423060950-Analise

FUNDAMENTOS
DE ANÁLISE
autor
JONAS DA CONCEIÇÃO RICARDO
1ª edição
SESES
rio de janeiro
2018
Conselho editorial roberto paes e gisele lima
Autor do original jonas da conceição ricardo
Projeto editorial roberto paes
Coordenação de produção gisele lima, paula r. de a. machado e aline karina
rabello
Projeto gráfico paulo vitor bastos
Diagramação bfs media
Revisão linguística bfs media
Revisão de conteúdo cristiane mota lourenço
Imagem de capa thomas m perkins | shutterstock.com
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida
por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em
qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2018.
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento
Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa
Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário
Prefácio
7
1. Os números naturais
9
O conjunto dos naturais
Os axiomas de Peano
Propriedades da adição e multiplicação dos números naturais
Relação de ordem no conjunto dos naturais
Boa ordenação ou boa ordem
Princípio da indução finita
Indução finita
Indução completa
Teorema de cantor
2. Os números reais
10
11
12
13
15
15
17
21
22
27
Corpo
Axiomas da adição
Axiomas da multiplicação
Axioma da distributividade
28
28
29
29
Corpo ordenado
Relação de ordem em um corpo ordenado
30
30
Valor absoluto
Propriedades do valor absoluto
31
31
O conjunto dos números racionais (Q)
Adição
Multiplicação
32
32
32
O conjunto dos números irracionais (R - Q = I)
Alguns exemplos de números irracionais
33
33
O Conjunto dos números reais
34
Corpos limitados
Cota superior
35
35
Cota inferior
Ínfimo
Supremo
35
36
37
Propriedade arquimediana
37
Cortes, celas e intervalos
Cortes
Celas
Intervalos
38
38
38
39
O Conjunto de cantor
40
Espaços vetoriais
42
Produto interno
44
Espaço vetorial normado
46
Noções de topologia da reta
Conjuntos abertos
Conjunto fechado
Pontos de acumulação
Conjuntos Compactos
46
46
47
48
48
3. Sequências
51
Sequências numéricas
52
Convergência de uma sequência
Sequências em que o limite é uma forma indeterminada
Sequências alternadas
54
59
60
Limites de uma sequência
Teoremas para a verificação da convergência de sequências
60
61
Sequências monótonas
63
Sequência limitada
Sequência limitada superiormente e inferiormente
67
67
4. Séries infinitas
71
Séries numéricas
72
Séries infinitas
73
Teste do n-ésimo termo para divergência
75
Séries geométricas
76
Testes de convergência de séries
Teste da comparação
Teste da comparação com limite
78
78
79
Teste da integral
82
Série de Dirichlet ou séries p e a série harmônica
84
Critérios para a convergência ou divergência de uma série
85
Séries alternadas
Teste de Leibniz ou testes das séries alternadas
86
86
Convergência absoluta, teste da razão e teste da raiz
Convergência absoluta
Teste da razão
Teste da raiz
87
88
88
91
5. Séries de potências, série de Taylor e
série de Maclaurin
95
Séries de potências
96
Raio de convergência
99
Intervalo de convergência
Cálculo do intervalo de convergência
103
103
Série de Taylor e série de Maclaurin
106
Prefácio
Prezados(as) alunos(as),
Ao estudarmos Análise Matemática, lidaremos com os conceitos que foram
abordados em Cálculo Diferencial e Integral, mas de maneira a serem apresentadas com o rigor matemático que lhe é exigido, em Cálculo, o conteúdo foi apresentado de forma intuitiva.
O material produzido não esgota os conteúdos abordados, porém a sua utilização faz o aluno ter um entendimento mais fundamentado sobre os conjuntos
numéricos, pois verá como o conjunto dos números naturais e os conjuntos dos
números reais foram construídos e como se comportam as sequências e as séries
infinitas, que são funções de números reais.
Prezamos sempre pela formalidade matemática, todavia se apropriando da
Teoria das Transposições Didáticas (Instrumento por meio do qual transforma-se
o conhecimento científico em conhecimento escolar, para que possa ser ensinado
pelos professores e aprendido pelos alunos).
Este livro está dividido em cinco capítulos. No primeiro capítulo apresentamos a construção dos Números Naturais. No segundo capítulo, abordamos o
conceito dos Números Racionais e apresentamos a construção do conjunto dos
Números Reais. No terceiro capítulo, abordaremos as sequências infinitas. No
quarto capítulo serão apresentadas as séries de termos constantes.
No quinto e último capítulo continuaremos abordando o conceito de séries,
porém as séries de termos variáveis que são as séries de Potência, as séries de Taylor
e as séries de Maclaurin
Um diferencial do material que está sendo apresentado são os links de vídeos aulas sobre os temas abordados, separados por capítulo, assim como alguns
applets do geogebra (software de matemática) em que podem ser verificados os
comportamentos de algumas sequências e séries, no que tange à sua convergência
ou divergência.
Esses conceitos abordados irão favorecer a ordenação do pensamento matemático e também ajudará aos futuros professores em suas aulas no ensino básico
quando do tratamento de conceitos matemáticos que possam exigir algum tipo
de demonstração.
Bons estudos!
7
1
Os números
naturais
Os números naturais
Neste primeiro capítulo a nossa proposta é fazermos a introdução formal de
alguns conceitos matemáticos, começando pelo conjunto dos números naturais.
Não há como falar do conjunto dos números naturais sem falamos nos Axiomas
de Peano, pois eles serão os nossos norteadores para definirmos quais os valores
que pertencem ou não ao conjunto.
Começaremos este capítulo mostrando algumas propriedades que envolvem
o conjunto dos números naturais, prosseguindo falaremos sobre boa ordenação,
que nos dará suporte para apresentar o princípio da indução finita e terminaremos
com a enunciação do teorema de cantor.
Ao final do capítulo você encontrará links de vídeo aulas que foram realizadas
durante o mestrado profissional em matemática em rede nacional, o Prof mat, o que
também já lhe dará um suporte extra para futuro concurso de ingresso no mestrado
profissional e de materiais suplementares que servirão de apoio a leitura de vocês.
Espero que a leitura seja prazerosa e de simples compreensão, pois é assim que
entendo que a matemática deva ser, consequentemente assim que devemos passar
para os nossos alunos.
OBJETIVOS
• Apresentar os conceitos inerentes ao conjunto dos números naturais, mostrando seu rigor
matemático, suas definições e consequências;
• Apresentar o princípio da Indução finita;
• Enunciar o teorema de cantor.
O conjunto dos naturais
Os números naturais têm sua origem com a necessidade de efetuar cálculos
rápidos e precisos, essa origem se dá junto aos egípcios num período em que havia
avanços na construção de suas pirâmides, em um período que marca o fim da
Pré-História. Até então, os cálculos eram feitos com números chamados concretos
(pedra, nós ou riscos em osso), porém com esses números, os cálculos que eram
exigidos para aquelas obras não estavam sendo práticos.
capítulo 1
• 10
Os romanos aperfeiçoaram os números concretos, a sua escrita tinha base na
adição e na subtração de valores dependendo da ordem que os números eram posicionados, ainda que tenha sido adotado por muitos povos, esse ainda não era um
sistema fácil de ser utilizado. Somente anos depois, na Índia, foi criado o sistema
de numeração que conhecemos hoje, com os 10 algarismos.
Anos depois os árabes fizeram a divulgação desses algarismos pelo mundo, por
isso esses algarismos são conhecidos como “indo-arábicos”.
O conjunto dos números naturais apresenta os primeiros números que aprendemos. Quando uma criança aprende a falar, logo a ensinamos a contar, a enumerar as coisas, 1, 2, 3, ..., 8, 9 ...
O conjunto dos números naturais, aparentemente, é um conjunto simples
de ser estudado, mas por ser o conjunto inicial, ele dá suporte a muitos outros
conjuntos numéricos.
Os axiomas de Peano
Muito se fala do conjunto dos números naturais, em especial sobre o número
zero, se ele pertence ou não ao conjunto. Quando abordamos o conjunto dos números naturais, em análise matemática, tomamos como instrumento norteador os
axiomas de peano, para que não haja nenhum tipo de dúvidas quanto aos valores
que são pertencentes ao conjunto dos números naturais.
Os axiomas de peano nos permite construir o conjunto dos números naturais.
Após, podemos definir ordem, soma e produto em que os mesmos são unicamente determinados.
Os axiomas de peano são definidos em linguagem matemática da seguinte forma:
99 Todo número natural n tem o sucessor, denotado por s(n), tal que
s(m) = s(n) ⇒ m = n.
99 Existe um único elemento que não é sucessor de nenhum outro natural, denotado
por 1.
99 Se X é um subconjunto dos números naturais tais que 1 ∈ X e
n ∈ X ∈ s(n) ∈ X, então X é o próprio conjunto dos números naturais e s(n) ∈ N.
capítulo 1
• 11
Em linguagem corrente podemos transcrever o texto anterior da seguinte maneira:
• Todo número natural tem um sucessor, que por sua vez também é um número natural;
• Se dois números naturais são diferentes, seus sucessores também são diferentes. Além disso, o sucessor de cada número é único;
• Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro, o
número 1;
• Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e além disso,
contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse subconjunto coincide
com N, isto é, contém todos os números naturais.
Os axiomas de Peano têm influência direta no princípio de Indução Finita que
será apresentado mais à frente.
Propriedades da adição e multiplicação dos números naturais
Três são os fatores preponderantes para a definição do conjunto dos naturais,
as operações de adição (+), Multiplicação (.) e a relação de ordem menor que (<).
Muitas das propriedades que serão descritas a seguir, em algum momento já
foi vista, todavia iremos neste caso representá-las com o rigor necessário que a
disciplina de Análise Matemática exige.
• A adição e a multiplicação são comutativas;
∀x, y ∈ N, x + y = y + x
∀x, y ∈ N, x ∙ y = y ∙ x
• A adição e a multiplicação são associativas;
∀x, y, z ∈ N, ( x + y) + z = x + (y + z)
∀x, y, z ∈ N, (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z)
• A adição é distributiva em relação à adição;
∀x, y, z ∈ N, x ∙ ( y + z) = x ∙ y + x ∙ z
capítulo 1
• 12
• Integralidade: dados x, y ∈ N, temos que x + y ∈ N e x ∙ y ∈ N;
• A adição é compatível e cancelativa com respeito à igualdade:
∀x, y, z ∈ N, x = y ⇔ x + z = y + z
• A multiplicação é compatível e cancelativa com respeito à igualdade;
∀x, y, z ∈ N, x = y ⇔ x ∙ z = y ∙ z
• Lei da tricotomia: dados x, y ∈ N se, e somente, se uma das possibilidades seguintes forem verdadeiras:
1. x = y
2. ∃z ∈ N; y = x + z
3. ∃z ∈ N; x = y + z
Sendo x, y ∈ N, dizemos que x < y (x é menor que y) toda vez que a propriedade 2, anterior, é verificada e dizemos que y < x (y é menor que x) quando a
propriedade 3 é verificada.
Quando tivermos dois números x, y ∈ N, fazendo uso da lei da tricotomia, e da relação menor em que se verifica que apenas uma dessas possibilidades
é verdadeira:
1. x = y
2. x < y
3. y < x
Relação de ordem no conjunto dos naturais
Após abordamos a adição no conjunto dos naturais podemos introduzir a
relação de ordem neste conjunto.
Sejam dois números naturais x e y, tomando x como menor que y e sendo
k ∈ N. Se x < y,então existe k ∈ N tal que y = x + k , uma outra forma de reescrever
essa sentença é y > x.
Para que haja a relação de ordem é preciso ter as seguintes propriedades: transitividade, comparabilidade, tricotomia e monotonicidade.
• Transitividade: se x < y e y < k então x < k , com k, x, y ∈ N
Demonstração: se x, y, k ∈ N, existem p1, p2 ∈ Ncom y = x + p1, e
k = y + p2. Deduzimos que: k = (x + p1) + p2 = x + (p1 + p2) = x + p (usando a
propriedade da associativa), em que p ≡ p1 + p2 ∈ N. Donde x < k, como desejado.
capítulo 1
• 13
• Tricotomia: dados x, y ∈ N, existindo qualquer uma das afirmações x < y,
y < x, x = y, uma exclui a outra.
Demonstração: suponha que tenhamos x < y e x = y, com isso teríamos x = x
+ p, com p ∈ N, isso só seria possível se p = 0, o que seria um absurdo pois p ∈ N.
Analogamente, se x < y e y < x, então existem p, k ∈ N tais que y = x + p e
x = y + k,daí resultaria que y = y + k + p, logo y + 1 = y + k + p + 1, efetuando o
cancelamento de y, concluiríamos que 1 = k + p + 1, o que seria um absurdo, pois
pelos axiomas de Peano, o 1 não é sucessor de número algum.
• Comparabilidade: todo número natural y é comparável com qualquer número natural x.
Demonstração: o número 1 é comparável com qualquer outro número natural, pois é sabido que 1 < x para todo x ≠ 1, vamos supor que o número y seja
comparável com todos os números naturais, com x, y ∈ N. Partindo desta suposição deseja-se mostrar que y + 1 também tem essa propriedade.
Sabemos que se tem x < y, ou x = y ou y < x. A partir dessa tricotomia iremos
analisar cada possibilidade:
99 Se for x < y, então x < y + 1 por transitividade, pois sabemos que y < y + 1.
99 Se for x = y, fazendo a substituição em y temos: x < y + 1.
99 Se for y < x então x = y + p, com p ∈ N. Neste caso, há duas possibilidades. Ou se tem p = 1, donde x = y + 1, ou então p > 1, logo p = 1 + p' e daí
x = (y + 1) + p' e concluímos que y + 1 < x.
• Motonicidade da Adição: se x < y, então x + k < y + k, com k, x, y ∈ N.
Demonstração: se x < y, segue que existe a ∈ N tal que y = a + x, daí temos
y+k=a+x+k
Agora temos:
x+k<y+k
Como se quer provar.
capítulo 1
• 14
• Monotonicidade da Multiplicação: se x < y, então x ∙ k < y ∙ k , com k, x,
y ∈ N.
Demonstração: vamos considerar dois casos k > 0 e k < 0
1o caso: se x < y então para todo k > 0 tem-se xk < yk
x < y ⇒ y − x > 0 ⇒ k . (y − x) > 0 ⇒ ky – kx > 0 ⇒ ky > kx
2o caso: se x < y então para todo k < 0 tem-se xk > yk
x < y ⇒ y − x > 0 ⇒ −k • (y − x) > 0 ⇒ − ky + kx > 0 ⇒ kx > ky
Boa ordenação ou boa ordem
Quando abordamos o assunto boa ordenação, queremos dizer que para todo subconjunto de números naturais existe um elemento que é o menor ou primeiro elemento deste subconjunto. Transformando em uma linguagem matemática, dizemos que:
Dados o subconjunto D ⊂ N, o número natural d é o menor ou o primeiro elemento de
D quando d ∈ D e também d ≤ x para todos os elementos x ∈ D, com D ≠ 0.
O teorema exposto pode ser provado por um método conhecido como “prova
por absurdo” que veremos a seguir:
Demonstração: seja k ∈ N , não existe natural p tal que k < p < k + 1. Como
p > k então ele é do tipo p = k + a (1) e k + 1= p + b (2), com a, b ∈ N
Fazendo a substituição de k + a em (2) temos:
k+1=k+a+b
Pela propriedade cancelativa, temos:
1=a+b
O que seria um absurdo, pois sendo a, b ∈ N, nesse caso deveríamos ter que
pelo menos a + b = 2,caso a = b = 1 que é o menor número natural possível.
Princípio da indução finita
O princípio de indução permite verificar se uma sentença vale para todos os
números naturais por meio de um número finito de passos.
capítulo 1
• 15
Vamos supor que uma propriedade sobre os números naturais tenha validade
para os números: 1, 2, 3,..., 999, sendo assim será que essa propriedade é válida
para todos os outros números naturais? Como podemos ter a certeza da validade
destas propriedades para todos os números naturais?
O princípio de indução nos permite verificar essa propriedade para todos os
naturais por meio de um número finito de passos.
Lembremos da fórmula de Fermat1 Fn = 22n +1 para a definição dos números primos, no qual foi testado para os valores: 0, 1, 2, 3, 4. Pensaram que essa fórmula gerava
todos os números primos. Porém 100 anos depois, Euler provou que para n = 5, teríamos como resultado F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4.294.967.297, que é divisível também
por 641, o que mostrou que a fórmula de Fermat não gera todos os números primos.
O princípio de indução matemática tem como finalidade provar que um determinado resultado tem seu valor assegurado para todos os números naturais ou
para todos os números a partir de determinado natural definido. Para tal, recorremos aos axiomas já definidos por peano.
Como definido por Steffenon e Guarnieri:
A matemática se diferencia de outras ciências, pois para provarmos que um resultado
vale num conjunto infinito precisamos ter certeza de que isso foi testado ou provado
para todos os elementos desse conjunto.”. (STEFFENON e GUARNIERI, 2016, p. 5)
Um exemplo clássico em que a ideia de sucessão e indução está presente pode ser
exemplificado com o problema conhecido como Hotel de Hilbert apresentado a seguir.
O Hotel de Hilbert é bem diferente daqueles que você conhece, pois ele tem infinitos
quartos, numerados de acordo com os números reais. Num certo dia o hotel estava
lotado e chegou um ônibus com 40 possíveis hóspedes. Uma dessas pessoas era um
matemático que se dirigiu à portaria para saber se havia vagas. O porteiro informou
que, apesar do hotel ter infinitos quartos, não havia vagas. O matemático perguntou ao
porteiro se era possível passar uma informação para todos os quartos simultaneamente. A resposta foi: sim! O matemático disse para o porteiro passar a seguinte instrução
para os hóspedes: “Você que está no quarto n, vá para o quarto n + 40.’ Com isso os
quartos 1, 2, ..., 40 ficaram vagos e todos os passageiros do ônibus conseguiram se
hospedar. Mais tarde, com o hotel ainda lotado, chegou um vagão de trem com infinitos
passageiros. Dessa vez o porteiro achou que seria bem mais difícil acomodar todos
eles, mas resolveu consultar o matemático. Este sugeriu a seguinte instrução: “Você
que está no quarto n, vá para o quarto 2n.”
1
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Editora Unicamp, 2005.
capítulo 1
• 16
Com isso os quartos ímpares ficaram todos vagos e os passageiros do trem puderam
se hospedar. Assim que todos estavam acomodados chegou um trem com infinitos
vagões e infinitos passageiros em cada vagão. Dessa vez porteiro achou que daria um
problema impossível para o matemático resolver. Mas o matemático não titubeou e
disse para o porteiro passar a seguinte mensagem para os hóspedes: “Você que está
no quarto n, vá para o quarto 2n – 1.” Portanto, todos os quartos pares ficaram vagos.
Os passageiros do primeiro vagão foram acomodados nos quartos com os números no
conjunto A1 acima, os do segundo vagão foram para os quartos numerados de acordo com o conjunto A2 e assim por diante, ou seja, os passageiros do k-ésimo vagão
foram para os quartos numerados com os elementos do conjunto Ak. (STEFFENON e
GUARNIERI, 2016, p. 10-11)
No problema apresentado, temos k, n ∈ N e vemos a aplicação do conceito de
sucessão e indução dos números naturais sendo aplicada.
Indução finita
Para que uma sentença seja verificada pelo princípio da indução finita tenha a sua
sentença matemática validada, precisa-se que sejam verificados os seguintes passos:
Seja P(n) uma sentença aberta em n, n ≥ n0 e n, n0 ∈ N.
1. Verificar se P(n0) é verdadeiro;
2. Para todo k ∈ N, se P(k) é verdadeiro;
3. Provar que P(k +1) também é verdadeira.
O que nos levará a inferir que P(n) toda a prova feita será válida para todo
n ∈ N , com n ≥ n0.
Esses são os passos de uma indução matemática, que são definidos como sendo, base da indução, hipótese da indução e passo da indução.
Vejamos essa aplicação em três exemplos.
EXEMPLO 1
Prove que a soma dos n primeiros números naturais pode ser representada pela sentença a seguir.
1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n +1) , ∀ n ∈ N
2
capítulo 1
• 17
Resolução: não há restrição para o conjunto que será testado nessa fórmula, pois contempla todos os números naturais. O valor de n0 deve ser o menor valor do conjunto verificado. Nesse caso, n0 é o 1 porque estamos trabalhando com o conjunto dos naturais e segundo
os axiomas de Peano, 1 é o menor número natural.
Sendo assim, para fazer a prova de indução, iremos verificar a base da indução, a hipótese da indução e o passo da indução.
• Para base de indução vamos verificar se P(1) é verdadeira;
• Como hipótese de indução iremos supor que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira;
• Sendo provado P(k+1) é verdadeiro, estará provado que P(n) vale para todos os naturais,
o que chamaremos de passo de indução.
Base da Indução
P(n) : 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n +1)
2
P(1) : 1 = 1(1+ 1)
2
1 = 1(2)
2
1=1
Sendo provado que P(1) é verdadeira.
Agora, vamos supor a hipótese de indução, que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira.
P(k) : 1 + 2 + 3 + 4 + … + k = k (k+1)/2
Vamos verificar se P(k+1) também é verdadeira, o que chamaremos de passo de indução.
Como o somatório dos números naturais de 1 até k é k (k + 1) , iremos usar este valor
2
na igualdade a seguir.
(k + 1)+[(k + 1))+1]
P(K + 1) : 1+ 2 + 3 + 4 + ... + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
2
(k + 1) ⋅ [(k + 2) ]
k(k + 1)
+ (k + 1) =
2
2
k(k + 1)
k 2 + 3k + 2
+ (k + 1) =
2
2
capítulo 1
• 18
Calculando o MMC dos denominadores e somando as frações do lado esquerdo da
igualdade, teremos:
k2+ k
2(k + 1)
k 2 + 3k + 2
+
=
2
2
2
k2+ k
2k + 2
k 2 + 3k + 2
+
=
2
2
2
k 2 + 3k + 2
k 2 + 3k + 2
=
2
2
Como a igualdade é verdadeira para todo k ≥ 1, foi demonstrando que P(k + 1)é verdadeira para k ∈ N, logo pelo princípio de indução a propriedade vale para todos os naturais.
Podemos utilizar o princípio da indução finita em sentenças abertas diferentes da igualdade, por exemplo na questão adiante.
EXEMPLO 2
Prove por indução que 8 | (32n - 1), ∀ n ∈ N:
Resolução: na sentença exposta está escrito que 8 divide a expressão, isso significa dizer
que o 8 é um fator dessa expressão ou em outra linguagem que o 8 é um dos divisores desta expressão. Essa informação será muito útil na parte final da nossa demonstração: P(n): 8 | (32n - 1)
1.
Vamos verificar se P(1) é verdadeira: 8 | (32 · 1-1) ⇒ 8 | 8 sentença verdadeira.
2.
Vamos supor que P(k) é verdadeira para todo k ∈ N.
3.
Vamos verificar se P(k + 1) é verdadeira.
P(k) : 8 | (32k - 1)
P(k + 1) : 8 | (32(k + 1) - 1) ⇒ P(k + 1) : 8 | (32k + 2 - 1)
Utilizando uma das propriedades da potenciação, iremos decompor o 32k+2 em duas par-
tes, pois nos ajudará a provarmos a nossa tese 8 | (32k ∙ 32 - 1)
8 | (32k ∙ 9 - 1)
8 | (32k ∙ (8 + 1) - 1)
capítulo 1
• 19
Fazendo a distributiva temos:
8 | (32k ∙ 8 + 32k - 1)
A sentença apresentada é verdadeira porque cada uma das parcelas é divisível por
8 : 8 | (32k - 1) como foi verificado em P(1), isto é, para n = 1, quando a expressão estava
em função de n.
8 | (32k ∙ 8) porque temos o 8 multiplicando o 32k, daí não importa qual seja o valor de k, o
resultado será sempre múltiplo de 8, consequentemente o 8 irá dividir este resultado.
Com isso provamos que 8 | (32k ∙ 8 + 32k - 1) é verdadeira.
Pelo princípio de indução, a propriedade P(n) vale para todos os naturais. Como queríamos demonstrar (CQD).
EXEMPLO 3
Prove por indução que n2 > n + 1 para n ≥ 2, n ∈ N.
Resolução: como base da indução temos que verificar se P(2) é verdadeiro:
P(n) : n2 > n + 1
P(2) : 22 > 2 + 1
P(2) : 4 > 3 (é verdadeira)
Como hipótese de indução, fazemos n = k , supondo que P(k) seja verdadeira:
P(k) : k2 > k + 1
Agora verificaremos o passo da indução que será provar que P(k + 1) é verdadeiro,
sendo assim temos:
P(k + 1) : (k + 1)2 > (k + 1) + 1
Desenvolvendo o produto notável temos:
k2 + 2k + 1 > k + 2
capítulo 1
• 20
Para qualquer valor de k ∈ N, o lado esquerdo da desigualdade será maior que o lado direito.
Como foram verificadas as condições do princípio de indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
Indução completa
Nem sempre se pode usar a indução fraca em todos os tipos de prova quando
não se consegue realizar a demonstração indutiva, considerando verdadeira a hipótese apenas para o item imediatamente anterior k é necessário considerar verdadeira a hipótese para um inteiro menor que k, isso nos obriga a tentar a indução
conhecida como forte ou completa que é enunciada da seguinte maneira .
1. Verificar se P(n0) é verdadeiro.
2. Para todo k ∈ N, P(r)é verdadeira para todo r, 1 ≤ r ≤ k, P(k + 1)também é verdadeira.
3. O que nos levará a inferir que toda a prova feita será válida para todo k ∈ N , em que
teremos que n ≥ n0.
Vejamos o exemplo adiante.
EXEMPLO 4
Prove que para todo n maior ou igual a 2, n é um número primo ou produto de dois números primos.
Vamos começar a nossa prova utilizando o método de indução vista até o momento,
sendo assim segue:
1.
A nossa base de indução será: 2 é primo, o que temos como verdade.
2.
A nossa Hipótese de indução será k é primo ou produto de dois primos, porém para essa
afirmação temos duas situações derivadas dela que são: se o k for primo, não há problemas,
mas se o k não for primo, ele será do tipo k = a · b em que a e b são primos ou produtos de
primos a e b devem estar nos intervalos: 1 < a < k e 1< b < k, respectivamente, pois caso isso
não aconteça, ou seja tenhamos 1≤ a ≤ k e 1 ≤ b ≤ k e k = a · b teríamos uma contradição, pois
K seria primo, o que nos leva a tentar outro método de indução para fazermos essa prova.
capítulo 1
• 21
Fazendo a prova por indução forte.
Permaneceremos com a base da indução, a mesma utilizada anteriormente:
1.
2 é primo ou produto de primos. (verdade)
2.
A nossa hipótese de indução será, agora modificada, a seguinte: supomos que para
qualquer r no intervalo 2 ≤ r ≤ k, P(r) é verdadeira, isto é, r é primo ou é produto de números
primos. Vamos tentar provar que k + 1 também será primo. Isso, como na tentativa anterior
nos levará a duas situações?
• Se k + 1 é primo, o resultado se verifica.
• Se k + 1 não é primo, então ele é um número composto e pode ser escrito como
k + 1 = a · b, em que 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1, ou na forma 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k, ao
observamos essa hipótese indutiva vemos que a mesma se aplica tanto ao valor de a quanto
ao valor de b, com isso provamos que a e b são primos ou são produto de primos, o que verifica a hipótese para P(k + 1), com isso foi feito a prova.
Teorema de cantor
Antes de falarmos qualquer coisa em relação a Georg Cantor, devemos entender a sua importância na Matemática. A Cantor é dado a primazia do estudo do
infinito, com a sua inquietude sobre o assunto, outras disciplinas surgem a partir
da mesma. O estudo dos conjuntos proposto por Cantor tem sua influência nos
três níveis de ensino ao qual conhecemos, a saber: Fundamental, Médio e Superior.
A proposta de Cantor para o estudo do infinito não fazia restrição ao uso do mesmo somente aos conceitos de limites, pois sua pesquisa tinha como base o estudo sobre
os números, pontos sobre uma reta que tinham como convergência um ponto limite.
Neste primeiro momento, iremos ficar só com o teorema de Cantor, o estudo
dos conjuntos segundo Cantor veremos no capítulo 2. O estudo de Cantor tem
seu desenvolvimento na cardinalidade de um conjunto2 ou na cardinalidade do
conjunto das partes deste conjunto. Foi utilizando esse princípio que Cantor chegou à conclusão do infinito3.
O teorema de Cantor é enunciado da seguinte maneira:
A cardinalidade de qualquer conjunto é inferior à cardinalidade do conjunto das partes
desse mesmo conjunto.
2
3
Cardinalidade de um conjunto é a quantidade de elementos que este conjunto tem.
Um conjunto é dito infinito quando não podemos enumerar seus elementos.
capítulo 1
• 22
Podemos definir o conjunto das partes da seguinte maneira:
Dado um conjunto qualquer A, pode-se definir outro conjunto, conhecido
como conjunto das partes de A, e denotado por 2A, cujos elementos são todos os
subconjuntos de A.
EXEMPLO 1
Seja A = {1, 2, 3}, então temos que 2A = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.
Se A é um conjunto e 2A é o conjunto das partes de A, não existe uma função
f : A → 2 A que seja sobrejetiva.
Podemos verificar que a cardinalidade de A é de 3 elementos e a cardinalidade de 2A de
8 elementos, com isso vemos uma aplicação do teorema de cantor.
EXEMPLO 2
Seja A1 = {0, 2, 4, 6}, então temos que 2A1 = {∅, A1, {0}, {2}, {4}, {6}, {0, 2}, {0, 4}, {0, 6}, {2,
4}, {6, 2}, {6, 4} {0, 2, 4}, {0, 2, 6}, {0, 4, 6}, {4, 2, 6}}.
Se A1 é um conjunto e 2A1 é o conjunto das partes de A, não existe uma função
f : A → 2 A que seja sobrejetiva.
Podemos verificar que a cardinalidade de A é de 4 elementos e a cardinalidade de 2A1
de 16 elementos, com isso vemos uma aplicação do teorema de cantor.
ATIVIDADES
01. Utilize o princípio da indução finita e demonstre:
c)
1+ 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 , ∀ n ∈ N
12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1) (2n+1) , ∀ n ∈ N
6
2 | n2 + n, ∀ n ∈ N
d)
3 | n3 + 2n, ∀ n ∈ N
e)
3 | 22n - 1, ∀ n ∈ N
f)
20 + 21 + 22 + … + 2n - 1 =2n - 1, ∀ n ∈ N
g)
2n > n , ∀ n ∈ N
a)
b)
capítulo 1
• 23
02. Demonstre a seguinte propriedade: se a < b, então a + j < b + j, com a, b, j ∈ N.
03. Demonstre a seguinte propriedade: se a < b e b < k então a < k, com k, a, b ∈ N.
RESUMO
Neste capítulo foi introduzido de maneira formal o conjunto dos números naturais, dando
ênfase aos axiomas de peano, que a partir de agora será o nosso norteador no que tange aos
números naturais. Foram apresentadas, também, de maneira formal as operações de adição
e multiplicação e as suas propriedades.
Abordamos também os conceitos de ordem e boa ordenação, terminamos o capítulo
enunciando o teorema de cantor.
MULTIMÍDIA
Nestas vídeoaulas você encontrará um material disponibilizado pelo Instituto Nacional de
Matemática Pura e Aplicada (IMPA) sobre os conteúdos abordados neste capítulo. O material
serve de apoio para alunos egressos no curso de Mestrado Profissional em Matemática em
Rede Nacional, o ProfMat.
Números Naturais. Disponível em: <http://www.profmat-sbm.org.br/wp-content/
uploads/sites/23/2016/08/Numeros_Naturais_Axioma_de_Inducao_Adicao_
Mutiplicacao_e_O.mp4>. Acesso em: mar. 2018.
Adição, Multiplicação e ordem. Disponível em: <http://www.profmat-sbm.org.br/
wp-content/uploads/sites/23/2016/08/Adicao_Mutiplicacao_e_Ordem_Algumas_
demonstracoes.mp4>. Acesso em: mar. 2018.
Princípio da Boa Ordenação. Disponível em: <http://www.profmat-sbm.org.br/wpcontent/uploads/sites/23/2016/08/Principio_da_Boa_Ordenacao.mp4>.
Acesso
em:
mar. 2018.
Teoria dos Conjuntos. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=y47D5
GvKKeA>. Acesso em: mar. 2018.
capítulo 1
• 24
CONEXÃO
Você pode fazer mais exercícios de indução matemática encontrada neste material,
disponível
em:
<http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_LE4_Solucao.pdf>.
Acesso em: mar. 2018.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 2005.
CATTAI, Adriano Pereira: Análise Real, Universidade do Estado da Bahia -UNEB, 2009. Disponível
em: <http://www.cattai.mat.br/site/files/AnaliseReal/AnaliseReal_cattai_uneb.pdf>. Acesso em: 5
nov. 2017.
EVES, Howard. Introdução À História da Matemática : Editora UNICAMP 2005.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2005.
LIMA,Elon. Lages. Análise Real. v. 1. 12 ed. IMPA. 2004.
STEFFENON, Rogério; GUARNIERI, Felipe: Belos Problemas de Matemática: Indução e Contagem. In:
IV Colóquio de Matemática da Região Sul- Rio Grande do Sul-RS. FURG. 2016. Disponível em:
<https://www.sbm.org.br/coloquio-sul-4/wp-content/uploads/sites/4/2016/04/Minicurso_Belos_
Problemas.pdf>. Acesso em: 10 jan. 2017.
capítulo 1
• 25
capítulo 1
• 26
2
Os números reais
Os números reais
Durante o século XIX, vários matemáticos tiveram a intenção de estudar e
apresentaram a construção dos números reais, entre eles estão: Karl Weierstrass,
Charles Méray, Richard Dedekind e Georg Cantor.
Neste capítulo, a proposta é apresentamos a construção dos conjuntos dos
reais, passando pela construção dos números racionais e os irracionais, observando a sua formalidade e as suas particularidades, suas completudes e também sua
aplicabilidade. Começaremos o capítulo relembrando algumas das propriedades
dos números reais.
OBJETIVOS
• Apresentar o conjunto os números racionais e o conjunto dos números irracionais;
• Apresentar a construção dos números reais;
• Apresentar o conceito de cota superior e de cota inferior;
• Apresentar o conceito de ínfimo e de supremo;
• Apresentar o conjunto de cantor.
Corpo
Definimos corpo como sendo um conjunto K, munido de duas operações:
adição e multiplicação. Essas operações satisfazem certas condições que são chamadas de axiomas do corpo que são as especificadas a seguir.
Axiomas da adição
• A adição é comutativa:
∀x, y ∈K; x + y = y + x
• A adição é associativa:
∀x, y, z ∈ K; (x + y) + z = x + (y + z)
capítulo 2
• 28
• A adição tem elemento neutro, designado 0:
∀x ∈ K; x + 0 = 0 + x = x
• Qualquer número de um conjunto K tem um simétrico:
∀x ∈ K, ∃y ∈ K; x + y = y + x = 0
Axiomas da multiplicação
• A multiplicação é comutativa:
∀x, y ∈ K; x ∙ y = y ∙ x
• A multiplicação é associativa:
∀x, y, z ∈ K; (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z)
• A multiplicação tem elemento neutro, designado 1:
∀x ∈ K; x ∙ 1 = 1 ∙ x = x
• Qualquer número pertencente a um conjunto K não nulo tem inverso multiplicativo:
∀x ∈ K\ {0}, ∃y ∈ K; x ∙ y = y ∙ x = 1
Axioma da distributividade
• A multiplicação é distributiva em relação à adição
∀x, y, z ∈ K; x ∙ (y + z) = x ∙ y + x ∙ z e (y + z) ∙ x = x ∙ y + x ∙ z
capítulo 2
• 29
EXEMPLO
O conjunto dos reais (R) é um corpo e o conjunto dos racionais (Q) é um corpo, pois
apresentam tais propriedades.
Corpo ordenado
Dizemos que um corpo K é ordenado quando temos um subconjunto P ⊂ K, chamado o
conjunto dos elementos positivos de K, em que as seguintes condições são satisfeitas:
A soma e o produto de elementos positivos são positivos.
x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P e x · y ∈ P
Dado x ∈ K, somente uma das três alternativas ocorre:
x = 0 ou x ∈ P ou – x ∈ P
Lima (2004)
Relação de ordem em um corpo ordenado
Em um corpo ordenado K, quando x < y, dizemos que x é menor do que y, o que significa y – x ∈ P, tendo por conseguinte que y = x + z, em que z ∈ P.
Ao escrevermos y > x, dizemos que y é maior do que x.
Quando x > 0 significará que x ∈ P, sendo assim positivo; caso contrário, ao termos
x < 0, sendo assim x negativo, significa que –x ∈ P.
Se x ∈ P e y ∈ – P, tem-se sempre que x > y.
Lima (2004)
Se K é um corpo ordenado, então ele goza das seguintes propriedades:
I. Transitividade:
Se x < y e y < z, então x < z
II. Tricotomia:
Dados x, y ∈ K, ocorre exatamente uma das alternativas:
x = y, ou x < y, ou y < x
capítulo 2
• 30
III. Monotonicidade da Adição:
Se x < y, então x + z < y + z, ∀z ∈ K
IV. Monotonicidade da Multiplicação:
Se x < y, então x · z < y · z quando z > 0 e
x · z >y · z˙ quando z < 0.
Lima (2004)
EXEMPLO
Q é um corpo ordenado.
Valor absoluto
Basta apenas que o conjunto seja bem ordenado para que possa ser calculado
o valor absoluto dos seus elementos.
Seja K é um corpo ordenado. O valor absoluto de um número x ∈ K é definido da seguinte forma:
 x, sex ≥ 0
x =
-x, sex < 0
Da definição acima podemos fazer as seguintes considerações:
|x| = x ≥ 0 ou |x| = -x > 0, sendo assim temos que |x| ≥ 0 para todo x ∈ K
Propriedades do valor absoluto
Sejam x, y, z ∈ K, temos:
• |x + y| ≤ |x| + |y|; essa propriedade é conhecida como desigualdade triangular.
• |x ∙ y| = |x| ∙ |y|
• |x| - |y| ≤ |(|x| - |y|)| ≤ |x - y|
• |x - z| ≤ |x - y| + |y - z|
capítulo 2
• 31
Ao obtermos a seguinte condição |x| = x, sendo x ≥ 0 ou |x| = -x > x, sendo
x < 0. Assim sendo, teremos |x| = max {-x, x}, em que o max. de um conjunto é o
maior valor entre os elementos do conjunto.
O conjunto dos números racionais (Q)
Um número racional é um número que pode ser expresso como o quociente
ou fração x/y de dois números inteiros x e y, com y ≠ 0. O conjunto de todos os
racionais é denotado por: Q = {x/y; x ∈ Z, y ∈ Z, y ≠ 0}.
No conjunto Q dos números racionais, são definidas duas operações: adição
e multiplicação.
Adição
Sejam x , z ∈ Q, a soma desses números é dado por:
y w
x z xw + zy
, =
∈Q
y w
yw
Multiplicação
Sejam x , z ∈ Q, o produto desses números é dado por:
y w
x z xy
⋅ =
∈Q
y w yw
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x z ⇔ xw = zy
,
y w
EXEMPLO
O conjunto Q munido das operações adição e multiplicação é um corpo ordenado, pois
Q tem as propriedades anteriormente definidas para corpo. O conjunto dos racionais é um
corpo ordenado, pois respeita a relação de ordem maior do que.
capítulo 2
• 32
O conjunto dos números irracionais (R - Q = I)
Uma definição para os números irracionais é: “um número que não é racional
é irracional”.
Outra definição é: “o número que não pode ser escrito na forma de uma fração”. A definição formal de números irracionais: são números que não apresentam
representação decimal finita e nem periodicidade.
Para Buriol e Gazzoni (2001) “os números irracionais surgem da necessidade
de medir grandezas que são incomensuráveis com a unidade de medida adotada”.
Existem elementos em R que não estão em Q. Tais elementos formam o conjunto dos números irracionais: R - Q = I
Alguns exemplos de números irracionais
Os números irracionais são infinitos (têm infinitas casas decimais) e são não
periódicos. Um desses números é o número π, que pode ser representado aproximadamente por 3,1415926535897932384626433832795..., ou com duas casas
decimais, seu valor aproximado é 3,14.
Outro exemplo de números racionais são as raízes de números primos, pois
não têm valores exatos como 2 .
Demonstração de irracionalidade 2
De acordo com os relatos históricos, o primeiro número irracional a ser descoberto foi o 2 (ÁVILA, 2006), por isso vamos demonstrar a irracionalidade desse
número. Usaremos um método de prova chamada método por absurdo.
Vamos supor que 2 seja racional, sendo isso verdade haverá dois números positivos p e q, tais que 2 = p , pois se é racional podemos escrever esse
q
número em forma de fração, sendo p uma fração irredutível, ou seja p e q são
q
primos entre si, não tendo assim divisor comum maior do que 1. Elevando ambos
os lados dessa igualdade ao quadrado temos:
( 2)
2
2=
 p
= 
 q
2
p2
q2
capítulo 2
• 33
Fazendo uso da propriedade fundamental das proporções (produto dos meios
é igual ao produto dos extremos):
x z ⇔ xw = zy
,
y w
Temos:
p2 = 2q2
O que mostra que p2 é par, concluindo assim que p também é par, se p2 fosse
ímpar, p seria ímpar.
Fazendo p = 2d, com d inteiro, substituindo na equação anterior temos:
(2d)2 = 2q2
4d2 = 2q2
Dividindo toda equação por 2:
2d2 = q2
O que nos leva a concluir que q também é par, com isso temos um absurdo,
pois p e q seriam pares e p/q não uma fração irredutível, o que nos leva a afastar a
hipótese de que 2 é racional.
Fazendo uma generalização temos que: para todo primo p, não existe d2 ∈
Q tal que d2 = p. Isso mostra que números da forma p onde em que p é primo
são irracionais.
O Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é a união dos números racionais com os números irracionais.
Uma observação importante é que os conjuntos dos números naturais e os
números inteiros são casos particulares de números racionais, de forma que, quando dizemos que um número é racional, ele pode ser um número inteiro ou um
número natural, pois N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
capítulo 2
• 34
Corpos limitados
Antes de falarmos de ínfimo e supremo, precisamos falar de limitação de
um conjunto.
(...) um subconjunto X de um corpo ordenado K é limitado superiormente se existe um
b ∈ K tal que x ≤ b, para todo x ∈ X. O elemento b ∈ K é cota superior de X. Analogamente, X é limitado inferiormente se existe a ∈ K tal que a ≤ x. O elemento a é dito,
cota inferior de X. (AGUILA & DIAS, 2015, p. 15)
Cota superior
Seja um conjunto A ⊂ X, em que X é um corpo ordenado e A ≠ ∅ e um elemento b ∈ X. Dizemos que b é cota superior de A se, e somente se, a ≤ b, para todo a ∈
A, Isso significa que o elemento b ∈ X, é maior ou igual a qualquer elemento de A.
EXEMPLO
Seja o conjunto T = {x ∈ R/1 < x < 4}, deste conjunto tiramos as seguintes conclusões:
• O elemento 5 é cota superior do conjunto T;
• O elemento 4 é cota superior do conjunto T;
• Qualquer elemento maior que 4 será uma cota superior do conjunto T;
• O conjunto W = {x ∈ R/ x > 4}, não tem cota superior.
Cota inferior
Seja um conjunto D ⊂ X, no qual X é um corpo ordenado e D ≠ ∅, em que
haja um elemento x ∈ X, dizemos que x é cota inferior de D se, e somente se,
x ≤ d, para todo d ∈ D. Isso significa que qualquer elemento de X é menor ou
igual a qualquer elemento de D.
capítulo 2
• 35
EXEMPLO 1
Seja o conjunto J = {x ∈ R/ 1 ≤ x < 4} e o conjunto W = {x ∈ R/ x ≥ 4} desses conjuntos
tiramos as seguintes conclusões:
• O elemento 1 é cota inferior do conjunto J;
• O elemento 4 é cota inferior do conjunto W.
Quando um conjunto tem cota inferior, dizemos que o mesmo é limitado inferiormente,
quando tem cota superior, dizemos que ele é limitado superiormente, quando o conjunto é
limitado tanto inferiormente quanto superiormente, dizemos que ele é limitado.
EXEMPLO 2
Sejam os conjuntos J = {x ∈ R/ 1 ≤ x < 4}, W = {x ∈ R/ x ≥ 4}
T = {x ∈ R/1 < x < 4} e V = {x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2}
• O conjunto J é limitado inferiormente, tendo como cota inferior 1 e cota superior 4;
• O conjunto W é limitado inferiormente, tendo como cota inferior o 4;
• O conjunto T é limitado tendo como cota inferior o 1 e cota superior o 4;
• O conjunto V é limitado inferiormente e superiormente, ou seja, o conjunto V é limitado,
tendo como cota inferior o -1 e cota superior o 2.
Ínfimo
Toda vez que tivermos um D ⊂ X em que D ≠ ∅, X é um corpo ordenado
limitado e D é limitado inferiormente, à maior das cotas inferiores do conjunto
D, damos o nome de ínfimo de D e denotamos por inf D.
EXEMPLO
Sejam os conjuntos: T = {x ∈ R/ 1 ≤ x < 4} e W = {x ∈ R/ x ≥ 4}
• O elemento 1 é o ínfimo do conjunto T;
• O elemento 4 é o ínfimo do conjunto W.
capítulo 2
• 36
Supremo
Seja um conjunto D tal que D ⊂ X, X é um corpo ordenado e D ≠ ∅, D é
limitado superiormente, a menor das cotas superiores do conjunto D, damos o
nome de supremo de D, e denotamos por sup.D.
A definição acima pode ser reescrita da seguinte forma:
Seja um número real r ∈ X, X é um corpo ordenado e assim dizemos que este
é um supremo de D se, e somente se:
• d ≤ r, para todo d ∈ D, o que nos dá o “r” como cota superior.
• Se d ≤ b, para todo d ∈ D, então r ≤ b, sendo assim r é a menor das cotas superiores.
EXEMPLO
Sejam os conjuntos: T = {x ∈ R/ 1 ≤ x < 4}, W = {x ∈ R/ x ≥ 4} e
P = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 5}
• No conjunto T, o 4 é o supremo do conjunto;
• No conjunto W, pelo fato de o conjunto não ser limitado superiormente, não apresenta supremo;
• No conjunto P, o 5 é o supremo do conjunto.
Definimos o conjunto dos números reais como sendo um corpo ordenado completo.
Diz-se que um corpo K é ordenado e completo quando todo subconjunto não vazio, limitado
superiormente, X ⊂ K, tem supremo em K. Analogamente, em um corpo ordenado completo
todo conjunto não vazio, limitado inferiormente, Y ⊂ K, tem ínfimo em K.
Propriedade arquimediana
O conjunto dos números reais é um corpo arquimediano. A propriedade
arquimediana diz que ∀ x ∈ X, X é um corpo ordenado ∃ n ∈ N tal que x < n.
Isso significa que o conjunto dos números naturais N = {1, 2, 3, 4, ...} não admite
cota superior o que por consequente diz que N não é limitado superiormente.
capítulo 2
• 37
Cortes, celas e intervalos
Cortes
Dados um par ordenado (A, B), de subconjuntos não vazios de R, temos um
corte em R se, e somente se:
A∩B=Ø
A∪B=R
a < b, ∀a ∈ A e ∀b ∈ B.
EXEMPLO
Considere o elemento fixo β ∈ R. Definiremos a partir deste elemento dois conjuntos:
A = {x ∈ R/ x ≤ β} e B = {x ∈ R/ x > β}
Dados esses dois conjuntos, verifique se satisfazem a definição de corte de R.
• A intersecção entre os dois conjuntos é vazia, pois não há elementos que sejam comuns,
simultaneamente a ambos os conjuntos.
• A união entre os dois conjuntos resulta em todo o conjunto dos números reais.
• Os valores do conjunto A são menores que os do conjunto B.
Observação: todo corte do conjunto dos reais é determinado por um número real, a
esse fato damos o nome de propriedade do corte.
Celas
As celas são definidas das seguintes maneiras:
• Se j ∈ R, dizemos que os conjuntos {x ∈ R/ x < j} e {x ∈ R/ x > j} , são raios
abertos, definidos por j.
• Se j ∈ R, dizemos que os conjuntos {x ∈ R/ x ≤ j} e {x ∈ R/ x ≥ j}, são de
raios fechados, definidos por j. Dizemos que o ponto j é a extremidade do raio.
capítulo 2
• 38
• Se j, r ∈ R, dizemos que o conjunto {x ∈ R/ j < x < r} é uma cela aberta
definida por j e r, em que representamos por (j, r).
• Se j, r ∈ R, dizemos que o conjunto {x ∈ R/ j ≤ x ≤ r} é uma cela fechada
definida por j e r, em que representamos por [j, r].
• Se j, r ∈ R, dizemos que os conjuntos {x ∈ R/ j ≤ x < r}e {x ∈ R/ j < x ≤ r} são
chamadas de celas semiabertas ou semifechadas definidas por j e r e são representadas por [j, r) e (j, r], respectivamente. Os pontos j e r são pontos extremos da cela.
Intervalos
Partindo das definições de raios e celas, podemos definir importantes subconjuntos dos conjuntos dos números reais, os intervalos.
Um intervalo em R é um raio, ou uma cela ou todo R, ou o conjunto vazio
sendo assim os intervalos diferentes de R e diferente de ∅ são:
{x ∈ R/ x < j} ou (-∞, j);
{x ∈ R/ x > j} ou (j, +∞);
{x ∈ R/ x ≤ j} ou (-∞, j];
{x ∈ R/ x ≥ j} ou [j, +∞);
{x ∈ R / j < x < r} ou (j, r);
{x ∈ R/ j ≤ x ≤ r} ou [j, r]
{x ∈ R/ j ≤ x < r} ou [j, r);
{x ∈ R/ j < x ≤ r} ou (j, r].
O conjunto I = [0,1] = {x ∈ R/ 0 ≤ x ≤ 1} é chamado de cela unitária ou de
intervalo unitário.
Intervalos encaixantes
Denominados por sequência de intervalos encaixantes os intervalos In,n ∈ N
que satisfazem a seguinte definição:I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ I4 ⊇ ... ⊇ In ⊇ In + 1 ...
Porém em uma sequência de intervalos encaixantes, não há necessariamente
um ponto em comum, sendo representado matematicamente por: ∩n = 1∞ In = Ø.
capítulo 2
• 39
EXEMPLO
Considere a sequência de intervalos In = [0, 1/n], n ∈ N, conforme podemos ver na figura
a seguir, a sequência de intervalos é encaixante:
I1
I2
I3
1/3 1/2
1
Figura 2.1 – Representação dos três primeiros intervalos encaixantes. Figura elaborada
pelo autor.
O conjunto de cantor
O conjunto de Cantor, que é um subconjunto do intervalo unitário.
Lima (2004) define o conjunto de Cantor dos terços médios, ao qual chamaremos aqui simplesmente de conjunto de Cantor e nomeado pela letra K, como
sendo um subconjunto fechado do intervalo [0, 1], obtido a partir do conjunto
complementar de uma reunião de intervalos abertos.
Consideremos o intervalo I = [0, 1] da reta real. Ao fazermos a trissecção deste
1
intervalo nos pontos
e 2 e posteriormente removermos o intervalo aberto
3
3
1
2


 ,  , chamado o terço médio de I. Teremos por C1 o conjunto dos pontos
3 3
restantes de I, representando desta maneira:
 1 2 
C1 = 0,  ∪  ,1
 3 3 
capítulo 2
• 40
Em um segundo momento, trisseccionamos cada um dos dois intervalos fechados de C1, nos pontos 1 e 2 ; 7 e 8 , e removemos o terço médio aberto
9 9 9 9
desses intervalos fechados, ou seja, removemos  1 , 2  e  7 , 8  . Seja C2 o con 9 9  9 9
junto formado pelos pontos restantes de C1, isto é:
 1 2 1 2 7  8 
C 2 = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,1
 9 9 3 3 9  9 
Poderíamos fazer um C3 o que nos daria mais uma representação, o cálculo
seria feito de maneira análoga.
 1 2 1 2 7  8 
C 2 = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,1
 9 9 3 3 9  9 
 1   2 1   2 7   8 1   2 19   20 7 
C3 = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  , 
 27   27 9   9 27   27 3   3 27   27 9 
 8 25   26 
∪  ,  ∪  ,1
 9 27   27 
Fonte: Moura e Santos (2017)
Se prosseguirmos desta maneira, obteremos a sequência de conjuntos
C1,C2,C3,...,Cn,..., no qual I ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 ⊃ ... ⊃, Cn-1, ⊃ Cn ⊃ ... em que Cn é
constituído de pontos do conjunto Cn -1 , n>1 excluindo os terços médios abertos.
Também há de se ressaltar que os elementos deste conjunto admitem, na base
3, uma representação só com os dígitos 0 e 2. Com exceção daqueles que têm um
único algarismo igual a 1, como o algarismo significativo final.
EXEMPLO 1
O ponto 25 pode ser escrito na base 3 da seguinte forma:
27
25 = 0 + 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1⋅ 1 = (0, 221)3
31
32
33
27
capítulo 2
• 41
EXEMPLO 2
1
1
tem expansão ternária igual a 0,1, ou seja: =(0,1)3 pois podemos escrever
3
3
da seguinte forma:
O ponto
1
1
= 0 + 1⋅ 1 =(0,1)_3
3
3
EXEMPLO 3
O ponto 2 pode ser escrito na base 3 da seguinte forma:
27
1
1
1
2
= 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = (0,002)3
3
3
3
27
Espaços vetoriais
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escala real. O conjunto V com essas duas operações é
chamado de espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre ℝ) se forem verificados
os seguintes axiomas:
Em relação à adição:
A1. (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V
A2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V
A3. ∃0 ∈ V, ∀u ∈ V, u + 0 = u
A4. ∀u ∈ V, ∃(-u) ∈ V,u + (-u) = 0
Em relação à multiplicação por escalar:
M1. (αβ)u = α(βu)
M2. (α+β)u = αu + βu
M3. α(u+v) = αu + αv
M4. 1u=1
∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ R
capítulo 2
• 42
EXEMPLO
O conjunto V = R2 = {(x, y)/x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações de adição e
multiplicação por um número real α assim definidas
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
u(x, y) = (ux, uy)
Para provamos os 8 axiomas do espaço vetorial será adotado
u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3), α, β ∈ R
A1. (u + v) + w = u + (v + w)
((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))
((x1 + x2, y1 + y2)) + (x3, y3) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3)
(x1 + x2 + x3, y1+ y2+ y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
A2. u + v = v + u
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
(x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
A3. ∃0 = (0,0) ∈ R2, ∀u ∈ R2, u + 0 = (x1,y1) + (0,0)
u + 0 = (x1,y1) + (0,0)
u + 0 = (x1 + 0, y1 + 0)
u + 0 = (x1, y1)
u+0=u
A4. ∀u = (x1, y1) ∈ R2, ∃(-u) = (-x1, -y1) ∈ R2
u + (-u) = (x1, y1) + (-x1, -y1)
u + (-u) = (x1 - x1, y1- y1)
u + (-u) = (0,0) = 0
M1. αβ (u) = (αβ) (x1, y1)
αβ (u) = (αβx1, αβy1)
αβ (u) = α (βx1, βy1)
αβ (u) = α (β (x1, y1))
αβ (u) = αβ (u)
capítulo 2
• 43
M2. (α + β)u = (α + β) (x1, y1)
(α + β)u = ((α + β) x1, (α + β) y1)
(α + β)u = (αx1 + βx1, αy1 + βy1)
(α + β)u = (αx1, αy1) + (βx1, βy1)
(α + β)u = α (x1, y1) + β (x1, y1)
(α + β)u = αu + βu
M3. α (u + v) = α ((x1, y1) + (x2, y2))
α (u + v) = α (x1 + x2, y1 + y2)
α (u + v) = (αx1 + αx2, αy1 + αy2)
α (u + v) = (αx1, αy1) + (αx2 + αy2)
α (u + v) = α (x1, y1) + α (x2 + y2)
M4. 1u = 1(x1, y1) = (1x1,1y1) = (x1, y1)
1u = u
Produto interno
Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de V x V em R
que a todo par de vetores (u, v) ∈ V x V, associa um número real, indicado por
u · v ou < u · v> tal que os seguintes axiomas sejam verificados:
P1. u · v = v · u
P2. u (v + w) = uv + uw
P3. (αu) v = α (u · v)
P4. u · u ≥ 0 e u · u = 0 se, e somente se, u = 0
∀u, v ∈ Ve ∀α ∈ R
EXEMPLO
No espaço vetorial V = R2, a função que associa a cada par de vetores u = (x1, y1) e
v = (x2, y2) o número real u · v = 3x1 x2 + 4y1 y2 é um produto interno?
Steinbruch (1997)
capítulo 2
• 44
Resolução: para sabermos se uma função é um produto interno devemos provar as
propriedades P1, P2, P3 e P4. Considere u = (x1, x2), v = (y1, y2), w = (x3,y3) ∈ R2 e α ∈ R:
P1. u · v = v · u, por definição u · v = 3x1 x2 + 4y1 y2, como a ordem dos fatores não altera o
produto temos:
u · v = 3x1 x2 + 4y1 y2
v · u = 3x2 x1 + 4y2 y1
u·v=v·u
P2. u · (v + w) = (x1, y1) ∙ ((x2, y2) + (x3, y3))
u · (v + w) = (x1, y1) ∙ (x2 + x3, y2 + y3)
u · (v + w) = 3x1 (x2 + x3 ) + 4y1 (y2 + y3 )
u · (v + w) = (3x1 x2 + 3x1 x3 ) + (4y1 y2 + 4y1 y3 )
u · (v + w) = (3x1 x2 + 4y1 y2 ) + (3x1 x3 + 4y1 y3 )
u · (v + w) = u · v + u · w
P3. (αu) v = α (u · v)
(αu) v = (αx1, αy1) · (x2, y2)
(αu) v = 3 (αx1) · x2 + 4 (αy1) · y2
(αu) v = α (3x1 · x2 + 4y1 · y2)
(αu) v = α (u · v)
P4. u · u ≥ 0
u · u = 3x1 · x1 + 4y1· y1
u · u = 3x12 + 4y12 ≥ 0
Temos que 3x12 + 4y12 = 0 se, e somente se, x1 = y1 = 0, isto é, se u = (0, 0) = 0. Sendo
assim, ficam provadas as 4 propriedades de um produto interno.
capítulo 2
• 45
Espaço vetorial normado
Seja V um espaço vetorial sobre K, em que K = R, teremos uma representação
de uma norma em V na qual teremos uma aplicação p : V → [0, +∞] em que são
satisfeitas as seguintes propriedades:
p(αx) = |α| ∙ p(x), ∀x ∈V, α ∈ R
p(x + y) = p(x) + p(y), ∀x, y ∈ V
Se ainda a aplicação p satisfizer a propriedade adicional: p(x) = 0 ⇒ x = 0
dizemos que a aplicação p é uma norma de V e assim, e comum representarmos a
mesma da forma ||x|| no lugar de p(x). Um espaço vetorial normado é um espaço
vetorial sobre K munido de uma norma.
EXEMPLO
O corpo K (visto como espaço vetorial sobre si próprio) é um espaço normado se o equiparmos com a norma ||α|| = |α|. Geralmente, Kp é um espaço normado, pois sabemos que
x = |x1|2 + |x2 |2 + |x3 |2 + ... + |xp |2 , x = (x ,x ,x ,...,x ) é uma norma em Kp.
1
2
3
p
Observação: o termo “norma” é usado como sendo sinônimo de módulo, quando o espaço normado considerado é R.
Noções de topologia da reta
O estudo da Topologia da Reta4 é o ramo da Matemática que busca estudar as
questões de limites ou proximidades (CATTAI, 2009). Faremos uma abordagem
em quatro pontos: os conjuntos abertos, conjuntos fechados, ponto de acumulação e conjuntos compactos.
Conjuntos abertos
Seja um conjunto X ⊂ R, em que haja um ponto, x ∈ X chama-se ponto interior de X quando existe um intervalo aberto ]a, b[ tal que x ∈ ]a, b[ ⊂ X.
4 Disponível em: <http://cattai.mat.br/site/files/AnaliseReal/AnaliseReal_cattai_uneb.pdf>. Acesso em: 26. dez.
2017.
capítulo 2
• 46
Dados X ⊂ R, o conjunto dos pontos x ∈ X que são interiores a X será representado por int X. Quando a ∈ int X diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a.
Um subconjunto A ⊂ R, chama-se um conjunto aberto quando todos os seus
pontos são interiores, isto é, quando int A = A.
EXEMPLOS
• Seja x ∈ R , com a < x < b, dizemos que x é um ponto interior do intervalo aberto (a, b).
Sendo assim vemos que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b). Note que o ponto
a não é ponto interior de (a, b), pois qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos
menores que a.
• Os conjuntos Q, Z, N são exemplos de conjuntos que não têm pontos interiores, por não
terem intervalos nem abertos nem fechados, ou seja, int Q = int Z = int N = ∅.
• Os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
Conjunto fechado
Diz-se que um ponto x é aderente ao conjunto X ⊂ R, quando x é limite de
alguma sequência de pontos x n ∈ X. Todo ponto x de X é aderente a X, basta
tomar a sequência x n = x.
Denominamos como fecho X de um conjunto X, um conjunto formado por
todos os pontos aderentes a X. Um ponto x é aderente ao conjunto X se, e somente
se, toda vizinhança de x contém algum ponto de X.
Um conjunto X {\displaystyle X\,} X é dito conjunto fechado se e somente ele
é igual ao seu fecho: X = X
EXEMPLO 1
O fecho dos intervalos (c, d), [c, d) e (c, d] é o intervalo [c, d].
capítulo 2
• 47
EXEMPLO 2
Sejam os conjuntos [b, +∞), (∞, c] e (∞, +∞) = R, são conjuntos fechados.
Pontos de acumulação
Seja X ⊂ R e b ∈ R, temos que b é um ponto de acumulação de X quando
todo intervalo aberto de centro b, isto é, todo intervalo da forma (b − ε, b + ε),
com ε > 0, contém uma infinidade de pontos de X. Denotamos X’ como o conjunto dos pontos de acumulação de X.
Em particular, se X tem ponto de acumulação, então X é infinito, sendo assim
temos que conjuntos finitos não têm pontos de acumulação.
Resumidamente temos que: se X um subconjunto dos números reais, dizemos
que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma
sequência xn ∈ X de pontos diferentes de x convergindo para x.
EXEMPLO
Se X = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, n ∈ N}, então o conjunto de pontos de acumulação é
X' = {0}.
Conjuntos Compactos
Um subconjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, é fechado e limitado. Os
intervalos da reta do tipo [a, b] são conjuntos compactos.
ATIVIDADES
01. Faça as demonstrações:
a)
Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b) /2 é irracional . Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contra exemplo, mostrando assim que é falsa.
b)
O produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional.
c)
p é irracional, se p > 1 é um número primo qualquer.
capítulo 2
• 48
02. Dados os conjuntos:
D = {x ∈ R/1 ≤ x <3}, A = {x ∈ R/ x ≥ 2}, V = {x ∈ R/ -2 ≤ x ≤ 6}
e Y = {x ∈ R/ x ≥ 0}, responda:
a)
Qual é a cota superior do conjunto D?
b)
Qual é a cota inferior do conjunto V?
c)
Qual é o ínfimo e o supremo do conjunto V?
d)
Qual é o supremo do conjunto A?
e)
Verifique se o conjunto Y é limitado superiormente, em caso afirmativo, dê um exemplo.
f)
Verifique se o conjunto Y é limitado inferiormente, em caso afirmativo, dê um exemplo.
RESUMO
Neste capítulo foi apresentada a construção do conjunto dos números reais, dando ênfase ao conjunto dos números racionais e irracionais, para isso partimos da definição de corpo
e corpo ordenado, mostramos e conceituamos os componentes do conjunto dos números
reais, como as propriedades de ordem e valor absoluto, definimos o que eram o ínfimo e
supremo e as cotas (superior e inferior).
Foi visto também a propriedade arquimediana, o conjunto de Cantor, espaços vetoriais,
produto interno e norma. Para encerramos esta unidade fizemos uma breve abordagem sobre noções de topologia.
MULTIMÍDIA
Vídeo sobre cotas, ínfimo e supremo. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=NhNrwGe35G8>. Acesso em: 4 mar. 2018.
Vídeo sobre conjunto fechado. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=7QfVpHf9g5M>. Acesso em: 4 mar. 2018.
capítulo 2
• 49
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AGUILAR, Ivan & DIAS, Marina Sequeiros. A Construção dos Números Reais e suas Extensões.
In: 4o Colóquio da Região Centro-Oeste: Universidade Federal Fluminense Novembro de
2015. Disponível em: <https://www.sbm.org.br/coloquio-centro-oeste-4/wp-content/uploads/
sites/2/2016/01/Minicurso_6._A_construcao_dos_Reais.pdf>. Acesso em: 26 dez. 2017.
ALVES, Marcos Teixeira. O Conjunto de Cantor. 46 f. Trabalho de Conclusão de Curso. Faculdade de
Direito, Universidade Federal de Santa Catarina. Departamento de Matemática-2008.
ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. 2. ed. São Paulo: E.
Blücher, 2005.
BARTLE, Robert G. Elementos de Análise Real. Editora Campus, Rio de Janeiro: 1983.
CATTAI, Adriano Pedreira. Análise Real. Disponível em <http://cattai.mat.br/site/files/AnaliseReal/
AnaliseReal_cattai_uneb.pdf>. Acesso em: 26 dez. 2017.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2005.
LAY, David C. Álgebra Linear e Suas Aplicações. 4. ed. São Paulo: LTC, 2013.
LIMA, Elon Lages. Análise Real. v. 1. IMPA, 2004.
MOURA, Elis Coimbra de; SANTOS,Elisa Regina dos. Conjunto de Cantor: Um Conjunto não
Enumerável com Medida de Lebesgue Zero. In: XXI Colóquio Brasileiro de Matemática IMPA, Rio
de Janeiro: 2017.
STEFFENON, Rogério; GUARNIERI, Felipe. Belos Problemas de Matemática: Indução e Contagem. In:
IV Colóquio de Matemática da Região Sul – Rio Grande do Sul-RS. FURG-2016.
STEINBRUCH, Alfredo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGray-Hill,1987.
capítulo 2
• 50
3
Sequências
Sequências
No capítulo anterior foi feito o estudo sobre a construção do conjunto dos
números reais e suas propriedades. Neste capítulo serão abordadas as sequências
de números reais, um conteúdo que já é habitual dos estudantes do ensino básico,
como por exemplo a sequência dos números naturais.
No ensino médio, o estudo de sequência limita-se às sequências aritméticas e geométricas, as conhecidas PA e PG; aqui será feita uma aproximação mais ampla e profunda.
Espera-se que a abordagem trazida ao longo do texto possa ser útil para dar
uma visão mais ampla do que é uma sequência matemática e uma maior fundamentação para os futuros professores na hora de trabalhar este conteúdo em sala
de aula no ensino básico.
OBJETIVOS
• Compreender o significado de sequência matemática;
• Reconhecer as várias representações de uma sequência matemática;
• Distinguir as ordens dos elementos da sequência;
• Verificar a convergência ou divergência de uma sequência.
Sequências numéricas
As sequências numéricas aparecem em jogos de cartas, em que a formação
dela pode ser mais forte ou mais fraca, fazendo o jogador ser um ganhador ou o
derrotado, dependendo da sequência numérica de cartas que o mesmo tenha em
suas mãos, por exemplo, em um jogo de Poker5 .
Na matemática a definição de uma sequência numérica é feita da seguinte
maneira: f: N → R tal que f(n) = an
Uma sequência numérica (a1, a2, a3, a4, …. an, an + 1, …) é uma função real, com seu
domínio no conjuntos dos números naturais, se associa um número real an, que são
conhecidos como termos da sequência, em que n é o índice.
5
Disponível em: <https://br.pokernews.com/regras-poker/>. Acesso em: mar. 2018.
capítulo 3
• 52
A função f: N → R associa a cada número natural um número real an: f(n) = an
O a1 é chamado de primeiro termo, o a2, segundo termo e assim por diante,
sendo o an o enésimo termo; a sequência anterior pode ser escrita da seguinte forma: an ou (an )_n = 1∞. Algumas sequências têm fórmulas para o seu enésimo termo.
EXEMPLO
a)
∞
n
n
1 2 3 4

 n 
,... com n ∈ N
ou  , , , ,...,

 ou an =
n + 2  n=1
n+2
3 4 5 6 n + 2 
b)
(
n−4
)
∞
n= 3
{
}
ou an = n − 4 , n ≥ 4 ou 0,1, 2 , 3 ,..., n − 4 ,... com n ∈ N
c)
∞
2n
2n 
2 4 6 8
 2n 
,... com n ∈ N
ou  , , , ,...,

 ou an =
n + 1 n=1
n +1 3 5 7 9 n +1 
Existe essa variação na escrita das sequências entre an ou (an )n = 1∞, com n ∈ N,
dependendo do autor da literatura que está sendo estudada o conteúdo. Ao longo
do texto, a abordagem que será utilizada na escrita será an.
Como já falado na introdução, duas sequências muito comuns são desenvolvidas no ensino médio, vejamos os exemplos a seguir.
S1 = 1, 3, 5, 7, ..., 2n + 1, com n ∈ N
S2 = 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2n com n ∈ N
Na sequência S1 os números apresentados estão em uma sequência aritmética,
na qual se observa que dando prosseguimento à sequência, vemos que os números
que compõem a mesma são os números ímpares. Essa sequência é uma Progressão
Aritmética (PA) em que o seu primeiro termo é a1 = 1 e a partir dele aumenta dois
números que é a sua razão r = 2 . O n-ésimo termo an de qualquer PA pode ser
escrito da seguinte forma: an = a1 + (n - 1) ∙ r
capítulo 3
• 53
Já na S2 os números apresentados estão em uma sequência conhecida como
Progressão Geométrica (PG) na qual se observa que dando prosseguimento à sequência, vemos que os números que compõem a mesma são números que vão
dobrando o número anterior. Essa sequência é uma Progressão Geométrica em
que o seu primeiro termo é a1 = 2 e a partir dele o número seguinte será o dobro
do anterior, sendo assim sua razão q = 2 . O seu n-ésimo termo an de qualquer PG
pode ser escrito da seguinte forma: an = a1 ∙ q n - 1.
Ao abordarmos o assunto sequência, não se pode deixar de falar de uma das
sequências mais importantes da matemática, que está escrita a seguir, a sequência
de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Essa é uma sequência muito antiga, que surgiu no século XIII, quando
Leonardo Fibonacci resolveu um problema de reprodução de coelhos.
A obtenção dessa sequência é dada pela seguinte maneira: o primeiro e o segundo valor da sequência é o 1, e a partir do terceiro termo será a soma dos
dois antecessores:
f1 = 1
f2 = 1 , fn = fn - 1 + fn - 2,
∀n ≥ 3
Na matemática vemos a sua aplicação no desenvolvimento do triângulo de
Pascal e na proporção Áurea, vemos a sua aplicação em problemas de botânica,
arquitetura e reprodução de animais, como foi o estudo de Fibonacci que acabou
por desenvolver essa sequência.
A partir de agora, serão apresentados os conceitos inerentes ao conteúdo de
sequências.
Convergência de uma sequência
Seja uma sequência numérica definida pelo termo geral: an =
n , vamos
n +1
verificar o que acontece quando calcularmos os termos dessa sequência.
capítulo 3
• 54
1
1
= = 0, 33
1+ 2 3
2
2
a2 =
= = 0, 4
2+3 5
3
3
a3 =
= = 0, 75
3+4 8
4
4
a4 =
= = 0, 8
4 +1 5
5
5
a5 =
= = 0, 83
5 +1 6
6
6
a6 =
= = 0, 86
6 +1 7
7
7
a7 =
= = 0, 88
7 +1 8
8
8
a8 =
= = 0, 89
8 +1 9
9
9
a9 =
=
= 0, 9
9 + 1 10
15
15
a15 =
=
= 0, 93
15 + 1 16
a1 =
A partir das sequências apresentadas, observa-se que à medida que o valor de
n aumenta, o valor de an chega mais próximo de 1, ou seja, an está tendendo a 1.
Esse valor poderia ser verificado fazendo uso do conceito de limite tendo como
função f(n) = an e n → ∞:
n
lim f ( n ) = lim a n = lim
n→∞
n→∞
n→∞ n + 1
Dividindo o numerador e o denominador por n temos:
lim
n→∞
n
n
n 1
+
n n
= lim
n→∞
1
1+
1
n
1
= lim 1 = 1
n→∞ 1 + 0
n→∞
n
= 1 , como já tínhamos observado anteriormente.
Sendo assim lim
n→∞ n + 1
Como lim
capítulo 3
• 55
À medida que n cresce, os termos da sequência se aproximam de um valor real
L, ou an se aproxima de L. Representamos por:
lim an = L
n→∞
Se pudermos tornar os termos an tão próximos de L quanto quisermos, ao fazermos
n → ∞ (tornar n estritamente grande), fazendo com que haja um limite, e dizemos que
a sequência converge ou é convergente; caso isso não aconteça, dizemos que a sequência diverge, ou é divergente.
Resumidamente, dizemos que quando n → ∞, an → L, o que faz com que a sequência an, n ∈ N ser convergente para L, podendo ser representada da seguinte maneira:
lim an = L
n→∞
Ou:
an → L se n → ∞
Porém se o limite não for um número, a sequência é divergente.
EXEMPLO
a)
Verifique se a sequência de termo geral an =
3n2
2n2
é convergente ou divergente.
+n+2
Resolução: vamos calcular o lim an para isso vamos dividir o numerador e o denominador
n→∞
por n2(a maior potência entre os polinômios do numerador e do denominador de an).
lim an = lim
n→∞
n→∞ 3n2
2n2
+n+2
2n2
n2
lim
n→∞ 3n2 + n + 2
n2
2
lim
n→∞ 3n2
n
2
+
+
n2 n2 n2
2
lim
1 2
n→∞
3+ + 2
n n
capítulo 3
• 56
Temos que lim
1
n→∞ n
= 0 e lim
2
n→∞ n2
= 0 , pois quando n tende a infinito o limite das funções
f(n) = 1/n e f(n) = 2/n2 é zero, então :
2
2
=
3
n→∞ 3 + 0 + 0
lim
Como a resposta do cálculo do limite foi um número, dizemos que a sequência cujo termo
2n2
converge para 2 .
3n2 + n + 2
3
geral é an =
b) A sequência cujo termo geral é an =
n2
é convergente ou divergente?
8 + n2
Resolução: vamos calcular o lim an para isso vamos dividir o numerador e o denomin→∞
nador por n3 (a maior potência entre os polinômios do numerador e do denominador de an).
n3
n→∞ 8 + n2
n3
n3
lim
n→∞ 8
n2
+ 3
3
n
n
1
lim
n→∞ 8
1
+
n3 n
1
8
lim
= 0 e lim = 0
n→∞ n3
n→∞ n
lim
1
= ∞ , pois o denominador vai para zero quando n cresce. Como
8 1
+
n3 n
o limite não resultou em um número, a sequência é divergente
n2
Comportamento da sequência de termo geral an =
8 + n2
O que nos dá lim
n→∞
capítulo 3
• 57
60
50
n3
8 + n2
an =
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
Figura 3.1 – Gráfico gerado pelo autor no geogebra.
Observação: esse mesmo cálculo do limite, por ter n → ∞ poderia ser feito fazendo o
uso da maior uso da maior potência do numerador e com o maior expoente do denominador:
lim
n→∞
n3
8 + n2
n3
= lim n = ∞
n→∞ n2
n→∞
lim
Neste caso dizemos que a sequência cujo termo geral é an =
n2
diverge para o infinito.
8 + n2
Assim como existe uma notação para quando a sequência é convergente, existe uma notação para o caso da divergência:
lim an = ∞ ou an → ∞, se n → ∞
n→∞
Ou:
lim an = -∞ ou an → -∞, se n → ∞
n→∞
O primeiro caso acontece quando os termos da sequência crescem infinitamente e o
segundo caso ocorre quando os termos decrescem infinitamente.
capítulo 3
• 58
Sequências em que o limite é uma forma indeterminada
A regra de L'Hôpital é enunciada da seguinte maneira: se lim f(x)/g(x) é uma
x→α
forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞ e g'(x) ≠ 0, então:
f (x)
f ’ (x)
= lim ’
x →α g ( x )
x →α g ( x )
lim
Caso o limite lim f'(x)/g'(x) exista, os limites quando x tende para mais
x→α
infinito ou para menos infinito também poderão ser calculados usando essa regra.
Ao fazermos o uso da regra de L’Hôpital, para encontramos o limite de uma
sequência, formalizamos uma relação existente entre lim an e lim (x).
n→∞
x→∞
Suponha que f(x) seja uma função definida para todo x ≥ x0 e que an seja uma
sequência de números reais em que f(n) = an para todo n ≥ n0, então ,
lim f(x) = L ⇒ lim an = L
x→∞
n→∞
Stewart (2013)
EXEMPLO
Verifique se a sequência cujo termo geral é an = In (2n) é convergente ou divergente.
2n
In (2n)
In (2x )
será igual ao lim
, caso esse
n→ ∞ 2n
x → ∞ 2x
Resolução: pela definição anterior, o lim
último exista.
Fazendo uso da regra de L’ Hôpital (derivando o numerador e o denominador e depois
aplicando o limite) e utilizando a regra da cadeia para derivar ln(2x) temos:
In (2x )
1/ x
= lim
=
x → ∞ 2x
x→ ∞ 2
lim
Como lim
x→ ∞
lim 1/ x
x→ ∞
lim 2
x→ ∞
1
= 0 e o lim 2=2, temos:
x→ ∞
x
1/ x
=
x→ ∞ 2
lim
lim 1/ x
x→ ∞
capítulo 3
lim 2
x→ ∞
• 59
=0
O que prova que a série an = In (2n) converge para 0.
2n
Logo, a série an = In (2n) é convergente.
2n
Sequências alternadas
Algumas sequências se aproximam de um valor à medida que o índice n au1
menta, por exemplo, a sequência cujo termo geral an =
com n ≥ 1 , que nos
n
 1 1 1 1 1 1

,... nesse caso a sequência
fornece a seguinte sequência: 1, , , , ,... ,
 2 3 4 5 n n + 1 
se aproxima de zero conforme o denominador tende a aumentar, ou podemos
1
dizer lim = 0 .
n→ ∞ n
As sequências alternadas não se aproximam nem de um valor real nem divergem
para ∞ ou -∞. As sequências alternadas são divergentes, pois se lim an, n ∈ N não
n→ ∞
resulta em um número a sequência é divergente.
EXEMPLO
Verifique se a sequência an = (-1)n + 1 a seguir é convergente ou divergente.
(1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., (-1)n + 1, ...)
Resolução: como podemos verificar, os valores se revezam entre –1 e 1, pois quando
n for par a potência se transforma em um número ímpar, resultando que (-1)n + 1 = -1, todavia
quando n for ímpar a potência se tornará par, tornando o valor de (-1)n + 1 igual a 1.
Com isso verifica-se que a série an = (-1)n + 1 que é alternada não converge para nenhum
valor, sendo assim a série é divergente.
Limites de uma sequência
Na sessão anterior, usamos o conceito de limite para verificar se uma sequência converge ou diverge. Nesta sessão vamos recordar alguns conceitos de limites
que serão empregados nos testes de convergências.
capítulo 3
• 60
Sejam an e bn sequências de números reais e sejam k, L1, L2 ∈ R , temos os
seguintes teoremas válidos se lim an = L1 e lim bn = L2.
n→ ∞
n→ ∞
Regra da soma e da diferença: lim (an ± bn) = L1 ± L2
n→∞
Regra do produto: lim (an ∙ bn) = L1 ∙ L2
n→∞
Regra da multiplicação por uma constante: lim (k ∙ an) = L1 ∙ k
n→∞
a
L
Regra do quociente: lim n = 1 com L2 ≠ 0
n→ ∞ b
L2
n
Teoremas para a verificação da convergência de sequências
99 Teorema do confronto: se an ≤ bn ≤ cn para todo n ≥ n0 e
lim an = lim cn = L, então lim bn = L, sendo an, bn, cn sequências numéricas e
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
L um número real.
EXEMPLO
Provar que a sequência an = 1 converge para zero pelo teorema do confronto.
2n
Resolução: para o uso do teorema do confronto, precisamos de duas funções que tenham o mesmo limite, mas uma deve ser maior e a outra menor do que a função dada para
todo n ≥ n0.
Sabemos que lim
1
n→ ∞ n
= 0 e lim 0 =0 , sabemos que 0 ≤
n→∞
1 1
≤ , para todo n ≥ 1.
2n n
Como as duas funções das extremidades da desigualdade 0 ≤
1 1
≤
têm limite iguais
2n n
1
= 0 . Como o limite resultou
1
em um número, podemos concluir que a sequência cujo termo geral é an =
é convergente.
2n
a zero, então, pelo teorema do confronto, está provado que lim
n→ ∞ n
99 Teorema da sequência absoluta: se lim |an | = 0, então lim an = 0 , em
n→ ∞
n→ ∞
que an representa uma sequência.
capítulo 3
• 61
EXEMPLO
Calcule lim an caso exista, sendo an =
( −1)n
verificando a sua convergência.
n→∞
n
Resolução: vejamos o comportamento desta sequência.
a1 =
a2 =
a3 =
( −1)1 = −1
1
( −1)2
2
=
1
2
( −1)3 = − 1
3
3
( −1) = 1
a4 =
4
4
4
a5 =
( −1)5 = − 1
5
5
 1 1 1 1 ( −1)n 
Com isso observa-se que a sequência é alternada:  −1, , − , , − ,...,
 .
n 
 2 3 4 5
Para esses casos, a solução está em se calcular o limite do valor absoluto. Assim,
n
1
lim |an| = lim | ( −1) | = lim = 0 . Pelo teorema da sequência absoluta temos que
n→∞
n→∞
n→ ∞ n
n
lim
( −1)n
n→∞
n
= 0. Como o limite foi um número, podemos concluir que a sequência cujo termo
geral é an =
( −1)n
n
é convergente.
99 Teorema da função contínua: seja an uma sequência em que seus termos
sejam pertencentes ao conjunto dos números reais, se an → L e se f for uma função
contínua em L definida para todo elemento de an , então f(an) → f(L).
EXEMPLO
Mostre que
(n2 + 1) → 1
n2
Resolução: aplicando o limite em an =
lim
n→∞
(n2 + 1)
n2
(n2 + 1)
teremos:
n2
capítulo 3
• 62
Utilizando a maior potência do numerador e a maior potência do denominador.
n2
Como resposta temos que lim 2 = lim 1 = 1.
n→∞ n
n→∞
Vamos usar a função f(x) =
x que é contínua, para todos os elementos da se-
quência, pois são elementos positivos. Temos que f(an) → f(L), pelo teorema temos:
lim
n→∞
(n2 + 1) = lim
n2
n→∞
1 = lim 1 = 1 . Com isso, demostramos o que pedia o enunciado.
n→∞
Sequências monótonas
Definição: dizemos que uma sequência an, chamada crescente se an < an + 1,
para todo n ≥ 1, isso é : a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … an ≤ an + 1, com n ∈ N.
EXEMPLO
Seja a sequência de termo geral an = n +
1
, verifique se ela é crescente ou decrescente.
n
a1 = 1 +
1
=2
1
a2 = 2 +
1 5
= = 2,5
2 2
a3 = 3 +
1 10
≅ 3,3
=
3 3
an = n +
1
n
an+1 = (n + 1) +
1
(n + 1)
Assim temos: 2 ≤ 2,5 ≤ 3,3 ≤ an ≤ an + 1 ... para todo n ≥ 1. Com isso, verificamos que a
sequência e crescente.
Definição: quando temos an ≥ an + 1, para todo n ≥ 1, dizemos que a sequência
é decrescente: ≥ a2 ≥ a3 ≥ … an ≥ an+1, com n ∈ N.
capítulo 3
• 63
EXEMPLO
Seja a sequência de termo geral an =
5 , verifique se ela é crescente ou decrescente.
n+4
a1 =
5 =1
1+ 4
a2 =
5
5
= ≅ 0,83
2+4 6
a3 =
5
5
= ≅ 0,71
3+4 7
a4 =
5
5
= ≅ 0,63
4+4 8
an =
an + 1 =
5
n+4
5
(n + 1) + 4
=
5
n+5
Assim temos: 1 ≥ 0,83 ≥ 0,71 ≥ 0,63 ≥ … ≥ an ≥ an + 1.para todo n ≥ 1. Com isso, verificamos que a sequência é decrescente.
Definição: quando uma sequência é crescente ou decrescente ela é chamada
de sequência monótona.
EXEMPLO
1.
Seja a sequência de termo geral an =
3
, verificar se ela crescente ou decrescente.
n+5
Resolução: uma sequência é crescente se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … e decrescente se a1 ≥ a2 ≥
a3 ≥ … partindo dessa definição, vamos comparar an e an + 1:
an =
3
3
e an+1 =
n+5
(n + 1) + 5
Os primeiros termos da sequência são:
a1 =
3
3
3
3
3
3
=
=
e a3 =
= ,a =
1+ 5 6 2 (1+ 1) + 5 7
(2 + 1) + 5 8
capítulo 3
• 64
Suspeita-se que
3
3
, sendo assim, temos que an ≥ an + 1, para n ≥ 1 pela
≥
n + 5 (n + 1) + 5
definição, a sequência é decrescente. Fazendo a verificação temos:
3
3
≥
n + 5 (n + 1) + 5
Desenvolvendo o denominador da fração a direita da desigualdade temos:
3
3
≥
n+5 n+6
Podemos verificar a veracidade da desigualdade anterior se conseguimos verificar a veracidade de uma desigualdade que seja equivalente.
Para ficar mais fácil a comparação, iremos tornar os denominadores iguais, consequentemente iremos fazer as comparações no numerador, sendo assim temos:
3 ⋅ (n + 6)
3 ⋅ (n + 5)
≥
(n + 5) ⋅ (n + 6) (n + 6) ⋅ (n + 5)
Trabalhando somente com os numeradores temos:
3 ∙ (n + 6) ≥ 3 ∙ (n + 5)
3n + 18 ≥ 3n + 15.
18 ≥ 15
Como essa desigualdade é verdadeira para todo n ∈ N, provamos que a desigualdade:
3
3
≥
n + 5 (n + 1) + 5
é verdadeira para todo n ∈ N e consequentemente provamos que a sequência cujo temo
3
geral é an =
é decrescente para todo n ≥ 1.
n+5
2.
Demonstre que a sequência cujo termo geral é an =
n
é crescente.
2n + 1
Resolução: como a sequência é crescente, devemos mostrar que an ≤ an + 1 para n ≥ 1.Os
primeiros elementos dessa sequência são:
capítulo 3
• 65
a1 =
1
1
= ≅ 0,3
2 ⋅1+ 1 3
a2 =
2
2
= ≅ 0,4
2 ⋅2 +1 5
a3 =
3
3
= ≅ 0,42
2 ⋅ 3 +1 7
Podemos verificar que à medida que n está crescendo, os termos estão aumentando,
o que nos induz para uma sequência crescente, generalizando para um n qualquer, temos:
n
n +1
≤
2n + 1 2 (n + 1) + 1
Desenvolvendo o denominador da fração à direita da desigualdade, temos:
n
n +1
≤
2n + 1 2n + 3
Podemos verificar a veracidade da desigualdade anterior se conseguimos verificar a veracidade de uma desigualdade que seja equivalente.
Para ficar mais fácil a comparação, iremos tornar os denominadores iguais, consequentemente iremos fazer as comparações no numerador, sendo assim temos:
n ⋅ (2n + 3)
(n + 1) ⋅ (2n + 1)
≤
(2n + 1) ⋅ (2n + 3) (2n + 3) ⋅ (2n + 1)
Trabalhando somente com os numeradores, temos:
n ∙ (2n + 3) ≤ (n + 1) ∙ (2n + 1)
2n2 + 3n ≤ 2n2 + 3n + 1
0≤1
Como essa desigualdade é verdadeira para todo n ∈ N, provamos que a desigualdan +1
de n ≤
é verdadeira para todo n ∈ Ne consequentemente provamos que a
2n + 1 2 (n + 1) + 1
sequência cujo temo geral é an =
3.
n
é crescente para todo n ≥ 1.
2n + 1
Considerando uma sucessão em que o termo geral seja: an =
sequência é crescente ou decrescente.
capítulo 3
• 66
1
n3 + n
, verificar se a
Resolução: o que vai determinar, nesse caso, se a sequência é crescente ou decrescente é o denominador, tendo em vista que o numerador é constante.
1
Temos que an =
e
3
n +n
an+1 =
1
(n + 1)
3
+ (n + 1)
, como
(n + 1)3 + (n + 1) >
n3 + 3 , pois o seu desenvolvimento
+ 4n + 2 > n3 + 3 , para todo n ≥ 1.
1
1
Concluímos que
, ou seja, sequência de termo geral
<
3
3
n +n
(n + 1) + (n + 1)
1
an =
é decrescente para todo n ≥ 1.
n3 + n
será
n3
+ 3n2
Sequência limitada
Uma sequência pode ser limitada de três maneiras, superiormente, inferiormente ou em ambas as extremidades, para cada caso há uma definição.
Sequência limitada superiormente e inferiormente
Uma sequência an é limitada superiormente quando se tem um número M real
tal que an ≤ M, com n ≥ 1.
Quando temos na sequência N ≤ an, com n ≥ 1, dizemos que a mesma é limitada inferiormente.
Quando uma sequência for limitada superiormente e inferiormente dizemos
somente que ela é limitada. Decorrente das limitações da sequência, temos os
seguintes teoremas:
1. Seja an uma sequência crescente e limitada superiormente. Se M ∈ R for a
limitação superior então vale a relação: an ≤ lim an ≤ M para n ≥ 1.
n→∞
2. Seja an uma sequência decrescente e limitada inferiormente. Se N ∈ R for a
lim a ≤ a para n ≥ 1.
limitação inferior, então vale a relação: N ≤ n→∞
n
n
3. Seja an uma sequência crescente e não limitada superiormente, an supera qualquer valor positivo, para todo índice suficientemente grande, sendo assim a sequência diverge para o infinito. Analogamente, se an for decrescente e não limitada
inferiormente, ela diverge para menos infinito.
4. Teorema da sequência monótona: toda sequência monótona limitada é
convergente.
capítulo 3
• 67
ATIVIDADES
01. Escreva os 6 primeiros termos da sequência que tem termo geral.
3n
nπ
a) an = 2
d) an = cos
n +2
2
b)
an =
c)
an =
( −1)n−2
4n
2 ( −1)
n!
e)
a1 = 1, an+1 = 4an − 2
f)
a1 = 3, an+1 =
n
an
1+ 2an
02. Verifique se as sequências de termo geral a seguir convergem ou divergem.
a)
n4
an = 4
n +2
b)
an =
c)
an =
4 + 3n3
2 − n3
d)
an =
e)
an =
( −1)n−1n
n2 + 1
( −1)n n3
n2 + 1
n3
+2
n2
RESUMO
Neste capítulo foi apresentado o conceito de sequências, com abordagem da definição
de conceitos importantes como convergência e divergência, limitação e monotonicidade de
uma sequência. Para verificação de convergência foi aplicado o conceito de limite de uma
sequência, em que se fez o uso de conceitos estudados anteriormente nas disciplinas de
cálculo diferencial e integral.
A relação existente entre uma sequência e o seu limite é abordada nos teoremas: teorema do confronto, teorema da sequência absoluta e teorema da função contínua.
MULTIMÍDIA
Nos dois primeiros links a seguir, são apresentados vídeos com definições de sequências
numéricas, no terceiro link é apresentada uma relação entre a sequência de Fibonacci e o
número de ouro.
capítulo 3
• 68
Sequência: parte I. disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=n1DQChhJpMc>. Acesso em: 21 nov. 2017.
Sequência: parte 2. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=QQ5B5fPYFQc>. Acesso em: 21 nov. 2017.
Sequência de Fibonacci. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=XM
-o0HsjkV8>. Acesso em: 21 nov. 2017.
GeogebraTube. Neste link são apresentadas algumas sequências em que os usuários podem manusear verificando a sua característica. Disponível em: <https://ggbm.at/
r2qU4SXh>. Acesso em: 21 nov. 2017.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. rev e ampl. São
Paulo: Blucher, 2006.
BOULOS, Paulo; ABUD, Zara Issa. Cálculo Diferencial e Integral. v. 2. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2002.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. v. IV. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
STEWART, James. Cálculo. v. II. São Paulo. Thomson. Tradução EZ2 Translate: Cengage Learning,
2013.
THOMAS, George B. Jr. Cálculo. v. II. São Paulo: 2009.
capítulo 3
• 69
capítulo 3
• 70
4
Séries infinitas
Séries infinitas
No capítulo anterior foi feito o estudo das Sequências, suas propriedades, seus
critérios de convergências ou de divergências, a importância do estudo de sequências se dá pelo fato de ser um pré-requisito para o estudo de séries, pois as séries
são sequência de somas parciais. Neste capítulo, o assunto abordado será as séries
infinitas que são um tipo de sequência (sequência de somas parciais), também
sendo feita uma abordagem em suas respectivas características.
Serão abordadas ao longo do capítulo várias formas de se verificar convergência ou divergência de uma série.
Este tópico está relacionado com o conteúdo já visto anteriormente, por
exemplo, a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.
Espera-se que as maneiras de como a abordagem destes testes de convergência se apresentam, ao longo do texto, possam fazer o entendimento do conteúdo
ser alcançado.
OBJETIVOS
• Compreender o significado de séries infinitas, de séries convergentes e de séries
divergentes;
• Aprender a verificar e reconhecer se uma série é convergente ou divergente;
• Utilizar os conceitos do cálculo diferencial e integral ao longo dos testes de convergências,
por exemplo, o conceito de limites e integra;
• Aprender a utilizar os vários testes existentes de verificação de convergência de séries.
Séries numéricas
Quando observamos as somas infinitas, que são uma representação das séries
numéricas, vemos que a mesma se faz presente em conceitos, por exemplo, as dízimas periódicas, como as apresentadas a seguir:
1, 232323 ....; 0,333 ... ; 0,232323 ...; etc.
capítulo 4
• 72
Podemos escrever os números acima como sendo a soma de uma progressão
geométrica de infinitos termos da seguinte maneira:
1 + 0,23 + 0,023 + 0,0023 + ... = 1,232323...
0,3 + 0,03 + 0,003+ ... = 0,333...
0,23 + 0,023 + 0,0023+ ... = 0,232323...
Ainda que esse seja um conteúdo apresentado no Ensino Fundamental, o
seu cálculo é apresentado de forma que o aluno da respectiva série seja capaz
de compreender.
EXEMPLO
Encontre a fração que representa a dizima 0,222...
Resolução:
Seja 0, 222 = x(1)
multiplicando ambos os membros da igualdade por 10 temos:
2,222 = 10 x (2)
Subtraindo a equação (2) da equação (1), temos:
2 = 9x ∴ x = 2/9
Analogamente, podemos encontrar a fração que representa qualquer dízima periódica.
No caso apresentado, a dízima tende para um valor numérico, mas nem sempre é assim.
Séries infinitas
Definição: uma série infinita pode ser representada da forma:
∞
∑ n=1 an = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an + … ;
capítulo 4
• 73
em que a1, a2, a3, a4, ..., an são conhecidos como termos da série e na é o termo
geral da série.
Consideremos a definição descrita e façamos uma sequência:
S_1 = a_1
S_2 = a_1 + a_2
S_3 = a_1 + a_2 + a_3
.........................
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = Sn - 1 + an
Sn é conhecida como a sequência das somas parciais da série. Observa-se
que à medida que n cresce, mais um termo an é adicionado à soma parcial anterior,
isto é, Sn = Sn-1 + an. Quando o limite da série for um número, pode-se tomar esse
valor, limite, como sendo a soma de todos os termos da série.
Quando temos uma série, na qual o limite é um valor numérico, dizemos que
essa série é convergente, caso contrário, dizemos que a série diverge. Numa linguagem mais formal, podemos dizer que:
∞
Seja ∑ n=1an a série dada e Sn a sequência das somas parciais, o que nos fornece
duas possibilidades:
Lim S = L; dizemos que a série
Se n→
+∞ n
∞
∑1 a n
é convergente a L e que L é a sua soma.
Lim S não existir, a série será divergente e não terá soma, com L ∈ R.
Se o n→
+∞ n
Quando tivermos uma série convergente, temos que seu termo geral tende
para zero, quando n tende para o infinito, em linguagem matemática:
Se
∞
∑ n=1 a
n
converge, então an → 0, quando n → ∞
Podemos reescrever o resultado anterior da seguinte forma:
Lim an será zero, se a série
n→ +∞
capítulo 4
∞
∑ n=1 a
• 74
n
convergir.
Pela definição, prova-se esse resultado da seguinte maneira: seja S a representação da soma da série e Sn = a1 + a2 + a3 + … + an + ... a representação da soma
dos termos da n-ésima soma parcial. Ao fazermos n → ∞, ou seja tornando n tão
grande, tanto Sn quanto Sn - 1 estarão bem próximos, daí resulta que a diferença
entre os termos tende a zero.
an = Sn - Sn-1 → 0
Observação: o resultado descrito não é suficiente para determinamos se uma
série é convergente ou divergente.
Teste do n-ésimo termo para divergência
Uma maneira de verificarmos a divergência de uma série é:
Se o Lim an não existe ou Lim an ≠ 0, então a série diverge.
n→ +∞
n→ +∞
EXEMPLO
∞
a)
∑ n=1
b)
∑ n=1n2 + 1 diverge, pois
c)
∑ n=1
∞
∞
n3 diverge, pois n3 → ∞
n2
n2
n2
=
Lim
= Lim 1 = 1 ≠ 0
n→ +∞ n2 + 1 n→ +∞ n2
n→ +∞
Lim
(-1)n + 1 diverge porque o Lim (-1)n + 1 não existe., pois se n for do tipo 2k, com
n→ +∞
k ∈ N, este expoente se tornará do tipo 2k +1, fazendo seu limite ser –1; porém se seu expoente for do tipo 2k + 1, o expoente se tornará do tipo 2k + 2 e o seu limite será 1, fazendo
a série ser alternada, isto é não convergir para um único valor.
d)
∞
−n2
∑ n=12n2 + 1 diverge porque
Lim
−n2
−1 −1
−n2
= Lim 2 = Lim
=
≠0.
n
→
+∞
n
→
+∞
+1
2n
2
2
n→ +∞ 2n2
Observação: anteriormente foi falado que quando uma série tem seu termo geral tendendo a zero não significa dizer que a série é convergente.
capítulo 4
• 75
∞
não converge.
∞
1
1
Lim = 0 e a série
∑ n=1n , conhecida como série harmônica em que n→
+∞ n
Vejamos a série
1
1
1
1
1
1
1
1
∑ n = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n + ...
n =1
S = 1+
1  1 1  1 1 1 1  1 1
1
+ +  + + + +  + +
+ ... + 
2  3 4   5 6 7 8   9 10
16 
1
1
 1
+ +
+ ... +
 + ...
 17 18
32 
Observe que cada uma das somas dentro dos parênteses é maior que ½:
1 1 1 1
+ > +
3 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + > + + +
5 6 7 8 8 8 8 8
1
1 1
1
1
1
+
+ ... +
>
+
+ .... +
16
9 10
16 16 16
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
>
+
+ ... +
17 18
32 32 32
32
Como a soma do lado direito de cada desigualdade vale ½ e como a soma das parcelas
será infinita, não teremos um limite.
Séries geométricas
Chamamos de série geométrica a série do tipo
+∞
∑ n=0 ar n
a + ar + ar2 + ar3 + … + arn ... , com a ≠ 0 e r ∈ R
Uma outra forma de representação da série geométrica é:
∞
∑ n= k ar n − k a + ar + ar
2
+ ar3 + …, com a ≠ 0 e r ∈ R
capítulo 4
• 76
EXEMPLO 1
1.
0,2222 = 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ... = é uma série geométrica de razão r =
1/10 e a = 2/10 .
2.
∞
∑ n=1 = 4 ∙ (-3)
n
- 4 ∙ 3 + 4 ∙32 - 4 ∙ 33 + 4∙34 + .... + 4(-3)n + ... é uma série geométrica
de razão r = -3 e a = 4.
∞
Uma série geométrica do tipo: ∑ n=1 a ∙ rn-1 , a ≠ 0 e r ∈ R pode convergir ou divergir.
a
Converge para S =
; se e somente se |r| < 1.
1− 1
Diverge, se |r| ≥ 1.
EXEMPLO 2
a)
Verifique se a série
para qual valor converge.
∞
2
∑ n=110n
é convergente ou divergente, sendo convergente diga
Resolução: a razão é r = 1/10 e a = 2/10.
Como se |r| < 1, vamos calcular a sua soma:
a
1− r
2
10
=
1
1−
10
2
= 10
9
10
2 10
=
⋅
10 9
2
=
9
Sn =
Sn
Sn
Sn
Sn
A série
∞
2
∑ n=110n
é convergente e converge para 2/9.
capítulo 4
• 77
b) Verifique se a série geométrica
∞
∑ n=1
31 - n ∙ 22n converge ou diverge.
1
Essa série pode ser reescrita da seguinte maneira: ∑ ∞ 3 ⋅ 22n , daí temos:
n =1 3n
31
n = 1⇒ 1 ⋅ 22⋅1 = 4
3
31
1
n = 2 ⇒ 2 ⋅ 22⋅2 = 16 ⋅
3
3
31
1
n = 3 ⇒ 3 ⋅ 22⋅3 = 64 ⋅
3
9
Calculando a razão, por meio da divisão do 2o termo pelo 1o termo, temos:
16
4
r= 3 =
4
3
Como |r| ≥ 1, a série diverge.
Testes de convergência de séries
Teste da comparação
Dadas as séries
Se
Se
∞
∑ n=1
∞
∑ n=1
∞
∞
∑ n=1 a e ∑ n=1 b , a
n
n
> 0; bn > 0 e an ≤ bn, ∀n ∈ N temos que:
∞
∑ n=1 a converge.
∞
∑ n=1 b diverge.
bn converge, então
an diverge, então
n
n
n
Observações:
1. Este teste é também chamado teste do confronto ou comparação simples.
∞
∞
2. Se an ≤ bn e ∑ n=1 bn diverge nada podemos afirmar sobre ∑ n=1 an
3. Se an ≤ bn e
∞
∑ n=1 a
n
converge nada podemos afirmar sobre
4. O teste também se aplica se temos an ≤ bn, ∀n > n0, n, n0, ∈ N
capítulo 4
• 78
∞
∑ n=1 b
n
EXEMPLO
Verificar se a série
∞
5
∑ n=15n − 1 é convergente ou divergente
Resolução: utilizaremos para fins de comparação, uma série conhecida e que já foi provada a divergência,a série harmônica ∑ ∞ 1 .
n=1n
Para comparar as duas séries, vamos dividir o numerador e o denominador do n-ésimo
termo da série ∑ ∞ 5 por 5:
n =15n − 1
1
1
>
1 n
n−
5
5
∞
Daí temos que o n-ésimo termo da série ∑
é maior que o n-ésimo termo da
n =15n − 1
1
∞ 1
série ∑
, pois para qualquer valor de n o denominador de
será menor do que o
n=1n
1
n−
denominador 1/n.
5
5
∞
Logo, temos que a série ∑
é divergente.
n =15n − 1
Observação: para utilizar o teste da comparação, os termos de uma série testada devem
obedecer aos seguintes critérios: ser menor que uma série convergente ou maior que uma
série divergente, se tivermos a série que está sendo testada maior que uma série convergente ou menor que uma série divergente, então o teste da comparação não irá se aplicar. Em
casos assim, aplica-se outro tipo de comparação, a que será demonstrada a seguir.
Teste da comparação com limite
O teste comparativo com limite é muito útil para séries nas quais an é uma
função racional de n.
∞
∞
Suponha que ∑ n=1an e ∑ n=1 bn sejam séries com termos positivos.
I. Se lim
an
n→+∞ b
= L , em que L > 0 é um número real, temos que ambas as séries
n
convergem ou divergem, com L ∈ R.
capítulo 4
• 79
II. Se
III. Se
∞
a
∑ n=1 bn
∞
a
∑ n=1 b
= 0 e se
∑ n=1
n
∑ n=1 bn
∞
= 0 e se
n
n
∞
converge, então
bn diverge, então
∞
∑ n=1 a
n
∞
∑ n=1
também converge.
an também diverge.
Demonstração: vamos provar o item I:
a
Sejam x e y números positivos tais que x < L < y, sendo n → L, para um
bb
n → ∞, existe um N real, tal que
x<
an
bb
< y onde m que n >N
xbn < an < ybn quando n > N
Daí e pelo teste da comparação conclui-se que:
∞
∞
Se ∑ n=1 bn convergir, então ∑ n=1 ybn também converge e
∞
consequentemente ∑ n=1 an converge.
∞
∞
Se ∑ n=1 bn divergir, então ∑ n=1 xbn também diverge e consequentemen∞
te ∑ n=1 an irá divergir também.
EXEMPLO 1
Verifique se a série
∞
1
∑ n=12n − 1 é convergente ou divergente.
1
Resolução: fazendo uso do teste da comparação com limites, adotando an =
e
n −1
2
1
bn =
temos:
2n
1
para fins de comparação se deu pelo fato de ser um termo já
2n
existente em an, uma outra forma de conseguirmos identificar qual série escolher é fazendo a
A escolha de bn =
escolha pelo maior potência tanto do numerador quanto do denominador.
capítulo 4
• 80
an
lim
n→+∞ b
n
1
−1
lim
1
n→+∞
2n
1
lim 2n ⋅ n
n→+∞
2 −1
2n
lim 2n ⋅ n
n→+∞
2 −1
1
lim
1
n→+∞
1− n
2
2n
Como n → +∞ temos:
1
lim
n→+∞ 2n
= 0. Daí, lim
n→+∞
Pelo fato de existir o limite e ser positivo
1
1
1− n
2
∞
=
1
= 1> 0
1− 0
1 ser uma série geométrica convergente,
∑ n=12n
a série dada é convergente pelo Teste de Comparação com Limite.
EXEMPLO 2
Verifique se a série
∞
3n + 1 é convergente ou divergente.
∑ n=1 n + 1 2
(
)
Resolução: fazendo uso do teste da comparação com limites, adotando an
vamos calcular:
lim
3n + 1
(n + 1)
2
bn =
3n
n2
an
n→+∞ b
n
Antes de aplicarmos o limite, vamos desenvolver o produto notável contido no denomina3n + 1
. Como n tende ao infinito, ou seja, para um n grande espera-se que
n2 + 2n + 1
3n 3
o comportamento desta função seja igual ao de
= :
n2 n
3
lim n = lim 1 = 1> 0
n→+∞ 3
n→+∞
n
dor de an =
capítulo 4
• 81
Pelo item I do teste da comparação com limite, concluímos que ambas as séries
∞
∑ n=1 a
n
e
∞
∑ n=1 b
n
divergem ou convergem.
∞
Daí e como ∑ n=1 bn =
é divergente.
Note que
∞
∑ n=1
3 =
n
∞
3
∑ n=1 n
∞
∑ n=1 3 ∙
∞
∑ n=1
diverge porque podemos reescrever
1
.Como a série
n
3
diverge, pois se
n
x > 0, x uma constante real.
que
3
diverge, concluímos que
n
∞
∑ n=1
∞
1
∑ n=1 n
∞
∑ n=1 b
n
∞
∑ n=1 a
n
∞
∑ n=1 3
n
=
∞
∑ n=1
3n + 1
(n + 1)2
da seguinte maneira
diverge, pelo Teste da comparação temos
divergir, então
∞
∑ n=1 xb
n
também diverge para
Teste da integral
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞]
∞
e seja an = f(n). Então a série ∑ n=1 an é convergente se, e somente se, a integral
imprópria ∫1∞ f(x) dx for convergente, em outras palavras:
Se ∫
∞
1
f(x) dx for divergente,
∞
∑ n=1 a é convergente.
∞
∑ n=1 a é divergente.
Se ∫1∞ f(x) dx for convergente,
n
n
EXEMPLO
1.
Utilize o teste da integral para provar que a série
Resolução: já foi demonstrado que a série
∞
∞
∑ n=1 1 é divergente.
n
1
∑ n=1 n
é uma série divergente, pelo método
da comparação. Agora, fazendo o uso do teste da integral temos que calcular a integral imprópria:
1
∫1∞f(n) dn = ∫1∞ 1 dn lim ∫1t dn
t→ +∞
n
n
lim ln |n||1t = lim
t→ +∞
t→ +∞
Como ∫1∞ 1 dn é divergente, a série
n
ln |t| - ln |1| = ∞ - ln |1| = ∞ - 0 = ∞
∞
∑ n=1 1 é divergente.
n
capítulo 4
• 82
2.
Utilize o teste da integral para verificar a convergência ou divergência da série
Resolução:
∞
∫1
∞
1
∑ n=1 n2
t
t 1
t
n−2 +1
1
dn = lim ∫ 2 dn = lim ∫ n−2 dn = lim
=
2
1
1
t → +∞ n
t → +∞
t → +∞ −2 + 1
n
1
t
t
n−1
−1
 −1
= lim
= = (0) −   = 1
 1
t → +∞ −1
t → +∞ n 1
1
lim
Como a integral ∫1∞
1
dn convergiu para um número real, a série
n2
Verifique se a série
∑ n=1 n2 + 1 é convergente ou divergente.
∞
∞
1
∑ n=1 n2 é convergente.
1
Resolução:
∫1∞
1
1
dn = lim ∫1t
dn
2
t→
+∞
+1
n +1
n2
Utilizando a tabela de integral, verifica-se que esta integral tem como solução arctg x,
sendo assim temos:
lim ∫1t
t→ +∞
1
dn ⇒ lim arctgn |1t
t→ +∞
n2 + 1
Como lim arctgt = π/2 temos:
t→ +∞
π
π π π
− arctg 1 = − =
2 4 4
2
Sendo a assim a integral converge para um número real, o que consequentemente faz
∞
1
com que a série ∑ n=1
seja convergente.
2
n +1
Observação: o valor encontrado na resolução da integral não significa que seja o valor
da soma da série, ele é apenas um valor que indica se a série e convergente ou divergente.
capítulo 4
• 83
Série de Dirichlet ou séries p e a série harmônica
Designa-se por série de Dirichlet ou série p toda a série da forma:
∞
∑ n=1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + ...
np
2
3
4
A série de Dirichlet é convergente para p > 1 e divergente para p ≤ 1. A série
∞
1 ,
harmônica é um caso particular da série de Dirichlet, ela é do tipo ∑
n=1 p
n
com p = 1.
∞
∑ n=1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + ...
p
n
2
3
4
Para verificarmos se essa série converge ou diverge é conveniente considerarmos as somas parciais S2, S4, S8, S16,….
S1= 1
S2 = 1 + 1/2
1  1 1
1
1 1
2
S4 = 1 + +  +  > + +  +  = 1 +




12  13 14 
12
14 14
2
S4 = 1 + +  +  > + +  +  = 1 +




22
12  13 14  12 1 4 1 4 1 
1 1
1 1 1 1
S8 = 1 + +  +  +  + + +  > 1 + +  +  +  + + +  =







12  13 14   15 16 71 18 
14 14
18 18 18 18 
2
S8 = 1 + +  +  +  + + +  > 1 + +  +  +  + + +  =
1 21  13 4  3  5 6 7 8 
2  4 4   8 8 8 8
= 1+ + + =1+
12 12 12
23
=1+ + + =1+
1  1
1
2 12 21 1  2  1
S16 = 1 + +  +  +  + ... +  +  + ... + 





12  13 14   15
18   19
1 
16
S16 = 1 + +  +  +  + ... +  +  + ... + 
1 2 1  31 4  1  5 1 8  1  9
1 16 
> 1 + +  +  +  + ... +  +  + ... + 
12  14 14   18
18   16
1
1
16
> 1 + +  +  +  + ... +  +  + ... + 
21 14 14  1  8 4 8   16
16 
=1+ + + + =1+
12 12 12 12
24
=1+ + + + =1+
2 2 2 2
2
Analogamente, S32 > 1 + 5 , S64 > 1 + 6 generalizando temos: S2n > 1 + n .
2
2
2
capítulo 4
• 84
Isso mostra que S2n → ∞ quando n → ∞ e assim Sn é divergente, pois cada
termo subsequente é maior que o seu termo anterior. Portanto a série harmônica
é divergente.
Critérios para a convergência ou divergência de uma série
∞
I. Se ∑ n=1 an converge, então lim an = 0.(Na prática usamos a contrapositiva
n→+∞
– item II)
∞
II. Se lim an = +∞ ou se lim an ≠ 0, então ∑ n=1 an diverge.
n→+∞
n→+∞
III. Se lim an = 0, nada podemos afirmar sobre a série
n→+∞
temos lim 1 = 0, que nos remete a série harmônica
n→+∞ n
∞
∑ n=1 a . Como exemplo
n
∞
1
∑ n=1 n
que diverge.
IV. A convergência ou divergência de uma série não é afetada pela retirada ou o
acréscimo de um número finito de termos.
∞
∞
∞
V. Se ∑ n=1 an converge, a série ∑ n=1 bn obtida de ∑ n=1 an acrescentando-se
ou suprimindo-se alguns termos também converge, mas para um valor, em geral,
∞
diferente da soma ∑ n=1 an .
∞
VI. Se ∑ n=1 an e ∑ n=1 bn são duas séries convergindo a x e y respectivamente,
então, podemos concluir que:
∞
a) A série ∑ n=1 (an ± bn) converge a x ± y.
∞
b) A série
∞
∑ n=1 ka
Observação: se
se pode afirmar sobre
n
∞
∑ n=1
converge para kx com k ∈ R
an e
∞
∑ n=1
∞
∑ n=1
bn são duas séries divergentes nada
(an ± bn)
EXEMPLO
∞
As séries ∑ n=1 2n e ∑ n=1 - 2n divergem, mas ∑ n=1 (2n - 2n ) converge, pois
∞
∞
∞
∑ n=1 2n diverge para mais infinito, ∑ n=1 - 2n diverge para o menos infinito e ∑ n=1
(2n - 2n ) converge para zero, como os valores são opostos, a soma é zero.
∞
∞
capítulo 4
• 85
Séries alternadas
Os testes de séries apresentados até o momento são aplicados em séries de termos positivos, agora veremos as séries nas quais são apresentados valores positivos
e negativos.
Podemos dizer que uma série é alternada, se for possível a sua escrita em uma
das formas seguintes, com an > 0; ∀n ∈ N.
∞
∑
n=1
(- 1)n + 1 an = a1 - a2 + a3 - a4 + …
ou
∞
∑
n=1
(- 1)n an = -a1 + a2 - a3 + a4 - …
Para convergência ou divergência destes tipos de séries são utilizados os dois
critérios de verificação de convergência determinados por Leibniz, que apresentaremos na seção posterior.
Teste de Leibniz ou testes das séries alternadas
Considere a série:
∞
∑
n=1
(-1)n + 1 an = a1 - a2 + a3 - a4 + …
em que an > 0; ∀n ∈ N
Se lim an = 0 e an+1 < an; ∀n ∈ N, então a série é convergente.
n→+∞
Observação: se S é soma da série temos que |S - Sn| < an + 1, significa dizer que
se uma série alternada satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz, o erro resultante
da aproximação de S por Sn é menor que o primeiro termo que não foi incluído
na soma parcial Sn
capítulo 4
• 86
EXEMPLO
1.
Verifique a série
∞
∑ n=1
( −1)n−1 , quanto à convergência.
n
Resolução: a série pode ser reescrita da seguinte maneira:
∞
∑ n=1 (-1)
n -1
∙
1
, o que nos
n
1
garante que está série é do tipo alternada. Tomando como an = 1 e como an + 1 =
,
n +1
n
daí temos que an + 1 < an o que satisfaz o critério do teste, faltando agora verificar se
n −1
Lim an = 0, temos que Lim 1 = 0 o que comprova que a série ∑ ∞ ( −1)
é
n→ +∞
n→ +∞ n
n=1
n
convergente, pelo teste das séries alternadas.
Observação: a série anterior é conhecida como série harmônica alternada.
2.
Verifique a série
−1) 2n , quanto a convergência.
∑ n=1 ( 3n − 1
∞
n
Resolução: reescrevendo a série apresentada, como feito no exemplo anterior temos:
2n
∑ n=1 3n − 1 , Agora, verificando as duas condições para convergência da série alternada temos:
∞
an =
2 (n + 1)
2n
2n + 2
e an + 1=
daí an + 1 < an,
=
3 (n + 1) − 1 3n + 2
3n − 1
Lim 2n = 2 o que não satisfaz o teste,
Agora verificando se Lim an = 0, temos que n→
+∞
n→ +∞
3n 3
pois o limite deveria ser igual a zero.
n
∞
( −1) 2n é divergente pelo teste das séSendo assim, dizemos que a série ∑
n=1
3n − 1
ries alternadas.
Convergência absoluta, teste da razão e teste da raiz
O teste da razão para convergência de uma série também é conhecido como
sendo o critério de D’Alembert, antes de fazer a abordagem do uso do teste da
razão, iremos fazer uma abordagem sobre convergência absoluta.
capítulo 4
• 87
Convergência absoluta
∞
Se a série ∑ n=1 |an| converge dizemos que a série
te convergente.
∞
Se a série ∑ n=1 an converge e
nalmente convergente.
∞
∑ n=1
∞
∑ n=1 a
n
é absolutamen∞
∑ n=1 a
|an| diverge dizemos que
n
é condicio-
EXEMPLO
1.
A série
∑ n=1 ( −1)
n −1
∞
n
divergente, então a série
2.
A série
é convergente e a série
∑ n=1 (
∞
−1)
n2
∑ n=1 ( −1)
n −1
n −1
∞
n
n +1
∞
n
| =
∞
∑ n=1 1
n
é
é condicionalmente convergente.
é convergente6 e a série
convergente, com isso a série
∑ n=1 | ( −1)
∑ n=1 ( −1)2
n −1
∞
n
∑ n=1| ( −1)2
n −1
∞
n
| =
∞
∑ n=1
1 é
n2
é absolutamente convergente.
Teste da razão
O teste da razão é útil para determinar se uma série dada é absolutamente
convergente.
∞
Seja a série ∑ n=1 an e considere o lim | a n + 1 | = k , com k ∈ R e
n→+∞
an
an ≠ 0.
∞
• Se k < 1, a série ∑ n=1 an é absolutamente convergente, logo a série
∞
∑ n=1 an é convergente. ∞
• Se k > 1, a série ∑ n=1 an diverge.
• Se k = 1, o teste da razão é inconclusivo, não permitindo que nenhuma
conclusão seja tirada sobre a convergência ou divergência da série.
a +1
Uma outra opção de resultado e se lim | n
| = +∞ obviamente a série
n→+∞
a
n
é divergente.
6
A verificação da convergência dessa série deixamos como atividade para o leitor.
capítulo 4
• 88
EXEMPLO
1.
Verifique se a série:
∑ n=1 ( −1)n n
n 3
∞
converge ou diverge pelo teste da razão.
3
Resolução: temos que an =
( −1)n n3
3n
razão entre as séries temos:
lim
n→+∞
e an+1 =
( −1)n+1(n + 1)3
an+1
an
( −1)n+1(n + 1)3
3n+1
( −1)n n3
3n
lim
n→+∞
Simplificando (-1)n temos:
(n + 1)3
3n+1
n3
3n
lim
n→+∞
Operando as frações temos:
lim
n→+∞
(n + 1)3 ⋅ 3n
3n+1
n3
Desenvolvendo o produto notável:
lim
n→+∞
n3 + 3n2 + 3n + 1 3n
⋅ 3
3n ⋅ 3
n
Fazendo as simplificações possíveis temos:
lim
n→+∞
n3 + 3n2 + 3n + 1 1
⋅ 3
1⋅ 3
n
capítulo 4
• 89
3(n+1)
verificando o limite da
Como n → ∞, isso nos permite que venhamos trabalhar só com as maiores potências
tanto do numerador quanto do denominador, daí temos:
n3 1
1
⋅
=
<1
n→+∞ 1⋅ 3 n3
3
lim
Pelo teste da razão, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, convergente.
2.
Verifique se a série
∞
n
∑ n=1 n
n!
converge ou diverge.
nn
são termos positivos, pois n con!
meça em 1 e não operamos fatorial com número negativo. Por isso, não será feito o uso de
Resolução: em primeiro lugar observa-se que an =
valor absoluto, o módulo.
(n+1)
n
Sendo assim temos: an = n e an + 1 = (n + 1)
n!
(n + 1)!
an+1
n→+∞ a
n
lim
lim
(n + 1)(n+1)
(n + 1)
n→+∞
nn
n!
Fazendo a divisão da fração, temos:
(n + 1)(n+1) ⋅ n!
n→+∞ (n + 1) !
nn
lim
Fatorando (n+1)(n + 1) e (n+1)! temos:
(n + 1)n ⋅ (n + 1) ⋅ n!
n→+∞
(n + 1) ⋅ n! nn
lim
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
(n + 1)n
nn
Podemos reescrever esse limite da seguinte maneira:
n
n
 n + 1
 1
lim 
lim 1+  = e
 = n→+∞
 n
n→+∞  n 
capítulo 4
• 90
Esse é um conhecido limite fundamental e o seu valor é o número irracional
e = 2,7182818284590452353602874..., que ao fazermos o arredondamento com duas
casas decimais temos o seu valor é igual a 2,72, o mesmo também é conhecido como o
a
nn
∞
número de Euler. Com isso temos que lim n+1 > 1, daí se conclui que a série ∑
é
n=1 n!
n→+∞ a
n
divergente pelo teste da razão.
Teste da raiz
∞
Seja a série ∑ n=1 an .Considere o limite lim
n→+∞
n
a n = k com k ∈ R e an ≠ 0
∞
• Se k < 1, a série ∑ n=1 an é absolutamente convergente, logo a série
∞
∑ n=1 an é convergente; ∞
• Se k > 1, a série ∑ n=1 an diverge;
• Se k = 1, o teste da raiz é inconclusivo.
a +1
Uma outra opção de resultado é se lim | n
| = +∞, obviamente a série é
n→+∞
an
divergente.
EXEMPLO
Verificar se a série
∞
∑ n=1
n
 2n + 3 

 converge ou diverge fazendo uso do teste da razão.
3n + 2 
n
2n + 3 
Resolução: sendo an = 
devemos calcular lim n an :
n→+∞
 3n + 2 
lim
n
n→+∞
 2n + 3 


3n + 2 
n
Como o índice da raiz e a potência são iguais podemos cancelá-los restando apenas:
lim
2n + 3
n→+∞ 3n + 2
Como n → +∞, podemos usar somente as maiores potência tanto do numerador quando
do denominador, sendo assim temos:
lim
2n
n→+∞ 3n
capítulo 4
• 91
Simplificando por n temos:
lim
2
n→+∞ 3
n
Como lim
n
n→+∞
 2n + 3 
2

 = < 1 , a série
3n + 2 
3
=
2
<1
3
∞
∑ n=1
n
 2n + 3  converge pelo teste da raiz.


3n + 2 
ATIVIDADES
01. Calcule a soma das seguintes séries geométricas:
∞ 3n −1
a) ∑
n = 2 6n −1
b)
∞
4
∑ n=12n
02. Indique se as séries são convergentes ou divergentes por meio dos testes apresentados.
∞
( −1)n−1
∞
( −2)n
a)
∑ n=1 6n2
∞
n2 − 1
e)
b)
∑ n=1
∞
n+3
n2
f)
∑ n=1
c)
∑ n=1n3
∞
1
g)
∑ n=1(2n + 1)!
d)
∑ n=1 5 n
∞
1
∑ n=1 2n + 1
∞
n2
( −1)n
RESUMO
Neste capítulo foi apresentado o conceito de séries infinitas, dentre as séries apresentadas destacamos as séries harmônicas e as séries alternadas.
Além das séries, foram apresentados alguns métodos de verificação de convergência de
séries, e alguns tipos de testes que verificam a convergência ou divergência que podemos
resumir da seguinte maneira:
∞
1
ela irá convergir para p > 1 e divergir para p ≤ 1.
np
∞
∞
• Se a série for uma série geométrica da forma ∑ n=1 a ∙ rn - 1 ou ∑1 a ∙ rn ela irá convergir
• Se a série for da forma
∑ n=1
quando |r| < 1 e divergente quando |r| ≥ 1.
capítulo 4
• 92
• Se uma série tiver a forma similar a da série p ou a uma série geométrica, então para fins
de verificação, podemos usar o teste comparação.
∞
• Se a série for da forma ∑ n=1 (-1)n-1 bn ou
∞
∑ n=1 (-1)
n
bn utiliza-se o teste das séries alternadas.
• Séries que envolvem fatorial ou outros produtos, por exemplo, uma constante elevada a
n-ésima potência, funções racionais ou algébricas de n, o teste da razão deve ser usado.
• Se an = f(n), em que ∫1∞ f (x) dx é de fácil cálculo, utiliza-se o teste da integral.
• Quando uma série é absolutamente convergente, utiliza-se o teste da razão.
• O teste da raiz é indicado para séries com potências de n.
MULTIMÍDIA
Nos vídeos a seguir, será possível ter uma visão mais ampla de alguns testes de convergências e divergências de séries.
Teste de convergência parte I. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=JiWKLACcRME>. Acesso em: mar. 2018.
Teste de convergência parte 2. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=AVUjsHZ9Um4>. Acesso em: mar. 2018.
Apllet com teste de convergência de séries.
Disponível em: <https://ggbm.at/PRyJmHhz>. Acessado em: 20 nov. 2017.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. 2. ed. São Paulo: E.Blücher, 2005.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. v. II. Rio de Janeiro. LTC, 2014.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v. 2. 3. ed. São Paulo: Habras, 1994.
LIMA, Elon Lages. Análise Real. v. 1.Páginas: 198. Publicação: IMPA, 2017. 12.ed.,2004.
STEWART, James. Cálculo. v. II. São Paulo. Thomson. Tradução EZ2 Translate: Cengage Learning,
2013.
THOMAS, George B Jr. Cálculo.v. 2.São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
capítulo 4
• 93
capítulo 4
• 94
5
Séries de potências,
série de Taylor e
série de Maclaurin
Séries de potências, série de Taylor e série de
Maclaurin
No capítulo anterior foi feito o estudo das séries infinitas de termos constantes, suas propriedades, seus critérios de convergências ou de divergências. Neste
capítulo, falaremos de séries infinitas de termos variáveis, denominadas de séries
de potências e muito do que foi visto no capítulo anterior será utilizado.
Objetiva incitar a curiosidade sobre o tema proposto, apresentar o assunto a
ser tratado e orientar a aprendizagem.
OBJETIVOS
• Compreender o significado de séries de potências.
• Utilizar os testes de convergência das séries para calcular o raio de convergência.
• Compreender o intervalo de convergência de uma série.
• Determinar a série de Taylor gerada por uma função.
• Compreender que a série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor.
Séries de potências
Chamamos de série de potências uma série da forma
∞
∑ n=0 b
n
xn = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + … + bxn + ...
Stewart. Volume 2.
em que bn é uma constante conhecidas como coeficientes da série, x é número
real e n ∈ N.
Para cada x fixado, existirá uma série de constantes para as quais podemos
verificar a convergência ou divergência.
Ao atribuir valores para x, podemos ter convergência para alguns valores de x e
divergência para outros valores. A soma de uma série é representada por uma função.
f(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + … + bn xn + ...
capítulo 5
• 96
Nesse caso, o domínio da função é o conjunto de todos os valores de x para
qual a série vai convergir. A função apresentada tem grande semelhança com polinômio, sendo a sua diferença que no caso descrito, a função tem parcelas infinitas.
EXEMPLO 1
Verifique a convergência da série de potência.
∞
∑
n= 0
xn = 1 + x + x2 + … + xn + …
Resolução: essa é uma série geométrica em que sua razão é r = x e o seu primeiro
termo é 1. Uma série geométrica tem sua convergência definida para |r|<1 e sua divergência
para |r| ≥ 1,como a razão r é igual a x temos:
Convergência: se |x |< 1 , o que equivale a –1 < x < 1.
Divergência se: |x| ≥ 1, o que equivale a x ∈ [1, + ∞].
Em geral, a série da forma:
∞
∑
n= 0
bn (x - b)n = b0 + b1 (x - b) + b2 (x - b)2 + …
Stewart. Volume 2.
é chamada série de potências em (x - b) ou uma série de potências cujo centro é b ou
uma série de potências em torno de b. Observe que, tanto na primeira quanto na segunda
equação, foram adotadas a convenção de que (x-b)0 = 1, mesmo quando x = b, que é conhecido como centro de convergência.
Outro fato que merece atenção é que se x = b, todos os termos bn (x - b)n são nulos para
n ≥ 1e assim, a série de potências
∞
∑ n= 0 b
n
(x - b)n sempre converge para bn quando x = b.
EXEMPLO 2
1.
Para qual valor converge a série:
∞
∑ n= 0 4(x - 2)
n
= 4 + 4(x - 2) + 4(x - 2)2 + … + 4(x - 2)3 + ... + 4(x - 2)n + ... ,
tendo como parâmetro o seu centro de convergência?
capítulo 5
• 97
Resolução: calculando o centro de convergência temos: x - 2 = 0 ∴ x = 2.
Substituindo 2 no lugar de x na série temos:
∞
∑ n= 0 4(2 - 2)
n
= 4(2 - 2)0 + 4(2 - 2) + 4(2 - 2)2 + … + 4(2 - 2)3 + …
Utilizando a definição anterior: (x - b)0 = 1, mesmo quando x = b temos:
∞
∑ n= 0 4(2 - 2)
n
= 4 ∙ 1 + 4(0) + 4(0)2 + 4(0)3 + ...
Observamos que todas as parcelas a partir do 2o termo irão zerar, sobrando somente o
valor 4, sendo assim a série de potências
2.
∞
∑ n= 0 4(x - 2)
n
converge para 4, quando x = 2.
Para qual valor converge a série:
∞
∑ n= 0
1
1
1
∙ (x - 2)n = 1 + (x - 2) +
∙ (x - 2)2 + … + 1 ∙ (x - 2)n + ...,
2
2
2
2
tendo como parâmetro o seu centro de convergência?
Resolução: assim como no exemplo anterior, vamos primeiro calcular o centro de convergência: x - 2 = 0 ∴ x = 2
Substituindo 2 no lugar de x, temos:
1
∞
∑ n= 0 2
∙ (x - 2)n =
1
1
∙ (2 - 2)0 + (2 - 2) + 1 ∙ (2 - 2)2 + …
2
2
4
Utilizando a definição anterior: (x - b)0 = 1, mesmo quando x = b temos:
∞
1
∑ n= 0 2
∙ (x - 2)n =
1
1
1
∙ 1 + (2 - 2) +
∙ (2 - 2)2 + …
2
2
4
Observa-se mais uma vez que todas a parcelas irão ser zeradas, restando somente
que nos leva a chegar a conclusão que a série
∞
∑ n= 0
1
1
1
1
∙ (x- 2)n =
+ (2 - 2) +
∙ (2 - 2)2 + … + ( 1 )n ∙ (x - 2)n + ...
2
2
2
4
2
Converge para
1
, quando x = 2.
2
capítulo 5
• 98
1
,o
2
Raio de convergência
∞
Seja a série ∑ bn(x - b)n ,para a sua convergência existem três possibilidades:
n= 0
1. Existe um número real r, conhecido como raio de convergência, que irá fazer a série divergir para x quando |x - b| > r, porém irá convergir para x quando
|x - b| <. A série pode não convergir para uma das extremidades x = b + r e x = b - r.
2. A série converge para todo x, neste caso teremos r = ∞.
3. A série converge para x = b e diverge em todos pontos restantes neste caso, r = 0.
Para cálculo do raio da convergência geralmente, utiliza-se o teste da razão,
visto no capítulo anterior entre os testes de convergências de séries. Como nós
estamos interessados somente com a convergência ou divergência da série, então
utilizaremos somente duas das três propriedades do teste da razão.
EXEMPLO 1
Calcule o raio de convergência da série
Resolução: vamos verificar se lim
n→+∞
para esse tipo de série.
lim
n→+∞
n
∞
∑ n= 0 ( x − 3)
n
an+1
< 1, pois esse é o critério para convergência
an
an+1
= lim
n→+∞
an
( x − 3)n+1
n +1
( x − 3)n
n
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador temos:
lim
n→+∞
( x − 3)n+1 ⋅
n +1
n
( x − 3)n
Expandindo o produto notável do numerador temos:
lim
n→+∞
( x − 3)n ⋅ ( x − 3) ⋅
n +1
capítulo 5
n
( x − 3)n
• 99
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
( x − 3) ⋅ n
n +1 1
Reescrevendo para facilitar o cálculo do limite temos:
n ( x − 3)
⋅
1
n +1
lim
n→+∞
n
por n temos:
n +1
Dividindo cada membro da fração
lim
1
n→+∞
1
1+
n
⋅
( x − 3)
1
Utilizando a propriedade de módulos que diz: “o módulo do produto é o produto dos
módulos” e a propriedade do limite: que diz lim k f(x) = k lim f(x), sendo k um número
x→+∞
real, obtemos que
lim
n→+∞
1
1
1+
n
x→+∞
x − 3 = x − 3 lim
n→+∞
1
1+
1
n
Nesse caso, (x – 3) é uma constante, pois o limite está em função de n.
Como:
lim
1
n→+∞
1+
1
n
=1
temos que
x − 3 lim
n→+∞
1
1+
1
n
= 1⋅ x − 3
Pelo teste da razão, a série é convergente, se o limite for menor do que 1. Então, devemos
ter |x - 3| < 1, o que nos dá o raio de convergência igual a 1.
capítulo 5
• 100
EXEMPLO 2
Calcule o raio de convergência da série
Resolução: vamos verificar se lim
n→+∞
∞
∑ n= 0 (x - 8)
n
an+1
< 1, pois esse é o critério para convergência
an
de uma série ao ser utilizado esse tipo de série
( x − 8)n+1
n→+∞ ( x − 8)n
lim
Expandindo o produto notável do numerador temos:
( x − 8)n ⋅ ( x − 8) ⋅
n→+∞
( x − 8)n
lim
Simplificando a fração temos:
lim |x - 8|
n→+∞
Nesse caso, (x – 8) é uma constante, tendo em vista que o limite está em função de n.
Daí e fazendo uso da propriedade do limite que diz: lim k = k, k um número real temos que
x→+∞
lim |x - 8| = |x - 8|.
n→+∞
Lembrando que esta série, pelo teste da razão é convergente, se o limite for menor do
que 1, temos que |x - 8| < 1, o que nos dá o raio de convergência igual a 1.
EXEMPLO 3
Determine o raio de convergência da série
x2n+1 .
n!
∞
∑ n= 0
Resolução: assim como nos dois exemplos anteriores,vamos verificar se lim
n→+∞
x
lim
n→+∞
2(n +1) +1
(n + 1)!
x2n+1
n!
x2n+ 3
x2n+ 2 +1
= lim
n→+∞
capítulo 5
(n + 1)!
x2n+1
n!
= lim
• 101
n→+∞
(n + 1)!
x2n+1
n!
an+1
< 1.
an
Fazendo a divisão da fração, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do denominador temos:
x2n+ 3
n!
⋅ 2n+1
(n + 1)! x
lim
n→+∞
Usando uma das propriedades de potências temos:
lim
n→+∞
x2n ⋅ x3
n!
⋅ 2n
(n + 1) ⋅ n! x ⋅ x
Simplificando temos:
lim
x3 1
⋅
(n + 1) x
lim
1
⋅ x2
(n + 1)
n→+∞
Dividindo x3 por x temos
n→+∞
Fazendo uso de uma das propriedades do módulo que diz “o módulo do produto é o
produto dos módulos” temos:
lim
n→+∞
1
⋅ x2
n
( + 1)
Nesse caso, x2 é uma constante, tendo em vista que o limite está em função de n. Daí
e fazendo uso da propriedade do limite que diz: lim k f (x) = k lim f (x), k número real,
x→+∞
temos:
x2 lim
n→+∞
lim
Como n→+∞
1
(n + 1)
= 0, então |x2| lim
Como 0 < 1, então |x2|
n→+∞
lim
n→+∞
1
(n + 1)
x→+∞
1
(n + 1)
1
(n + 1)
= |x2| · 0 = 0
< 1, para todo n.
Logo, a série é absolutamente convergente para qualquer valor de x, neste caso, o seu
raio de convergência é + ∞.
capítulo 5
• 102
Intervalo de convergência
O intervalo de convergência de uma série de potência é aquele que consiste
em todos os valores x para que a série seja convergente. Adotando o critério apresentado para convergência de uma série de potência temos: |x - b| < r, aplicando a
função modular temos:
|x - b| < r ∴ b - r < x < b + r
Esse intervalo de convergência existente pode ser fechado nas duas extremidades, aberto nas duas extremidades, aberto à direita e fechado à esquerda ou
fechado à direita e aberto à esquerda.
• (b - r, b + r)
• [b - r, b + r]
• (b - r, b + r]
• [b - r, b + r)
Cálculo do intervalo de convergência
Para calcularmos o intervalo de convergência, devemos encontrar o raio de
convergência e posteriormente utilizar a desigualdade modular para acharmos esse
intervalo.
EXEMPLO 1
Calcule o intervalo de convergência da série
n
∞
∑ n= 0 ( x − 3)
n
Resolução: no exemplo 1 da seção anterior, calcularmos o raio de convergência desta
série e encontramos também |x - 3| < 1, o que nos dava o raio de convergência igual a 1.
Resolvendo essa inequação modular temos:
|x - 3| < 1
3 - 1< x < 1 + 3
2<x<4
capítulo 5
• 103
Porém temos que verificar se as extremidades pertencem ou não ao intervalo de convergência. Para fazermos essa verificação, vamos substituir 2 e depois 4 no lugar de x na
série dada.
Verificando para x = 2:
∞
∑
(2 − 3)n =
n
n= 0
∞
∑
( −1)n
n= 0
n
Podemos observar que esta é uma série do tipo alternada
∞
∑ n= 0 (-1) ∙ a , em que a =
n
n
n
1
,
n
Pelo teste de Leibniz (teste de séries alternadas), para verificar se uma série alternada converge precisamos fazer duas verificações:
1.
Se an + 1 < an , ou seja, se a série an é decrescente.
2.
Se lim an = 0
n→+∞
Fazendo a primeira verificação podemos observar que
quanto maior for maior for o número, menor é o seu inverso.
1
1
é verdadeira, pois
<
(n + 1) n
1
Fazendo a segunda verificação encontramos que lim
= 0 pelo fato de n crescer
n→+∞ n
1
muito, então o valor de an =
se aproxima de zero.
n
Como as duas verificações foram satisfeitas, a série
∞
∑ n= 0 (-1)
n
∙
1
converge.
n
Isso garante que x = 2 seja uma das extremidades do intervalo de convergência da série
n
∑ n= 0 ( x − 3) .
n
∞
Verificando para x = 4:
∞
∑
n= 0
(4 − 3)n =
n
∞
1n
∑n
n= 0
1
, como visto
np
no capítulo anterior, a série P irá convergir quando p > 1 e irá divergir quando p ≤ 1. Como
A série anterior é uma série harmônica ou uma série p do tipo
∞
∑ n= 0
neste caso p = 1, a série irá divergir, fazendo com que o 4 não esteja incluso no intervalo de
convergência da série
n
∞
x − 3)
∑ n= 0 ( n
.
Sendo assim, o intervalo de convergência da série
capítulo 5
∑ n= 0 (
∞
• 104
x − 3)
é [2; 4).
n
n
EXEMPLO 2
Calcule o intervalo de convergência da série
∞
∑ n= 0 (x - 8)
n
Resolução: para calcularmos o intervalo de convergência, precisamos calcular primeiro
o raio de convergência da série, que é 1, o mesmo já foi calculado anteriormente no exemplo
2 da seção anterior.
Resolvendo essa inequação modular |x - 8| < 1temos:
8-1<x<1+8
7<x<9
Agora, fazendo a verificação se as extremidades pertencem ou não ao intervalo de convergência da série
∞
∑ n= 0 (x - 8) :
n
Verificando para x = 7:
∞
∑ (7 − 8)
n
=
n= 0
∞
∑ ( −1)
n
n= 0
Esta é uma série alternada, sendo assim devemos verificar a convergência pelo teste de
Leibniz (teste de séries alternadas).
1.
Se an + 1 < an , ou seja, se a série é decrescente e
2.
Se lim an = 0.
n→+∞
Quando analisamos o limite lim (-1)n temos duas situações:
n→+∞
Se n for par o limite será 1 e se n for impar o limite será –1, ou seja, não há limite, com
isso já provamos que
∞
∑ n= 0 (-1)
n
diverge quando x = 7.
Observação: não foi feita a verificação de an + 1 < an pois como não há lim (-1)n já é
n→+∞
suficiente para provarmos que o termo geral da série e divergente pelo teste de Leibniz.
Verificando para x = 9:
∞
∑ (9 − 8)
n= 0
capítulo 5
n
=
∞
∑ 1n
n= 0
• 105
Calculando o limite do termo geral dessa série temos: lim 1n = 1, pelo teste do n-ésimo
termo para divergência, a série
∞
∑ n= 0 1
n
n→+∞
diverge. Consequentemente, a série
∞
∑ n= 0 (x - 8) ,
n
quando x = 9, é divergente.
Sendo assim, nem 7 nem 9 pertencem ao intervalo de convergência. Logo, o intervalo de
convergência da série
∞
∑ n= 0 (x - 8)
n
é (7; 9) ou ]7; 9[.
Série de Taylor e série de Maclaurin
∞
Quando uma série de potências ∑ n= 0 an (x - b)n com bn sendo uma sequência numérica, converge, então a série pode ser representada, no intervalo de
convergência [b - r, b + r] pela sua função soma, digamos f(x). Assim, podemos
∞
dizer que a série de potências ∑ n= 0 an (x - b)n define a função f(x), cujo valor, em
∞
cada ponto x do seu intervalo de convergência é dado por f(x) = ∑ n= 0 an (x - b)n.
∞
A série ∑ an (x - b)n é, assim, designada por expansão em séries de pon= 0
tência da função f(x) em torno do ponto x = b.
Se f tiver uma representação (expansão) em série de potência de (x – b), e r é
um número real tal que |x -b| < r, isto é se:
f(x) =
∞
∑ n=0 a
n
(x - b)n,
então seus coeficientes são dados pela fórmula:
an =
f (n ) ( b )
n!
Substituindo essa fórmula para an na série, podemos ver expansão de f em série
de potência em (x – b):
f (n ) ( b )
( x − b )n =
n!
’
f ’ ’’ ( b )
f (b)
f ’ ’ (b)
= f (b) =
( x − b) +
( x − b)2 +
( x − b )3 + ...
1!
2!
3!
f (n ) ( b )
+
( x − b )n + ...
n!
∞
f ( x ) = ∑ n=0
capítulo 5
• 106
A série anterior é conhecida como série de Taylor da função f em b, em torno
de b ou centrada em b. Para caso especial de b = 0 a série fica:
f (n ) ( o )
( x − o )n =
n!
f ’ ’’ ( o )
f ’ (o)
f ’ ’ (o)
( x − o) +
( x − o )2 +
( x − o )3 + ...
= f (o) =
1!
2!
3!
(
)
n
f (o)
( x − o )n
+
n!
∞
f ( x ) = ∑ n=0
Essa série é um caso especial da série de Taylor, e é conhecida como série de Maclaurin.
EXEMPLO 1
Desenvolva em série de Maclaurin para a função f dada por f(x) = ex.
Resolução: por ser uma série de Maclaurin, temos que b = 0, na série de Taylor. Com
isso devemos colocar no lugar de b o valor 0. Lembrando que devemos calcular as derivadas
sucessivas da função f(x), no ponto b = 0:
f(x) = ex
f(0) = e0 = 1
f'(x) = e
f'(0) = e0 = 1
f''(x) = ex
f''(0) = e0 = 1
f'''(x) = ex
f'''(0) = eo = 1
f(4) (x) = ex
f(4)(0) = eo= 1
x
Em todos os pontos derivados o valor será 1, sendo assim temos:
f(n) (o)
( x − o)n
n!
f ’ ’’ (o)
f ’ (o )
f ’ ’ (o )
f ( x ) = f (o ) =
( x − o) +
( x − o)2 +
( x − o)3
1!
2!
3!
f(4) (o)
+
( x − o)4 + ...
4!
∞
f ( x ) = ∑ n= 0
capítulo 5
• 107
Fazendo as substituições temos:
f(4) (o)
1
1
1
( x − o) + ( x − o)2 + ( x − o)3 +
( x − o)4 + ...
1!
2!
3!
4!
1
1
1
xn
f ( x ) = 1+ x + x2 + x3 + x4 + ... + + ...
2!
3!
4!
n!
f ( x ) = 1+
A expansão da função f(x) = ex em série de Maclaurin é ex =
∞
xn
∑ n= 0 n!
EXEMPLO 2
Encontre a série de Taylor de f(x) = ex em b = 2.
Resolução: fazendo a substituição de b = 2 na definição da série de Taylor temos:
f (x) =
f(n) (2)
( x − 2)n
!
n
n= 0
∞
∑
f ( x ) = f (2) +
+...
f ’ ’’ (2)
f’ (2)
f’ ’ (2)
( x − 2) +
( x − 2)2 +
( x − 2)3
1!
2!
3!
f(n) (2)
( x − 2)n + ...
n!
Calculando as derivadas de f(x) = ex temos:
f(x) = ex
f(2) = e2
f'(x) = ex
f'(2) = e2
f''(x) = ex
f''(2) = e2
f'''(x) = ex
f'''(2) = e2
f (x)=e
f(4)(2) = e2
(4)
x
Substituindo as derivadas temos que:
f ( x ) = e2 +
+
1
e2
e2
e2
( x − 2) + ( x − 2)2 + ( x − 2)3 + ( x − 2)4 + ...
1!
2!
3!
4!
e2
( x − 2)n + ...
n!
capítulo 5
• 108
Sendo assim temos:
ex =
∞
e2
∑ n!
(x - 2)n, ∀x ∈ R
n= 0
EXEMPLO 3
Encontre a série de Maclaurin para a função: f(x) = cosx:
Resolução: como a série é de Maclaurin, temos que b = 0 na série de Taylor, sendo
assim teremos a função:
f (x) =
f(n) (0)
( x − 0)n
!
n
n= 0
∞
∑
Calculando as derivadas de cos x temos:
f(x) = cosx
f(0) = cos 0 = 1
f'(x) = -senx
f'(0) = -sen 0 = 0
f''(x) = -cosx
f''(0) = -cos 0 = -1
f'''(x) = -( -senx)
f'''(0) = sen 0 = 0
f (x) = cosx
f (0) =cos 0 = 1
f (x) = -senx
f(5)(0) -sen 0 = 0
f(6) (x) = -cosx
f(6)(0) -cos 0 = -1
(4)
(4)
(5)
Substituindo esses valores na série de Taylor temos
f (x) =
f(n) (0)
( x − 0)n
!
n
n= 0
∞
∑
0
( −1) x2 + 0 x3 + ( −1) x4 + 0 x5 + ( −1) x6 + ...
x+
1!
2!
3!
4!
5!
6!
n)
(
f (0)
+
( x − 0)n + ...
n!
f ( x ) = 1+
Eliminando os termos que têm coeficientes nulos temos:
f ( x ) = 1−
1 2 1 4 1 6
x + x − x + ...
2!
4!
6!
capítulo 5
• 109
Com essa função observa-se que há termos alternados e que somente os termos com
expoentes e denominadores pares estão presentes, sendo assim temos:
cos x =
∞
x2n
∑ ( −1) (2n)!
n= 0
n
EXEMPLO 4
Encontre a série de Maclaurin para a função: f(x) = senx
Resolução: como a série é de Maclaurin, temos que b = 0 na série de Taylor, sendo
assim teremos a função :
f (x) =
f(n) (0)
( x − 0)n
n!
n= 0
∞
∑
Calculando as derivadas def(x)=senx temos:
f(x) = senx
f(0) = sen 0 = 0
f'(x) = cosx
f'(0) = cos 0 = 1
f''(x) = -senx
f''(0) = -sen 0 = 0
f'''(x) = -cosx
f'''(0) = -cos 0 = -1
f = senx
f(4)(0) = sen 0 = 0
f(5)(x) = cosx
f(5)(0) = cos 0 = 1
f(6)(x) = -senx
f(6)(0) = -sen 0 = 0
(4)
Substituindo esses valores na série de Taylor temos:
f (x) =
f(n) (0)
( x − 0)n
!
n
n= 0
∞
∑
1
0
( −1) x3 + 0 x4 + 1 x5 + 0 x6 + ...
f ( x ) = 0 + x + x2 +
1!
2!
3!
4!
5!
6!
n)
(
f (0)
+
( x − 0)n + ...
n!
Eliminando os termos que tem coeficientes nulos temos:
f(n) (0)
1
1
1
f ( x ) = 0 + x + x3 − x5 + ...
( x − 0)n + ...
1!
3!
5!
n!
capítulo 5
• 110
Com essa função observa-se que há termos alternados e que somente os termos com
expoentes e denominadores ímpares estão presentes sendo assim temos.
senx =
∞
x2n+1
∑ ( −1) (2n + 1)!
n= 0
n
ATIVIDADES
01. Encontre o raio de convergência das séries de potências a seguir:
∞ xn
a) ∑
n= 0 n!
b)
∞
∑ n= 0
∞
c)
∑ n= 0
d)
∑ n= 0
e)
∞
∞
∑ n= 0
( x − 2)n
n!
( −3)n xn
n +1
( x + 2)n n
3n + 1
( x + 2)n
n2 + 1
02. Encontre a série de Maclaurin para as funções a seguir:
a)
f(x) = e2x
b)
f(x) = cos 2x
c)
f(x) = sen 2x
03. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potência:
n
∞ ( x − 3)
∑ n= 0 n2 + 2
RESUMO
Neste capítulo foi apresentado o conceito de séries de potências, das séries de Taylor e
da série de Maclaurin, que é um caso particular da série de Taylor. Foram utilizados os conceitos estudados ao longo dos capítulos 3 e 4, como os testes de convergências de séries, os
conceitos envolvendo algumas séries específicas, como por exemplo as p séries.
capítulo 5
• 111
Para calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência, devemos encontrar
primeiramente, o centro de convergência, depois o raio de convergência e posteriormente
fazer o teste para verificar se as extremidades do intervalo encontrado pertencem ou não ao
intervalo de convergência.
Ao abordarmos as séries de Taylor e as séries Malclaurin, vemos que os cálculos para
encontrar o raio e o intervalo de convergência são os mesmos, pois são casos particulares
de séries de potências.
MULTIMÍDIA
Nos vídeos a seguir, será possível ver alguns testes em séries de potências, assim como
Série de Taylor e Série Maclaurin.
Série
de
potências.
Disponível
em:
<https://www.youtube.com/
watch?v=w1M69ifBFX4>. Acesso em: mar. 2018.
Série de Taylor e série Maclaurin. Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=PXmcPSLZxmQ>. Acesso em: mar. 2018.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. rev e ampl. São
Paulo: Blucher, 2006.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. v. IV. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LIMA, Elon Lages. Análise Real. v. 1. Publicação: IMPA, 2017. 12. ed., 2004.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. v. 2. 3. ed., Habras, 1994.
STEWART, James. Cálculo. v. II. São Paulo. Thomson. Tradução EZ2 Translate: Cengage Learning,
2013.
THOMAS, George B. Jr. Cálculo. v. II.São Paulo: LTC, 2003.
capítulo 5
• 112
GABARITO
Capítulo 1
01. Resolução da letra a
P(n) : 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2
Verificando se P(1) é verdadeira:
(2 ∙ 1 - 1) = 12 ⇒ 1 = 1, P(1) é verdadeiro.
Hipótese de indução: para todo k ∈ N, suponha que P(k) é verdadeira.
Vamos verificar se P(k + 1) é verdadeira
P(k) : 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k2
P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + [2(k + 1) -1] = ( k + 1)2
{
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
k2
k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.Daí, P(k + 1) é verdadeira.
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
Resolução da letra b
P(n) : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
Verificando se P(1) é verdadeira:
12=1(1 + 1)(2 ∙ 1+ 1)/6 ⇒ 1=(2 ∙ 3 )/6 ⇒ 1=1 , P(1) é verdadeiro.
Adotando agora a hipótese de indução, que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira.
Vamos verificar se P(k + 1) é verdadeira:
P(k) :12 + 22 + 32 + … + k2 = k(k + 1)(2k + 1)/6
P(K+1) : 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)[2(k + 1)+1]/6
12 + 22 + 32 + … + k2 + (k+1)2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6
k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6
(k + k)(2k + 1) + 6(k + 1)2/6 = (k2 + 3k + 2)(2k + 3)/6
(2k3 + k2 + 2k2 + k) + 6k2 + 12k + 6/6 = 2k3 + 6k 2+ 4k + 3k2 + 9k + 6/6
2k3 + 9k2 + 13k + 6/6 = 2k3 + 9k2 + 13k + 6/6
Daí, P(k + 1) é verdadeira.
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
capítulo 5
• 113
Resolução da letra c
P(n) : 2| (n2 + n), n ∈ N
Verificando se P(1) é verdadeira
2|12 + 1 ⇒ 2|2 P(1) é verdadeiro
Adotando agora a hipótese de indução, que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira.
Vamos verificar se P(k + 1) é verdadeira
P(k): 2| (k2 + k)
P(k + 1) : 2|(k + 1)2 + k + 1
2| (k2 + 2k + 1) + k + 1
2| k2 + k + 2k + 2
2| (k2 + k) + 2(k + 1)
A sentença anterior é verdadeira porque cada uma das parcelas é divisível por 2:
2| (k2 + k), pois é a hipótese de indução.
2| 2(k + 1) por termos o 2 multiplicando o (k + 1), não importa para qual seja o valor de
k, o resultado será sempre múltiplo de 2, consequentemente o 2 irá dividir a soma. Com isso
provamos que 2| (k2 + k) + 2(k + 1).
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
Resolução da letra d
P(n): 3| (n3 + 2n), ∀ n ∈ N
Verificando se P(1) é verdadeira
P(1) : 3|13 + 2 ∙1 ⇒ 3|3
P(1) é verdadeira.
Adotando agora a hipótese de indução, que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira, vamos
verificar se P(k + 1) é verdadeira.
P(k) : 3| (k3 + 2k)
P(k + 1) : 3| (k + 1)3 + 2(k + 1)
Desenvolvendo o produto notável temos:
3| (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 2k + 2
3| k3 + 3k2 + 3k + 3 + 2k
Organizando estrategicamente para provamos a nossa tese, temos:
3| k3 + 2k + 3k2 + 3k + 3
3| (k3 + 2k) + 3 (k2 + k + 1)
A sentença anterior é verdadeira porque cada uma das parcelas é divisível por 3:
3| (k3 + 2k), pois é a hipótese de indução.
capítulo 5
• 114
3|3 (k2 + k + 1), pois o 3 está multiplicando o (k2 + k + 1), não importa qual seja o valor
de k, o resultado será sempre múltiplo de 3, consequentemente o 3 irá dividir a soma. Com
isso provamos que 3| (k3 + 2k) + 3 (k2 + k + 1).
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
Resolução da letra e
P(n) : 3|22n - 1, ∀ n ∈ N
Verificando se P(1) é verdadeira:
P(1) : 3|22 ∙ 1 - 1
P(1): 3|4 – 1 ⇒ 3|3
P(1) é verdadeira.
Adotando agora a hipótese de indução, que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira, vamos
verificar se P(k + 1) é verdadeira:
P(k) : 3|22k - 1
P(K+1) : 3|22(k + 1) - 1
3|22k + 2 - 1
3|2 2k ∙ 22-1
3|2 2k ∙ (3 + 1) - 1
3|3 ∙ 22k + 22k - 1
A sentença anterior é verdadeira porque cada uma das parcelas é divisível por 3
3| (22k-1)pois é a hipótese de indução.
3|3(22k), pois o 3 está multiplicando o 22k, não importa qual seja o valor de k, o resultado
será sempre múltiplo de 3, consequentemente o 3 irá dividir a soma. Com isso provamos que
3|22(k + 1) - 1.
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
Resolução da letra f
P(n) : 20 + 21 + 22 + … +2n - 1 = 2n - 1,∀ n ∈ N
Verificando se P(1) é verdadeira:
P(1) : 20 = 21 - 1
P(1) : 1 = 1,
P(1) é verdadeira.
capítulo 5
• 115
Adotando agora a nossa hipótese de indução, que para todo k ∈ N, se P(k) é verdadeira,
vamos verificar se P(k + 1) é verdadeira:
P(k): 20 + 21 + 22 + … + 2k-1 = 2k - 1
P(k + 1): 20 + 21 + 22 + … +2k - 1 + 2(k + 1) - 1 = 2k + 1 - 1
20 + 21 + 22 + … + 2k - 1+ 2(k + 1) - 1 = 2k + 1 - 1
2k - 1 + 2k = 2k ∙ 2 - 1
Colocando o 2k em evidência temos:
2k (1 + 1) - 1 = 2k ∙ 2 - 1
2k (2) - 1 = 2k ∙ 2 - 1
2k ∙ 2 -1 = 2k ∙ 2 - 1. Daí, P(k + 1) é verdadeira.
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
Resolução da letra g
P(n): 2n > n, ∀n ∈ N
Verificando se P(1) é verdadeira:
P(1): 21 > 1
P(1) é verdadeira.
Adotando agora a hipótese de indução, que para todo k ∈ N, P(k) é verdadeira, vamos
provar que P(k + 1) é verdadeira.
P(k): 2k > k
P(k + 1): 2k + 1>k + 1
2k ∙ 2 > k + 1
Pela hipótese de indução temos que 2k > k, sendo assim multiplicando por 2 ambos os
lados da desigualdade temos que 2k ∙ 2 > 2∙k.
Como 2 ∙ k = k + k temos que 2k ∙ 2 > k + k.
Como k > 1, somando k de ambos os lados dessa desigualdade, temos que k + k > k + 1.
Por transitividade temos que 2k ∙ 2 > k + 1 que corresponde a 2k+1 > k + 1.
Logo, P(k + 1) é verdadeira.
Como foram verificadas as condições do Princípio de Indução, a propriedade P(n) vale
para todos os naturais.
02. Se a < b segue que existe r ∈ N tal que b = r + a, daí temos
b+j=r+a+j,
capítulo 5
• 116
Agora temos:
a+j<b+j
Provado a motonicidade.
03. Sejam a, b, k ∈ N. Se a < b e b < k existem p1, p2 ∈ N com b = a + p1(1) e k = b + p2. (2).
Substituindo (1) em (2) temos que:
k = (a + p1) + p2 = a + (p1 + p2) = a + p (usando a propriedade associativa),
em que p ≡ p1 + p2 ∈ N. Donde a < k, como desejado.
Capítulo 2
01.
a)
A afirmação é falsa, como contra exemplo podemos tomar a=√5+10 e b=- √5 ao
fazermos (a + b)/2 teríamos 5 como resposta, o que é um racional.
b)
Iremos fazer essa prova por absurdo. Sejam α irracional e a ≠ 0 racional se x = a/α
fosse racional, o mesmo seria verdade de α = x/a. Então, a hipótese que diz que
x = a/α é racional é falsa.
c)
Iremos fazer essa prova por absurdo. Vamos supor que √p seja racional, sendo isso
verdade haverá dois números positivos m e n, tais que √p = m/n , pois se √p é
racional podemos escrever esse número em forma de fração, sendo m/n fração
irredutível, ou seja p e q são primos entre si, não tendo assim divisor comum maior
do que 1. Elevando ambos os lados dessa igualdade ao quadrado temos:
( p)
2
p=
 m
= 
 n
2
m2
n2
Fazendo uso da propriedade a seguir, a qual diz que o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos:
x/y = z/w ⇔ xw = zy
Sendo assim temos:
m2 = pn2
O que mostra que m é divisível por p, logo m também é divisível por p.
2
Fazendo m = rp, com r inteiro, substituindo na equação anterior temos:
(rp)2 = pn2
r2 p2 = pn2
capítulo 5
• 117
Dividindo ambos os lados da igualdade por p temos:
r2 p = n2
O que nos leva a concluir que n também divisível por p, com isso temos um absurdo pois
m e n seriam divisíveis por p, daí, m/n não uma fração irredutível, o que nos leva a afastar a
hipótese de que √p é racional.
02.
a)
Como a cota superior de D é infinita, pode ser qualquer valor real maior ou igual a 3.
b)
Como a cota superior de D é infinita, pode ser qualquer valor real menor ou igual
a –2.
c)
O ínfimo é –2 e O supremo é 6.
d)
Como A é um conjunto não limitado superiormente não tem supremo.
e)
O conjunto não é limitado superiormente, pois não tem cota superior.
f)
O ínfimo é 0.
Capítulo 3
01.
a)
Dada a sequência de termo geral an =
a6, são:
3n
, os valores para a1, a2, a3, a4, a5, e
+2
n2
3 ⋅1 3
3⋅2
6
3⋅3
9
= a =
= = 1; a 3 = 2
= ;
12 + 2 2 2 22 + 2 6
3 + 2 11
3⋅5
15 5
3⋅6
18 9
3⋅4
12 2
=
a4 = 2
= ;a =
=
= ;a =
=
=
4 + 2 18 3 5 52 + 2 27 9 6 62 + 2 38 19
a1 =
3n
Com isso temos que os 6 primeiros valores da sequência de termo geral an =
são:
2
n +2
3 9 2 5 9 
 ,1, , , , ,...
2 11 3 9 19
b)
Os valores para a1, a2, a3, a4, a5, e a6, para a sequência de termo geral an =
temos:
a1 =
a4 =
( −1)1−2 = ( −1)−1 = 1 a
41
( −1)4 −2
44
4
4
2
=
( −1)2 −2
42
1
2
( −1)
= a =
256 3 5
45
=
1
( −1)
a =
16 3
43
=
−1
( −1)
a =
1024 6
46
3−2
5−2
=
capítulo 5
=
−1
;
64
6 −2
• 118
=
1
4096
( −1)n−2
4n
Com isso temos que os 6 primeiros valores da sequência de termo geral an =
1 1 −1 1
−1
1 
são:  , , ,
,
,
 4 16 64 256 1024 4096 
c)
( −1)n−2
4n
Os valores para a1, a2, a3, a4, a5, e a6, para a sequênciade termo geral
an =
2 ( −1)
são :
n!
a1 =
2 ( −1)
2 ( −1)
2 ⋅1
= −2a2 =
=
=1
2!
2
1!
a4 =
2 ( −1)
2 ( −1)
2 ⋅ ( −1)
2 ⋅1
2
1
−2
−1
=
=
=
=
=
=
a =
4!
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 24 12 5
5!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 120 60
a6 =
2 ( −1)
2 ⋅1
2
1
=
=
=
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 720 360
n
1
2
2 ( −1) −2 −1
2 ( −1)
=
=
=
3 ⋅ 2 ⋅1 6
3
3!
3
a3 =
4
5
6
3n
Com isso temos que os 6 primeiros valores da sequência de termo geral an = 2
n
+2
−1 1 −1 1 

são:  −2,1, , , ,
,...

3 12 60 360 
d)
Os valores para a1, a2, a3, a4, a5, e a6, para a sequênciade termo geral an = cos (nπ )/2 são:
a1 = cos 1π/2 = 0
a2 = cos 2π/2 = cos π = -1
a3 = cos 3π/2 = 0
a4 = cos 4π/2= cos2π =1
a5 = cos 5π/2= cos π/2 = 0
a6 = cos 6π/2 = cos 3π = -1
Com isso temos que os 6 primeiros valores da sequência de termo geral an = cos nπ/2
são: (0, -1, 0, 1, 0, -1)
e)
Para encontrar os elementos da sequência a partir de a2 devemos considerar o termo anterior, pois o termo subsequente leva em consideração o termo anteriorvamos
calcular os termos a1, a2, a3, a4, a5, e a6, com base em:
an + 1 = 4an-2, sendo a1 = 1:
a1 = 1
a2 = a1+1 = 4a1 - 2 = 4 ∙ 1 - 2 = 2
a3 = a2+1 = 4a2 - 2 = 4 ∙ 2 - 2 = 6
capítulo 5
• 119
a4 = a3+1 = 4a3 - 2 = 4 ∙ 6 - 2 = 22
a5 = a4+1 = 4a4 - 2 = 4 ∙ 22 - 2 = 86
a6 = a5+1 = 4a5 - 2 = 4 ∙ 86 - 2 = 382
Com isso temos que os 6 primeiros valores da sequência dada são: (1, 2, 6, 22, 86, 382)
f) Essa atividade é muito semelhante à atividade anterior,vamos calcular
os termos a1, a2, a3, a4, a5, e a6, com base em: a1 = 3 , a = an
n +1
1+ 2an
a1 = 3
a2 = a1+1 =
a1
3
3
=
=
1+ 2a1 1+ 2 ⋅ 3 7
3
3
a2
3
7
7
=
=
=
a 3 = a2 +1 =
3
13
1+ 2a2 1+ 2 ⋅
13
7
7
3
3
a3
3
13
13
a4 = a 3+1 =
=
=
=
1+ 2a 3 1+ 2 ⋅ 3 19 19
13
7
3
3
a4
3
19
19
=
=
a5 = a4 +1 =
=
25 25
1+ 2a4 1+ 2 ⋅ 3
19 19
3
3
a5
3
25
25
a6 = a5+1 =
=
=
=
3
31
1+ 2a5 1+ 2 ⋅
31
25 25
 3 3 3 3 3
Com isso temos que os 6 primeiros valores da sequência dada são:  3, , , , , 
 7 13 19 25 31
02.
a)
Fazendo o teste de convergência da sequência utilizando limites temos:
n4
lim a = lim
n→+∞ n
n→+∞ n4 + 2
Como n tende ao infinito, podemos utilizar nesta fração somente a potência de
maior expoente tanto no denominador quanto no numerador, sendo assim temos:
4
lim n = lim 1 = 1. Como o limite de uma função constante é a própria constante,
n→+∞ n4
n→+∞
temos 1 como resultado. Como o limite convergiu para um número real, provamos que a
4
sequência de termo geral an = n
, é convergente.
4
n +2
capítulo 5
• 120
b)
Fazendo o teste de convergência da sequência utilizando limites temos:
3
lim a = lim 4 + 3n
n→+∞ n
n→+∞ 2 − n3
Fazendo uso do mesmo raciocínio empregado na questão anterior, pois n tende ao infinito, temos:
3
lim 3n = lim - 3 = -3
−n3 n→+∞
n→+∞
Como o limite convergiu para um número real, provamos que a sequência de termo geral
3
an = 4 + 3n , é convergente.
2 − n3
c)
O limite quando n tende ao infinito, é:
lim
n→+∞
n3
n2 + 2
Ao ser utilizada a potência de maior expoente tanto no numerador quanto no denomina3
lim n
dor temos: n→+∞
2
n
3
lim n = lim n = ∞
n→+∞ 2
n→+∞
n
Com isso temos que a sequência é divergente.
d)
Para calcular o limite da sequência de termo geral an =
teorema da sequência absoluta.
lim
n→+∞
( −1)n−1
n
n2
+1
lim
= n→+∞
( −1)n−1
n
n2 + 1
iremos usar o
n
n2 + 1
Como o n tende ao infinito, podemos utilizar para o cálculo somente a potência de maior
grau, tanto no numerador quanto no denominador, sendo assim temos:
lim n = lim 1 = 0
n→+∞ 2
n→+∞ n
n
e)
Assim como no exercício anterior, a sequência cujo termo geral é an =
analisada usando o teorema da sequência absoluta.
lim
n→+∞
( −1)n n3
n2 + 1
= lim
n→+∞
( −1)n n3
n2 + 1
n3
+1
n2
Considerando as maiores potências, tanto no numerador quanto no denominador:
n3
n3
lim
= lim
n→+∞ n2 + 1
n→+∞ n2
capítulo 5
• 121
será
Simplificando a fração:
lim
n→+∞
n3
= lim n = ∞
n→+∞
n2
Como n tende ao infinito a resposta será ∞, logo a sequência é divergente.
Capítulo 4
01.
a)
Em primeiro lugar, iremos reescrever a sequência da seguinte maneira:
3n
∑ 6n−1 = ∑ 63n
n= 2
n= 2
6
∞
3n −1
∞
31
Quando n = 1 temos: a1 = 3 = 1 = 1
61 1
6
32
Quando n = 2 temos: a2 = 3 = 3 = 1
62 6 2
6
33
9
1
Quando n = 3 temos: a3 = 33 =
=
6
36 4
6
Observando que a razão r = 1/2 e que a = 1 temos que a série é convergente e a soma é:
a
1+ r
1
S=
1
1−
2
1
S=
1
2
S=2
S=
b)
Quando n = 1 temos : a1 =
4
=2
21
capítulo 5
• 122
Quando n = 2 temos: a2 =
4
=1
22
Quando n = 3 temos: a3 = 4 = 4 = 1
23 8 2
Com isso observa-se que a razão é r = ½ e que a = 2, temos que a série é convergente
e a soma é:
a
1− r
2
S=
1
1−
2
2
S=
1
2
S=4
S=
02.
a)
Vamos utilizar a contrapositiva do teste geral de convergência de série que diz:
Se lim an = +∞ ou se lim an ≠ 0, então
n→+∞
n→+∞
∞
∑ n=1
an diverge.
2
lim an = lim n − 1
n→+∞
n→+∞
6n2
Utilizando a maior potência do numerador temos:
2
lim n
n→+∞ 6n2
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
1
6
Como o limite de uma constante é a própria constante, temos que
lim 1 = 1 ≠ 0, o que implica que a série diverge.
n→+∞ 6
6
b)
Como o termo geral da série dada é uma função racional, será utilizado o teste da
n+3
n
comparação com limites, sendo assim temos: an =
e bn =
(foi escolhido
2
n
n2
o valor de maior potência tanto no numerador quanto no denominador)
n+3
an
2
lim
= lim n
n→+∞ b
n→+∞ n
n
n2
capítulo 5
• 123
Fazendo a divisão de frações e simplificando, temos:
lim
n→+∞
n+3
n2
Como o n → +∞ iremos trabalhar somente coma maior potência do numerador:
lim
n
n→+∞ n
= lim 1 = 1
n→+∞
No teste da comparação com limite para que a série convirja, devemos ter
a
lim n = L > 0. Nesse caso, como L = 1, temos que a série é convergente.
n→+∞ b
n
c)
A série
∞
1 é uma série do tipo
∑ n=1n3
1
∞
∑ n=1np2
, uma série p. Para esta série
o critério de convergência é a seguinte: para p > 1 a série converge e para p < 1 ou
p = 1 a série diverge. Como p = 3, a série apresentada converge.
d)
A série
∞
1
∑ n=1 5 n
pode ser reescrita como sendo
∞
1
∑ n=1n 1 !
, o que representa
5
uma série p em que p = 1/5, por isso a série diverge, vide explicação anterior.
e)
Como
itens :
∞
( −1)n−1
∑ n=1 2n + 1
é uma série alternada, devemos fazer a verificação de dois
Se an+1 < an e se lim an = 0:
n→+∞
Reescrevendo a série temos:
∞
( −1)n−1 =
∞
∑ 2n + 1 ∑ ( −1)
n =1
Com isso temos que an=
n −1
⋅
n =1
1
2n + 1
1
1
1
e an + 1=
, como o denominador de
=
2 (n + 1) + 1 2n + 3
2n + 1
an + 1 é maior do que o denominador de an temos que toda a sequência an + 1 < an, daí o primeilim
ro critério de verificação de convergência está satisfeito. Verificando agora, se n→+∞ an = 0:
lim
n→+∞
1
2n + 1
capítulo 5
• 124
Dividindo o numerador e o denominador por n temos que
1
1
n
lim
=
=0
n→+∞
2n + 1 n→+∞ 2 + 1
n
Como os dois critérios foram satisfeitos, pelo teste das séries alternadas, a série
n −1
∞ ( −1)
∑ n=1 2n + 1 converge.
lim
f)
Na série
∞
∑ n=1
( −2)n
temos um valor elevado a n-ésima potência, então usaremos
n2
( −2)n e a = ( −2)n+1
o teste da razão. Sejam an =
n+1
n2
(n + 1)2
lim
n→+∞
lim
n→+∞
an+1
an
( −2)n+1
(n + 1)2
( −2)n
n2
Desenvolvendo as potências temos:
( −2)n ⋅ 2
2
lim n + n n+ 1
( −2)
n2
n→+∞
Repetindo a primeira fração e multiplicando pelo inverso da segunda temos:
lim
n→+∞
( −2)n ⋅ 2 ⋅
n2
n2 + n + 1 ( −2)n
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
n2
2
2n2
n2
⋅
= lim 2
n
→+∞
+ n +1 1
n + n +1
capítulo 5
• 125
Como n → +∞, vamos trabalhar só com as maiores potências tanto do numerador quanto
do denominador, daí temos:
2n2
n2
lim
n→+∞
lim 2 = 2 > 1
n→+∞
Como o valor do limite foi maior que 1, a série
g)
∞
Daí, an =
1
(2n + 1)!
e an + 1 =
( −1)n
∑ n=1(2n + 1)!
Podemos reescrever a série
∞
∑ n=1
( −2)n
n2
diverge pelo teste da razão.
da seguinte maneira:
∞
1
∑ n=1( −1) ⋅ (2n + 1)! .
n
1
1
=
2 (n + 1) + 1 ! (2n + 3)!
Como o denominador de an + 1 e maior que o denominador de an, então an + 1 < an. Daí,
o primeiro critério de verificação de convergência está satisfeito. Verificando agora se
lim an = 0 temos:
n→+∞
lim
n→+∞
( −1)n
(2n + 1)!
= lim
n→+∞
1
2
n
( + 1)!
Como o denominador irá se tornar grande, seu limite tenderá a 0. Daí, o segundo critério de verificação da série alternada está satisfeito, comprovando a convergência da série
∞
( −1)n .
∑ n=1(2n + 1)!
Capítulo 5
01.
a)
Como o exercício está pedindo o raio de convergência, iremos usar o teste da razão
de séries, pois esse é o critério para convergência de uma série ao ser utilizado esse
tipo de série.
lim
n→+∞
an+1
an
x(n+1)
(n + 1)!
= lim
n→+∞
xn
n!
capítulo 5
• 126
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador, temos:
lim
n→+∞
x(n+1) n!
⋅
(n + 1)! xn
Fazendo uso de uma das propriedades da potência, temos:
lim
n→+∞
xn ⋅ x
n!
⋅ n
(n + 1) ⋅ n! x
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
x 1
⋅
(n + 1) 1
Reescrevendo para facilitar o cálculo do limite temos:
lim
n→+∞
x
1
⋅
(n + 1) 1
Fazendo uso de uma das propriedades do limite: lim k f(x) = k lim f(x), k uma consx→+∞
x→+∞
tante real. Como x é uma constante, tendo em vista que o limite está em função de n, x pode
multiplicar o limite preservando o sinal de módulo. Fazendo uso de uma das propriedades do
módulo que diz “o módulo do produto é o produto dos módulos” temos:
x lim
n→+∞
Como lim
n→+∞
1
(n + 1)
1
=0, então
(n + 1)
1
x lim
(n + 1)
x lim
(n + 1)
n→+∞
= |x| · 0 = 0
Como 0 < 1, então
n→+∞
1
< 1, ∀x ∈ R.
Logo, a série é absolutamente convergente para qualquer valor de x, o que nos leva a
dizer que a série converge para qualquer valo de x, neste caso, o raio de convergência é
r = + ∞.
capítulo 5
• 127
b)
Aplicando o teste da razão temos:
lim
n→+∞
an+1
= lim
n→+∞
an
( x − 2)(n+1)
n +1
( x − 2)n
n
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador temos:
( x − 2)n+1 ⋅
lim
n +1
n→+∞
n
( x − 2)n
Usando propriedade de potências temos:
( x − 2)n ⋅ ( x − 2) ⋅ n
n→+∞
(n + 1)
( x − 2)n
lim
Simplificando a fração, temos:
lim
n→+∞
( x − 2) ⋅ n
(n + 1) 1
Separando as variáveis e utilizando a propriedade de produto do módulo temos:
lim
n→+∞
n
x −2
(n + 1)
Lembrando que |x - 2| é constante, nesse caso, pois o limite está em função de n.
Como n → +∞, podemos usar a maior potência, tanto no numerador quando no denominador, sendo assim o limite fica reescrito como:
lim
n→+∞
n
|x - 2| = lim |1| |x - 2| = |x - 2| · 1 = |x - 2|
n→+∞
n
Pelo teste da razão, a série é convergente se |x - 2| < 1.
Daí, o raio de convergência é r = 1.
capítulo 5
• 128
c)
Aplicando o teste da razão temos:
∞
∑ n= 0
an+1
= lim
n→+∞
an
lim
n→+∞
( −3)n xn
n +1
( −a )n+1 x
n+1
n + 1+ 1
−
( 5)n xn
n +1
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador temos:
( −3)n+1 x
lim
n+1
n + 1+ 1
n→+∞
⋅
n +1
( −3)n x
n
Utilizando uma das propriedades de potência temos:
lim
( −3)n ⋅ (3) ⋅ x
n
n + 1+ 1
n→+∞
⋅x
⋅
n +1
( −3)n x
n
Simplificando a fração temos:
−3x
n +1
⋅
1
n+2
lim
n→+∞
Reescrevendo para facilitar o cálculo do limite temos:
lim
n→+∞
n + 1 3x
⋅
n+2 1
Utilizando uma das propriedades da raiz quadrada e uma das propriedades do limite,
lim k f(x) = k lim f(x), k número real, temos:
n→+∞
n→+∞
−3x lim
n→+∞
n +1
n+2
Trabalhando somente com os maiores potências tanto no numerador quanto no denominador da fração:
|-3x| lim
n→+∞
n
= |-3x| lim |1| = |-3x|
n→+∞
n
capítulo 5
• 129
Pelo teste da razão, para que a série seja convergente devemos ter |-3x| < 1. Como o
módulo do produto é o produto dos módulos temos que:
| - 3| |x| < 1⇒ 3 · |x|<1
Dividindo por 3 temos que |x| < 1/3. Logo, o raio de convergência é r = 1/3.
d)
Utilizando o teste da razão temos:
( x + 2)n+1(n + 1)
3(n+1) n
( x + 2)n n
3n+1
an+1
= lim
n→+∞
an
lim
n→+∞
n
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador temos:
lim
n→+∞
( x + 2)n+1 ⋅ (n + 1) ⋅
n
3(n+1) +1
3n+1
( x + 2)n n
Utilizando uma das propriedades de potência temos:
lim
n→+∞
( x + 2)n ⋅ ( x + 2) ⋅ (n + 1) ⋅
3(n+1) ⋅ 3
n
3n+1
( x + 2)n ⋅ n
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
( x + 2)n ⋅ (n + 1) ⋅ 1
3
n
Reescrevendo para facilitar o cálculo do limite temos:
lim
n→+∞
(n + 1) ⋅ ( x + 2)
n
capítulo 5
3
• 130
Fazendo uso de uma das propriedades do módulo que diz “o módulo do produto é o
produto dos módulos” temos:
lim
n→+∞
(n + 1) ⋅ ( x + 2)
n
3
Fazendo uso de uma das propriedades do limite: lim k f(x) = k lim f(x), k um número
n→+∞
n→+∞
( x + 2) é uma constante, tendo em vista que
real e como
o limite está em função de n, temos
3
que
( x + 2)
3
pode sair do limite preservando o sinal de módulo e
( x + 2)
3
lim
(n + 1)
n→+∞
n
( x + 2) lim 1 = ( x + 2) ⋅1= ( x + 2)
3 n→+∞
3
3
Pelo teste da razão, para que a série seja convergente devemos ter |
( x + 2) | < 1,
multi3
plicando por 3 para ficar com o monômio x + 2 conforme na série de potências dada, temos:
|x + 2| < 3., Daí, o raio de convergência é r = 3.
e)
Utilizando o teste da razão temos:
an+1
= lim
n→+∞
an
lim
n→+∞
( x + 2)n+1
(n + 1)2 + 1
( x + 2)n
n2 + 1
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador temos:
( x + 2)n+1 ⋅ n2 + 1
n→+∞ (n + 1)2 + 1 ( x + 2)n
lim
Utilizando uma das propriedades de potência e desenvolvendo o polinômio do denominador temos:
lim
n→+∞
( x + 2)n ⋅ ( x + 2) ⋅
(
n2
n2 + 1
+ 2n + 1) + 1 ( x + 2)
capítulo 5
2
• 131
n
Simplificando a fração temos:
lim
n→+∞
( x + 2)
n2
n2 + 1
+ 2n + 2 1
⋅
Separando as variáveis para facilitar o cálculo do limite e usando uma das propriedades
do módulo que diz “o módulo do produto é o produto dos módulos” temos:
lim
n→+∞
n2 + 1
( x + 2) = lim n2 + 1 ( x + 2)
⋅
n→+∞ n2 + 2n + 2
n2 + 2n + 2
1
1
Utilizando uma das propriedades do limite, lim k f(x) = k lim f(x) temos, com k real:
x→+∞
x + 2 lim
n→+∞
x→+∞
+1
n2 + 2n + 2
n2
Lembrando que |x + 2| é uma constante, porque o limite está em função den. Daí, |x + 2|
pode sair do limite preservando o sinal de módulo:
|x + 2| lim |1| = |x + 2| ·1= |x + 2|
n→+∞
Pelo teste da razão, para que a série seja convergente devemos ter |x + 2| < 1. Daí, o
raio de convergência é r = 1.
02.
a)
Como a série é de Maclaurin, ela é do tipo f(x) =
f(x) = e2x
∞
∑ n= 0
f(n) (0)
(x - 0)n.
n!
f(0) =e2 · 0 = 1
f'(x) = 2e2x
f'(0) =2e0 = 2
f''(x) = 4e2x
f''(0) =4e0 = 4
f'''(x) = 8e2x
f^'''(0) =8e0 = 8
f (x) = 16e
f (0) =16e0 = 16
n)
(
f
0
∞
( ) (x- 0)n
f(x) = ∑
n= 0
n!
f ’ (0)
f ’’ (0)
f ’’’ (0)
f ( x ) = f (0) +
( x − 0) + +
( x − 0)2 + +
( x − 0)3
1!
2!
3!
f(4) (0)
+
( x − 0)4 + ...
n!
(4)
2x
(4)
capítulo 5
• 132
Substituindo os valores da tabela anterior, temos:
f ( x ) = e2 x = 1+ 2x +
1 2 1 3 1
4x + 8x + 16x4 + ...
2!
3!
4!
com isso observa-se que a série formada será dada por:
e2 x =
∞
∑
(2x )n
n!
n= 0
b)
Quando desenvolvida a série de Maclaurin para função f(x) = cos x obtivemos uma
resposta do tipo:
0
( −1) x2 + 0 x3 + ( −1) x4 + 0 x5 + ( −1) x6 + ...
x+
1!
2!
3!
4!
5!
6!
f(n) (0)
+
( x − 0)n + ...
n!
f ( x ) = 1+
Eliminando os termos que têm coeficientes nulos, temos:
f ( x ) = 1−
1 2 1 4 1 6
x + x − x + ...
2!
4!
6!
Agora, iremos obter a série de Maclaurin para f(x)= cos 2x, calculando as suas derivadas temos:
f(x) = cos 2x
f(0) = cos 2 ∙ 0 = 1
f'(x) = - 2sen2x
f'(0) = - 2sen 2 ∙ 0 = 0
f''(x) = -4cos 2x
f''(0) = - 4cos 2 ∙ 0 = - 4
f'''(x) = -(- 8 sen 2x)
f'''(0) = 8sen 2 ∙ 0 = 0
f (x) = 16cos 2x
f (0) = 16cos 2 ∙ 0 = 16
(4)
(4)
f(5) (x) = - 32sen 2x
f(5) (0) = -32sen 2 ∙ 0 = 0
f (x) = - 64cos 2x
f (0) = - 64cos 2 ∙ 0 = - 64
(6)
(6)
Podemos reparar que os termos ímpares irão zerar o polinômio, sendo assim só usaremos os termos pares:
f ’’ (0)
f ’’’(4) (0)
f(6) (0)
( x − 0)2 +
( x − 0)4 +
( x − 0)6 + ...
2!
4!
6!
4
16 4 64 6
f ( x ) = cos 2x = 1− x2 +
x +
x + ..
2!
4!
6!
f ( x ) = f (0) +
capítulo 5
• 133
Com essa função observa-se que há termos alternados e que somente os termos pares
estão presentes, sendo assim temos:
cos 2x =
c)
∞
(2x )2n
∑ ( −1) (2n)!
n= 0
n
Partindo da resolução do exemplo 4 temos: f(x) = sen 2x, calculando as derivadas
de f(x) = sen 2x temos:
f(x) = sen 2x
f(0) = sen 2 ∙ 0 = 0
f'(x) = 2cos 2x
f'(0) = 2cos 2 ∙ 0 = 2
f''(x) = - 4sen 2x
f''(0) = - 4sen 2 ∙ 0 = 0
f'''(x) = - 8 cos 2x
f'''(0) = - 8cos 2 ∙ 0 = -8
f(4) (x) = -( - 16 sen 2x)
f(4) (0) = 16sen 2 ∙ 0 = 0
f (x) = 32cos 2x
f(5) (0) = 32cos 2 ∙ 0 = 32
f(6) (x) = - 64sen 2x
f(6) (0) = -64sen 2 ∙ 0 = 0
(5)
Agora que temos as derivadas vamos aplicar na função de Taylor
f ’ (0)
f ’’ (0)
f ’’’ (0)
( x − 0) + +
( x − 0)2 + +
( x − 0)3
1!
2!
3!
f(4) (0)
+
( x − 0)4 + ... +
4!
2
0
( −8) x3 + 0 x4 + 32 x5 + 0 x6 + ... + f(n) (0) x − 0 n + ...
f ( x ) = 0 + x + x2 +
)
(
n!
1
2!
3!
4!
5!
6!
f ( x ) = f (0) +
Eliminando os termos com coeficientes nulos temos:
f (x) = 0 +
f(n) (0)
2
8
32 5
x + x3 +
x + ... +
( x − 0)n + ...
1!
3!
5!
n!
Com essa função observa-se que há termos alternados e que somente os termos ímpares estão presentes, sendo assim temos.
sen 2x =
∞
n
∑ ( −1)
n= 0
capítulo 5
(2x )2n+1
(2n + 1)!
• 134
03. Utilizando o teste da razão temos:
lim
n→+∞
an+1
= lim
n→+∞
an
( x − 3)n+1
(n + 1)2 + 2
( x − 3)n
n2 + 2
Fazendo a divisão de frações, repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do
denominador temos:
( x − 3)n+1 ⋅ n2 + 2
n→+∞ (n + 1)2 + 2 ( x − 3)n
lim
Utilizando uma das propriedades de potência e desenvolvendo o polinômio temos:
lim
( x − 3)n ⋅ ( x − 3) ⋅
n→+∞ n2
+ 2n + 2 + 1
n2 + 2
( x − 3)n
Simplificando a fração temos:
lim
( x − 3)
n→+∞ n2
n2 + 2
1
+ 2n + 3
⋅
Reescrevendo para facilitar o cálculo do limite temos:
lim
n→+∞ n2
n2 + 2
( x − 3)
⋅
+ 2n + 3
1
Fazendo uso de uma das propriedades do módulo que diz “o módulo do produto é o
produto dos módulos” temos:
lim
n→+∞ n2
n2 + 2
⋅ x−3
+ 2n + 3
Como |x - 3| é uma constante, tendo em vista que o limite está em função de n e utilizando uma das propriedades do limite que diz lim k f(x) = k lim f(x), k real:
x→+∞
x→+∞
n2 + 2
x − 3 lim 2
n→+∞ n + 2n + 3
x − 3 lim 1 = x − 3 ⋅1 = x − 3
n→+∞
capítulo 5
• 135
Pelo teste da razão, para que a série seja convergente devemos ter |x - 3| < 1. Daí, o raio
de convergência será r = 1.
Para verificarmos agora o intervalo de convergência, vamos resolver essa desigualdade modular:
3 - 1 < x < 3 + 1 ∴ 2 < x < 4.
Substituindo o valor de cada extremidade na série de potência temos:
Verificando para x = 2:
∞
∑
( x − 3)n
n2 + 2
n= 0
∞
∑
(2 − 3)n =
n= 0
n2
+2
( −1)n
∞
∑
n= 0
n2
=
+2
∞
∑ ( −1)
n
n= 0
⋅
n2
1
+2
O que nos dá uma série alternada. Aplicando o teste de convergência de Leibniz vamos
verificar:
1.
Se an + 1 < an ,
2.
Se lim an = 0
n→+∞
Como an + 1 =
1
(n + 1) + 2
2
e an =
1
e quanto maior for o seu denominador, menor é
n2 + 2
o valor da fração,temos que an + 1 < an.
Como n tende a um valor muito grande, a sua divisão irá tender para zero, sendo assim
1
temos: lim
=0
n→+∞ n2 + 2
Sendo assim, x = 2 pertence ao intervalo de convergência.
Verificando para x = 4:
∞
∑
n= 0
(4 − 3)n =
n2
+2
(1)n
∞
∑
n= 0
n2
+2
=
∞
1
∑ 1n ⋅ n2 + 2
n= 0
Neste caso, temos que para qualquer valor de n, 1n = 1. Com isso sobra apenas o termo
an = 1 .
n2 + 2
1
Utilizando o teste da comparação, no qual an =
e adotando bn = 1/n2 , por ser um
2 +2
n
∞
termo existente em an. Como ∑ n= 0 bn é uma série p, com p > 1, então ela converge. Daí e
como an < bn, pelo teste da comparação,
∞
∑ n= 0
an também converge.
Com isso temos que x = 4 faz parte do intervalo de convergência.
Sendo assim temos que o raio de convergência r = 1 e o intervalo de convergência é
[2,4].
capítulo 5
• 136