Numa P.G. a soma dos termos é 728.
Sabendo-se que a n = 486 e q = 3, calcular
o primeiro termo dessa P.G..
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50. Resolva a equação:
10x + 20x + 40x + ... + 1280x = 7650.
51. Numa PG, a 2 = 6 e a 4 = 54. Ache a
soma dos cinco primeiros termos.
um terceiro e, assim, infinitamente. Determine o limite da soma:
52. Quantos termos devemos considerar
na P.G. (3, 6, ...) para se obter uma soma
de 765?
b) das áreas dos infinitos quadrados
construídos.
a) dos perímetros dos infinitos quadrados construídos;
61. Calcule x nas equações abaixo:
x x x
a) x + + + + ...= 12
2 4 8
53. Calcule o termo a 3 de uma P.G., sabendo que S n =
5n −1
é a soma dos seus
4
x +1 x +1 x +1
81
+ ... =
+
+
3
9
27
2
2x
100
c) 10x + 2x + + ... =
5
3
b)
n primeiros termos.
54. Calcule a soma dos termos de cada
uma das seguintes P.G.:
62. Qual o valor da expressão:
10
c) (-30, -10, − , ...)
3
1
a) (5, 1, ,...)
5
1 1
+
+ ...
x x2
1 1
1
1
+ 3 + 5 + 7 + ...
x x
x
x
x +1+
b) (20, 10, 5, ...) d) (2 -2 , 2 -4 , 2 -6 , ...)
55. Obtenha a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
p
, com p e q primos entre si,
q
a soma dos infinitos termos da seqüência
63. Sendo
a) 0,999... b) 0,25151... c) 0,42333...
d) 2,666... e) 1,3555...
1 1 1 
, ,... , a soma p + q é:
 ,
 2 6 18 
56. Resolva as equações em que o primeiro membro representa a soma dos
termos de uma P.G. infinita:
a) 80x + 40x + 20x + ... = 320
b) x +
c) x 2 -
64. Em uma P.G., o primeiro termo é 2 e
o quarto termo é 54. O quinto termo dessa P.G. é:
x x
+ + ... = 12
3 9
2
2
65. Em uma P.G. de 5 termos, a soma
dos dois primeiros termos é 32 e a soma
dos dois últimos é 864. O terceiro termo
da P.G. é:
2
x
x
x
+
+ ... = 6
2
4
8
57. Calcule o limite da soma de cada
uma das seguintes progressões geométricas:
a) (12, 6, 3, ...)
b) (27, 9, 3, 1,.. )
4 8
1 1 2
c) (3, 2 , , , ...)
d) ( , , ,... )
3 9
2 3 9
58. Calcule o primeiro termo e a razão
de uma P.G. convergente, sabendo que o
64
e que o segundo
limite da soma é
3
termo é 4.
66. A soma dos dois primeiros termos de
uma P.G. de razão positiva é 15. A soma
do terceiro termo com o quarto termo é
60. Qual é a razão dessa P.G.?
67. O quinto e o sétimo termos de uma
P.G. de razão positiva valem respectivamente 10 e 16. O sexto termo dessa P.G.
é:
68. Numa P.G. de 4 termos a soma dos
termos de ordem par é 10 e a soma dos
termos de ordem ímpar é 5. Então, o
quarto termo dessa progressão é:
59. Calcule o primeiro termo de uma
P.G. sabendo que a soma dos infinitos
1
termos é 16 e a razão é .
2
69. A soma dos termos de ordem ímpar
de uma P.G. infinita é 81 e a soma dos
termos de ordem par é 27. O primeiro
termo da progressão é:
60. Dado um quadrado de lado 8, unindo
seus pontos médios dois a dois obtemos
um segundo quadrado. Repetindo essa
operação no segundo quadrado, obtemos
3
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70. Simplifique A =
3
x .3
3
x3
3 3
efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos litros de álcool sobram
na mistura?
x .... .
71. Sendo a n o termo geral de uma P.G.,
onde n ∈ N - {0}, se a 3 + a 6 = -60 e
a2
+ a 4 = 20, o sexto termo dessa progressão é:
81. Obtenha a PG cujos elementos verificam as relações.
a 2 + a 4 + a 6 = 10 e a 3 + a 5 + a 7 = 30
82. No máximo quantos termos tem uma
PG cujo primeiro termo é 1458 e último
termo é 2, se queremos que sua razão seja menor do que 1/3?
83. Se numa PG cujo termo inicial é 3
tem-se que S 3 = 21, S 4 = 45, obtenha S 5 .
OBS: S n = soma dos n primeiros termos
da PG.
84. No mínimo quantos termos da PG (1,
3, 9, 27, ...) devem ser somados para que
a soma seja maior do que 5000?
85. Qual o erro cometido quando, em vez
de somar os 1000 elementos iniciais,
calcula-se a soma dos infinitos termos da
72. Uma bola é lançada, na vertical, de
encontro ao solo, de uma altura h. Cada
vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura de que caiu. Determine a
distância total percorrida pela bola em
sua trajetória, até atingir o repouso.
73. O lado de um triângulo eqüilátero
mede 3 cm. Unindo-se os pontos médios
de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos
médios dos lados do novo triângulo, obtém-se um outro triângulo eqüilátero, e
assim sucessivamente.
a) Determine a soma dos perímetros
de todos os triângulos.
b) Determine a soma das áreas de todos os triângulos.
1
PG 1, ,...  ?
 3

86. Determine m, sabendo que:
2+
74. Qual é o número que devemos somar
aos números a – 2, a e a +3 para obtermos três números em PG?
4
8
14
+ 2 + ... = .
m m
5
87. Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
a) 0,(417) c) 0,17(09) e) 183,(24)
75. Sabendo que (x + 1, x + 3, x + 4) é
uma PG, calcule o 100º termo.
b) 5,(12)
76. Obtenha a PG de quatro elementos
em que a soma dos dois primeiros é 12 e
a soma dos dois últimos é 300.
d) 9,3(85)
88. A soma dos termos de ordem ímpar
de uma PG infinita é 20 e a soma dos
termos de ordem par é 10. Obtenha o
primeiro termo.
77. Prove que se x,y,z estão em PG, nessa ordem, vale a relação:
(x + y + z)(x - y + z) = x 2 + y2 + z 2
78. Os lados de um triângulo retângulo
apresentam medidas em PG. Calcule a
razão da PG.
89. Divide-se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se
a parte central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se
suas partes centrais e assim sucessivamente. Calcule a soma dos comprimentos
retirados.
79. Sabendo que a população de certo
município foi de 120000 habitantes em
1990 e que essa população vem crescendo a taxa de 3% ao ano, determine a melhor aproximação para o número de habitantes desse município em 2013.
90. O lado de um triângulo eqüilátero
mede 3. Unindo os pontos médios de
seus lados, obtém-se um novo triângulo
eqüilátero. Unindo os pontos médios do
novo triângulo, obtém-se outro triângulo
eqüilátero, e assim sucessivamente. Calcule a soma dos perímetros de todos os
triângulos citados.
80. Um químico tem 12 litros de álcool.
Ele retira 3 litros e os substitui por água.
Em seguida, retira 3 litros da mistura e
os substitui por água novamente. Após
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91. Num triângulo eqüilátero de lado a se
inscreve uma circunferência de raio r.
Nesta circunferência, se inscreve um triangulo eqüilátero de lado a’ e neste inscreve-se uma circunferência de raio r’.
repete-se indefinidamente a operação de
inscrição. Calcule:
a) o limite da soma dos lados dos triângulos;
b) o limite da soma dos raios das circunferências;
c) o limite da soma das áreas dos triângulos;
d) o limite da soma das áreas dos círculos.
RESPOSTAS
1. a) 2 b) ±3
2. 160
3. x = 6 e y = 24 ou
x = -6 e y = -24
4. x = -1, 1, 3, 9
9
5
x=- ,
1 7 49
, ,
5 5
5
5. a) 5, 15, 45, 135
b) -2,-4,-8,-16,-32,-64
c) 540,180,60,20,
-3
-1
d) 2 , 2 , 2, 2
e)
n
y
,
3
20
3
44. - 100 45.
15.
17.
20.
21.
2,4,8 ou 8,4,2 16. 48
12ª 18. 64 19. a n =2 2n-1
an = 5n - 1
16
22. 3
23. 2 1 1
b) 243 c)
1
3
b) 324 c) 1024
d) 2
26. 24
27. a) 7ª b) 5ª
28. 6
29. a) 3, 12, 48, 192, 768,
3072, 12288
1 9
, ,
2 4
243 792
,
32
64
1
1
,
,
c)
243 81
30.
31.
32.
35.
27 81
,
,
8 16
1
27
,
1
9
,
3 9
, ,... ou
4 4
3
9
, - , ...
2
2
945
b) -1016
16
127
15 2 + 30 d)
64
e) 86
14. 1,3,9 ou 9,3,1
b) 1,
1
,
4
1
- ,
2
c)
5
2
2
24. a)
3
42.
n
, ny, ny3
y
13.
64
243
10, 30, 90, 270, 810
(1,4,16,64,256,1024)
a1 = 2 e q = 2
11
40. 9ª
2, 6, 18, 54, ...
43. a)
3
6. 2
7. -5
8. 10, 30, 90 9. 72
10. q = 3 11. 2 12. 6
24. a)
36.
37.
38.
39.
41.
1
,
3
1, 3, 9
1, 3, 9, 27, 81, 243
-3, 6, -12, 24
486
33. 2
34. 648
19
46.
47.
49.
51.
52.
1010 − 1
9.10 6
a 1 = 6 e a 5 = 96
441 48. 2 20 - 1 = 1023
2
50. 2
242 ou -122
8 termos 53. 25
25
54. a)
4
b) 40
c) -45 d)
55. a) 1
c)
127
300
56. a) 2
1+ 5
2
78.
81. a n =
82. 4
10 n −1
.3
293
83. 93
84. 8
999
1 1
. 
2  3
139
87. a)
333
47
c)
275
85.
86. 7
169
333
4646
d)
495
81411
e) R.:
99
88. 15
c)
b) 83/330
79. 131127
80. 2,85 litros
b)
89. m
91. a) 2a
1
3
d)
73. a) 18cm
b) 3 3 cm 2
74. 6 − a
75. -2 -97
76.(2, 10, 50, 250) ou
(-3, 15, -75, 375)
77. demonstração
3 2
a
3
b)
90. 18
3
a
3
d)
π
a2
9
8
61
e)
45
3
b) 8
c) 3, -3
81
3
c) 9 d)
57. a) 24 b)
2
2
1
58. a 1 = 16 e q =
4
59. 8
60. a) 64 + 32 2
61. a) 6
b) 80
b) 128
c)
8
3
62. x.(x+ 1)
63. 7
64. 162 65. 72 66. 2
67. ±10 6 68. 8 69. 72
70. x 71. 2/9
72. 3h
5
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