Fundamentos de Matematica Elementar 4 Sequencias, Matrizes... Portuguese ( PDFDrive )

GELSON IEZZI
SAMUEL HAZZAN
FUNDAMENTOS DE -
MATEMATICA
ELEMENTAR
SEaUÊNCIAS MATRIZES DETERMINANTES
SISTEMAS
42 exercícios resolvidos
306 exercícios propostos com resposta
310 testes de vestibular com resposta
2~
edição
A"fUl\l
EDITORA
4
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
APRESENTACÃO
I
Composição e desenhos .
AM Produções Gráficas Ltda.
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F9?7
v.1-2,
FundBJllentoB de mBtemát~ce elementa.r (por) GelBon Iezz1 (e outros)
SÃo Paulo, 'Atuel
Ed., 1977-
4-&
Co-autores: Carlos Hurskaml, Osvaldo Dolce
e S8llluel HazzBn; B ButorlB dos volumes indivIduaIs varia entre 08 4 autores.
Conteúdo: v.l. Con1untol!l, funções.-v.2.
Logerltmos.-v.4. SeQÜencls8, mB~rizeB determinantes, slstemBs.-v.5. Combln!tor18, prob!!bllidade.-v.6. Complexos, pol1nornloB, equBt;Oea.
1. Matemática (211 grau) 1. CoIce, Oevl!l1do,
1938- II~ Iezz1, Gelaon, 1939- UI. Hezzan,
Semuel, 1946- IV. Hurakaml. Carlos. 194377-1333
COO-510
1ndice
para. catálogo sistemático:
l~ Ketem8tlce
510
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Rua José Antônio Coelho, 785
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"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
ao n(vel da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha
das ciências".
No desenvolvimento dos inúmeros capltulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exer~lcios, buscamos sempre uma ordenação
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerclcios. Os exerc(cios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir
à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidas e suas obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores
e o valor de sua obra, gostan'amos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários cn'ticos, os quais agradecemos.
Os autores
ÍNDICE
CAPfTUlO I - SEQÜÊNCIAS
I. Noções iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
11. Igualdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
111. Lei de formação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1-0
2-0
2-0
CAPITULO 11 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
Oefinição. . . . . . . . . . .
Classificação. . . . . . . . .
Notações especiais. . . . .
Fórmula do termo genil
Interpolação aritmética.
Soma . . . . . . . . . . . . .
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5-0
5-0
6-0
9-0
11-0
12-0
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'.
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18-0
18-0
20-0
22-0
23-0
24-0
25-0
27-0
29-0
CAPfTUlO 111 - PROGRESSÃO GEOMETRICA
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
Oefinição
'. . . . . . . . . . . .
Classificação. . . . . . . . . . . . . . . .
Notações especiais . . . . . . . . . . .
Fórmula do termo geral. . . . . . .
Interpolação geométrica. . . . . . . .
Produto. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soma dos termos de P.G. finita. .
Limite de uma seqüência. . . . . . .
Soma dos termos de P.G. infinita.
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CAPITULO IV - MATRIZES
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Noção de matriz. . . . . . . . . . .
Matrizes especiais. . . . . . . . . .
Igualdade. . . . . . . . . . . . . . . .
Adição . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produto de número por matriz
Produto de matrizes. . . . . . . .
Matriz transposta. . . . . . . . . .
Matrizes invers{veis . . . . . . . . .
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35-0
36-0
38-0
39-0
43-0
45-0
55-0
58-0
CAPfTULO V - DETERMINANTES
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oefinição de determinantes (n ".; 3) . . . . . . . . . . . . . . . .
Menor complementar e complementar algébrico. . . . . . . .
Oefinição de determinante (caso geral). . . . . . . . . . . . . . .
Teorema fundamental (de Laplace). . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades dos determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abaixamento de ordem de um determinante-Regra de Chiá.
Matriz de Vandermonde (ou das potências). . . . . . . . . . . .
67-0
67-0
. . . .. 70-0
. . . .. 72-0
. . . .. 75-0
. . . .. 77-0
. . . .. 94-0
. . . .. 99-0
. . . . ..
. . . . ..
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Apêndice I
Oemonstração do teorema de Laplace
105-0
Apêndice 11
Cálculo da matriz inversa através de determinantes
108-0
CAPITULO VI - SISTEMAS LINEARES
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
Intrbdução
Teorema de Cramer
Sistemas escalonados
Sistemas equivalentes ~ Escalonamento de um sistema
Sistema linear homogêneo
Caracter{stica de uma matriz
115-0
122-0
126-0
131-0
147-0
151-0
RESPOSTAS DE EXERCfCIOS
161-0
TESTES
175-0
'
RESPOSTAS DOS TESTES
227-0
Pierre-Simon de Laplace
(1749 - 1827)
Napoleão demite ministro do interior
CAPÍTULO I
SEQÜÊNCIAS
Pierre-Simon de Laplace francês, de descendência humilde, estudou na
Academia Militar por influência de amigos.
Sem grandes convicções políticas, pouco participoU de atividades revolucionárias embora tenha sido nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do
Interior do qual foi despojado logo mais pois, como dizia o próprio Napoleão,
"ele transportava o espírito do infinitamente pequeno à direção dos negócios de
sua pasta". Mesmo assim, acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de
marquês e em suas obras procurava sempre incluir elogios fervorosos ao grupo
que estivesse no poder, procurando assim fazer as pazes com cada regime que
aparecesse.
I. NOÇÕES INICIAIS
1.
Chama-se seqüência finita ou n-upla
toda aplicação f do conjunto
Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica, participando
também do Comitê de Pesos e Medidas.
Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando
uma obra admirável que é a "Teoria Analitica das Probabilidades" em 1812, onde
mostra ter conhecimentos avançados de Análise.
Definição
N~
= {1,2,3, ... ,n}emIR.
Assim, em toda seqüência finita, a
cada número natural i (1 ..;;; i ..;;; n) está
associado um número real ai
Em "Ensaio filosófico das probabilidades" escreveu que "no fundo a Teoria
das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números".
Em 'Teoria Analitica" encontramos entre outros resultados, o cálculo de
através dos problemas das agulhas de Buffon, esquecido há muitos anos, e um
estudo da probabilidade inversa iniciado por Bayes.
1r
Em "Exposição do Sistema do Mundo", de 1796, e em "Mecânica Celeste",
de 1799, apresentou sua hipótese de que o sistema solar se originou de um gás
incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar, se contraiu causando
rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se desprenderam sucessivos
anéis que formaram os planetas. O centro restante da massa de gás, em rotação,
constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando
todas as perturbações do sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é
secular, não lhe parecendo mais necessário admitir a intervenção divina em certas
ocasiões.
Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas uma coleção
de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade sempre mantendo
um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências.
2.
Definição
Chama-se seqüência infinita toda
aplicação f de N* em IR.
Em toda seqüência infinita, a cada
i E N* está associado um ai E IR.
Vamos, daqui em diante, indicar uma seqüência f anotando apenas a imagem de f:
onde aparecem entre parênteses ordenadamente, da esquerda para a direita, as imagens dos naturais 1, 2, 3, ... , i, . .. .
1-0
Exemplos
Quando querem os indicar uma seqüência f qualquer. escrevemos
1?) Escrever a seqüênc ia finita f cujos termos obedece m a seguinte fórmula de
recorrência: ai = 2 e a n = an-I + 3. V n E {2. 3. 4. 5. 6}.
e lemos "seqüên cia f dos termos ai onde o conjunt o de índices é I".
3.
Temos:
n
n
n
n
n
Exempl os
19) (1. 2. 3. 4. 6. 12) é a seqüênc ia (finita) dos divisores inteiros
positivos
de 12 dispostos em ordem crescente.
29) (2. 4. 6. 8•...• 2i•... ) é a seqüência (infinita) dos múltipl
os inteiros
positivos de 2.
2
3
= 4
= 5
6
=
~
=
~
~
~
~
a2
a3
a4
as
a6
ai
a2
= a3
= a4
= as
=
=
+
+
+
+
+
3
3
3
3
3
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11
14
= 11 + 3
= 14 + 3 = 17
=
=
então f = (2.5.8. 11.14. 17).
20 ) Escrever os cinco termos iniciais da seqüência infinita g dada
pela seguinte
. fórmula
- cla:
.
bI = 1 e b
de recorren
n = 3 • b n-I. V n E N e n;;;' 2.
39) (2.3.5. 7. 11 •... ) é a seqüência (infinita) dos número s primos
positivos.
Observando o 29 exempl o. notamo s que estão indicadas entre parênte
ses as
imagens de 1. 2. 3•...• i•... na aplicação f: N * --,> IR dada por f O)
= 2i.
Temos:
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
11. IGUALDADE
4.
Sabemo s que duas aplicações f e g são iguais quando têm domíni
os iguais e
f(x) = g(x) para todo x do domínio . Assim. duas seqüências infinitas
f = (ail;E~' e
g = (bi)iE~' são iguais quando f(i) = g(i). isto é. ai = bj para
todo i E N*. Em
símbolo s:
~
~
~
~
b2
b3
b4
bs
3·
3·
= 3·
= 3·
=
=
bl
b2
b3
b4
3·
3·
= 3·
= 3·
=
=
1 = 3
3 = 9
9 = 27
27 = 81
entãog = (1.3.9. 27.81 •... l.
6.
Expressando cada termo em função de sua posição
~ dada uma fórmula que expressa a n em função de
n.
bi. Vi EN*
Exemplos
111. LEI DE FORMAÇÃO
.. - la
. f"ln"lta f cUJ'os termos obedece m à lei a n
Escrever a sequenc
n E {1.2.3 .4}.
Interessam à Matemática as seqüências em que os termos se sucedem
obedecendo a certa regra. isto é. aquelas que têm uma lei de formaçã
o. Esta pode ser
apresen tada de três maneiras:
Temos:
_
ai 21 _ 2
5.
Por fórmula de recorrência
São dadas duas regras: uma para identificar o primeir o termo (ad
e outra
para calcular cada termo (a n ) a partir do anteced ente (an-I).
2-0
~ 22 = 4 a
'
=
2n •
23 = 8 e a4 = 2 4 = 16 então
f = (2. 4. 8. 16).
Escrever os cinco termos iniciais da seqüência infinita g em que os
termos
2?l
verificam a relação b n = 3n + 1. V n E N *.
-
-,
a2
3
Temos:
b = 3 • 1 + 1 = 4. b 2 = 3 • 2 + 1 = 7. b3 = 3 . 3 + 1 = 10.
b: = 3 • 4 + 1 = 13 e b = 3 • 5 + 1 = 16 então g = (4. 7. 10. 13.
16.... ).
s
3-0
7.
Por propriedade dos termos
É dada uma propriedade que os termos da seqüência devem apresentar.
CAPÍTULO II
Exemplos
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
1?) Escrever a seqüência finita f de seis termos em que cada termo é igual ao
número de divisores inteiros do respectivo índice.
Temos:
0(1) = {1, -1}
"*
ai = 2
0(2)
=
{1,-1,2,-2}
0(3)
=
{1, -1, 3, -3}
"*
"*
4
a2
4
a3
0(4) = {1, -1,2, -2, 4, -4}
"*
a4
0(5) = {1, -1,5, -5} "* as = 4
0(6) = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6}
então f = (2, 4, 4, 6, 4, 8).
= 6
"*
a6
I. DEFINiÇÃO
8.
8
2?1 Escrever os cinco termos iniciais da sequencia infinita g formada pelos
números primos positivos colocados em ordem crescente.
Temos g
=
Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma seqüência dada pela seguinte
fórmula de recorrência:
(2,3,5,7,11, ... ).
{:~
Eis alguns exemplos de progressões aritméticas:
(1,3,5,7,9, ... )
(O, -2, -4, -6, -8, ... )
(4,4,4,4,4, ... )
13579
Escrever os seis termos iniciais das seqüências dadas pelas seguintes fórmulas de recorrência:
0.2
0.3
ai
bl
c1
di
el
=
=
=
=
=
5 " a n = an_1 + 2, 'V n ;;;>
3 " b n = 2' bn-I,
'V n ;;;>
2 " c n = lc n_ I )2,
'In;;;>
4" d n = (-1)n. dn_lo'Vn;;;>
-2 e "n = (en_l)n,
'In;;;>
4-0
fs
Descrever por meio de uma fórmula de recorrência cada uma das seqüências abaixo:
)
I
onde ai
onde ai
onde ai
b) tl, 2, 4,8, 16,32,
d) (5,6,7,8,9,10,
)
11
(4,
10
3
8
3,3, 3'''' I
1 e r = 2
°
e r =
4 e r
1
2
(2'2'2'2'2"")
2
2
2
2
2.
Escrever os seis termos iniciais das seqüências dadas pelas seguintes leis:
a) afl = 3n-2, 'Vn;;;>l
b) b n = 2'3 n , 'Vn;;;>l
c) c n = n(n+1).'Vn;;;>l
d) d = (-2)n, 'Vn;;;>l
n
e) e n = n 3,
'V n ;;;> 1.
a) (3,6,9,12,15,18,
c) (1, -1,1, -1,1, -1,
e) to, 1, 2, 3, 4, 5, ... )
+ r, 'V n E N, n ;;;> 2
Assim, uma P.A. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é a
soma do anterior com uma constante r dada.
EXERCICIOS
a)
b)
c)
dI
e)
:n-I
onde a e r são números reais dados.
Notemos que esta seqüência não pode ser dada por fórmula de recorrência
bem como não existe fórmula para calcular o n-ézimo número primo positivo a
partir de n.
0.1
:
='
-2
°
e r
1
3
onde ai = 4 e r
11. CLASSIFICAÇÃO
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
Hl crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É
imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois:
an
>
an-I <=> a n - an_1
>
O <=> r
>
O.
)
Exemplos: fi e f 4 ·
5-0
2~) constantes'são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver
que isto só ocorre quando r = O, pois:
CD
De
obtemos x = 8, substituindo em
(8 - rl • 8 • (8 + rl
O
440 ~ 64 - r2
=
=
0
vem:
55 <=> r2
=
9 <=> r = ± 3.
Assim, a P.A. procurada é:
Exemplo: f 3
(5. 8. 111 para x = 8 e r
3~) decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. Isto
ocorre somente se r < O, pois:
0.7
=
3 ou (11, 8, 51 para x = 8 e r
=
-3.
Obter uma P.A. crescente formada por números inteiros e consecutivos de modo que a
soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.
0.8
23
Obter 3 números em P.A. s(Jbendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é 30'
0.9
Uma P. A. é formada por 3 termos com as segu intes propriedades:
Exemplos: f 2 e fs .
I) seu produto
111. NOTAÇÕES ESPECIAIS
é igual. ao quadrado de sua soma;
11) a soma dos dois primeiros é igual ao tercei ro.
Obter a P.A.
Quando procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática
a notação seguinte:
H) para 3 termos: (x, x + r, x + 2r) ou (x - r, x, x + r)
2~) para 4 termos:
(x, x
0.10 Obter 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3e a soma de seus quadradàs seja 11.
0.11
+ r, x + 2r, x + 3r) ou (x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)
onde y
Obter uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3 465.
Solução
r
Empregando a notação especial (x - 3v, x - v, x + V, x + 3vl, temos:
2'
CD (x - 3v)
3~) para 5 termos; (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou
+ (x - V) + (x + V) + (x + 3v)
( o (x - 3v) (x - V) (x + V) (x + 3v) 3.465
De CD vem 4x
32, isto é, x
8.
Substituindo em 0
o valor de x, temos:
(x - 2r, x - r, x, x + r, x.j. 2rl.
=
=
EXERCiclOS
0.4
(8-3V)·(8-V)·(8
Determinar x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 71 seja uma P.A.
Solução
0.5
0.6
=
(5x + 7) - (2x + 1) =?x + 1 = 3x + 6 =? X =
=
+
-f.
entãoy
~
1 ou V
v)·(8
+
~
9V4 - 640V 2 + 631
Devemos ter a2 - aI=: a3 - 81. então:
(2x + 1) - x
32
=
=
3v)
(64 - 9y2) ·(64 _ V2)
= 3465
O ~ V
+j640±~ =
-1 ou V
~
v'631
- - 3 - oU V
=
3465
640 ± 622
18
±
v'631
---3-'
Como a P.A. deve ter elementos inteiros, só convêm-as duas primeiras. Assim, temos:
Determinar a de modo que (a2, (a + 1)2, (a + 5)2) seja uma P.A.
x
Obter uma P.A. de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.
x
=
8 e V
8 e V
1 =? (5, 7, 9, 11)
-1
=? (11,9.7,5)
c)
Solução
0.12
Empregando a notação especial (x - r, x, x + r) para a P.A., temos:
CD
{o
6-0
(x -
ri +
x
(FFCLUSP-1965) A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética
é -6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determinar esses termos.
+ (x + r) = 24
(x - r) • x • (x + ri
~ 440
o
0.13 Obter uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos
meios seja 77.
7-0
0.14 Obter 4 números reais em P.A. sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados
é 166.
IV. FÓRMULA DO TERMO GERAL
9.
0.15 Obter uma P.1l>.. de 5 termos sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3 025.
Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma, P.A. e admitindo
dados o primeiro termo (atl, a razão (r) e o índice (n) de um termodesejado, temos:
Solução
Utilizando a notação (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2rl, temos:
CD (x - 2rl
+ (x - rl + x + (x + rl + (x + 2rl ~ 25
{ (3) (x - 2rl 3 + (x - rl 3 + x3 + (x + rl 3 +
De CD vem: 5x ~ 25, isto é, x ~ 5.
De
(3)
(x + 2rl 3 ~ 3026
a2
ai + r
a3
a4
a2 + r
a3 + r
a n = an_1 + r
Somando essas n - 1 igualdades, temos:
vem:
a2 + a3 + a4 + ... + a n
(x 3 - 6x 2 r + 12xr2 - 8r 3) + (x 3 - 3x 2 r + 3xr2 _ r 3) + x 3 + (x 3 + 3x 2 r + 3xr2 +
+ r3 ) + (x 3 + 6x 2 r + 12xr2 + 8r 3) = 3025
isto é: 5x 3 + 30xr 2 = 3025.
\
=
ai + a2 +a3 + ... + a n -I + (n - 1 I • r
. / '
I
cancelam-se
e, então, a n = ai + (n - 1) • r, o que sugere o seguinte
Lembrando que x = 5, temos:
5 • 53 + 30· 5 • r2 = 3025 . ~ 150r2 ~ 2 400 ~ r2
16
~
r
±4.
10.
Teorema
Portanto a P.A. é: (-3, 1,5,9,13) ou (13,9,5, I, -3l.
0.16 Obter uma P.A. decreocente com 5 termos cuja soma é -10 e a soma dos quadrados é 60.
Na P.A. em que o primeiro termo é ai e a razão é r, o n-ézimo termo é
0.17 Obter 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é '::'33 .
0.18 Achar 5 números reais em P.A. sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois
primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos.
Demonstração pelo princípio da indução finita
0.19 Mostrar que se (a, b, c) é uma P.A., então (a 2 bc, ab 2 c, abc2) também é.
I) Para n = 1, temos: ai = ai + (1 - 1) • r (sentença verdadeira)
Solução
Temos, por hipótese, b - a = c - b = r. Então:
11) Admitamos a validade da fórmula para n
ab2 c-a 2 bc = abc(b-a) = abcr = abc(c-b) ~ abc2 -ab 2 c.
de indução) e provemos que vale para n
a p+ I = a p + r
0.20 Provar que se (_1_, _1_, _1_ 1 é uma P.A., então (z2, x 2, y2) também é.
x+y y+z z +x
0.21 Provar que se (a, b, cl é uma P.A., então (a2 (b + el, b 2 (a + c), c2 (a + b)) também é.
. 0.22 Sabendo que (a, b. c) e
(.!.. -.!.. -.!.)
b
c
d
são P.A.• mostrar que 2ad ~ c(a + c).
0.23 Sabendo que la, (J, 'Y, Ó) é P.A., provar que:
(Ó + 3(J) (Ó - 3(J) + (a + 3'Y) (a- 3'Y) ~ 2(aÓ - 9(J'Yl.
8-0
Então a n
=
p: a p
= ai
+ (p - 1) • r (hipótese
p + 1:
(ai + (p - 1) • rI + r ~ ai + [(p + 1 1- 1] • r
ai + (n - 1) • r, V n E N*.
EXERCíCIOS
0.24 Calcular o 179 termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.
Solução
Notando que ai
=
3 e r
~
5, apliquemos a fórmula do termo geral:
(
al7 = ai + 16r = 3 + 16· 5 = 83.
9-0
Solução
0.25 Obter o 12~. o 27~ e o 100~ termos da P.A. (2,5,8, 11, ... I.
<O
Temos: a n
0.26 Obter a razão da P. A. em que o primeiro termo é - 8 e o vigésimo é 30.
=? n
Solução
> ~7
::=
=? ai + (n - 1 Ir
=? 60 + (n - 11 (-71
<O
=? n - 1
> 670
=?
9.5.
Concluímos que an
a20 = ai + 19r =? 30 = -8 + 19r =? r = 2.
<O
<
O para n
10. lI, 12•...• portanto. o primeiro termo negativo
da P.A. é alO'
0.27 Obter a razão da P.A. em que a2 = 9 e al4 = 45.
0.37
0.28 Obter o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23~ termo é 86.
0.38
7 e a12 =-8.
=
Solução
> 2, então
22222222
(a 2 - ai' a3 - a 2 , a 4 - a3" .. ,a n - an_11 também é.
0.29 Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2~ termo é 24 e a razão é 27
0.30 Obter a P.A. em que alO
Provar que se (ai, a2. a3•... , anl é P.A.• com n
Provar que se uma P.A. apresenta 3m = x, an = y e ap
(n - p) • x + (p - ml • Y + (m - n) • z = o.
Z,
então verifica·se a relação:
0.39 Provar que os termos de uma P.A. qualquer onde O não participa verificam a relação:
Para escrever a P.A. é necessário determinar aI
e r.
Temos:
7 =? ai + 9r
7
=
-8 =?al +llr
=
G)
-8
0
V. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Resolvendo o sistema acima, temos:
0-G)
=?2r
=
Em toda seqüência finita (ai, a2, ... , an_I, anl, os termos ai e a n são
chamados extremos e os demais são chamados meios. Assim, na P.A. (O, 3, 6, 9,
12, 15) os extremos são O e 15 enquanto os meios são 3, 6, 9 e 12.
15
2
-15= r
149
2
149 134
e, portanto, a P.A. é (-2 '
2
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os números a e b
significa obter uma P.A. de extremos ai = a e a n = b, com n = k + 2 termos.
Para determinar os meios dessa P.A. é necessário calcular a razão, o que é feito assim:
119
' 2 ' .. ··)
0.31
Determinar a P.A. em que o 6~ termo é 7 e o 10~ é 15.
0.32
Qual é a P.A. em que o lÇ' termo é 20 e o 9Ç' termo é 44?
ai + (n - 1) • r =? b = a + (k + 1) • r =? r
b - a
k + 1.
0.33 Determinar a P.A. em que se verificam as relações:
Exemplo
al2 + a21 = 302 e a23 + a46 = 446.
p.34 Na P.A. em que a p =
a
e aq =
ti
com p
*
Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2.
q, calcular o termo a p + q .
lIME-1965) Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p e q, para que
se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mes_ma progressão aritmética:
3m
ai
+ 6·
r
=? r
2- 1
6
2. Temos:
1
6
+ a n = ap + aq .
O}'"" Qual é o primeiro termo negativo da P.A. (60,53,46, ... )?
10-0
Vamos formar uma P.'A. com 7 termos onde ai
então a PA é (1,
7
6"'
8 9 10 _11 2)
6' 6' 6' 6' .
11-0
EXERCíCIOS
1 + 2 + 3 + ... + P = p(p + 1)
2
0.40 Intercalar 5 meios aritméticos entre -2 e 40.
e provemos
Solução
n
=
p + 1:
Devemos obter a razão da P.A. com 7 termos (2 extremos e 5 meios I em que
a, = -2 e a7 = 40. Temos: a7 = a, + 6r => 40 = -2 + 6r => r = 7
+ 2 + 3 + ... + P + (p+l)
então a P.A. é (-2. 5, 12, 19, 26, 33, 40)
p(p + 1) + 2(p + 1)
2
'--,-------./
meios
0.41
par~
interpolação seja
(p+l)(p+2)
2
Então 1 + 2 + 3 + ... + n
Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da
p(p + 1)
+ (p + 1)
2
~7
n(n + 1)
2
'v'n E N*.
Exemplo
~
Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200.
D~'
Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múltiplos de 137
A soma dos 50 termos iniciais da seqüência dos inteiros positivos é:
.,/0;.44 De 100 a 1000 quantos são os múltiplos de ~ 37
1 + 2 + 3 + ... + 50 =
0.45 Ouantos números inteiros e positivos. formados de dois ou três algarismos, não são
divisíveis por 77
(
0.46
50(50 + 1)
2
= 25 X 51 = 1 275.
Utilizando a fórmula do termo geral, podemos calcular a soma Sn dos n
termos iniciais da P.A. (a" a2, ... , a n , ... ).
(ITA-661 Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por
5 e nem por 7?
0.47 (MAPOFEI-751 Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto
termo da P.A.7
12.
Teorema 2
Em toda P.A. tem-se:
na, +
n(n - 1)
2
•r
Demonstração
VI. SOMA
Vamos deduzir uma fórmula para calcular a soma Sn dos n termos iniciais
de uma P.A.
+
11.
Teorema 1
A soma dos n primeiros números inteiros positivos é
n(n
2
+ 1)
a, + (n - 1) • r
(a, + a, + ... + ad + (r + 2r + ... +(n - llrl =
\
Demonstração por indução finita
I
n parcelas
I)
Para n = 1, temos: 1 =
11)
12-0
1(1 + 1)
2
(sentença verdadeira)
Admitamos a validade da fórmula para n = p:
= na, + (1 + 2 + ... + (n - 1)) • r.
Pelo teorema 1: 1 + 2 + ... + (n - 1 ) = (n -2 l)n entao:
_
13-0
\
nal +
EXERCíCIOS
(n-1)'n
2
•r
0.48
Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A. (1,7, 13, ... l.
Solução
isto é:
Sendo aI
nal +
1 e r
6, temos:
=
a2S = ai + 24· r = 1 + 24 X 6 = 145
"In2- 11 • r
25(1 + 1451
1 825.
=
2
0.49 Obter a soma dos 200 primeiros termos da seqüência dos números ímpares positivos.
Calcular também a soma dos n termos iniciais da mesma seqüência.
13.
Teorema 3
Solução
Em toda P.A. tem-se:
A seqüência (1,3,5, ... ) ê uma P.A. em que ai
1 e r
2, então:
a200 = a I + 199 • r = 1 + 199 X 2 = 399
200(1 + 3991
2
an
ai + (n - llr
1 + In - 11 • 2
=
40000
2n - 1
n(l + 2n-ll _ 2
2
- n .
Demonstração
Sn
=
=
2nal + n(n-1)r
n(n - 1)
. r =
2
2
n(al + an )
n[al + ai + (n-1)r]
2
2
= na. +
n[2al + (n - 1)r]
2
0.50 Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 3507
0.51
.rtr.S2
Qual é a soma dos 120 primeiros números pares positivos? E a soma dos n primeiros?
Obter a soma dos 12 primeiros termos da P.A. 16, 14,22, ... l.
0.53 Obter a soma dos n elementos iniciais da seqüência:
l-n 2-n 3-n
1 - - , - - , - - " .. l.
n
n
n
Exemplos
19) A soma dos 15 termos iniciais da P.A. (-2, 1, 4, 7, ... ) é:
15 • 14
15(-2) +
2
. 3
0.54 Determinar a P.A, em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.
Solução
-30 + 315
285.
Determinar uma P.A. é obter
a20
2
49 X 52
2548.
2 => ai + 19r
=
2
S 50 = 650 => 5012al
. 2 + 49,)
29) A soma dos múltiplos inteiros de 2 desde 4 até 100 pode ser calculada
100) é uma P.A. de 49 termos em que ai = 4 e
notando-se que (4 , 6 , 8 .... ,
a49 = 100:
49(4 + 100)
=
CD
Resolvendo o sistema
e
curada é (-36, -34, -32, ... I.
0.55
e r Temos:
8]
CD
=
650 => 2 ai + 49 r = 26
@
obtemos aI = -36 e r = 2, portanto, a P.Ã. pro-
Qual é o 239 elemento da P.A. de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 2557
15-0
14-0
0.56 Quantos termos devem ser somados na P.A. (-5, -1, 3, ... ) a partir do 19 termo, para
que a soma seja 1 590?
45 19
0.57 Qual é o número mfnimo de termos que se deve somar na P.A. (13,4'2' ... ) a
0.67
(EESCUSP-66) Se numa P.A. a soma dos m primeiros termos é igual à soma dos n
#:- o, mostre que a soma dos m + n primeiros termos é igual a zero.
primeiros termos, m
0.68
Demonstrar que em toda P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à
diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par.
partir do 19 termo, para que a soma seja negativa?
0.69
0.58
(FAUUSP-66) Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos
quaisquer faz parte da progressão?
(MAPOFEI-76) Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em P.A.. 202, 206, 210, ... , por
distração não foi somada a 35~ parcela. Qual foi a soma encontrada?
0.70
,0':59
/
(EE. L1NS-671 Determinar uma progressão aritmética de razão 1, sabendo-se que
O
número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de
Determinar uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos
59 últimos é 130.
ordem.!!. é 4.
3
0.60 Determinar uma P.A. em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50
iniciais é 3650.
0.61
0.71
(FFCLUSP-65) A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é
-6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determinar esses termos.
Calcular o quociente entre a soma dos termos de índice rmpar e a soma dos termos de
0.72
indice par da P.A. finita (4, 7, 10, ... , 517).
(ITA-58) Provar que se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual
a n + 1 vezes a metade do enézimo termo então r = at.
0.62 Qual é a soma dos múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos?
Solução
Os múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos constituem a P.A. (100, 105,
110, ... , 995), em que ai = 100, r = 5 e a n = 995. O número de elementos dessa
P.A. é n tal que:
a n = ai + (n - lIr
~
995 = 100 + (n - 115
~
n
180.
A soma dos termos da P.A. é:
180(100 + 995)
2
98550.
0.63 Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10 OOO?
0.64 (MAPDFEI-74) Qual é a soma dos múltiplos positivos de 7, com dois, trás ou quatro
algarismos?
0.65 Obter uma P.A. em que a soma dos n primeiros termos é n 2 + 2n para todo n natural.
Solução
Como Sn
=
n 2 + 2n, "In E 1\1*, temos:
1 2 + 2·1
2 2 + 2·2
5
e a P.A. é (3, 5, 7,9, ... ).
0.66
16-0
(MAPDFEI-74) Calcular o 19 termo e a razão de uma P.A. cuja soma dos n primeiros
termos é n2 + 4n para todo n natural.
17-0
a) P:G. com termos positivos
CAPÍTULO III
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
,
b) P.G. com termos negativos
an
>
an_1 <=> O
<~
<
an_1
1 <=> O
<
q
<
1
Exemplos: fi e f 4
2~) constantes são as P.G. em que cada termo é igual ao anterior. Observe.
mos que isto ocorre em duas situações:
I. DEFINiÇÃO
14. Chama-se progressão geométrica (P.G.) uma seqüência dada pela seguinte
fórmula de recorrência:
=
a) P. G. com termos todos nulos
ai = O e q qualquer
b) P.G. com termos iguais e não nulos
a
= an_1 • q, V n E N, n ;;;, 2
onde a e q são números reais dados.
Assim, uma P.G. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
o produto do anterior por uma constante q dada.
Eis alguns exemplos de progressões geométricas:
(1,2,4,8, 16, ... )
(-1, -2, -4, -8, -16, ... )
1 1
1
1
(1'3'9' 27 '81'··· )
2
-1 e q
onde ai
1 e q
(-54, -18, -6, -2,
-3"" )
onde ai
-54 e q
(7,7, 7, 7, 7,
)
onde ai
onde ai
7 e q
5 e q
3 e q
(5, -5, 5, -5, 5,
(3, O, O, O, O,
)
)
onde ai
=
3~) decrescentes são as P.G. em que cada termo é menor que o anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras:
a) P. G. com termos positivos
eq = 2
onde ai
onde ai
Exemplo: f s
2
1
3
1
3
1
-1
b) P.G. com termos negativos
Exemplos: f 2 e f 3
O
4~) alternantes são as P.G. em que cada termo tem sinal contrário ao do
termo anterior. Isto ocorre quando q < O.
11. CLASSIFICAÇÃO
As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco categorias:
H crescentes são as P.G. em que cada termo é maior que o anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras:
18-0
Exemplo: f 6
5~) estacionárias são as P.G. em que ai
Isto ocorre quando q = O.
*
O e a2
O.
Exemplo: f 7
19-0
g) se' uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários,
111. NOTAÇÕES ESPECIAIS
então a P.G. é alternante.
hl existe uma P.G. de números reais em que a3 > O e a21
j) existe um~.G. de números reais em que ai > O e a20
j) se q > O, a P. G. é crescente.
k) se ai > O e q > O, a P. G. é crescente.
I) se q > 1, a P.G. é crescente
Para a obtenção de uma P.G. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a
notação seguinte:
H) para 3 termos: (x, xq, Xq2) ou (~, x, xq)
q
2~) para 4 termos: (x, xq, xq2, xq3) ou (-; ,~, xv,
V V
0.79
XV3)
- numeros
,
. em P. G. d e mo d o que sua soma seJa
. "8
21 e a soma de seus
.
tras
reais
Determmar
. 189
quad rados seja 64'
3~) para 5 termos: (x, xq, xq2, xq3, xq4) ou (--;-, ~,x, xq, xq2)
q
< O.
< O.
q
0.80 Obter a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos
dois últimos é 300.
121
0.81
duto é 243.
EXERCíCIOS
0.73 Qual é o nú mero que deve ser somado a 1, 9 e 15 para que se tenha, nessa ordem, três
números em P. G. 7
Solução
3
e seu pro-
0.82 (FAUUSP-66) Numa progressão geométrica de seis termos a soma dos termos de
ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determinar a progressão.
D.83 Obter quatro números a, b, c, d sabendo que:
Para que (x + 1, x + 9, x + 15) seja P.G., devemos ter
x+9
x+1
Determinar cinco números inteiros em P. G. sabendo que sua soma é -
I) a + d
11) b + c
32
24
111) (a, b, c) é P.G.
IV) (b, c, d) é P.A.
x+15
=
-;+g
a, então:
(x+9)2 = (x+1)(x+151=~+18x+81 =~+16x+15=2x
-66 ==>
=* x = -33.
0.74 (MAPOFEI-741 Qual é o número x que deve ser somado aos números a - 2, a e a + 3
para que a - 2 + x, a + x e a + 3 + x formem uma P.G.?
D.84 lIME-66) A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine
esses números, sabendo que se somarmos 6 unidades 80 último, eles passam a coos-tituir uma P.G.
0.85 Provar que se x, Y. z estão em P.G. nesta ordem, vale a relação:
(x + y + z) (x - y + z) = x 2 + y2 + z2.
0.75 (FAM-65) Sabendo-se que x, x + 9 e x + 45 estão em P.G., determinar o valor de x.
0.86 Se a, b, c, d estão em P. G. nesta ordem, então (b - c)2 = ac + bd - 2ad.
0.76 A seqüência (x + 1, x + 3, x + 4, ... ) é uma P.G.. Calcular o seu quarto termo.
0.87 Provar que se a, b, c formam nesta ordem uma P.A. e uma P.G., então a = b = c.
0.77 (EPUSP-59) Que tipo de progressão constitue a seqüência:
0.88
(b - c)2 + (e - a)2 + (d - b)2 = (a - d)2.
sen x, sen(x + rr). sen(x + 21Tl, ...• sen(x + nrr) com sen x =/=07
0.78 Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (VI ou falsa (FI:
na P. G. em que ai> O e q > o. todos os termos são positivos.
na P. G. em que aI
O e q > O, todos os termos são negativos.
na P. G. em que ai > O e q
o. todos os termos são negativos.
Oe q
O, todos os termos são negativos.
na P.G. em que ai
e) na P.G. de números reais em que q < O e ai =1= O, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P. G. é alternante.
f) na P. G. alternante, todos os termos· de índice Impar têm o sinal de ai e os de
Indice par têm sinal contrário ao de ai'
a)
b)
c)
dI
20-D
<
<
<
<
Provar que se os números a, b, c, d formam nesta ordem uma P.G. então vale a relação
0.89 Os lados de um retângulo apresentam medidas em P.G.. Calcular a razão da P.G..
0.90 Os lados de um triângulo formam uma P.G. crescente. Determinar a razão da P.G..
0.91
As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G. e seu
produto é 1 728. Calcular as medidas dos lados.
0.92 (MAPOFEI-761 Calcular todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números
sen x sen x, tg x farmem uma progressao
- geomé trtca
.
-2-'
21-D
D.96 (ITA-59) Dada. uma P.G. finita ia" a2, a" ... , ato) de modo que ai
IV. FÓRMULA DO TERMO GERAL
=
2 e a2
=
6,
pergunta-se se é correta a igualdade
15. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.G. e admitindo
dados o primeiro termo (ai
O). a razão (q
O) e o índice (n) de um termo
desejado, temos:
"*
a2
a,
a4
...
"*
3.
(2)b
D.97 (MAPOFEI-76i Uma empresa produziu, no ano de 1975, 100000 unidades de um
Quantas unidades produzirá no ano de 1980, se o aumento anual de produção é de 20%7
0.98 Obter a P.G. cujos elementos verificam as relações:
82 + 84 + 86
a, + as + a7
Multiplicando essas n - 1 igualdades, temos:
~
I
\
cancelarn-se
10
30
D.99 Calcular o número de termos da P.G. que tem razão ~, 19 termo 6 144 e último termo 3.
a2 • a3 • a4 •...• a n = ai' a2 • a3 • a4 •...• an-I • qn-I
e, então, a n
I
=
produto.
ai' q
a2 • q
a, • q
I
I
(alO,8
J
0.100 Provar que se a, b, c são os elementos de ordem P. q, r, respectivamente, da mesma
P. G., então:
ai' qn-I, o que sugere o seguinte
0.101 Provar que se (aI. 82, 83,' .. I é uma P.G., com termos todos diferentes de zero, então
L~, ~, ~, ... I também é P.G.
16.
81
82
83
Teorema
Na P.G. em que o primeiro termo é aI e a razão é q, o n-ézimo termo é
an
=
ai' q n-I
D.l02Provarque se (ai, a2' a3, ... i é uma P.G., então (ai, a3' as, ... 1 e (a2,a4,a6itambém
são P.G.
I.
V. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Demonstração
Demonstra-se pelo princípio da indução finita.
Interpolar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma
P. G. de extremos ai = a e a n = b, com n = k + 2 termos. Para determinar os
meios dessa P.G. é necessário calcular a razão. Assim, temos:
'*
b = a. qk + I
'*
q
=kJ1.
EXERCíCIOS
Exemplo
0.93 Obter o 109 e o 159 termos da P. G. (1, 2, 4, .8, ... i.
Solução
Interpolar 8 meios geométricos (reais) entre 5 e 2 560.
aiO
al'q9 = 1.2 9 = 512
al5 = ai • ql4 = 1 • 2 14 = 4096
Formemos uma P.G. com 1 termos onde ai
0.94 Obter o 1009 termo da P. G. (2, 6, 18, ... ).
0.95 Calcular o 219 termo da seqüência (1, O, 3, O, 9, O, .•. ).
22-0
°
alO
=
ai' q9
'*
q
=
IO
~560
-- = 9 --ai
5
fiii9
=5 e
alO
= 2 560.
Temos:
9 r= v'
512 = 2
então a P.G. é (5, 10,20,40,80,160,320,640,1 280,2560).
23-0
EXERc(CIOS
EXERCICIOS
0.103 Inserir 6 meios geométricos reais entre 640 e 5.
0.107 Em cada uma das P.G. abaixo calcule o produto dos n termos iniciais:
0.104 Quantos meios se deve intercalar entre 78 125 e 128 para obter uma p. G. de razão ~?
5
0.105 Oual é o número mrnimo de meios geométricos que se deve interpolar entre 1 458 e
2 para a razão de interpolação ficar menor que ~?
ai (1, 2, 4, 8, ... 1 e n = 10
bl (-2, -6, -18, -54, ... ) e n ~ 20
cl (3, -6, 12, -24.... 1 e n = 25
d) ((_2)0, (-2)1, (-2)2,(-2)3, ... 1 e n ~ 66
el ((_3)25, (_3)24, (_31 23 , ... 1 e n ~ 51
f) (ai, _a 2, a 3, -a 4, ... ) e n = 100
0.106 (EESCUSP-58) Sendo a e b números dados, achar outros dois x e y tais que a, x, y, b
formem uma P.G.
0.108 (MAPOFEI-71l
VI. PRODUTO
0.109 Calcular o produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em que aSl = -1.
Vamos deduzir uma fórmula para calcular o produto Pn dos n termos inici/lis
de uma P.G.
17.
Teorema
Em toda P.G. tem-se:
n(n-1)
--2a~. q
Pn
ai Calcular a soma S = 1092a + 10922a + 10924a + ... + 1092 2ra
b) Qual o valor de a se S ~ n + I?
0.110 Uma seqüência é tal que:
I) os termos de ordem par são ordenadamente as potências de 2 cujo expoente é igual ao
índice do termo, isto é. a2n = 2 2n para todo n ~ 1.
11) os termos de ordem ímpar são ordenadamente as potências de -3 cujo expoente é
igual ao índice do termo, isto é, 82n-l = (_3)2n-l para todo n ~ 1.
Calcular o produto dos 55 termos iniciais dessa seqüência.
VII. SOMA DOS TERMOS DE P.G. FINITA
Demonstração
ai
x
a2
ai
ai • q
a3
ai • q2
31 • 82 • 33· . . . • 3 n
18. Sendo dada uma P.G., isto é, conhecendo-se os valores de ai e q, procuremos
uma fórmula para calcular a soma Sn dos n termos iniciais da seqüência.
T emas: Sn = ai + ai q + a,q 2 + ... + alq n-2 + alq n-'
Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:
(at • ai· ai· ...• atl (q • q2 •...• qn-I)
\
v
}
n fatores
Comparando os segundos membros deCDe0, podemos observar que a parcela ai só aparece emCD, a parcela alqn só aparece em0e todas as outras parcelas são comuns às duas igualdades, então, subtraindo, temos:
n (n-II
a~
• qi+2+ ... + n-I
= a~. q
2
0-CD
~
Sn • (q - 1)
Supondo q =1= 1, resulta:
isto é:
Este resultado sugere o seguinte teorema:
24-0
25-0
19.
Teorema
EXERCICIOS
A soma dos n termos iniciais de uma P.G. é
1 1 1
0.111 Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série 1 +"2 + "4 + 8" + .,.
0.112 Calcular a soma dos 20 termos iniciais da série 1 + 3 + 9 + 27 + ...
(q '" 1)
0.113 (MAPOFEI-76) Se a e q são númerOS reais não nulos. calcular a soma dos n primeiros
termos da P.G.: a. aq2. aq4. aq6 •....
Demonstração
Demonstra-se aplicando o princípio da indução finita:
20.
Corolário
0.114 (ITA-53) Partindo de um quadrado QI. cujo lado mede a metros. consideremos os
quadrados Q2. Q3. Q4 •...• Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos
médios dos lados do quadrado anterior. Calcular. então. a soma das áreas dos quadrados
QI. Q2. Q3..... Qn·
0.115 Quantos termos da P.G. (1. 3. 9. 27.... ) devem ser somados para que a soma dê 3 280.
A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é
n
L
0.116 Determinar n tal que
2 i = 4088.
i= 3
(q", 1)
0.117 A soma de seis elementos em P.G. de razão 2 é 1 197. Qual é o 1? termo da P.G.?
D. 118 Provar que em toda P.G. S~ + S~n = Sn • (S2n + S3n).
Demonstração
0.119 Determinar onze números em P.G. sabendo que a soma dos dez primeiros é 3069 e a
soma dos dez últimos é 6 138.
0.120 Uma P.G. finita tem n termos. Sendo S a soma dos termos, S' a soma de seus inversos e
P o produto dos elementos. provar que
21.
p2
=
S
S'
.
Exemplos
19) Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G. (1,3,9,27, ... )
5 10
atqlO-at
=
q - 1
'3 10 -159049-1
29
3- 1
2
=
524
29) Calcular a soma das potências de 5 com expoentes inteiros consecutivos
desde 52 até 5 26 .
'
Trata-se da P.G. (52, 53. 54, ... , 5 26 ).
Temos:
s=
anq - ai
q - 1
VIII. LIMITE DE UMA SEOUI:NCIA
22.
Consideremos a seqüência
1
1
1
(2' 4' 8' ....
2n .... ) e representemos seus 4
termos iniciais sobre a reta real
1
1
1
1
O
16
8
4
'2
I
I
I
I
•
Notemos que os termos da sequencia vão se aproximando de zero. isto é,
para n bastante "grande" o enézimo termo da seqüência
2~
estará tão próxi mo de
zero quanto quizermos. Assim, desejando que' a distância entre
1
2~
e O seja menor
.
que 1 000 • Impomos:
26-0
27-0
J..
<
2n
então:
1
1000
=?
2n
> 1000 =
n
>9
<
25.
12~ -O I
<€
€
> O, é
_ _
Exemplo Preliminar
Consideremos a P.G. infinita
1
1
1
(2' 4' 8' ...,
2 n ' ... ).
Formemos a seqüência (SI, S2' S3' ..., Sn, ... ) onde:
possível encontrar um nú-
> no
quando n
TERMOS OEP.G. INFINITA
1000).
Quer dizer que a partir do lO? termo, os termos da seqüência estarão próxi.
1
mos d e O,com aproxlmaçao menor que 1000 .
Em geral, sendo dada uma aproximação
mero natural no tal que
oqs
IX. SOMA
(pois 29 ~ 512
1
Dizemos, então, que o limite de 2 n ' quando n tende a infinito, é zero e
1
SI ~
2
S2
~
1
1
- +-
S3
~
3
~-
244
1
1
1
7
-+-+ -~­
2 488
.................................................................
anotamos:
1
-n
2
Iim
n~+oo
~
O
Sn ~
1
2
1
1
1
+ 4 + "8 + .., + 2n ~
2
n
-
1
2"" ~
1
1 - 2n
......................................
23.
Definição
Esta última seqüência converge para 1 pois:
Uma seqüência (ai, a2, a3' .,,' an , ... ) tem um limite Q se, dado € > O, é
possível obter um número natural no tal que I a n - Q I < € quando n > no- Neste
caso, indica-se Iim
a n ~ Q e diz-se que a seqüência converge para Q.
lim
n++oo
Sn
~
)
lim oo ( 1 - ...!-n
2
n++
) mais
(.!.2' .!..!.
4' 8' .. , ,
Exemplo Importante
J" ~ 1 - O ~ 1
1 - li m
n++ OO 2
Quer dizer, que, quanto maior o número de termos somados na P.G.
n+'+oo
24.
~
nos aproximamos de 1. Dizemos, então, que a soma dos infini-
tos termos dessa P.G. é 1.
Para nosso próximo assunto é importante saber que toda seqüência da forma
(1, q, q2, q3, "', qn, ... ), com. -1 < q < 1, converge para zero,
26.
Definição
Dada uma P.G. infinita (ai, a2, a3' ... , an, ... ), dizemos que ai + a2 +
000
~S
se, formada a seqüência (SI, S2' S3' ..., Sn, ... ) onde:
Assim, têm limite nulo as seqüências:
1
(1,
1
3' 9'
(1, -
1
1
1
1
27' ... , ("3)n, ... )
2' 4'
1
1
-a'
..., (-"2)
(1; 0,7; 0,49; 0,343; ... ; (O,7)n
28-0
~
~
~
ai
ai + a2
ai + a2 + a3
................
n
,
SI
S2
S3
........................
)
)
esta seqüência converge para S, isto é, I~~+oo Sn ~ S.
29-0
27.
1
TEOREMA
2l?) Calcular a soma dos termos da P.G. (2. -1.
Se (aI, a2. a3 ..... ano ... ) é uma P.G. com razão q tal que-l <q<l.então
1
2" e
Como q = -
1
2" <
-1 < -
1
2' - 4' ...).
a
1. decorre: S
224
= ~ = - - 1 = "3= 3'
q
1 +2
6
12
24
3l?1 Calcular S = 3 + 5 + 25 + 125 +
Demonstração
Vamos provar que o limite da seqüência (SI' S2. S3 •...• Sn •... ) das somas
. aI
parciais dos termos da P.G. e 1 - - '
- q
Temas:
2
Como as parcelas formam uma P.G. infinita com razão q
-1 <
~
< 1
5'
vem: S
=
2
- e
5
~=
1- q
aI - alqn
1- q
Sn- al
1 - q
Lembrando que aI e q são constantes. notamos que - -aI
1 é constante; 'em-
-q
brando que. para -1 < q < 1. temos lim
n++oo
lim
(Sn - ~)
n++ OO
1-q
- ~ • qn
n++oo
1-q
= fim
qn
=
EXERCíCIOS
O. Resulta. portanto. o seguinte:
0.121 Calcular a soma dos termos das seguintes seqüências:
= - ~ • lim
1-q
n++oo
qn
= _ aI
,--:q
• O=O
1
1
-3' -9' ... ):
~ 2.1....
).
a) (2, 5' 25' 125 .....
b) (-3. -1.
1
1
cl (5, -1'5' - 25' ... );
d) I-S'5'-5'iO'''')
4
2
1
1
isto é:
S
= "7+00
lim
0.122 Calcular a soma da série infinita:
Sn
1
3
2
5
1
9
2
1 n
+ .,. + (-3 )
25
+ 2 +- + - + - + -
28.
0.123 Qual é o número para o qual converge a série
Observações
la) Se aI = O. a condição -1 < q < 1 é desnecessária paraa convergência da
seqüência (SI, S2. S3 .... ). Neste caso. é óbvio que a P.G. é (O. O. O.... ) '-sua soma
é zero. qualquer que seja q.
2a ) Se aI =1= O e q < -1 ou q > 1. a seqüência (SI. S2. S3' ... ) não converge.
Neste caso. é impossível calcular a soma dos termos da P.G.
29.
Exemplos
0.124 Calcular S ~
3
'5 +
6
12
35 + 245 + ...
0.125 Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
b) 5.12121212 :
a) 0,417417417 ;
d) 9,3858585 ..
c) 0.17090909 ;
-o geratriz do número decimal periódico N
0.126 (MAPOFEI-75) Determinar a fraça
= 121,434343 ....
1
=
1
3" e
-1 <
1
3" <
1. decorre
1
3' 9'
1l?) Calcular a soma dos termos da P.G. (1
Como q
2a
a
a
a
7
3 + 9 + 54 + 324 + ....
S
1
27' ... 1.
'd
do em vez de somar os 1000 elementos iniciais, calcula-se
0.127 Qual o erro cometI o quan ,
.
a soma dos infinitos elementos da P.G. abaiXO?
.!.. .!....!...
(1. 3' 9' 27' ...
)
31-D
30-D
0.128 (FEI-1967) Mostre que existe a P.G.
·
CUJOS
•
.
.
_
tres primeiros termos sao
1
1
J2 . 2 e
J2
4e
determine o limite da soma dos n primeiros termos, quando n ~OO.
0.129 (FAUSP-67) A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 20 e a soma
dos termos de ordem par é 10. Obter o primeiro termo.
0.130 A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinitaoé 17 e a soma dos termos de
""3'
ord em par é 17
Calcular o primeIro
"
termo d a progressao.
0.131 (ENE-59) Numa P.G. a, =
2502
2(a2 + 1)2
e a4 =
com a
4(a 2 + 1)
5a
> O.
Pede-se:
a) estabelecer o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) calcular o limite da soma dos termos para q
=
a -
t.
0.132 (EPUSP-67) Divide-se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se
a pane central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se suas
partes centrais e assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos retirados.
0.133 (EPUSP-65) É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pOntos médios
dos seus lados, constrói-se um 2? triângulo. Com vértices nos pontos médios dos lados
do 2? constrói-se um 3? triângulo e assim pOr diante. Qual é o limite da soma dos
perímetros dos triângulos construídos?
0.134 (FAUUSP-67) É dada uma seqüência infinita de quadriláteros. cada um, a partir do
segundo, tendo pOr vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obter a soma das
áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro.
0.135 Num triângulo eqüilátero de lado a se inscreve uma circunferência de raio r.
Nesta circunferência, se inscreve um triângulo eqüilátero de lado a' e neste inscreve-se
uma circunferência de raio r'. Repete-se indefinidamente a operação de inscrição
Pede-se calcular:
ai o limite da soma
b) O limite da soma
c) o limite da soma
d) o limite da soma
dos
dos
das
das
lados dos triângulos;
raios das circunferências;
áreas dos triângulos;
áreas dos círculos.
0.136 Num quadrado de lado a inscreve-se um círculo; neste círculo se inscreve um novo quadrado e neste um novo círculo. Repetindo-se a operação indefinidamente, pede-se:
a)
b)
c)
d)
a
a
a
a
soma
soma
soma
soma
dos
dos
das
das
perímetros de todos os quadrados;
perímetros de todos os círculos;
áreas de todos os quadrados;
áreas de todos os círculos.
OS MAIORAIS EM ALGEBRA
Solicitado a relacionar os vinte maiores algebristas de todos os tempos, o
grande matemático francês André Veil, um dos componentes do grupo Bourbakl,
alinhou os seguintes nomes:
Fermat
Euler
Lagrange
Legendre
Gauss
Dirichlet
Kummer
Hermite
Eisenstein
Kronecker
Riemann
Dedekind
H. Weber
Hensel
Hilbert
Takagi
Hecke
Artin
Hasse
Chevalley
(1601 - 1665)
(1707 - 1783)
(1736 - 1813)
(1752 - 1833)
(1777 - 1855)
(1805 - 1859)
(1810 - 1893)
(1822 - 19011
(1823 - 1852)
(1823 - 1891)
(1823 -1891)
(1831 -1921)
(1842 - 1913)
(1861 -1941)
(1862 - 1943)
(1875 - 1960)
(1887 - 1947)
(1898 - 1962)
(1898 )
(1909 )
Esta lista é, no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma questão de elegância, Veil não se incluiu na relação, faltando com a verdade.
32-0
CAPÍTULO IV
MATRIZES
I. NOÇÃO DE MATRIZ
Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n
(indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m
linhas e n colunas.
30.
Exemplos
1)
2)
[3
5
O
~
4
-3
3
é matriz 2 X 3
V2
2
7
-1]
é matriz 3 X 2
4
3)
4)
5)
[O
U]
.9
-1
}J
é matriz 1 X 4
é matriz 3 X 1
G ~J
é matriz 2 X 2
35-0
31: Em uma matriz qualque r M, cada elemen to é indicad o por
a··.O índice i indic
a . a e o.1n
'd"Ice J a co Iuna as
' quais o elemen to pertenc
e. Com a IJconven ção de quea
as hnha~ s~Jam numer~das de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas
, da esquerd a
para adlrelta (de 1 ate n), uma matriz m x n é represen tada por:
I~nh
M
33.
clT matriz-quadrada de ordem n é toda matriz do tipo n x n, isto é,
matriz que tem igual número de linhas e colunas :
ou
...... ...... ...... ...... ..
...... ..... . ....... .
aml
M
am2
é uma
amn
all
a12
aln
a21
a22
a2n
amn
Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrad a de ordem
n o conjunt o
dos element os que têm os dois indices iguais, isto é:
Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrad a de ordem
n o conjunt o
dos element os que têm soma dos índices igual a n + 1, isto é:
Uma matriz M do tipo m X n também pode ser indicada por: M
= (a");
E { 1 '
, 2, 3, "', m} e J E {1, 2, 3, ..., n} ou simples mente M = (a") IJ
IJ m Xn
Exemplos
11. MATR IZES ESPECIAIS
19) A matriz M =
é quadrad a de ordem 3. Sua diagona l
Há matrize s que, por apresen tarem uma utilidad e maior nesta teoria,
recebem
um nome especial:
32.
principa l é {a, 4, 3} e sua diagona l secundá ria é {-7, 4, -1}
a) matri~ ~ lin?a é toda matriz do tipo 1 x n, isto é, é uma matriz
que tem
. uma unlca linha (exemp lo 3 da página 35).
b) matriz
, -. coluna é toda matriz do tipo m x 1' isto e' , e' um a ma t nz
. que tem
uma unlca coluna (exemp lo 4 da página 35).
29) A matriz M =
c) matriz - nula é toda matriz que tem todos os element os iguais
a zero.
é quadrad a de ordem 4. Sua
Exemplos
19)
2<:')
36-0
[00 0 00]
[000o]
é a matriz nula do tipo 2 X 3
é a matriz-n ula do tipo 2 X 2.
diagonal principal é {O, 5, -1, -6} e sua diagona l secundá ria é {3,
6, 9, -3}.
34.
e) matriz-diagonal é toda matriz quadr?d a em que os elemen tos
que não pertencem à diagona l principa l são iguais a zero.
37-0
-
Exemplos
1)
[~ -~ ]
4) [
35.
EXERCIi::IOS
O
O
O
O
]
2)
u
O
-2
O
O
31[:
-:l
O
O
[: 3 ~ ]
n
0.137 Indicar explicitamente os elementos da matriz A = (aij)3 X3 tal que aij = i - j.
Solução
Temos por definição:
O
5)
=1
=
a31 =
- 1
2 - 1
3 - 1
= O.
=
=
1.
2.
a12 =
a22
1- 2
=2
a13 = 1 - 3 = -2
a23 = 2 - 3 = -1
a33 = 3 - 3 = O
-1.
a32=3-2=1.
Assim, a matriz é
1.
0.138 Construir as seguintes matrizes:
Exemplos
A = (aij)3X3 tal que aij =
~]
=
= O.
- 2
O
f) matriz-unidade de ordem n (indica-se In) é toda matriz-diagonal em que os
elementos da diagonal principal são iguais a
I, - [ :
a 1l
a2l
1
O
13
+ :J
O
O
14
O
O
O
1
O
O
O
O
1
O
O
O
I. se i + j = 4
B
= (bij)3X3 tal que bij =
O
1
1.sei=j
. ..J- •
{ O. se J -r- J
{ O. se
.'
I + J
..J-
-r-
4
0.139 Determinar x e y de modo que se tenha [2 X
3
3:]
[ x : 1
y
~ 4]
Solução
Temos, por definição, que satisfazer o sistema:
111. IGUALDADE
36.
2X = x + 1
3y = 2y
e. então. x = 1 e
{ 4 = y +4
Definição
Duas matrizes
A=(aij)m x n e B=(bij)m x n são iguais quando aij =bjj para
0.140 Determinar x. y. z e
todo i {i E {1. 2, 3..... m}) e todo j (j E {1. 2, 3, .... n}). Isto significa que para serem
iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos
correspondentes (elementos com índices iguais) iguais.
Exemplos
38-D
= O
de modo que se tenha
x
5t
:]
IV. ADiÇÃO
1)[17 -4
-3]=[17 - 4
-3]
2)[;
2x
5
t
y
~:]*[-3
37.
Definição
Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)mx n. chama-se soma A + 8 a
matriz C = (Cij)mxn tal que Cij ~ aij + bjj. para todo i e todo j. Isto sig~ifica que a
soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipO em que
cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.
39-0
38.
(4)
Exemplos
:] [-:
:]
2
1?l [ :
+
5
[~
2?)
O
-: ]
[ 1+4
4- 4
2- 1
5+0
=
aij + aij
3+1]
=
O == aij
M
=
O, resulta:
= - aij
\f i, \f j
isto é, a simétrica da matriz A para a adição é a matriz A' de mesmo tipo que
A, na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A.
6-6
1
40.
5
:]
[:
-1
impondo A + A'
+
[~ :]
= [7+0
9+2
8+1]
9+3
Definição
Dada a matriz A = (aij)m x n, chama-se oposta de A (indica-se -Al a matriz A'
[1:
1:]
tal que A
+ A'
= O.
Exemplos
3?)
[,;j
+
[:J [ 5+'1 [J1
11 - 2
1?) A =
~+3
4
39.
:]
8
Teorema
2?) A
=
[
9
-Y'2
O
=-A =
r ;2
v
<
-8 .-7]
O
-1
L
A adição de matrizes do tipo m x n goza das seguintes propriedades:
(1)
é associativa: (A + B) + C = A + ( B + C) quaisquer que sejam A, B e C
do tipo m X n.
(2)
é comutativa: A + B = B + A quaisquer que sejam A e B, do tipo m X n.
(3)
tem elemento neutro: 3 MIA + M = A qualquer que seja A do tipo m X n.
todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m X n: 3 A' IA + A'= M.
(4)
Dadas duas matrizes A
9
8
Xij = (ajj + bjj) + cij = ajj + (bij + Cij) = Vij
4
7
Xij = aij
+
i.
+ B = X e B + A = Y, temos:
Fazendo A
=
(aij)mX n e B
=
(bij)m x n, chama·se diferença A - B
a matriz soma de A com a oposta de B.
Fazendo (A + B) + C = X e A + (B + C) = Y, temos:
para todo i e todo
(2)
Definição
Exemplo
Demonstração
(1)
41.
bij = bij
+
aij = Vij
~ ] [~~
~] [-~
9
8
4
7
+
1
8
-~]
O
-1
-7
-8
-~]
[ 11
-5
9
7
-3
-1
~]
EXERCICIOS
(3)
Impondo A
aij
+
+M
mij = aij
=
==
A, resulta:
mij = O
== M = O
U141 Dadas A = [ :
:]eB=[:
-:],caIcUlarA+BeA-B
isto é, o elemento neutro é a matriz nula do tipo m x n.
40-0
41-0
0.142 Dadas A = [
13
9
1:]
4
117] ' B = [ 82
5
10
[~. -~
eC=
0.14s"Resolver a equação matricial X - A - B = C, sendo dadas:
-:]
calcular A + B + C, A - B + C, A - B - C e -A + B _ C.
o. 143 Calcular
a soma C = (Cij)3 X3 das matrizes A = (aij) 3 X3 e B = (bij) 3X3 tais que
aij = i2 + j2 e bij = 2ij.
o. 144 Seja
0.149 Obter X tal que
7
C = (Cij)2 X 3 a soma das matrizes A =
10
Calcular a soma C21 + C22 + c23'
0.145 Determinar,
Ci,
V. PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ
(1, 'Y e li de modo que se tenha:
[~:]+[~ -~]=[~~]
42.
Dado um número k e uma matriz A = (aij)m X n chama-se produto kA a matriz B = (bij)m X n tal que bíj = k aij para todo i e todo j. Isto significa que multiplicar uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por k.
0.146 Determinar x e y de modo que se tenha:
3 3X] [-V X2] [-1 1] [5 1]
Y
[ 2 4x + 2y x2 + 2 2 =
Y
10
Definição
-1
0.147 Dadas as matrizes:
A=
[1 :],
2"
B=
[O
5] eC=
7
6
43.
[-1 7]
Exemplos
5-2
19)
determinar a matriz X tal que X + A = B - C
[~
3 .
Solução 1
29)
Fazendo X =
[,:
I
2
=[X
-~]
7
-1
21
=
[1:
2
6
12
-3
-: ]
1
-: ]
3
[:
6
-:]
+1
z +2
44.
=
(x + 1 = 1, y + 2 = -2, z + 2 = 2 e t + 3 = 81
=
(x
O, y = -4, z
=
O e t = 5),
então X =
[00
-54]
o produto de um número por uma matriz goza das seguintes propriedades:
(1) a
(b· A)
=
(ab) • A
Solução 2
(2) a
(A + B)
=
a • A + a
B
Utilizando as propriedades da adição, temos:
(3) (a + b) • A = a • A + b
A
X+A=B-C=X+A-A=B-C-A=X=B-C-A
(4) 1 • A = A
então:
42-0
=
Teorema
=
X=
[O7
5] _ [ -1
6
5
7] _ [ 1
-2
2
2] =
3
[OO
-4]
5
onde A e B são matrizes quaisquer do tipo m x n e a e b são números reais quaisquer.
Deixamos a demonstração deste teorema como exercício para o leitor.
43-0
EXERCICIOS
VI. PRODUTO DE MATRIZES
1
1
0.150 Calcular as matrizes 2A. '38. e 2" (A + 8). sendo dadas
45.
Definição
Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p. chama-se produto AB a
matriz C = (Cik}m x p tal que
n
Cik
=
ail • blk + ai2 • b 2k + aj3 • b 3k + ... + ain
determinar X em cada uma das equações abaixo:
a) 2X
b) X
+A
+A
=
38
=
.!2
+C
c) 3X
X
- A - 8) =
.!.3 (X
- C)
Observações
o sistema:
+ Y
l~) A definição dada garante a ex istência do produto AB somente se o número
de colunas de A for igual ao número de linhas de B, pois A é do tipo m x n e B é do
tipo n x p.
= 3A
{ X - Y = 28
Solução
2~) A definição dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B. pois C = AB é do tipo m x p.
Somando membro a membro as duas equações, resulta:
X + Y + X - Y = 3A + 28
=
2X = 3A + 28
=
X =
.!. (3A
2
+ 28)
Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta:
X
L
j = 1
46.
o. 152 Resolver
=
para todo i E {l. 2..... m} e todo k E {l, 2•...• p}
+A = 8 - X
.!.2 IX
d)
(8 - C)
bnk
+Y - X +Y
=
3A - 28
=
2Y
=
3A - 28
=
Y = }
3~) Ainda pela definição. um elemento cik da matriz AB deve ser obtido pelo
procedimento seguinte:
(3A _ 28)
(I) toma-se a linha
Temos:
1~] [~ 1~]) ~
~n =[: ;]
1~] [~ 1~]) =1[_: -:n=[-~ -:]
+
=
[:
da matriz A.
(n elementos)
(11) toma-se a coluna k da matriz B:
0.153 Determinar as matrizes X e Y que satisfazem o sistema
X+Y=A
.{
X - Y = 8
sendo dadas A = [1
0.154 Obter X e Y a partir do sistema:
4
7] e
8 = [2
5].
(n elementos)
2X + 3Y = A + 8
{
44-0
3X + 4Y = A - 8
45-0
(111) coloca-se a Iinha i de A na "vertical" ao lado da coluna k de S
(conforme esquema)
1X7)
(
2 X 8
3 X 9
b 1k
4X7)
(
b2 k
b3k
ai3
(7 + 16 + 27) ]
[ (28 + 40 + 54)
5 X 8
6 X 9
2~) Dadas A
(I V) calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado
(conforme esquema)
X
[:
b1k
C
X b 3k
C12 ] = [(1~
= [Cll
Cu
(2~
Cn
C
(V) somam-se esses n produtos, obtendo Cik.
Exemplos
A
= [
4
3
5
6
e
B
c
[
;l.
9;
"'00'" AB
Sendo A do tipo 2 X 3 e S do tipo 3 Xl, decorre.que existe AS e é do tipo
2 X 1. Fazendo AS = C, devemos calcular Cu e C21:
C=
Cll] =
[ C21
46-0
[
:],
calcular AS.
(1~
L. de A X
1~
(2~
L. de A X 1~ C. de S)
L. de A X
1~
C. de S)
[ 5 ' 14
C 6)
15 + 28
X
4 X 8
X 5)
4 X 7
L. de A X
2~
C. de S) ]
=
L. de A X 1~ C. de S) (2~ L. de A X 2a C. de S)
X
2 X 8
e
(1~
6' 16]
18 + 32
[19
43
22]
50
0.155 Calcular os seguintes produtos:
•• -< ..
~l .
2
[~
=
EXERCICIOS
\
l?l Dadas
e S
C 6)
X 5)
2 X 7
47.
:]
Sendo A do tipo 2 X 2 e S do tipo 2 X 2, decorre que existe AS e é do tipo
2 X 2. Fazendo AS = C, temos:
X b2 k
8;3
=
a)
[~ ~]
[:
: ]
[:
c) [1
5
2]
-1
4
7
-3
-: ]
O
C. de S)]
., [::] [: -: :J
47-0
0.156 Sendo A
0.159 Calcular os seguintes produtos:
[~
=
;],
calcular A2, A3, A4 e A
n
In E I>J e n;;;>1)
Solução
A2
=
A3
A4
AA
A2A
=
[~
=
; ]
[
~
[~ ~] [~
=
[~ ~] [~
A3A =
[~ ~]
;] =
;] =
[~ ~]
0.160 Resolver a equação matricial:
[~ ~]
; ]
Observamos que em cada multiplicação por A os elementos a 11. a21, e 822 não se alteram
e o elemento 812 sofre acréscimo de 1. Provaríamos por indução finita sobre n que:
Solução
A equação dada equivale a:
0.157 Calcular AB, BA, A2 e B2, sabendo que
então
3a - 2b
a + 2b
=
3c - 2d
=
-5
c + 2d =
9
57}
=
a
=
3
e
b = 2
e
d = 4
=
e a resposta é
0.158 Calcular o produto ABC, sendo dadas:
2
}
=c=
[~ ~
]
;] e C =
0.161 Resolver as seguintes equações:
x
Solução
AB
=
[~ ~J [:
[:
=
[:
x 1
2X3
2X2
------ .. -'._.
2
5Xl
I
,
,
,
,
1
a)
'
5Xl
:
,I
7
5Xl
7
,:1 [:
~]
48.
7 X 3
7 X
5 X 1
5 X
3 X 2
3 X -1
O
_________ L ________
8 X 3
7 X 1
,
,,
8 X
7 x
:10
["
51
O
I·
1
~]
[: :] [-: :]
+:,:] [: ,:] [; ,:]
-------~------_._-
1~]
5
10 x 2
48-0
x
2X1
lX3,lx25x1
5
IABIC
1
J
-2
Teorema
Se A
= (aij)mxn, então
Al n
A e ImA
A.
Al n
(bij)mxn.
Demonstração
I)
Sendo In = (o ij) nx n e B
Temos:
x -1
49-0
bjj = ailOlj
= ail •
+ aí202j + ai303j + ... + ajiOjj + ... + ainOnj =
o + ai2 • o +
aj3 •
o+
0'0
(2)
Fazendo D = (A
n
dik = I (ali
i= 1
para todos i e j, então A .I n = A.
11)
49.
+
B) C = (dik )mxp, temos
+ aji • 1 + ... + ain • O = aii
Analogamente
n
+ bij) • Cjk =
n
= I aij • Cjk
j= 1
Teorema
(A
I
j= 1
(aij • Cik
+ bij • Cik)
n
+
I
i= 1
bjj • Cjk então,
+ B) C = AC + BC
A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes:
(1) é associativa: (AB)C = A(BC)
(3)
Análoga a (2)
(4)
Fazendo C= kA= (cij)mxn, D = kB = (djk)nxp e E = AB = (eik)mXp,
temos:
n
n
n
Cij • bik = I (k • aij) • bjk
k
I aij • bik
I
j= 1
j= 1
i= 1
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bjk)nxp e C = (CkQ)pxr
(2) é distributiva
à
direita em relação
à
adição: (A
+ B)C = AC + BC
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e C = (Cjk)nxp
(3) é distributiva
à
esquerda: C(A + B) = CA + CB
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)mxn, B = (bij)mx n e C = (Ckí)pxm
n
n
aii • dik = I aij • (k • b jk ) = k I aii • bjk
I
j=l
i= 1
i= 1
n
(4) (kA)B = A(kB) = k(AB)
quaisquer que sejam o número k e as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p
então, (kA)B = A(kB) = k(AB)
Demonstração
50.
(1)
Fazendo
D = AB
(dik)m xp,
= (fjQ)nxr,
temos:
Observações
E = (AB) C = (ejQ)m x r e F = BC =
1~)
É muito importante notar que a multiplicação de matrizes não é
comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e B é falso que AB = BA
necessariamente.
Exemplos
1~) Há casos em que existe AB e não existe BA. Isto ocorre quando A
é
m x n, B é n x p em*' p:
e
A
~
mXn
n
= I
B
(AB) C = A (BC)
3 AB
=
jBA
nXp
A
e
~
então,
=
~
ajj • fjQ
j= 1
B
~
nXp
~
mXn
~
50-0
51-0
2<;» Há casos em que existem AB e BA, porém são matrizes de tipos diferentes
e, portanto, AB i= BA. Isto ocorre quando A é m x n, B é n x me m i= n:
e
A
B
~
~
=
3
mXm
n Xm
m X n
AB
~
3~) É importante observar também que a implicação:
AB = O ==> A = O ou B = O
não é válida para matrizes, isto é, é possível encontrar duas matrizes não nulas
cujo produto é a matriz nula.
~
e
B
Exemplo
A
~
~
=
BA
~
n X n
m X n.
n X m
3
~
EXERCfclOS
39) Mesmo nos casos em que AB e BA são do mesmo tipo (o que ocorre
-lJ
0.162 Sendo A =
quando A e B são quadradas e de mesma ordem), temos quase sempre
AB i= BA. Assim, por exemplo:
~il
B =
0.163
2
C
~rminar x
=
' qual das matrizes abaixo comuta com A?
[~AX ~ J
D =
[~ ~ J
E = [:
~]
e y de modo que as matrizes
~].
~ J comutem.
B = [:
BA
0.164 Obter todas as matrizes B que comutam Com A =
2~)
Quando A e B são tais que AB = BA, dizemos que A e B comutam.
Notemos que uma condição necessária para A e B comutarem é que ,sejam
quadradas e de mesma ordem.
1<;» [:
2<;» [:
3<;» [:
52-0
:]
:]
Solução
Notemos inicialmente Que uma condição necessária para que A e B sejam comutáveis
é que A e B sejam quadradas e de mesma ordem. Assim, fazendo
B=[:
Exemplos
comuta com
comuta com
: ] comuta com
[:
~]
:]
[-: -:]
[:
[3' -01 J.
:].tenns:
a - c
[
b - dJ
3a
[:
= [
3b
De
CD e 0
vem c = -3b
De
@e@
vem d = a + b
Resposta:
B _ [
a
-3b
-~][:
a + 3b
c + 3d
-a
-c
J
:]=[: :][:
-~J
isto é
e então:
a : bJ com a, b E IR:
53-0
2'! possibilidade: b
0.165 Calcular, em cada caso, as matrizes que oomutam com A.
a)
A =
[~ ~]
bl A
= [
~
*' O
o ""
]
CD
a + d = O ==<> d = -a
e @ bc = _a 2 ==<> c =
Resposta:
0.166 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então vale a igualdade:
(A + B) IA - BI = A2 - B2
X = [:
Solução
Lembrando que AB = BA ~ BA - AB = O, temos:
(A + B) (A - B) = A IA - B) + B (A - B) = A2 - AB + BA - B2
= A 2 + IBA _ AB) _ B2 = A2 + O - B2 = A2 - B2
~
] com c E IR
ou
X = [_ ::
_:]
com a, b, c E IR
0.170 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X
0.171 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X
2
2
= 12 .
= X.
0.167 Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então valem as seguintes igualdades:
a)
bl
cl
d)
el
(A + BI 2 = A2
(A - B)2 = A2
(A + B)3 = A 3
IA - BI 3 = A3
(AB)n = AnB n
0.168 Sendo A = [ :
+ 2AB + B2
- 2AB + B2
+ 3A 2 B + 3AB 2 + B3
- 3A 2 B + 3AB 2 - B3
VII. MATRIZ TRANSPOSTA
51.
~]
e B=[
~
-8 ] ' calcular:
Dada uma matriz A = (ajj)mxn, chama·se transposta de A a matriz
A t = (a'ji)nxm tal que ai; = aij' para todo i e todo j. Isto significa que, por
exemplo. ail, alI' aíl, "', a~l' são respectivamente iguqis a all, a12, a13, ... , al n ;
vale dizer que a 1~ coluna de A t é igual à 1~ linha de A. Repetindo o raciocínio,
chegarramos à conclusão de que as colunas de A t são ordenada~ente iguais às
linhas de A.
-1
2
cl A2 - 212A + 12
ai (A + B)2
bl IA + B) IA - B)
d) A 3 - I~
2
0.169 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X = O.
Solução
Fazendo X = [ :
a2 + bc
b
[
J,
resulta:
ab + bd] = [O
cb + d 2
O
[ ca + dc
a 2 + bc
:
= O
la + d)
= O
Definição
[: :] [: :]= [~ ~]
00] então
CD
52.
Exemplos
1?) A
= [:
2?1 A
= [:
:] ==
b
0
e
A
t
;J==
A
t
c la + di = O 0)
bc + d 2
=
O
[:
@
CD
"" a 22 = O ==<> a = O} == a + d = 0==<>0) é satisfeita 'V c E
í.\
=O==<>d=O
n
1
1~ possibilidade: b = O
~""d
:]
[:
3?1 A
IR
=[
1
3
5
7] ==<>
A
t
3
5
7
55-D
54-D
53.
Teorema
(3) 2. A = [2a
2c
A matriz transposta goza das seguintes propriedades:
(1)
(At)t = A para toda matriz A = (aij)mXn
(2)
(3)
Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então (A + B)t = A t + Bt
Se A = (aij)mxn e k E IR, então (kA)t = k At
(4)
Se A = (a .. )
2b
2d
2 [ :
(4)
e B = (b. )
, então (AB)t = BtA t
IJ mxn
I k nxp
:
J==
J
AB = [ae + bg
ce + dg
= 2A
(2A)t = [2a
2b
t
af + bh
cf + dh
J==
ae + bg
(AB)t
[ af + bh
ce + dg
cf +dh
J
=
Demonstração
(1)
Fazenda (At)t = (aijlmxn. resulta:
ai; = ali = aij para todos i, i.
(2)
55.
Fazendo A + B = C = (Cij)mxn e (A + B)t = Ct = (cpnxm, temos:
Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que
At = A.
Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz simétrica, temos:
cli = Cij = aij + bij = ali + bli para todos i, j.
(3)
Definição
Fazendo (kA)t = (aIO nxm , resulta:
aíi = kaij = kali para todos i, j.
(4)
n
Cki
= cik
=L
j~
54.
aij = aii;
Fazendo AB = C = (Cik)mxp e (AB)t = Ct
n
L
aij bjk
1
j~
(cÍ<.i)pxm, resulta:
1
L bÍ<j
j~
Exemplo
ajj
1
São simétricas as matrizes:
Aplicação
Verificar diretamente a validade do teorema anterior com
A=[:
(1)
(2)
:].B=[:
A~[: :]==
A+B=[a+e
c+g
:Je
b+f
d+h
J ==
a
b
c
d
b
e
f
9
c
f
h
d
9
k=2
56.
t
A =[:
i, \;f j E {1, 2, 3, "', n}
isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal
são iguais.
n
bjk aij =
\;f
:]
(A
==
+ B)t
(At)t=[:
=
a+e
[ b+f
: ]
gJ
c+
d+h
= A
Definição
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n. tal que
A t = -A.
=
Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz anti-simétrica, temos:
\;f i, \;f j
E {1, 2, 3, .... n}
Isto é, os elementos sirTÍétricamente dispostos em relação à diagonal principal
são opostos.
56-0
57-0
Exemplo
58.
Teorema
São anti-simétricas as matrizes:
Se A é inversível, então é única a matriz B tal que AB
~Jt
[-~
a
O
-c
n-
BA
a
b
c
-a
O
d
e
Demonstração
-b
-d
O
f
Admitamos que exista uma matriz C tal que AC = CA
-c
-e
O
-f
O
In'
In. Temos:
C = InC = (BA) C = B (AC) = Bl n = B.
EXERCICIOS
59.
0.172 Determinar, em cada caso, a matriz X:
Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A -I (que
é única) tal que AA- I = A-IA = In.
a) X = [
c)
2X =
1
-1
[~
2
b) X + [ :
7
d) 3X
3
t
=
[~
~J=[~ ~T
~J-[~ ~J
0.173 Determinar x, y, z para Que a matriz
x
7
_:] seja simétrica.
z
-3
0.174 Determinar x, y e z de modo Que a matriz
A {
,:
':,]
.'''0''.'0,"'0
0.175 Provar que se A e B são matrizes simétricas de ordem n, então A + B também é simétrica.
Definição
É evidente que A-I deve ser também quadrada de ordem n, pois A-I comuta
com A.
Exemplos
r
19) A matriz A = ~
Seja A urna matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível
se existir uma matriz B tal que AB = BA = In- Se A não é inversível, dizemos que
A é uma matriz singular.
58-0
-3 ]
1
AA-I=[~ ~J[-: -~J=[~ ~J=12
A-IA
AÁ'
-~J [~ ~J=[~ ~J=12
[_:
29) A matriz A =
VIII. MATRIZES INVERSfVEIS
Definição
7
[ -2
pois:
pois:
57.
inversíve I e A-I =
[
1O 23 7]_
[1 312 -19]
1 e inversível e A-I = O
-1
O
5
2
O
-5
3
lU: n~ "
': ~~;] [~ : J[~ : :l"
U: :] U:::;
59-0
e então:
39) Qual é a inversa da matriz
a + 2c ; 1, 4a + 8c ; O, b + 2d ; Q e 4b + 8d ; 1
A; [ :
\
Fazendo A-I; [ :
:
J,
=> [3a + 5b
temos:
imposs(vel
59) Qual é a inversa da
1
Q
~trl, A~ [ :
b
',,"odo
Pela definição de igualdade de matrizes, temos:
A-'-[:
e
h
3a + 5b ; 1
{
7a +
11b;
11
2
Q
e
b;
3C + 5d ; Q
e
a + 2b + 4c
d
+ 2e + 4f
=>
[ 9 + 2h + 4i
{ 7c + lld ; 1
AA-,
';
;
J "m~
decorre:
~ Jé singular (não é inversível) pois se A
[: :] [:
a + 2c
[ 4a + 8c
b
-I; [
:];[~ ~]=
+ 2d]
4b + 8d ;
:J,~".
9
d + 3e + 9f
a + 3b + 9c
a + b
d + e
9 + .3h + 9i
9 + h
Devemos ter: {a + 2b + 4c ; 1
a + 3b + 9c ; Q
a+b+c;Q
Mmbém
t ':]l- '~ _:}[: :li,
49) A matriz [ :
60-0
pol,
:}
3
[: ::][: :;}[: ::J-
7
2
e
'"0 é, A' ~ [ -
J
y
portanto, não existem a, b, c, d satisfazendo a definição.
7a + 11 b
7c+lld
3c + 5d
\
imposs(vel
:] [: 1~];[~ ~]=
J;[ ~J
A-IA; 12 => [ :
J
y
:
:]
>
:J[: : :1
a ; -3, b ; 4, c ; -1
d + 2e + 4f ; Q
d + 3e + 9f ; 1
{
d+e+f;Q
=d
g + 2h + 4i ; Q
9 + 3h + 9i ; Q
{ g+h+i;l
= 9 ; 3, h
1, e
3
- 2,f; 1
2
5
2'
1
2
portanto vem·
[1 ~]
Q
61-0
60.
Solução 2
Observação
Notando que se A é matriz inverslvel, então AX
Do exposto observamos que, para determinar a inversa de uma matriz
quadrada de ordem n, temos de obter n2 incógnitas, resolvendo n sistemas de
n equações a n incógnitas cada U1;n. Isto não é nada prático. No final do capítulo
sobre determinantes expomos um outro método para obter a inversa de uma
matriz.
Uma aplicação prática da inversa de uma matriz é exposta no início do
capítulo sobre sistemas lineares.
EXERCíCIOS
X
=
A -I B
=
B =o> X
A -I B, temos:
r 3 -4 J r-I J r 1J
=
-2
3
-1
-1
0.179 Resolver as equações matriciais abaixo:
0.180 Resolver as equações matriciais abaixo:
0.176 Determinar a inversa de cada matriz abaixo:
0.177 Determinar a inversa de cada matriz abaixo:
0.181 Expressar X em função de A, B e C, sabendo que A, B e C são matrizes quadradas
de ordem n inverslveis e AXB = C
Solução
Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade AXB = C por A-I:
A-I AXB
0.178 Resolver a equação matricial:
=
A-IC =o> InXB
=
A-IC =o> XB
=
A-IC
Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade XB
=
I
A-IC por B- ,
XBB- I = A-ICB- I =o>Xl n = A-ICB- I =o> X = A-ICB- I
Temos, portanto: X = A-I CB -I
Solução 1
Fazendo
C
: ]
=
A e[
~: J
=
B, vemos que a equação dada é AX
=
B.
3 AX, A é 2 X 2 e X é m X n ==> m
AX = B
e
B é 2 x 1
n = 1
=
=
bl AXB = In
cl (AXI- I = B
2
r~ :1r: 1c: 1 [~: 1l~: 1 e:
=
62-0
1 e b
di BAX = A
el (AX)t = B
t
f) (A + Xl = B
0.183 Determinar X tal que:
Fazendo X = [ : ] ' vem:
e, então, a
0.182 Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n, isolar X a partir de cada equação abaixo:
ai AX = B
Temos:
I
=o>
: ::
-I, portanto, X = [ _:
=
=o>
+ 4b
=
-1
+ 3b
=
-1
J
63-0
0.184 Provar que se A e B são matrizes inverslveis de ordem n, então (ABI-
I
=
I
B- A~I
Solução
Para provarmos que C ~ B-I A -I é a matriz inversa de AB, basta mostrar que
C (AB) = (AB) C ~ In. De fato:
= (B-IA-Il (AB) = B-I(A-IA)B ~ B-IlnB = B-IB = In
(AB) C ~ (AB) (B- I A-I) = A (BB- I ) A -I = AlnA -I ~ AA -I = In
C(AB)
0.185 Provar que se A, B e C são matrizes inverslveis de ordem n, então (ABC) -I = C-I B-I A-I.
0.186 Verificar diretamente que se A é uma matriz inverslvel de ordem 2, então (At) -I = (A -I)t.
64-0
Ingleses ofendidos por alemão
CAPÍTULO V
Carl Gustav Jacob Jacobi nasceu na Alemanha. Seu pai era um próspero
banqueiro, nunca tendo lhe faltado nada. Obteve boa instrução na Universidade
de Berlim, concentrando-se em Filosofia e Matemática à qual acabou por dedicar-se
inteiramente. Era professor nato e gostava de transmitir suas idéias.
Na mesma época que Gauss e Abel, Jacobi desenvolveu a teoria sobre as
funções elíticas. Tendo conhecimento de que Abel havia entregue a Cauchy alguns
artigos sobre o assunto, Jacobi escreveu ao mestre francês perguntando por eles,
na esperança de obter informações que confirmassem sua descoberta. Cauchy,
entretanto, tinha perdido os escritos de Abel.
Seu tratado clássico "Fundamentos da Nova Teoria das Funções EI/ticas"
apareceu em 1829, ano da morte de Abel, e mereceu elogios até de Legendre.
Em 1834 provou que se uma função unívoca de uma variável é duplamente
periódica, a razão entre os períodos não pode ser real e é impossível que ela tenha
mais de dois períodos distintos. A ele também devemos o estudo das "funções
theta de Jacobi", funções inteiras das quais as el íticas são quocientes.
Até essa época, a teoria dos determinantes aparecia nos trabalhos de alguns
matemáticos como Leibniz, Cramer e Lagrange, mas com idéias esporádicas. O
desenvolvimento contínuo dessa teoria teve lugar somente no século XIX e
seu principal colaborador foi Jacobi, além de' Cauchy, construindo algoritmos, dando regras práticas com grande preocupação pelas notações de determinantes e em 1829 usou pela primeira vez os "jacobianos", determinantes especiais análogos para funções de várias variáveis, do quociente diferencial de uma função
de uma variável. Através deles conseguiu
provar o teorema dos quatro quadrados de
Fermat-Lagrange e também com a utilização dos jacobianos conseguiu saber quando uma coleção de funções é independente.
Os artigos de Jacobi, bem como os
de Abel e Dirichlet apareceram freqüentemente no Journal de Crelle.
Em 1842, quando Jacobi visitou
Paris, perguntaram-lhe quem era o maior
matemático inglês vivo e ele, impressionado
com tantas descobertas francesas importantes, respondeu: "Não há nenhum", o que
foi considerado muito deselegante e cruel
Carl G. J. Jacobi
de sua parte.
(1804-1851)
DETERMINANTES
I. INTRODUÇÃO
.
.
ados do século XVII
A teoria dos determinantes teve origem em me
_ '
quando eram estudados processos para resolução d: sistemas lineare: de equaçoes.
Hoje em dia, embora não sejam um instrumento pratico para resoluçao de slstem:s,
os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressoes
matemáticas complicadas.
11. DEFINiÇÃO DE DETERMINANTE (n
<
3)
Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais.
Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determmante da matnz
M (e indicamos por det M) o número que podemos obter operando com os
elementos de M da seguinte forma:
61.
1<:') Se M é de ordem n
M = [all)
=
=
-o det M é o único elemento de M.
1, enta
detM = aI!
Exemplo
NI = (6)
=
det M = 6.
Podemos também indicar o determinante de M pelo símbolo lalll, isto é,
colocando uma barra vertical de cada lado de M.
62. 2?1 Se M é de ordem n = 2, o produto dos elemen.tos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
67-0
Exemplos
3
-1
2
4
63.
I
= 3 • 2 - 4( -1) = 10
cos x
sen x
sen y
cos y
I
=
cos x • cos y - sen x • sen y
=;
cos (x + y)
Uma outra forma de memorizar
a definição, é a indicada ao lado:
3<?) Se M é de ordem n = 3, isto é,
13
aa23 ] ,definimos:
Os termos precedidos pelo sinal
são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as trajetórias indicadas.
G
a 33
al1 • a 22 • a33 + a 12 • a23' a31 + a 13 • a 21 • a32 - a13 • a22' a31 - al1 • a 23 • a 32 - a12 • a21 • a33
det M
Podemos memorizar esta definição da seguinte forma:
a) Repetimos ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.
Os termos precedidos pelo sinal
são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as trajetórias indicadas.
G
G
b) Os termos precedidos pelo sinal
são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal:
EXERCICIOS
0.187 Calcular os determinante.,
G
c) Os termos precedidos pelo sinal
são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária:
aI
-3
2
-a I3 • a22' a31; -ali' a23' a32; -a12' a21 • a33'
-1
b)
1
13
7
11
5
2
2
0.188 Calcular os determinantes:
a)
I
sen x
seny
I bll
-cas x
oos y
-cosx
sen x
cos x
c) /2 • sen x
1 - 2 • cas x
senx
3· cos x
3'senx+2
0.189 Cairo lar os determinantes:
aI
Este dispositivo prático é conhecido como ref(a de Sarrus para o cálculo
de determinantes de ordem 3.
I
;
Exemplo
&8-0
1
3
4
5
2
-3
1
4
2
109 a
109 b
1
1
2
4
b)
m
0.190 Determinar x tal que:
4 - 9 + 80 - 8 + 12 - 30
= 49
3x + 2
x
= O
1
b)
I 2x
4x + 5
x - 2
3x - 1
I
= 11
69-0
l~3-'J
l' 3'J
l' 3'J
0.191 CalaJlar os determinantes pela regra de Sarrus:
O
ai
O
3
O
bl
-1
O
2
5
O
-3
2
-2
cl
7
2
1
-3
5
4
2
-1
O
I
Temos:
a)
11
7
-2
5
O
13
3
b)
a
c
-c
O
b
a
b
O
6
2
c)
m
n
2
3
5
4
~-1-5
0.193 Determinar x tal que
x
ai
2
2x
3
x+1
x
x
~
O bl
-1
x
~
O
cl
-2
-x
x
2
x
-4
-3
-x
~
O
3
3
2
~
1
5
2
O
3x
x
-1
x + 1
2x
29) Seja M
~I
3x
2x
4
-x
então D l1
;
I
5
3
2
3
4
3
2
3
4
\; -13
então D21
;
I
então D31
;
I1
5
I;
I;
-6
11
0-3-2
0.194 Determinar x tal que
x-I
5
332
0.192 Calcular os determinantes pela regra de Sarrus:
9
1
;
Temos:
[: :1
e calculemos D 12 • D22 .
l5-~]
7
8 então D
;171
7
D22 ;151
5.
12
I
'W
~ ~}ntão
111. MENOR COMPLEMENTAR E COMPLEMENTO ALGEBRICO
5
-7- 8
1
64.
Definição
Consideremos uma matriz M de ordem n ;;. 2; seja aij um elemento de M.
Definimos menor complementar do elemento ajj. e indicamos por D jj • como
sendo o determinante da matriz que se obtém. suprimindo a linha i e coluna j de M.
65.
66.
Definição
Consideremos uma matriz de ordem n ;;. 2; seja aii um elemento de M.
Defini.mos complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij). e indicamos
por Ajj' como sendo o número (-11 i+j . D jj .
Exemplos
Exemplo
e calculemos D ll , D21 • D 31 .
70-0
71-0
f
Temos:
3--'J
lCP1
7
IV
4
8
5
3
67.
então A I1 = (_1)1+1
I 45
l'~-'J
l'-31J
então A I3 = (_1)1+31
i
8
7
5
3
1
4
~
7
5
3
3
1= -28
1?)
b
= a • A 11 + c • A 21 = a • (-1) 2. Id I + c • (- 1)3 • I b I = a d - bc
d
que coincide oom a definição particular dada em 11.
então A 12 = (_1)1+21
1
8
Exemplos
2?)
8
7
3
1= 53
b
c
e
f
= a •
A I1 + d • A 21 + g • A 31 =
h
~
5
~
=a'(-1)2"
4
l+d'(-1)3'1'~ ~
;
l+g·(-1)4./:
c 1=
1= -23
= alei - hf) - d(bi - ch) + g(bf - ce) = aei + dhc + gbf - gce - dbi - ahf
que ooincide com a definição dada em
DEFINiÇÃO DE DETERMINANTE POR RECORRI:NCIA
(Caso Geral)
3?)
@
Já vimos em
a definição de determinante para matrizes de ordem
1, 2 e 3. Vamos agora, com o auxílio de oonceito dó cofator (complemento
algébrico) dar a definição de determinante, válida para matrizes de ordem
n qualquer.
2
-2
2
O
4
4
1
-2
3
3
®
(ver regra de Sarrus).
3 • A I1 + O • A21 + O • A 31 + O • A 41 =
~
~ '--v------J
o
o
o
Seja M uma matriz de ordem n. Definimos determinante da matriz M,
e indicamos por det M, da seguinte forma:
2
O
4
4
1
-2
3
3
3· 62 = 186.
1<:» Se M é de ordem 1, então M = [ali] e det M = ali
4?)
2
1
2<:» Se M é de ordem n ;;;. 2, então
M
_I ::::::::
l
a nl
a n2
...
e definimos det M =
4
3
O
O
2
3
2
-5
4
3
O
O
2
3
2
-5
a nn
1 • A I1 + 2 • A 21 + 3· A 31 + 4 • A 41 =
2
-2·
1
O
O
2
3
2
-5
2
+ 3·
1
1
4
3
3
2
-5
n
= al1 • A I1 + a21 • A21 + a31 • A 31 + ... + anl • A nl =
L
i= 1
Isto é, o determinante de uma matriz de ordem n ;;;. 2 é a soma dos produtos dos elementos da
72-0
1'1
coluna, pelos respectivos cofatores.
2
-4·
O
1
4
3
O
2
= 20 - 2(-2) + 3· (-48) - 4· (14)
-176.
73-0
68.
_v~. .;.T.; .E_O~R.; ;E;.;.M;,:,.A~F,; "U,;.;N.; ;D.;.A;.;.;M,;.;E; .;.N,;.;T~A,;.;L;. .;.(D_E; ;. .;L; ,;,A.;.;.P. ; L; . A.;.;C. ; E;.;.)_~
Observação
Notemos que (exemplo 4l?l, quando a 1a coluna não possui zeros, o cálculo
do determinante torna-se trabalhoso. Isto pode ser atenuado, de certo modo,
com o teorema que veremos a seguir.
o determinante de uma matriz M, de ordem n;;' 2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Isto é,
a) Se escolhermos a coluna j da matriz M
EXERC(CIOS
0.195 Seia
M
então
det M
=
A 2j + .. , + anj
aljA jj + a2j
0.196 Encontrar o cofator de 3 na matriz·
A nj
da matriz M
b) Se escolhermos a linha
-
4
-2
5
a11
a12
a,n
7
2
a2l
a22
a 2n
3
-1
a nl
a n2
ann
0.197 Seja
-1
o
2
-2
3
4
5
7
então
.
det M = ai[ . Ail + aj2' Ab + ... + ain • A in
0.198 Seia
o
Portanto, para calcularmos um determinante, não precisamos necessariamente
dos elementos da 1~ coluna e seus cofatores; qualquer outra coluna (ou linha) com
seus cofatores permitem seu cálculo.
2
-3
4
2
-1
2
Para calcularmos o determinante.
O
2
0.199 Calcular os determinantes das matrizes abaixo, usando a definição:
a)
M
74-D
l
~~
O
-1
3
4
2
5
2
3
O
4
3
O
2
1
1
4
3
2
5
O
75-D
Se escolhermos a 3? linha para seu cálculo, teremos:
VI. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
det M = 3 • A 31 + O • A 32 + O • A 33 + 2 • A 34 = 3 • A 31 + 2 • A 34
'---y------J
'---y------J
O
O
e só teremos que calcular dois cofatores, em vez de quatro se usássemos a definição.
Concluímos então que, quanto mais zeros houver em uma fila, mais fácil
será o cálculo do determinante se usarmos esta fila. Em particular. se a matriz
tiver uma fila de zeros, seu determinante será zero.
A definição de determinante e o teorema de Laplace permitem-nos o cálculo de qualquer determinante, contudo. é possível simplificar o cálculo com o emprego de certas propriedades. Vejamos quais são elas.
~ 69.
IPI) Matriz transposta
t
Demonstração
Se M é a matriz de ordem n e Mt sua transposta, então det M
Ver apêndice no final do capítulo.
Demonstração
det M.
Vamos usar o princípio da indução finita.
EXERCfclOS
li! Parte
0.200 Calcular os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace
aI M =
r: : -; ~ Jt r: :::JL. J:lo :::1J
M-
-1
O
d) M =
O
3
3
2
3
4
a
-1
3
O
O
O
O
1
b
5
b
2
3
O
O
c
2
e
O
O
d
e) M =
a
O
2
x
O
O
O
O
O
a
y
O
O
O
O
Q
p
z
O
O
O
m
n
p
x
O
O
b
c
d
e
y
O
a
b
c
d
e
z
0.201 (MAPOFE 1-75) Desenvolver o determinante abaixo. pelos elementos da
D=
O
1
a
1
b
-1
2
c
O
d
O
Para n = 1, a propriedade é imediata.
2! Parte
Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem (n - 1) e provemos
que ela também será válida para determinantes de ordem n. Temos:
3
t
M
M
=
b il
b 12
b 13
b 21
b 22
b 23
b 31
b 32
b 33
onde b;i = aj; Vi E {1, 2, ..., n} e Vj E {1. 2..... n}.
2~ coluna.
det M = ail • A il + aZI • A 21 + a31
O
det Mt
= b il • A'il + b 12
•
Aí2 + b 13
A 31 + ... + anl • Anl
•
(pela 1? coluna)
A'13 + ... + b 1n • Aí n (pela 1~ linha)
-1
Mas, por definição de matriz transposta, temos:
O
2
O
0.202 (MAPOFEI-76) Calcular o valor do determinante
O
4
O
-5
O
3
-4
2
O
O
O
O
2
5
O
4
-1
2
e pela hipotese da indução, temos:
Logo det Mt = det M.
Portanto. a propriedade é válida para matrizes de ordem n. Vn ;;, 1.
76-0
77-0
Exemplos
4
2
5
I~ I 4
O
3
4
Demonstração
5
2
5
2
I~ -3
Seja
3
4
3
O
1
5
2
2
3
2
9
M
M'
e
A importância dessa propriedade reside no fato de que toda proprieda·
de válida para as linhas de uma matriz também é válida para as colunas e vice·
versa.
~ 70.
Notemos que os cofatores dos elementos da i ·ésima linha de M são os mes'
mos que os da i ·ésima linha de M'.
(Pl) Fila nula
Desenvolvendo det M e det M' pela i·ésima linha temos:
Se os elementos de uma fila qualquer (iinha ou coluna) de uma matriz M
de ordem n forem todos nu los, então det M ~ O.
Demonstração
det M ~ ai! • Ai! + ai2 • A i2 + ... + ain • Ain (I)
det M' ~ K • ail • Ai! + K • ai2 • A i2 + ... + K • ain • A in
(11)
de (I) e (11) conclu(mos que det M' ~ K . det M.
Suponhamos que a j'ésima coluna de M tenha todos os elementos nulos,
isto é
A demonstração seria análoga se tomássemos uma coluna de M.
Exemplos
Desenvolvendo o determinante por esta fila, temos:
det M
~
O . A lj + O • A 2j + ... + O . A nj
O
1?)
Exemplos
-r
71.
3
1
4
O
O
O
a
b
c
O
5
x
O
3
7
y
O
4
-2
z
O
2
3
t
O
O
14
491
3
5
2
O
2
7
~
15
7 •
7
2
28
8
7
16
2
7
3
5
2
O
2
7
G
2
5 •
2
3
8
16
(P3) Multiplicação de uma fila por uma constante
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um
número K, o determinante da nova matriz M' obtida será o produto de K pelo
determinante de M, isto é det M' ~ K • det M.
78-0
2?)
17
5 • 7 •
2
4
3
1
G
5 • 7 . 2
[2
3
4
41
8
79-0
Tomemos a linha i. admitindo que ela não seja nenhuma das duas que tenham
sido trocadas de lugar. Desenvolvendo det M·e det M' por esta linha. temos:
1
5 . 7 . 2 . 2 .
2
3
140 .
2
2
3
8
2
n
8
det M =
j=
3~)
K
2
3
4
5
6
4
5
6
4
5
7
8
5
7
8
5
7
8
2
L aij • A· jj .
j= I
I
A demonstração seria análoga se trocássemos de posição duas colunas.
det (a • A) = a n • 'det A.
Exemplos
I :1
1~) ~
(P 4 ) Troca de filas paralelas
72.
e det M' =
Como cada cofator Aij é obtido de A jj trocando de posição duas linhas e,
por hipótese de indução. Dij = -D jj , V j E {1. 2.... , n}. segue que, Alj = -Ajj ,
Vj E {J, 2•... , n} e, portanto. det M' = -det M.
4~) Se A é matriz de ordem n. então
t
n
L ajj • Ajj
29)
Seja M uma matriz de ordem n ;;, 2. Se trocarmos de posição duas filas
paralelas (duas linhas ou duas colunas) obteremos uma nova matriz M' tal que
det M' = -det M.
4
=
=
-1
2
3
O
I~ ~ I
-22.
-37.
2
3
22
-1
4
2
1
3
2
3
O
37.
Demonstração
Vamos usar o princípio da indução finita.
~, 73.
1~ Parte
Provemos que a propriedade vale para n = 2
Seja M =
Se uma matriz M de ordem n ;;, 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou
duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = O.
ali
[ a21
Demonstração
Trocando de posição as linhas. obtemos:
M'=
a21 a22]
[ ali a12
Suponhamos que as linhas de índices i e k sejam formadas por elementos
respectivamente iguais, isto é. ajj = akj' vj E {1. 2, .... n}.
-det M.
==>
Trocando de posição as colunas, obtemos:
ali] ==>
a21
det M' = a12 • a21 - ali • a22 = -det M.
P. Parte
Admitamos que a propriedade seja válida para matrizes de ordem (n - 1)
e provemos que ela também será válida para matrizes de ordem n.
80-0
(P 5) Filas paralelas iguais
De acordo com a propriedade P4 , se trocarmos de posição estas duas linhas,
obteremos uma nova matriz M' tal que det M' = -det M (I).
Por outro lado, M = M' (pois as filas paralelas trocadas são iguais). Logo
detM' = detM (11).
De (I) e (11) concluímos que
det M
= -det M ==> 2 det M = O ==> det M = O.
Analogamente se demonstra para o caso de duas colunas iguais.
81-0
Exemplos
la
la
Pela Ps , det M' ; O.
b
cl
4
7
b
Desenvolvendo det M' pela s'ésima linha,
2
O,
m m
8
det M' ; ar!
O.
2
~
Observemos que os cofatores dos elementos da s'ésima linha de M, são os
mesmos que os da s'ésima linha de M'.
A demonstração é análoga se tomarmos em M duas colunas.
74.
Exemplo
(P 6 ) Teorema de Cauchy
13
A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M,
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.
M;
4
21
3
5
6
71
Demonstração
15
Seja
1~ linha
3
1
4
3~ linha
21
ali a12 a13
[5
6
71
A 31 A 32 A 33
-+ elementos
-+ cofatores
M
ali . A 31 + a12 . A 32 + a13 . A 33
Substituindo em M a s'ésima linha pela r'ésima, obteremos a matriz
«' 75.
;
3 • 14 + 4 • (-13) + 2 • 5
~
O
(P 7 ) Filas paralelas proporcionais
Se uma matriz M de ordem n ;? 2 tem duas filas paralelas (duas linhas
ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais então
det M ; O.
M'
Demonstração
-+ linha s
Suponhamos que as linhas de (ndices
mentos proporcionais, isto é
e p de M sejam formadas por ele-
vj E {1, 2, ''', n}.
Então
82-0
83-0
0.205 Sem desenvolver, dizer porque o valor dos determinantes abaixo é zero.
linha i
a)
K • a p 1 K· a p2
...
K· apn
P
=3
~s O
K •
4
3
5
12
11
15
27
b
bc
b
c
y
yz
xyz
20
12
25
51
c
cd
c
b
z
xz
x2 z
28
23
35
64
d
ad
d
d
9
det M
0.206 Sem desenvolver nenhum dos determinantes, provar que D'
linha p /
D
z
z2
z3
D'
z4
0.207 Sem desenvolver provar que:
~
O (2~ e 3~ colunas proporcionais).
2y
2
bc
ac
ab
I
2a
x
4
3x
c)
bl
xy
6
2
d)
3
xy2
bc
a
a2
ac
b
b2
ab
c
c2
abc
b
c
x
y3
y
y2
x
5
O
4
6
11
-2
14
9
22
2
13
O
19
17
9
27
O
25
35
4
21
15
55
6
49
30
121
76.
7
7
4z
_z2
z3
_z4
16
51
O
42
47
21
73
O
54
49
11
3
2
11
24
13
4
8
12
8
3
36
17
10
5
9
13
5
14
7
-3
15
=
a2
a3
abc
abc
zy
x
x2
X
xz
y
y2
y
xy
z
z2
z
(P s ) Adição de determinantes
Seja M uma matriz de ordem n, onde os elementos da j'ésima coluna são
•
tais que:
b 1j +
b 2j +
b 3j +
0.204 Provar que os determinantes abaixo são múltiplos de 12, sem desenvolvê~los.
84-0
_y4
abc
0.208 Sem desenvolver provar que:
2
12
4y
abc
a
0.203 Calcular os determinantes, utilizando as propriedades anteriores:
ax
-2x 4
y3
Multiplicamos a 1~ linha por a, a 2~ por b e a 3~ por c
EXERCICIOS
a)
2x 3
_y2
Solução
2z
3
-2x 2
4t
Exemplo
x
8 • D, sabendo que:
8x
=
A demonstração seria análoga se tivéssemos duas colunas proporcionais.
=
7
5
11
15
'3
25
(b 1j + Clj)
Clj
(b 2j +
C2j
C3j
isto é
M
C2j)
(b 3j + C3j)
.............
.
,
(b nj + Cnj)
t
coluna j
então, teremos:
85-D
det M
=
78.
det M' + det M"
onde M' é a matriz que se obtém de M, substituindo-se os elementos aij da
j'ésima coluna, pelos elementos b ij (1 .;; i .;; n) e M" é a matriz que se obtém
de M, substituindo-se os elementos aij da j'ésima coluna pelos elementos Cij
(1 .;; i .;; n).
Combinação linear de filas paralelas
Seja M = l aij I uma matriz de ordem n e sejam p quaisquer de suas colunas (ou linhas) de índices SI, S2, sJ, ... , sp' Multipliquemos, respectivamente,
estas p colunas pelos números c" C2, CJ, ''', 'c p e construamos as somas:
Isto é:
'H
'12
lblj +clj'
, 'n
'H
'12
'"
'22
(b'J+ C4jl
'2n
'"
'22
'nO
'n'
lboj +Cnj)
'nn
'nO
'"'
"n
'H
'12
'2n
'"
'22
'on
'nl
'n'
O
determinante de M, pela j'ésima coluna, temos:
77.
a3S1
+
C2
a 'q + a"
a2q + a2,
aJq + a J , "', a nq + a n
diremos que se adicionou à coluna de indice q uma combinação linear das outras
colunas.
(b lj + clj)AIj + (b 2j + c2j)A 2j + ". + (b nj + Cnj) A nj
(b ,j A 1j + b 2j A 2j + ... + bnjA nj ) + (c'jA'j + c2jA 2j + ... + cnjAnj)
\.
I
\.'------_vr---.:--..:...I
=
Cl
Se substituirmos a coluna de índice q, diferente das p colunas consideradas, pelos números:
delvM'
det M
a2S 1 + c 2
Diremos que o conjunto {aI, 0'2, ... , O'n} é uma combinação linear das p
colunas.
Notemos que os cofatores dos elementos da j'ésima coluna de M são os
mesmos que os da j'ésima coluna de M' eM".
det M
det M
a"l + C2
....................................
Demonstração
Desenvolvendo
c,
c\
deI M"
Exemplo
Vamos construir uma combinação linear da 2~ e 3~ cpiu'~as da matriz:
det M' + det M".
Observação
A propriedade é válida também se tivermos uma linha cujos elementos se
decompõem em soma.
3
usando os multiplicadores 3 e 4 respectivamente:
Exemplos
1)
2)
x
m
y
n
z
p
3
4
2
Ix+y
a+b
m+pl
3
4
o
86-0
3
4
2
Ix
a
ml
o
3
4
Iy
3
7 + 4
8 + 4
1
25
5
44
1 + 4
6
t
t
27
t
2~
3a
coluna
coluna
combinação
linear
Vamos somar esta combinação linear à 1~ coluna; obteremos a matriz:
M'
342
+
3
b
p
034
=
[
I
26
7
46
8
30
De forma análoga, definimos combinação linear de p linhas e adição dessa
combinação linear a uma outra linha diferente das consideradas.
87-0
Demonstração
79.
(P 9 ) Teorema da cor:nbinação linear
Seja
Se uma matriz quadrada M = [a;jl. de ordem n, tem uma linha (ou coluna)
que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = O.
M
Demonstração
all
a12
al p
alj
al n
a21
a22
a2p
a2j
a2n
a31
a32
a3p
a3j
a3n
Suponhamos que a q~ coluna seja combinação linear de p outras colunas,
de índices SI, S2, S3, ... , sp'
Desenvolvendo o determinante de M pela q~ coluna, temos:
n
n
det M =
L
aiq • A;q
i=l
i= 1
n
CI
n
n
L
aiSI . Aiq + C2
L aiS2
. A iq + ... + cp
a ll
L
M'
=
CI • O + C2 . O + ... + cp . O
a12
a21
i=l
i= 1
i= 1
à p'ésima multiplicada pela constante K.
Adicionemos à j'ésima coluna
Obtemos a matriz:
L
a22
a 31
a32
al p
(aIj + K
al p )
al n
a2p
(a2j + K
a2p)
a2n
aJp
(a'i + K
a3p)
a3n
O.
Exemplos
De acordo com P s , temos:
São nulos os determinantes
1?)
2?)
2
3
4
-1
5
4
2
~
3
4
2
5
all
pois 3~ coluna
1 X 1~ coluna + 1 X 2~ coluna.
det M'
..
anl
pois 3~ linha
.
a np
a n2
ann
ani
2 X 1~ linha + 3 X 2~ linha.
+
80.
.,
all
a12
al p
Kal p
al n
a21
a22
a2p
Ka2p
a2n
a31
a32
a3p
Ka3p
a3n
..
(P lO) Teorema de Jacobi
Adicionando·se a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila
paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova ma·
triz M', tal que det M' = det M.
anl
a n2
..
..
=det M
..
a np
~'_----v,----._--
J
o
89-0
88-0
Exemplos
1<:')
0.211 Demonstrar a identidade:
~
5
G3
4
2
4
a
b
c
a
b + 2c
c
O
5
x
y
z
x
y
+ 2z
z
m
n
p
m
n + 2p
P
7
4
-10
7
-6
4
-11
-6
0.212 (FAM-64-MACK-681 Quais as condições necessárias e suficientes para que um
minante se anule?
Adicionamos à 2~ coluna, a 1~ multiplicada por (-3).
2
3
4
-2
5
7
4
6
2<:')
3
2
~
3
3
0.213 (FEI-64) Verificar a identidade seguinte, aplicando as propriedades dos determinantes:
O
O
O
3
-8
-4
-5
cos 2a
cos 2 a
sen 2 a
2
-3
-2
-2
cos 2b
cos 2 b
sen 2 b
cos 2
sen 2 C
O
5
COS
1
~1 I
2c
c
O
0.214 Demonstrar sem desenvolver o determinante que:
a-b
-4
Adicionamos à 2 a coluna, a la multiplicada por (-2).
Adicionamos à 3~ coluna, a 1~ multiplicada por (-3).
Adicionamos à 4~ coluna, a la multiplicada por (-4).
81.
deter~
m-n
x-V
b - c
n-p
y-z
c-a
p-m
z-x
o
0.215 (EESCUSP) Enunciar as propriedades que permitem escrever sucessivamente:
2
3
3
4
5
6
4
9
10
789
7
15
16
Observação
4
A importância desta propriedade, reside no fato de que podemos "introduzir zeros" numa fila de uma matriz, sem alterar seu determinante; com isto,
podemos facilitar bastante seu cálculo através do teorema de Laplace.
2
~
6,
4
3
5
2
4
~
6·
758
12
3
5
20
5
8
o
0.216 Provar que o determinante é múltiplo de 17. sem desenvolve-lo. Oado:
9
O
EXERCICIOS
0.2090E-ITAJUBÁ-65) Completar o que falta
8
7
5
3
Solução
a +b +c
°
2
a - b +c
3
4
a - b - c
5
6
+
+
deterObservemos que se os elementos de uma matriz são números inteiros, então
minante da matriz também é número inteiro, portanto, provar que O é divis(vel por
17 é provar que:
3
~
17 • O'
100
0.210 (IME-65) Calcular o valor de
2
O
onde D' é o determinante de uma matriz de elementos inteiros. Temos, por exemplo
4
D~
5
2
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
+
O
4
5
O
O
3
O
4
2
1
100
1
10
10
9
100
80
7
100
50
3
119
8
187
5
153
1
1000
119
100
10
100
80
187
100
50
153
7
17,
1
8
11
5
9
~
O' E.iZ
90-D
91-D
0.217 Provar que o determinante é mútiplo de 13, sem'desenvolvê,lo:
3
82.
(P 11) Matriz triangular
O
Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados "de um mesmo lado" da diagonal principal são iguais a zero, isto é l\iI = (aij) é triangular se
7
5
6
0.218 Demonstrar que o determinante O é divisível por x + 3a sem desenvolvê·lo. Dado:
O
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
x
a
a
0.219 Provar que
a + x
b + x
a + V
a2
aij
c + V
b2
c2
(b - C)lc - alIa - b)(x - vi
O
para i
>
j
Consideremos a matriz triangular onde aij
para i> j é análogo),
2a
c - a
b -
=
Demonstração
0.220 Demonstrar a identidade
a - b - c
2a
2c
<j
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da
diagonal principal.
b + V
2b
para
ou
+ x
C
o
2b
la + b +
cl 3
M
O para
a11
O
O
O
O
a21
a22
O
O
O
a31
a32
a33
O
O
<j
(o caso aU
O
c - a - b
2c
0.221 Mostrar que la + b + cl é fator de:
c2
Ib + c)2
b2
a2
la + c)2
c2
a2
b2
la + bl 2
Aplicando sucessivamente o teorema de Laplace, através da 1~ linha, é imediato que:
n
0.222 Sem desenvolver, demonstrar que:
cos O
cos a
cos 2a
cos a
cos 2a
cos 3a
cos 2a
cos 3a
cos 4a
det M =.311 • a]2 ..... a nn
rI (aii)
i= 1
= O
Exemplos
0.223 Mostrar que o determinante da matriz
cos Ix + a)
[
1?1
sen Ix + ai
3
O
O
3 . 5 . 1
cos Ix + b)
sen Ix + bl
250
cos (x + c I
sen (x + c)
4
3
1
3
2
3
5
4
7
15
é independente de x.
2?)
0.224 Provar que:
a2
92-D
la + 21 2
la + 4)2
la + 2)2
la + 4)2
(a
la + 41 2
la + 6)2
la + 8)2
+
6)2
O
O
O
2
2
O
O
O
6
3 • 1 . 2 . 6
36
93-D
83.
Adicionemos à 2~ coluna, a la multiplicada por -ano
Adicionemos à 3~ coluna, a la multiplicada por -a13.
(P n ) Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então
Adicionemos à j'ésima coluna, a 1~ multiplicada por -alj.
det (A o B) = (det A) • (det B).
Adicionemos à n'ésima coluna, a 1~ multiplicada por -aln'
Exemplos
Sejam as matrizes A
AoB=
[2 13]
629'
~ ~J e
[
det (AB)
J
det A = 4 - 6 = -2
det B = 10 - O = 10
=
B =
[~
58 - 78
(det A) • (det B)
&-
:] temos,
~~
-20
-20
Eh
det (AB)
Conseqüência
1
a ln
a21
an
a23
a2n
a 31
a32
a33
a 3n
anl
detA'
=
det.(A o A-I = det In
det (A) 0/= O e det A -I
a n2
a n3
ann
Obteremos a matriz M', tal que det M' = det M
De fato, se J A -I, então:
=
a13
......................
Decorre do teorema que det (A -I)
A o A-I = In
an
=
=
det (A) . det (A-I) = 1
====>
_1_
det A
VII. ABAIXAMENTO DE ORDEM DE UM DETERMINANTE REGRA DE CHIÔ
<
Como conseqüência do teorema de Jacobi (P 10), veremos agora um processo útil, bastante prático, para reduzirmos de uma unidade a ordem de um determinante de ordem n ? 2, sem alterá-lo, e conseqüentemente facilitar seu cálculo.
O
det M'
O
O
a21
a22 - a21
al2
a23 - a21
a13
a2n - a21
aln
a31
a32
- a31
an
a33 - a31
a13
a3n - a31
al n
Pelo teorema de Laplace, temos:
a22 - a21
a12
a23 - a21
al3
det M'
Consideremos uma matriz M de ordem n ? 2, tal que a" = 1, isto é
onde det M' é de ordem (n - 1).
Isto pode ser resumido através da regra, conhecida como regra de Chió:
M
1?) Desde que M tenha a" = 1, suprimimos a 1~ linha e 1~ coluna de M.
2?) De cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos elemtos que se encontram nas "extremidades das perpendiculares" traçadas
do elemento considerado, à 1? linha e 1 ~ coluna.
94-0
95-0
3<;» Com as diferenças obtidas, constru ímos uma matriz de ordem (n - 1)
cujo determinante é igual ao de M.
EXERC(CIOS
0.225 Calcular os determinantes
Exemplo
CD!2
a)
4
2
-- - -:-Á--- ----342)
5
7 -
6
I
I
:10
,,
2
CD: -7 O
- - -:- -t- - -8f@ 3
6 - 6
-4 - 4
5 - 2
8 - 6
2 - 12
3 - 6
I
3 : 8
5 - 12
10 - 2
5
-4
6
,I
2 :-10
-3
,
3
3
O
-3
5
6
3
b)
4
48
-3 - O
-144 - 12
2
O
3
O
2
2
3
2
3
2
2
5
4
2
O
2
3
7
5
2
4
cI
0.226 Calcular os determinantes, com o aux(lio da regra de Chió.
3
4 -3
4
-1
-156.
a
b
c
b+c
c+a
a+b
bl
ai
-8+563-0
-10 + 14
2
2
x
y
z
yz
xz
xy
c)
0.227 Provar que
84.
Observações
*
1) Se na matriz M, ali
1 e existir algum outro elemento igual a 1, podemos através de troca de filas paralelas, transformar M numa outra matriz que
tenha ali = 1.
Exemplo
12
4
~
0.228 Demonstrar que
O
3
CD
15
3
2
2
2
3
4
O
7
2
4
2
2
2
3
2
2
CD
3
3
4
5
2
O
a
a
a
2
a
b
b
a
b
c
:j~ ." -
a
b
c
d
3
2
2
2
3
2
7
O
4
2
teorema de Jacobi, obter uma nova matriz M', que tenha um elemento igual a
D
1.
3
CD
2
4
3
7
2
4
-2
7
2
4
2
4
5
3
-2
4
5
3
O
7
3
Le
96-0
4
5
2
~
a
a
a
a
a
b
b
b
a
b
=8-
c
c
abcdl
Exemplo
2
.IIG -
c'
O
7
-1
3
'"0 ~ <,
Solução
2) Se não existir em M nenhum elemento igual a 1, podemos, usando o
3
O
,~
a Ib -a)'
1 : b
,
~a'(b-al'l
I
c-a
c
=a-
b-a
b-a
b-a
c-a
c-a~
b - a
c-a
d-a
a Ib -ai,
I
Ic -a) - (b -ai
(c -a) - (b -a)
(c -ai - (b
-al'~
(d - ai - Ib - ai
d-a
c-b
cc-b
c
b - a
1,bcd
~~-~:'~~;--:~;j ~
1
~
~
~-t-:--~--:-
b.1
d-b
~ a Ib-al Ic-bl I
c- b
I~
d-b
a (b - ai Ic - b) (d - c)
97-0
VIII. MATRIZ DE VANDERMONDE (OU DAS POT~NCIAS)
0.229 (ESOOC-671 Resolver a equação
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
~
85.
O
Definição
Chamamos matriz de
ordem n ;;;, 2, do tipo.
0.230 Sem desenvolver o determinante, calcular
y
x
z
-x
y
a
b
-x
-y
z
c
-x
-y
-z
Vandermonde, ou das potências, toda matriz de
1:-- - ----- ---- -- - ------,
ta}
a2
L
a3
an JI
•••
a 23
n-1
D.231 Demonstrar Que:
1
1
a3
Isto é, as colunas de M são formadas por potências de mesma base, com
expoente inteiro, variando desde O até,n - 1 (os elementos de cada coluna
formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1 l.
1 + a2
2'! linha são chamados elementos característiços çla matriz.
Os elementos da
Indiquemos o determinante de uma matriz de Vandermonde por
0.232 (EPUSP-62) Subsiste sempre a igualdade
1
1
sen x
cos x
V (a"
1
sen y
sen z
cos y
cos z
= sen (x -
y) + sen (y - z)
+ sen (z - x)?
86.
0.233 Se a, b, c são reais mostrar que
1
sen a
cos.a
sen b
cos b
sen c
cos c
0.234 Mostrar que
1
cos 2a
sen a
cos 2b
sen b
2c
sen c
CQS
=
4 • sen
b - c
2
a - c
• sen -2- • sen
a-b
2
n
i>i
2. (sen b - sen c)
~sen
c - sen a). (sen a - sen b)
0.235 Sendo Sn a soma dos n primeiros números naturais, demonstrar que:
98-0
Propriedade
"O determinante V (a" a2' a3' "', an) é igual ao prodU10 de todas as diferenças possíveis entre os elementos caracteristicos, com a condição de que,
nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo. Isto é
=
=
S,
S,
SI
S,
S,
SI
S2
52
52
S2
~'
S2
~3
~3
S3
I
SI
S2
53
5 n -1 Sn-1
S,
S2
S3
5 n ·1 5 n
a2' a3' "', a n )
iE{1,2, ... ,n}
(ai - a·)
jE{1,2, ... ,n}
J
Demonstração
Vamos usar o principio da indução finita.
1'1 Parte
Provemos que a propriedade é válida para n
n!
Temos M
=
[1
ai
1
j ==
det M
= a2
a2
Portanto a propriedade é válida para
=
2.
- aI ==>
V(al, a2)
\
::J =
2.
99-0
2'! Parte
Mas V' é um determinante de Vandermonde de ordem n - 1, logo, por
Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem (n - 1) e provemos
sua validade para matrizes de ordem n.
V~
ai
a2
a3
ar
aª
a~
ar-
2
n- I
aI
n-2
a2
n-2
a3
a~
a~-l
-
1
hipótese de indução
~
::0
an
a 2n
a nn-2
a n-I
n
k>
~
V
Portanto
:B
iE 2, 3,
jE ',,2,3,
11 (ai - ai)
i>i
V'
11 (ai - ai)
~
n}
n}
n}
n}
i E 11, 2,
j E { 1, 2,
i>i
E, assim, a propriedade é válida para matrizes de ordem n, 'V n ;;;. 2.
.g
';;
c:
5:
Adicionemos à linha de índice n, a de índice n - 1 multiplicada por -aI'
Adicionemos à linha de índice n - 1, a de índice n - 2 multiplicada por -aI'
Adicionemos à linha de índice 3, a de índice 2 multiplicada por -aI'
Adicionemos à linha de índice 2, a de índice 1 multiplicada por -aI'
87.
Exemplos
1?)
12
3
4[
4
9
16
2?)
(4 - 3) • (4 - 2) • (3 - 2)
2
1
12
-3
4
9
25
8
-27
125
Obteremos o determinante equivalente
~8·
4· 3· (-4)· (-5)·
(-1)~-1920.
o
O
...............................................................................................
EXERCICIOS
...............................................................................................
0.236 Calcular os determinantes:
O
Pelo teorema de Laplace e por
®
b)
a)
temos:
-3
6
12
cl
2
3
5
7
-1
3
5
a
4
9
25
49
-1
9
25
a
8
27
125
343
2
0.237 Calcular o determinante
a
n-2
a2
'~------vr-----
V'
b
2
a
a3
4
a
100-0
b
b
2
3
b4
c
d
c2
c3
d2
3
d
e
e2
e3
c4
d4
e4
101-0
0.244 Demonstrar que se os elementos de uma matriz quadrada M, são números inteiros,
então o determinante de M é Um número inteiro.
0.238 Calcular o determinante
x
x
2
x
3
y
0.245 Calcular o determinante
z
I
0.239 IEPUSP-571 Oado o polinômio
(
p)
1
I p + 1
2
p + 1
1
(p + 2
I P+2
3
I
I
IP+3 I
2
3
IP+ 2 )
IP+3 )
1
2
I P+4 )
3
I P+3 1
1
Ip +4 )
2
(p +5 )
3
1
x
Plx)
x
x
2
3
2
3
4
9
8
27
dizer quais são as ra(zes de P(xL
0.240 IEE LINS-661 Calcular o determinante
Sugestão: Relação de Stifel.
1
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
3
5
3
4
2
3
4
4
3
53
4
54
6
5
55
6
4
0.246 Demonstrar a identidade
6
4
4
5
5
2
52
6
6
2
a
b
3
b
4
c
5
d
0.241 IIME-66) Oeterminar o valor numérico do determinante abaixo
1
log 7
log 70
log 700
(log 7)2
(log 70)2
(log 7001
(log 7)3
3
Ilog 701
(log 7001
1
1
2
x
d
c
d
a
d
a
b
a
b
c
-Ia +b + c +d)la -b+ c -di [Ia _c1
2
2
+ Ib _dI ]
D.247 Demonstrar que num determinante de uma matriz simétrica, os complementos
algébricos de dois elementos situados simetricamente em relação a diagonal principal
são iguais.
109 7000
2
3
(log 70001
(log 70001
2
3
0.242 Resolver a equação
1
c
D.248 Em uma matriz quadrada de ordem n ~ 3, os elementos de cada linha estão em P.G ..
Mostrar que o determinante de M se anula, quando e somente quando, duas progressões
têm a mesma razão.
0.249 Mostrar que
-5
4
25
8
-125
o
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
n
-21n - 2)1
EXERCICIDS SUPLEMENTARES
0.250 Provar que
0.243 (EPUSP-·61) Supondo positivos todos os elementos literais da matriz auadrada
r
::'~-~::':" 1
e sendo n múltiplo de 4, qual é o sinal do determinante correspondente?
102-D
cotg
A
2
cotg
a
b
B
2
C
cotg
2
c
o
sendo A, B, C, ângulos de um triângulo e a, b, c os lados respectivamente, opostos aos
mesmos ângulos.
103-D
0.251 (FEl UC-58) Quantos termos se obtém no desenvolvimento do determinante de uma
APENDICE I
matriz quadrada de 6 filas?
0.252 IESAN-PUC-641 Determinar o valor de m que verifica a igualdade
A m. 2
A m. 1
A m. o
Cm. 2
m
31
mIm - 1)
m!
(m - 1)1
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE LAPLACE
Vamos usar o princípio da indução finita.
=
-10 m
I'! Parte
O
Provemos que o teorema é válido para matrizes de ordem 2
0.253 Demonstrar que toda matriz anti-simétrica de ordem ímpar e elementos reais têm
determinante nulo.
Desenvolvendo pela 2~ coluna:
Desenvolvendo pela
1~ linha:
Desenvolvendo pela 2~ linha:
M
ali
=
[ a21
ll
M = [la
a21
M
=
a 121]
a22
all
rr a21
a21 ' A 21 + a22' A 22
=
a21 (-1) .la121 + a22 ·lall1
=
all' a22 - a12' a21
=
det M.
Portanto, a propriedade é válida para n = 2.
2'! Parte
Admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem
(n - 1) e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem n.
Seja
elementos
D~Q para
linhas i e
de ordem
>
M uma matriz de ordem n
2. Os menores complementares dos
de M serão determinantes de ordem (n - 1). Vamos usar o símbolo
designar o determinante da matriz que se obtém, suprimindo as
k e as colunas j e Q da matriz M. É claro que D~Q é um determinante
(n - 2).
Fixemos a coluna k da matriz M (1
<
k .,;; n) e calculemos o número
+ ank • A nk
104-0
105-0
Temos:
Fixemos agora a 1? linha de M, e calculemos o número
C= alk • Alk + a2k • A 2k +a3k • A 3k + '" + ank' A nk = alk (_1)I+k • Dlk +
+a2k' (_1)2+k. D2k +a3k' (_1)3+k. D3k + ... +ank' (_1)n+k. D nk
Temos:
Os determinantes Dlk , D2k, ..., D nk são de ordem (n - 1). Desenvolvendo-os
pela 1? coluna, temos:
C = a Ik (-1) 1+ k l
L
a i I (-1) i
•
D
i>1
+
L:
aitl-1)i
;>2
~~} + a2k (- 1)2+ k {a" • D1a
D~U + a3k (_1)3+k {a" D~~ - a21'
D;i +
+
L ail (_1)i. D~k} +
Os determinantes D u , D 12 , D 13 , ... , Dln são de ordem (n - 1). Desenvolvendo-os pela 1? coluna, temos:
i>3
L=a".Du-a12{L aitl-1)i. D \D+aI3{L ail(-1)i. D il\}+ ... +
i>1
i>1
31
n-II}
+ ... + ank (- 1) n+k{ a,,· D"
nk -a21 D 21
nk + a31' D nk - ... ± an-I,I D nk '
Na expressão de C, acima,
+ (_1)I+n. aln
{L
ail (_1)i.
D\~}
i>1
1?)
tomemos as parcelas que contêm a", Temos:
a,,{a2k (-1 )2+k •
D~~ + a3k (-1 )3+k • D~~ +
= a" {a2k • (-1) k • D~~ + a3i< (-1) k+1 • D ~~ +
+ ank (_1)n+k •
Na expressão de L, acima
D~U =
1?)
+ ank (-1) n+k -2 • D~U =
= a,,' D u (por hipótese de indução)
2?)
tomemos as parcelas que contêm a21' Temos:
Tomemos as parcelas que contêm a21' Temos:
a 21{(_1)1+2, an' DU + (_1)1+3, a!3,Dg+
+(_1)I+n. aln,DrA} =
= a21 {- (_1)2. a12' Di1- (_1)3, a!3' Dg -
- (_1)n, al n ' DrA} =
= -a21 ' D21 (por hipótese de indução).
21
D 21 } =
a21 { alk (- 1) I+k ' ID21
k - a3i< (- 1)3+k • D 3k - ... - ank' (- 1)n+k 'nk
D21
()l+k
21 ... -ank ()n+k-2D21}
=a21 { -alk (- 1) k 'lk-a3i<
-1
,D3k-1
nk =
2?)
Tomando as parcelas que contêm a 31 , temos:
31
()4
a3It-a12,(-1) 3 ,D12-aI3'
-1 • D31
!3-
= -a21 • D 21 (por hipótese de indução).
= a31 {a12 ' (-1) 2, DU + a 13' (-1) 3, Dg +
3'?)
tomemos as parcelas que contêm a 31 . Temos:
a31 {-alk(-1)I+k. D~~ -a2k(-1)2+k, D~~ +a4k(-1)4+k. D~ + ... +
+a nk(-1)n+k, D~U=
-aln· (- 1)I+n
D31}_
'In-
+ a In' (_1)n • D~~} =
= a31 ' D 31 (por hipótese de indução).
Prosseguindo da mesma forma, até obtermos as parcelas que contêm
anIl teremos:
= a 31 {a Ik (-1) k , D~~ + a2k (-1) k + I , D ~~ + a4k (-1) k+ 2 • D~~ + ... +
+a nk(-1)n+k-2. D~U =a31' D 31 (por hipótese de indução)
anI ,
Prosseguindo da mesma forma
teremos:
até obtermos as parcelas que contêm
isto é
O que prova que L = det M, isto é, a propriedade é válida para a 1? linha.
isto é
O que prova que C = det M, isto é, a propriedade é válida para qualquer
coluna k, 1 < k .;;; n.
106-0
Com raciocínio análogo ao que fizemos para as colunas, podemos provar
que a propriedade é válida para a linha i (1 < i .;;; n). usando o fato de que
ela é válida para a 1? linha.
Com isto, concluímos que o teorema é válido para matrizes de ordem n;;;' 2.
107-0
API:NDICE II
CÃLCULO DA MATRIZ INVERSA ATRAVÉS DE
DETERMINANTES
1.
Matriz dos cofatores
Seja M. uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores
de M, e indicamos por M'. a matriz que se obtém de M. substituindo cada elemento
de M por seu cofator.
A 21
= (-1) 3 1
A 31
= (-1 )41
A I3
= (-1 )41
A 33
= (_1)6/
O
O
2
3
2
Assim. se
2.
.............................................
M' =
a n2
:I
~I
2'
A 22
= (_1)4/
-2;
A 32
= (_l)s
A23
= (_1)5
-1 ;
~
~I =
1
:1
2
I
-6
~ I = -1
3
~I
Matriz adjunta
Seja M uma matriz quadrada de ordem neM' a matriz dos cofatores de M.
Chamamos de matriz adjunta de M, e indicamos por M. à transposta da matriz
M·. isto é M = (M·)t .
então
anl
~I .
a nn
a n3
A ll
A 12
A 13
A ln
A 21
A22
A23
A 2n
A 31
A 32
A 33
A 3n
Em resumo.
M' =
M
Exemplos
1~) Se M
pois
=
[:
:]
então M'
=
= (-1)2·141 = 4
A 21 = (-1)3·121 = -2
~l ~
pois
108-0
A ll
M "
[:
1
1
= (_1)2
-3;
M'
=
p
-2
A 12
9
-6
1
= (-1 )31 :
Aj ;
{'V i E {1, 2•...• n}
'V j E {1. 2....• n}
-3
A 12
:] ."~
I~ ~ I
onde B;j
= (_1)3. 131
A22 = (_1)4 • 111
A ll
O
-~]
[-:
Nos exemplos dados no item anterior. temos:
1
-']
[:
1~) M
-1
1
~I
2~) M
9
=
:]
então
O
2
2
3
3
O
M=
então
[-:
M=
-~]
-3
2
-2
9
-6
1
-1
-1
1
109-0
3.
Teorema
4.
"Se M é matriz quadrada d~ ordem n e In é matriz identidade de ordem
n, então Mo M = M. M = det (M) o In".
Demonstração
Seja Mo M
n
1:: aij
=
*
Logo, M
=
=
b ik
k
=
b ik = O
(teorema de Cauchyl
det M
O
O
O
O
det M
O
O
O
O
O
O
det M
Analogamente, seja
M. M =
1::
j
=
o
1
Mo(-det M
=
'*
k
k
=
=
= det
M • In
(I)
1'?) M
n
ajk =
o
1
1::
j
=
cik
= det
cik
=
ajk
o
Aji
O
O
detM
O
O
O
9
det M
O
O
O
O
det M
det (M) o In
•
det M
= Mo M = det (M) o In
(I)
(11)
In
-
M.
[13 42J
-M-
=
[4-3 -21 ]
=
r-2~
1 [4 -2]
-2
-3
det M
1
-2
=
1]
~
2~)
3
=
(11)
M = [:
det M
o
O
:],
O
Ii.L [-
~
-1
_:
-
-1
~] ,
det M = -5
1
In
Logo
3
5
2
2
5
5
6
5
5
1
1
1
"5
"5
5
9
5
De I e II conclu(mos então que:
M· M
In
(teorema de Cauchy)
O
=
1
--
1
O
Portanto, Mo M
=
Logo M-
M é a matriz diagonal
det M
• 'n
det M
det M
. (M. M)
1
(M) (teorema de Laplace)
O
1
det M
.M) M =
det M
det M
o (M o M)
Retomando os exemplos anteriores, temos:
(Cik). Por definição de produto de
matrizes,
B ij
1
det M
=
M)
De (I) e (11) segue-se, por definição de matriz inversa, que
M- 1
det M
n
cik =
Usando o teorema anterior, temos:
1
( det M
O
O
det M o In
Logo, IV!
Demonstração
det (M) (teorema de Laplace)
=
=
se i
aij • A kj
j =1
k
Portanto, M • M
Logo, se i
1::
M é a matriz diagonal
o
O, então a inversa
n
Bjk
o
j= 1
se i
'*
(b ik ). Por definição de produto de matrizes,
=
=
Teorema
"Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det M
de M é
b ik
Logo, se i
Processo de cálculo da inversa de uma matriz quadrada M
-
,
110-0
111-0
Corolário
"Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A inversa de M existe, se e
somente se, det M
O".
"*
Demonstração
a) Se det M
"* O,
pelo teorema anterior vimos que existe a inversa, e
M- 1
~
·M
-'-
det M
b) Se
3 M- 1 então M· M- 1 ~ 'n
1
(OOt M- ) ~ det In ~ ,
O, portanto,
e, pelo teorema de Binet, (det M)
"*
det M
"* O.
EXERCICIOS
0.254 Calcular, usando a teoria precedente, as inversas das seguintes matrizes:
A
~
:]
[:
•
B
~
[
-: ]
-~O
C
~
-cos a ]
[ sen a
cos a
sen a
O
D
2
[:
O
O
:]
,
E =
[:
O
;]
e
F =
[:
7
:]
0.255 Para que valores reais de m existe a inversa da matriz
Solução
A matriz M é invers(vel se, e somente se, det M "* O. Assim, temos:
det M =
I
m5
5
m
I
m2
_
25 "* O
=
0.256 Qual a condição sobre a para que a matriz
M~[:l
112-0
aa
a~]
seja invers(vel?
m"* 5
e
m"* -5.
"Deus criou os números inteiros"
leopold Kronecker nasceu na Alemanha, de pais judeus embora tenha optado
pelo protestantismo.
Foi um homem de negócios muito próspero e que mantinha fortes ligações
com professores da Universidade de Berlim, onde aceitou um posto em 1883.
Em contato com Weierstrass, Dirichlet, Jacobi e Steiner obteve seu doutoramento em 1845 com uma tese sobre teoria algébrica dos números.
De acordo com Weierstrass, aprovava a aritmetização universal da Análise
mas defendia uma Aritmética finita, entrando em confl ito com Cantor.
I nsistia na idéia de que Aritmética e Análise deveriam basear-se nos números
inteiros, os quais considerava como tendo sentido dado por Deus e rejeitava a
construção dos números reais porque não poderia ser feita por processos finitos.
Achava que os números irracionais não existiam. lutando pela sua extinção. Diz-se
que perguntava a lindemann para que servia sua prova de que 1T não é algébrico,
já que os números irracionais não existiam.
Kronecker contribuiu significativamente para a Álgebra embora suas idéias na
época, fossen consideradas metaflsicas. Seu finitismo chegava a embaraçar Weierstrass
mas foi a Cantor que atacou mais gravemente, opondo-se a que lhe dessem uma posição na Universidade de Berlim e. além disso, tentando derrotar e extinguir o ramo
da Matemática que Cantor estava criando
sobre a existência dos números transfinitos.
Cantor defendeu-se num de seus artigos
dizendo que numerações definidas podem
ser feitas com conjuntos infinitos tão bem
quanto com finitos, mas Kronecker continuava seus ataques e críticas. Este conflito
entre Cantor e Kronecker é considerado
como a mais forte controvérsia do século
XIX.
Em 1881, com seu domínio de racionalidade, provou que o conjunto dos números da forma a + b yI2 onde a e b são
racionais, é um corpo.
Às vezes se diz que seu movimento
sobre finitismo morreu de inanição mas
Leopold Kronecker
reapareceria sob nova forma na obra de
(1823 - 1891)
Poincaré e Brouwer.
CAPÍTULO VI
SISTEMAS LINEARES
I. INTRODUÇÃO
88.
Equação linear
Chamamos de equação linear, nas incógnitas XI, X2, ... , x n toda equação do
tipo a l lxl + a12x2 + a13x3 + ... + alnx n = b
Os números ali, a12, a13 ..... aJn. todos reais, são chamados coeficientes e
b, também real é o termo independente da equação.
Exemplos
1'?) 3xI +
4X2 -
5X3 -
X4 = 5
2'?) 2x 1 - X2 - X3 = O
3C?) OXl + OX2 + OX3 = 4
4C?l OXl + OX2 + OX3 + OX4
=
O
Observemos que não são lineares as equações:
1C?) 2xi + 4X2 + X3 = O
2?, 2XIX2 + X3 + X4 = 3
3C?) XI + .yx; - X3 = 4.
89.
Solução de uma equação linear
Dizemos que a sequencia ou ênupla ordenada de números reais
(ai. a2. a3' .... an)
é uma solução da equação linear
al1xl + a12x2 + a13x3 + ... + aJnx n
se
al1 ai + a12 a2 + a13a3 + ... + aln a n
=
=
b
b for uma sentença verdadeira.
115-0
Exemplos
1?) Seja a equação linear
a sequencia (1. 2. 3. -2) é solução. pois 2· (1) + 3· (2) - (3) + (-2) ~ 3 é
sentença verdadeira. porém a seqüência (1, 1. 2. 1) não é solução. pois 2 • (1) +
+ 3· (1) - (2) + (1) ~ 3 é sentença falsa.
2?) Seja a equação linear
Exemplos
Ox + Oy + Oz
~
O
1?) O sistema linear
é fácil observar que qualquer tripla ordenada (ai. a2. a3) é solução da equação.
S[ {2X + 3y
x - y
~
~
4
2
3?) Seja a equação linear
pode ser escrito na forma matricial
Ox + Oy + Oz + Ot
~
2
é fácil observar que qualquer quádrupla ordenada (ai. a2, a3. (4) não satisfaz
a equação. po is
2?) O sistema linear
3X + y - z ~ 4
S2 { 2x + 5y + 7z ~ O
pode ser escrito na forma matricial
90.
Sistema linear
É um conjunto de m (m ;;;. 1) equações lineares. nas incógnitas Xl. X2.
X3 •...• xn- Assim, o sistema
[~
5
-;] r:] r:]
3?) O sistema linear
S
allxl + a12 x 2 + a13 x 3 +
a21 Xl + a22 X2 + a23 X3 +
a31 Xl + a32 X2 + a33x3 +
+ alnx n
bl
+ a2n Xn
~
+ a3n Xn
b3
S3
{
X+y~4
3x - y
2x - y
~
1
~
O
pode ser escrito na forma matricial
é linear.
Lembrando a definição de produto de matrizes. notemos que o sistema
linear S pode ser escrito na forma matricial.
116-0
117-0
91.
"'93.
Solução de um sistema linear
Dizemos que a seqüência ou ênupla ordenada de reais (ai, a2, a3' "',
a n ) é solução de um sistema linear 5, se for solução de todas as equações
de 5, isto é
a11 ai + a.2a2 + a13a3 +
a21 a. + a22a2 + a23a3 +
a31a. + a320'2 + a330'3 +
+ alna n = b l
+ a2nan = b 2
+ a3nan = b 3
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que o termo
independente de todas as equações vale zero.
Exemplos
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
(sentença verdadeira)
Sistema linear homogêneo
+y+z=O
-y+z=O
52
°
=°
3X + 4y + z + t =
3x
y - 3z =
x + 2y + z - 3t
4x - z + t =
°
f
°
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre como solução
a seqüência (a., a2, a3, .." ao) onde 0'; = O, V i E {1, 2, 3, ..., n}.
Exemplos
Nos exemplos dados temos:
1<:» O sistema
5 { ; //
(O, O, O) é solução de 5.
(O, O, O, O) é solução de 52'
/_\== 61
3x-y+z=4
admite como solução a tripla ordenada (1. 2. 3) pois
(sentença verdadeira)
1+2+3=6
(sentença verdadeira)
2·1+2-3=1
(sentença verdadeira)
3·1-2+3=4
94.
Matrizes de um sistema
Dado um sistema linear 5 de m equações e n incógnitas, consideremos as
matrizes:
5 não admite, porém, como solução a tripla (-5, 11, O) pois
°
- 5 + 11 +
= 6
(sentença verdadeira)
2(-5) + 11 = 1 (sentença verdadeira)
3· (-5) - 11 +
= 4 (sentença falsa)
°
°
2<:»
a3n
O sistema linear
U
+ 2y + 3z = 5
5
- y + 4z = 1
+ Oy + Oz = 6
não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla
(0'.,
92.
a2'
e
B
(3).
Observação
A é chamada matriz incompleta do sistema e B, matriz completa.
Se um sistema linear S, tiver pelo menos uma solução diremos que ele é
possfvel ou compatfvel lé o caso do exemplo Wlj caso não tenha nenhuma
solução, diremos que S é impossfvel ou incompatfvel (é o Caso do exemplo 2!l)
118-0
Notemos que B foi obtida a partir. de A, acrescentando-se a esta a coluna
formada pelos termos independentes das equações do sistema.
119-0
Exemplos
SI
S2
{2:
0.262 Quais são os sistemas correspondentes às representações matriciais?
+y
3
4
- y
A
{3X - y + z
4x + y
A
7
[~ -~J
[~
~] e [:
[:
e B
:]
-1
-1
-1
B
a)
O
1
O
~J
7
0.257 Dizer quais das equações abaixo são lineares:
Xl - X2
+
X3 - 2X4
b) Xl + mX2 +
c) x - 2y + 3z
d) atxl +.
x~
=
[-~
c)
= 3
n onde m e n são constantes dadas
=4
a2x~ + a3x~ = b, onde a e b são constantes dadas
+
X2 - 3X3 -
X4 - Xs =
~-v'3xl + V2x2 + x3 = 5
fiXl + 3x2 - 4X3 + 5x4 = 10 - 2xs
-1
-2
~J
2
[:
O
2
5
3
-1
:]
[:]
1
-1
0.259 Verificar se (1, 1, -1, -1) é solução de 5Xl - 10X2 - x3 + 2X4 = O.
2
0.260 Encontrar uma solução para a equação linear 2xt - Xl - x3 = O, diferente da solução
(O, O, O).
r'-"·,. -,-
0.261 Escrever na forma matricial os .seguintes sistemas:
c)
el
g)
120-0
{X- Y +Z=2
-x + 2y + 2z
5
5x - y + 5z = 1
[-;]
0.263 Verificar se (O, -3, -4) é solução do sistema
0.258 Verificar se (2, O, -3) é solução de 2Xl + 5X2 + 2X3 = -2.
a)
[-~J
[: :] [:] [:;]
b)
e) 2Xl + logx2 + x, = log2
..;t/ -Xl
l~1
bl
EXERCICIOS
,...a1
[-; -;]-[:]-[:J
4
bl
d)
7
{2X - 3y
-x + 4y = 1
2x - y = 2
f)
{X+ Y -Z=3-t
-x - y - 2z = 1 - 3t
5x + 3z = 7 + t
h)
5X + 3y - 2z - 4t
2x - 4y + 3z - 5t
[ - x + 2y - 5z + 3t
5
-9
12
8
2x + Y - 2z = -3
-x - 2y + z - 3t =
-5x - y + 6t = 4
{ax + by + cz = d
-mx + ny = e
2
abx - b y + mz =
0.264 Verificar se (1. O, -2, 1) é solução do sistema
0.265 Construir as matrizes incompleta e completa dos sistemas:
ai
[V2X - 3y + 2z = 7
+7y - z = O
4x + \/:3y + 2z = 5
b)
{a~ - by + 2z
cl
1
ax-by+z= 3
{'"""
,-
=
,,""' , -,
(cos b) x + (2 cos a) y = -1
(sen b) x - (3 cos a) y = -2
onde a, b, são constantes dadas.
[
3x - 2y
-2x + y
x + 4y
l
=
=
=
4
O
-1
2X + 4y - z = 2
-x - 3y - 2z = 4
3x - y + 4z = -3
ax - y + bz = c
a 2 x + abz = d
[ -by + az = e
d) {2:: 3~
+ 2y
4x - y
-x
=
1
=
4
=
-3
=
7
onde, a, b, c, d, e são dados.
121-0
11.
TEOREMA DE CRAMER
De fato:
Consideremos um sistema linear onde o número de equações é igual ao
número de incógnitas (isto é, m = n). Nestas condições, A é matriz quadrada;
seja O = det (A).
95.
o que prova a existência da solução X o
Se O cF 0, então o sistema será possível e terá solução única (ai, a2' a,3,
.,.:;t:;:;al_g:;l;u~e,--
ai =
~
I
\;f i
Concluímos, assim, que X o é efetivamente solução única de AX
A-I
-
1
•A
O
=
1
-
O
onde Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i'ésima
coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.
=
C.
A ll
A 21
A 31
A nl
A 12
A 22
A 32
A n2
A I3
A 23
A 33
A n3
........................
A ln
A 2n
A nn
A 3n
onde Aij é o cofator do elemento aij da matriz A.
Consideremos o sistema:
s
=C
Por outro lado, já vimos que A-I pode ser calculada pela fórmula
E ; 1, 2, 3, ... , n}
Demonstração
A -I • C.
XI = InX I = (A-IA) XI = A-I(AXd = A-IC = X o .
. . t"''''W::JaOº"):'''''
I
=
Para provarmos que Xo = A -I • C é solução única, admitamos que AX
tenha outra solução XI, isto é AX I = C.
Então:
Teorema
Seja S um sistema linear éom número de equações igual ao de incógnitas.
(
A(A- I • C) = (A· A-I) • C = In' C = C
+ a12x2 + a13 x 3 + ". +
+
+ a22 X2 + a 13 X3 +
+
+ a32 x 2 + a33 x 3 +
Logo
al n X n
a2n X n
a3n X n
Xo
=
A -I
•
C
=
A ll
A 21
A 31
A nl
bl
A 12
A 22
A 32
A n2
b2
1
O
bi
Consideremos as matrizes
Tendo em conta que:
A
Xo
o sistema S pode ser escrito na forma matricial A . X = C. Provemos que
tal equação matricial admite solução única.
Por hipótese, O cF 0, logo 3 A -I. Consideremos a mat(iz X o
provemos que ela é solução da equação matricial AX = C.
122-0
=
concluímos que ai é dado por
ai
A -I • C e
ai
1 • Di
O
Di
O
123-0
96.
0.267 Resolver os sistemas abaixo
Exemplo
{X
z
O
=
Y - 2z = 1
x + 2y + Z = 4
Seja o sistema
x + y + z
=
6
x - y - z
=
-4
t
Y-
+
x -
ai
2x - y + z
temos:
-1
D
1
2
-1
-4
bl [
•
- 2y + Z = 2
-4y + 3z = -2
= 36
3x + 2y
15
di [
cl {3X
*O
-1
Logo, o sistema tem solução única. Determinemos esta solução
0.268 (MAPOFEI-751
X
+ Y
-
y +
Z
x +
= 1
=
1
=
O
y + z +
,x+2y2x - y +
Z ,-
t = 2
t = 4
t = -3
-4x + y - z + 2t
=
4
Resolver, aplicando a regra de Cramer. o seguinte sistema:
1
=
-2x + 3y - 3z
x + z = 1
[
x +
-x - y + z
2x + 3y + 2z
2
-12,
-4,
0.269 Resolver o sistema pela regra de Cramer
X
{
+ Y+
1
Z =
~=~
3z + 2
-8.
2x + y
Solução
Logo:
x =
D,
D
-4
-4
1; Y
D2
D
-12
-4
3; z
_ D3
-8
=
= 2.
D
-4
Admitindo 3z + 2 * O e 2x + y * O. temos:
~-
Portanto a solução única do sistema é (1, 3, 2).
~
3z + 2
~ =
2x + Y
97.
ç~
2x - y = 3z + 2
~
2x - y - 3z = 2
~ z + 1 = 2x + y ~ 2x + y - z = 1
1
então. temos o seguinte sistema
Observação
Os sistemas lineares que têm solução única são chamados possíveis e deter-
minados.
x+ y + z=1
2x - y - 3z = 2
{
2x+y- z=1
EXERCICIOS
D
0.266 Resolver os sistemas pela regra de Cramer
ai
c)
rl
{3X - y + Z = 1
2x+
3z=-1
4x + y - 2z = 7
e) [
124-0
-x - 4y = O
3x + 2y = 5
x + y + z + t = 1
2x-y+z
=2
-x + y - z - t = O
2x
+ 2z + t = -1
2
-1
2
bl {
di
2x - y = 2
-x + 3y = -3
[-X
+ y - z = 5
x+2y+4z=4
3x + y - 2z = -3
f) { X +
t=1
= 2
2x - y - z - t = -1
x-3y+z+2t=0
-x
Dl
Z
D2
G
2
2
10-6=4*0
-1
-1
y+z+
+ 2y +
-3
-3
= 6
'*
x
Dx
D
3
2
6
4
-1
G
-3
= -5 => y
Dy
[)
5
4
-1
125-0
98.
2
-1
3
4
"" z
3
Definição
Dado um sistema linear
2
Notemos que 3z
+ 2 ~ ~ + 2
4
A solução do sistema é
*
O e 2x
+
y
3
+ (-
~I
4
*
a21 Xl
O.
5
(2, -~, 21.
2
4
331 Xl
{
4
3 m I Xl
t -
z - 2t
~~2
Y
x
3
x
1
-y
51
y
+
Sugestão: faça
O
z
+
am2X2
x',
x
~ ~
V',
~ ~
{":
+ 3z
1
Z
4
2z
5
{ 4x - y + z + t + w
z - t + w
5,
2t - w
- 4
z
33n X n
bl
b2
b3
+ am3X3 +
o ••
+
amnX n =
bm
z',
1
O
1
z
y
53 {
0.272 Mostrar que o sistema abaixo tem solução única
{
~
Exemplos
-1
+~ +
2
y
a2n X n
2z - y
0.271 Resolver o sistema, pela regra de Cramer
2
x
alnX n
+
+
onde em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, diremos que
5 está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro
coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
~-~~1
~
+
. ..................................
0.270 Calcular o valor de y no sistema
-3t - 1
+ a12 X2 + a 13 X3 +
+ a22 X2 + a23 x 3 +
+ 332 X2 + 333 X3 +
311 XI
2x - y + Z = 3
3x + 2y - z ~ 1
5x y
~ 7
99.
X -
4y + z
2y - z
5
O
Resolução de um sistema na forma escalonada
0.273 Sendo a uma constante real, resolver o sistema:
x. sen a - y •
{
CQS
a "'"
x • cos a + y • sen a::=
-CQS
2a
Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar
sen 2a
19 tipo) número de equações igual ao número de incógnitas.
Nesse caso o sistema 5 terá a forma:
111. SISTEMAS ESCALONADOS
o teorema
de Cramer tem um interesse mais teórico do que prático; quando
o número de equações é muito grande, fica bastante trabalhoso resolver o sistema
através de sua aplicação. Por exemplo, num sistema de 5 equ;Jções a 5 incógnitas
teremos de calcular 6 determinantes de ordem 5. O método de resolução que
veremos agora é mais simples, embora em alguns de seus aspectos teóricos tenhamos
que usar o teorema de Cramer.
5
allxl + a12x2 + a13 x 3 +
a22x2 + a23 x 3 +
a33 X3 +
+
atnXn
+
+
a2n X n
a3n X n
onde ai; *O,\:Ii EC {l, 2, 3, ... , n}.
127-0
126-0
A matriz incompleta do sistema é a
matriz tr ia ngu lar:
A
ali
a 12
al3
al n
O
a22
a 23
a2n
O
O
a33
a3n
O
O
O
a nn
D = det(A) = a a a ·
cF
I
.
11 22 33
.... a nn
O, ogo, pelo teorema de Cramer S é possível
_
e d etermlnado. Os valores ct ct
.
1,
2, ct3, ''', ctn da soluça0 podem ser obtidos
resolvendo-se o sistema por substituição. Partl'ndo da
'
última equação, obtemos
x n ;. em seguida, substituindo esse valor na equaça-o
.
anterior, obtemos x n -I' Repetm d O-se esse procedimento vamos obtendo x
n-2' x n _ 3 , "', X3, x 2 , Xl-
Para resolvermos tal sistema, podemos tomar as incógnitas que não aparecem
no começo de nenhuma das equações (chamadas variáveis livres) e transpô-Ias
para o segundo membro. O novo sistema assim obtido pode ser visto como sendo
um sistema contendo apenas as incógnitas do primeiro membro das equações.
Nesse caso, atribuindo valores a cada uma das incógnitas do 29 membro, teremos
um sistema do 19 tipo, portanto, determinado; resolvendo-o, obteremos uma
solução do sistema. Se atribuirmos outros valores às incógnitas do 29 membro,
teremos outro sistema, também determinado; resolvendo-o, obteremos outra
solução do sistema. Como esse procedimento, de atribuir valores às incógnitas
do 2 0 membro pode se estender indefinidamente, segue-se que podemos extrair
do sistema original, um número infinito de soluções. Um tal sistema é dito,
poss/vel e indeterminado. Chama-se grau de indeterminação o número de variáveis
I ivres do sistema, isto é, n - m.
Exemplo
{"
Exemplos
2y
z + 3t = 6
y + 3z
t
-5
5z + 7t
21
2t
6
lt?l { x -
(I)
(11 )
(111 )
(IV)
em
(111) 5z + 21 = 21 =>- 5z
em
(11)
y + 3 • O - 3 = -5 =>-
em
(I)
x-4-0+9=6=>-
2t
6=>-
t = 3
Fazendo z = ct (onde ct é um número real) teremos
O=>-
z=O
CD
®
X-Y=4-a
y = -2
{
y=2+a
x =
O sistema é agora do 19 tipo (determinado), para cada valor de a.
Resolvendo,
29 tipo) número de equações é menor que o número de incógnitas.
em
Nesse caso o sistema S será do tipo:
+ a12 x 2 + a13 x 3 +
a2jXj + ........ +
+ alnX n
+ a2nXn
bl
b2
®
CD
Y= 2 + a
x-2-ct=4-a=>-x=6
Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas do tipo (6; 2 + a; a)
onde a E IR. Eis algumas:
(j ;;. 2)
...........................
(r
< n.
4
2
X-Y=4 - z
y = 2 + z
[
Portanto a solução do sistema é (1, -2, O, 3).
com m
+Z
- z
variável livre é z (não aparece no começo de nenhuma equação).
membro das equaçoes teremos o SIS ema:
(IV)
Temos:
em
~
> j)
1 -->- (6, 3, 1)
-7 -
(6, -5, -7)
0-->- (6, 2, O)
1
2
--+ (6
~
'2
..1.)
2
128-0
129-0
2?l[
y- z-
x +
~ o
t
3z + 2t
~
0.275 Resolver os sistemas abaixo.
4
ai
[-X
+ 3y - z
As variáveis livres são y e ti transpondo-as para o 2? membro das eguacõU
teremos o sistem~
Z
~
3z
~
X {
+ t
4 - 2t
-y
Fazendo y ~
z ~
X -
3z
{
O'
-O'
~
e t ~ {3
e (3 são números reais) teremos
1
bl
cl [3X - 2y + 4z = 2
- y + 3z = -3
7z = O
di
oi {ax + by = c
{X
f)
+ 4y - z = 2
y
+
Z =
3
[2X - 3y + z - t = 4
y-z+2t=3
3z + t = 2
{X
my = n
CD
+ {3
4 - 2{3
(O'
=
2y + z = 2
5z = 10
+ 2y - z + t = 1
- y+3z-2t=2
onde, a, b, c, m, n são dados e
a
@
*
Oe m
*
O.
o sistema é agora do 1? tipo (determinado), para cada valor de a e de {3.
Resolvendo,
@z
em
4 - 2{3
IV. SISTEMAS EQUIVALENTES
ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA
3
x -
4 - 2{3
3
4 - 2{3 _ a + {3 ~ x ~ -3a + {3 + 4
3
3
~-a+{3~x
Portanto, as soluções do sistema são as quádruplas ordenadas do tipo
( -3a + (3 + 4. . 4 - 2{3 .
3
' a, - - 3 - ' (3) onde a E IR e {3 E IR. Eis algumas:
O' =
O e {3
~
O
~
4
4
(-'
o· -'
3' , 3'
e {3
~
2
~
(1; 1; O; 2)
~
3
c",
(.!Q. -1-
a
a
~
-1 e {3
3'
O)
2
,
3'
100. Definição
Dizemos que dois sistemas lineares SI e 52 são equivalentes, se toda solução
de SI for solução de S2 e toda solução de S2 for solução de SI'
Exemplo
SI
{ x + 2y
2x + y
S2
{ x + 2y
- 3y
3)
~
~
3
-5
S, e S2 são equivalentes, pois ambos são determinados (D
EXERCICIOS
como solução (0.274 Quais dos sistemas abaixo estão na forma escalonada?
b)
[x - z
d) {3X + 2z
=.
-2
y - 3z
o;:-
1
+ 5t
9
3y + 2z - 3t = 4
y -
-
130-0
3
1
~/;{ 2x
-
z+
t = 1
5z-2t=3
=
c)
t=2
. f)
[2X - 3y = o
x + 3z = O
2v + z = 1
r
l
2x - y
+ z -
t
= 1
-!.;
3
* O, nos dois) e admitem
~).
3
Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções (ou ambos não tem
nenhuma), o que iremos fazer é transformar um sistema linear' qualquer num
outro equivalente, mas na forma escalonada. Isto porque sistemas na forma
escalonada são fáceis de serem resolvidos. Precisamos, então, saber que recursos
usar para transformar um sistema S, num outro equivalente S2, na forma escalonada. Estes recursos são dados por dois teoremas que veremos a seguir.
5z-2t=3
131-0
Colocando (ai, az, ... , a n ) no 1? membro da i'ésima equação de S,
101. Teorema 1
teremos:
."Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema linear 5, por um número K"* O. o novo sistema
5' obtido, será equivalente a SU.
-!Miif-- 1 • K . bj
Demonstração
K
bi
Kbj (por hipótese)
Seja
allxI + a12 X2 +
a21 XI + a22 x 2 +
o que prova que (aI, 0'2, ... , O'n) satisfaz a i'ésima equação de S. Logo
(ai, O'z, "', O'n) é solução de S.
S
102. Teorema 2
Multiplicando a i'ésima equação de S por K
* O obteremos o sistema:
a'lx, +a12x2 +
a21 XI + a22 X2 +
:
"Se substituirmos uma equação de um sistema linear S, pela soma membro
dela com 1!00000.utra,~noJlO..-Sis.temªobtido S' será equiyalente a S/'
memhrO
Demonstração
Seja
S'
ali XI + a12 x 2 +
a21 XI + a22 x 2 +
A única diferença entre S e S' é a i'ésima equação. Portanto devemos nos
S
preocupar apenas com ela.
a) Suponhamos que (0'1, a2, "', a n ) é uma solução de S. Provemos que
ela também será so lução de S'.
De fato: por hipótese, ajlO'I + aj2a2 + ... + ajnan
=
b j•
Colocando (0'1, 0'2, ''', a n ) no 1? membro da i'ésima equação de S',
teremos: Kajl ai + Kaj2a2 + ... + Kainan
=
K (ail ai + aj20'2 + ... + ajnan)
\
=
Substituindo a i'ésima equação de S, pela soma membro a membro, dela
com a j'ésima equação. obteremos o sistema:
Kbj
allxl
a21xI
I
bj (por hipótese)
o que prova que (0'1, 0'2, "', O'n) satisfaz a i'ésima equação de S'. Logo
(aI, 0'2, ... , O'n) é solução de 5'.
+ a12 x 2 +
+ a22 x 2 +
S'
b) Suponhamos agora que (aI, a2, .... a n ) é uma solução de S' e provemos
que ela também será solução de S.
De fato: por hipótese, 'Kajlal + Kaj2a2 + ... + KajnO'n = Kbj.
132-0
133-0
A única diferença entre S e S' é a i'ésima equação. Portanto devemos nos
103. Escalonamento de um sistema
preocupar apenas com ela.
a) Suponhamos que (0'1, 0'2, ... , O'n) é solução de S e provemos que ela
Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles
baseados nos teoremas 1 e 2.
também será solução de S'.
1f? Passo
De fato, por hipótese:
bj
bj
ai 10'1 + aj20'2 +
ajlO'I + aj20'2 +
Colocamos' como 1~ equação aquela em que o coeficiente da 1~ incógnita
seja diferente de zero.
(I)
i
(11)
2f? Passo
Colocando (0'1, 0'2, "', O'n) no 1? membro da i'ésima equação de S',
Anulamos o coeficiente da 1~ incógnita de todas as equações (com exceção
da 1~) substituindo a i'ésima equação li ;;;. 2) pela soma da mesma com a 1~
teremos:
(ai 1 + ajl ) 0', + (ai2 + aj2) 0'2 + ... + (ain + ajn) O'n =
(ailO'I + ai20'2 + ... + ainO'n) + ~ajl 0'1 + aj2 0'2 + ... + ajnO'n)
\ .
y
multiplicada por um nÚmero conveniente.
bj + bj
v
bj (por hipótese (li))
,)
bi (por hipótese (I))
3f? Passo
Deixamos de lado. a 1~ equação e aplicamos o 1C? e 2C? passos nas equa\:ões
restantes.
o que prova que (0'1, 0'2, ... , O'n) satisfaz a i'ésima equação de S'. Logo
(0'1,0'2, ... , O'n) é solução de S'.
49 Passo
b) Suponhamos agora que (0'" 0'2, ... ,0'0) é solução de S', e provemos que
Deixamos de lado a 1~ e 2~ equações e aplicamos o 19 e 29 passos nas
Ilquações restantes, e assim por diante. até o sistema ficar escilloO§do Os exemplg,
a seguir esclarecerão o assugtg
ela também será solução de S.
De fato, por hipótese
bj + bj
(I)
(11 )
104. Exemplos
Das igualdades (I) e (11), concluímos que: ailO'l + ai20'2 + ... + ainO'n
=
bi
1?) Vamos escalonar o sistema
o que prova que (0'1, 0'2, "', O'n) satisfaz a i'ésima equação de S. Logo
X + 2y + Z
2x + y
z
(0'1, 0'2, ... , O'n) é solução de S.
S
{
3x -
y - 2z
=
=
9
3
= -4
Exemplo
Temos:
Os sistemas:
2x + y + 3z
S
{
Ix-
=
4l)
y + 2z = 1
4x + y + z
=
O
I
e
S'
{
I
2x + y + 3z
3x
= 4
+ 5z = 5
4x + y +
Z =
3x
O
são equivalentes, pois S' foi obtido a partir de S, substituindo a 2~ equação, pela
soma membro a membro dela com a 1 ~ equação.
134-0
{2: : 2~
I
+
~: ~ f i
y - 2z
= -4
Substituímos a 2~ equação pela soma da mesma com a 1~ multiplicada
por
-2
.
135-0
+ 2y + Z = 9
-3y - 3z =
y - 2z = -4
@
X
-1V
{
substituímos a 3 a equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3
-15~
1
3
multiplicamos a 2? equação por
+ 2y + Z
y + Z
- 7y - 5z
Permutamos a 2? com a 3? equação.
C1\
-X+2 Y + z=9
- 3y - 3z =
{
- 7y - 5z = -31
+ y - 3z + t = 1
10z - t = -3
- y + 7z - 4t = 2
X
+ y - 3z + t
{
Z
Z
2z
9
5m
-31Y
3C?) Vamos escalonar o sistema
+ z
+ z
+ Z
9
5
4
4
O
-4
Temos:
+ Z
+ Z
o
sistema agora está na forma escalonada. Como ele é do 1':> tipo (número
de equações igual ao de incógnitas), segue-se que é possível e determinado.
2~)
1
o sistema agora está na forma escalonada. Como ele é do 2':> tipo (número
de equações menor que o de incógnitas), segue-se que é possível e indeterminado.
substituímos a 3? equação pela soma da mesma. com a 2? multiplicada por 7.
2y +
Y +
=
- y + 7z - 4t = 2
10z - t = -3
+
z
~fi
-4
substituímos a 2? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3.
Vamos escalonar o sistema
L:
+ y - 3z + t
1
+ 3y + z + 2t
O
+ y+ z-2t=4
-y+z=4.@
5y - 2z =
+ 5y + Z = -4
-11
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -5.
Temos:
+ y - 3z + t
+ 3y + z + 2t
+ y + z - 2t
=
1 r-3I
O""!'--=-'
=
4
=
{
x-y+ z=4
5y - 2z = -12
10y - 4z = -24
fl
substituímos a 3? equação, pela soma da mesma com a 2? multiplicada por -2.
substituímos a 2? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3.
{,:
@
+ y - 3z + t = 1
10z - t = - : . ;
+y+ z-2t=4
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -2.
136-0
+ Z = 4
5y - 2z = -12
Oy + Oz = O
X - y
{
A última equação pode ser abandonada, pois ela é satisfeita para quaisquer
valores das incógnitas e não dá nenhuma informação a respeito de x, y e z.
137-0
105. Observações
4
-12
1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo
o sistema agora está na forma escalonada. Como ele é do 2? tipo (número
de equações menor que o de incógnitas), segue-se que é possível e indeterminado.
Ox 1 + OX2 + ... + OX n .= O
esta deverá ser suprimida do sistema (ver exemplo 3?l.
2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo
4 0 ) Vamos escalonar o sistema
OXI + OX2 + ... + OX n
4y
Y
12y
-8
15
=..
o sistema será, evidentemente, impossível (ver exemplo 4?l.
7
+ 4y
3x Y
10x - 12y
{
]~
3. Com relação ao número de soluções que um sistema apresenta, ele pode ser
classificado em:
Temos:
X
b(com b:* O)
-8
15
7
(.:3J
.-Y
.
sistema
~
possível
<
~
~ impossível
determinado (uma única solução)
indeterminado (infinitas soluções)
(nenhuma solução)
substituímos a 2? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -3.
EXERCfclOS
{,.:
+ 4y
- 13y
- 12y
-8~10
39
7
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 1? multiplicada por -10.
X
{
+ 4y
-8
- 13y = 39 (.:4)
- 52y = 87~
=
0.276 Escalonar e classificar os sistemas abaixo:
~
y =2
bl {x + 22
ai {x + 5y
3
2x - 3y ~ 5
2x +
y =
4
0.277 Escalonar, classificar e resolver o sistema abaixo.
x+ y=3
3x - 2y
-1
{
2x - 3y = -4
o
0.278 Escalonar, classificar e resolver os sistemas:
substituímos a 3? equação pela soma da mesma com a 2? multiplicada por -4.
X
{
+ 4y = -8
- 13y = 39
Oy = -69
ai {X - Y - 2z = 1
-x + y + z = 2
x - 2y + Z = -2
cl
el
Notemos que a 3? equação não é satisfeita por nenhum valor de x e y.
Logo o sistema é impossível.
138-0
{X
+ 3y + 2z ~
3x + 5y + 4z =
5x + 3y + 4z =
{X
2
4
- 1O
+ V + z + t :=: 1
x-y+z + t=""- 1
y-z+ 21= 2
2x + Z - 1 = -1
bl {
-x + y - 2z = 1
2x - y + 31 = 2
x - 2y + z - 21 = O
di {
x + y - z + 1 ~ 1
3x - y - 2z + 1 = 2
-x - 2y + 3z + 21 = -1
fI{X-2Y-3Z=5
-2x + 5y + 2z = 3
-x + 3y - z = 2
139-0
\,
0.279 (ITA-48) Resolver o sistema
0.282 Discutir o sistema abaixo
Y
X -
5x-2Y +3Z=2
3x + Y + 4z = -1
{
4x - 3y + Z = 3
{
2x + ay
2
b
=
Solução
I. Se
0.280 (FAM-65) Resolver o seguinte sistema de equações
3X + 5y + 2z = 26 ,
x - 7y + Z = -16
{
5x- y+3z=14
2
-1
a
IcF
O.
pelo Teorema de Cramer o sistema tem solução única. Se D
o
ax + 3ay
{ 2x + ay
4
2
Solução
I.
o,
o sistema poderá
ser indeterm-inado ou impossível. Examinemos este caso.
0.281 Discutir o sistema abaixo
-1a
I
a + 2
=
-2.
0= a
11. Se a = -2, o sistema fica:
Sabemos que se
I~
o
2
y
2y = b
+ Oy
y =
3a
a
2
b - 4
sistema possível indeterminado
o sistema tem solução unlca (Teorema de Cramer). Assim, os valores de a para os
quais D =: O são os que tornam o sistema indeterminado ou impossível. Examinemos
este caso:
a = O
O ==>
{
ou
a
=
6
então se
sistema impossível
111. Resumindo, temos:
a*- -2
a =- -2 e b
= -2 e b
{a
---+
=
sistema possível determinado
4 ~ sistema possível indeterminado
*- 4 ---+
sistema impossível.
11. Se a = O, o sistema fica:
0.283 Discutir os seguintes sistemas nas incógnitas x e y:
Ox + Oy = O _ x __ 2 e y é qualquer.
{ 2x + Oy = 4 ----.-
a) {x+ y=3
2x + my = 6
bl { 2x + ay = a
cI {-x-2y =-ax
-2x + ay c y
di
6x - 3y = 2
Logo, o sistema é indeterminado.
111. Se a = 6, o sistema fica:
{ 6x + 18y = O
2x + 6y = 4
~
C
+ 3y
+ 3y
O
2
Escalonando vem:
{
x + 3y = O
Ox + Oy = 2
o sistema é impossível.
[ :~~
a
140-0
=6
c
4
0.284 (FEIUC-58) Discutir o sistema
(2a - 1 )2 x + (4a 2 - 11 y
{ (4a - 11 x + (2a + 11 y
(2a + 11 2
(4a 2 - 1)
segundo os valores de a.
0.285 (EPUSP-59) Apresente 3 valores de
Resumindo, temos:
{ ax - y
(a - 11 x + 2ay
8
para os quais o sistema:
e a*-6 -+ sistema possível determinado
----+ sistema indeterminado
----+ sistema impossível.
seja, respectivamente, indeterminado, incompatível, determinado.
141-0
0.286 IFEIUC-65) Discutir
mx + y
{ x + my
O
sistema linear nas incógnitas x e y.
o sistema tem solução única (Teorema de Cramar). Assim, os valores de m para os
1 - m
°
-=:
~
quais D ,;:. O, são aqueles que tornam o sistema indeterminado ou impossível. Resolvamos
*
o sistema supondo O
O.
0.287 Discutir o sistema
f
l
x + 2y
1
3x + ay - b
o
-1
O
m
2
°
2
-1
-1
2
m
mim _ 11
c
*° ~
{m
m
~°
cF
1
0.288 Resolver o sistema
{
2ax+3Y =1
x + 2y
b
o
0.289 IEPUSP-621 Obter m, para que o sistema, nas incógnitas x, y,
Z,
°2
mx + y ~ 1
x + y ~ 2
0
-1
3
x - y ;;; m
0.291 (ITA-571 Se abcd
ax + by
{ px + qy
=
c
~
d
m
*0 determinar
m
11 - m)
°
21m - 1)
-1
m
0.290 IMACK-55) Discutir o sistema
{
11 - ml
abaixo, seja compativel.
X + my - Im + 11 z ~ 1
mx + 4y + (m - 11 z = 3
{
m
p e q de modo que o sistema
x
seja indeterminado.
O,
O
2
2
-1
m'
y
Solução do sistema 10.292 IFAUUSP· 691 Resolver o sistema
mx + y = 2
x -
11. Se m
~
{
m
m' ~I
m
=
0.293IMAPOFEI-19741
6x + ay = 12
{ 4x + 4y -,- b
°2 ~
Determinar os valores de a e b para que o sistema
seja indeterminado.
-1
o
111. Se m
y + z
x+
x - y + mz
mx + 2y + z
°2
{O: ~ 2~
+
Z
-
Z
Ox + 2y +
Z
°
2
-1
°
2
1
sistema é impossível.
~
1, temos:
0.294IMAPOFEI-74) Discutir e resolver o sistema abaixo.
{
~, -
2
m
D
m
0, temos:
m
x + y = 2
y
03
O2
D
{
x+ y+z
x- y+z
x+2y+z
°
2
-1
-1
então y ~ -1
e x
=
1 - Z; solução do sistema (1 - a, -1, al.
Solução
o
I. Sabemos que se
sistema é passlvel indeterminado.
I V. Resumindo temos:
-1
O
m
142-0
2
m
*0,
e m
*
1
---+ sistema possível determinado
sistema possível indeterminado
-+ sistema impossível
---10-
143-0
0.298 Discutir o sistema
0.295 Discutir o sistema
{
+ 2z
ax + V
2ax - V + 2z
2x + V + 2z
x + pz
{
D
2a
{
2
Estudemos o caso em que D
a
2
-1
~
2x + V + 2z
4x - V + 2z
2x + V + 2z
-40
+
8
O '" a
2
0.301 (OURO PRETO-53) OisC\Jtir o sistema
mx + y + Z = a
x + my +
z
b
{ x + y + mz =: c
b
1
~
3
r~
+
V + 2z
2z
- 3V
b
O
3
onde a, b, c são diferentes dois a dois e têm soma nula.
1
2b
b
0.302 (EPUSP-59) Estudar o sistema linear
V+
z= O
V + mz
2
z ~ 1
2V +
3 ~ sistema impossível
3 -----+ sistema possível indeterminado
0.303 Discutir e resolver o sistema
111. Resumindo, temos:
:
a
~~
~
-----+
e b
3
2 e b =1= 3
mx - y +
sistema possível determinado
-----+
mx+ v+ z
x + my +
z
{
x + y + mz
sistema impossível.
b)
{mx + 2V +
a(v
+
a (x
+
z)
z
144-0
+
V)
a
a2
x -
y + mz
-2
x +
y + mz
b)
t·
4x + V + az
-2x + V
z
ax + y
:=
m
0.304 Discutir e resolver o sistema
z ~ -1
m
2
2
0.297 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, os seguintes sistemas:
V + a(x + z)
mz
2x + mz = 3
{
mx + my = 2
-----+ sistema possível indeterminado
0.296 Discutir, segundo os valores do parâmetro m, os seguintes sistemas:
{X +
2
mx + V = -2
-2x + V - Z = m
{
4,. + V + mz = -5
O.
11. Se a = 2, o sistema fica:
=
V
2
2
b
b
x -
2
2a
t*
V - z ~ 4
+ mV + z = O
0.300 Discutir o sistema
pelo teorema de Cramer o sistema tem solução única.
D
x
2
-1
2
a)
5
mx +
2
a
a)
P
0.299 (ITA-53) Discutir o sistema
I. Se
{
~
3x + 2V + pz
3
Solução
Se
V + 2z = O
px -
b
1
(
-2
m~
x -
my +
m
: ::
z
O
= m
0.305 Discutir e resolver o sistema
-5
a
: :
X {
2x 2x -
mv + Z
V + mz
2V + mz
=
O
3
2
145-0
0.306 IIME-65) Determinar o valor de a para que o sistema abaixo seja indeterminado.
X
{
2x
3x
+ 3y + 2z
+ 5y + az
+ 7y + Z
=
O
=
O
O
=
<À>~ISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO"
106. Conforme vimos em 93. sistema linear homogêneo é aquele em que os termos independentes de todas as equações valem zero. Assim. o sistema
0.307 (MAPOF EI-751 Determinar o valor de k. para que o sistema seja indeterminado.
aUxl
+
a12 x 2
+
o
a21 Xl
+
a22 X2
+
O
3Z - 4y = 1
{
4x - 2z = 2
2y - 3x = 3 - k
S
0.308 (MAPOFEI-71)
a) Determinar os valores de k, para que tenha solução a equação matriciaL
b)
Resolver a equação, na condição do item a.
0.309 IEESCARLOS-59) Estudar o sistema no qual a é um parâmetro real.
X
+
ax +
é homogêneo.
Vimos ainda que tal tipo de sistema admite sempre a solução (ai. a 2 • .... a n )
onde ai = O. V i E {l. 2..... n}. chamada solução nula. trivial ou imprópria.
Portanto um sistema linear homogêneo é sempre possivel. Se o sistema linear ho·
mogêneo for determinado apresentará apenas uma solução (a nula). e se for indeterminado apresentará além da solução nula. outras soluções não nulas. também
chamadas soluções próprias.
y - az = O
y -
z = 2 -
~
107. Exemplos
{
x + ay -
z = -8
1~)
O sistema linear homogêno
Para quais valores de a o sistema é determinado, impossível ou indeterminado?
0.310 Mostrar que o sistema:
+ my + Im - I)z
Im - 1Ix + y + mz
mx + Im - 1 Iy + Z
X
(
=
S
[
=
X - y + 2z
2x + y - z
3x - y + 4z
5x - y + 6z
=
O
=
O
= O
= O
=
é equivalente ao sistema S' na forma escalonada
é determinado para todo m real e não nulo.
0.311 !ITA-63) Determinar os valores m e k. de modo que seja possivel e indeterminado o
sistema
{
X + 2y - mz = -1
3x - y + Z = 4
-2x + 4y - 2z = k
0.312 IEEM, IMT -67) Discutir o sistema
2X - y + 3z = a
-x + 2y - az = b
[ ax - ay + 6z
146-0
=
2
.f
X -
3
Y + 2z = O
3y-5z=0
z = O
Como S' tem 3 equações e 3 incógnitas (l? tipo). segue-se que é determinado. logo, a única solução de S é (O, o. O).
2~)
O sistema linear homogêneo
y - 3z
z
3y + 7z
y +
O
O
O
147-0
é equivalente ao sistema S' na forma escalonada,
0.316 (MAUÁ-64) Resolver o sistema
o
+ y -
3z
5y - 13z
o
(
Como S' tem duas equações e três incógnitas (2<;' tipo), segue-se que o mesmo é possível e indeterminado.
@
[
O
5z = O
+ 3z
=
O
3x + ay + 2z
~
O
y
Solução
@
Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas, podemos calcular
4
-5
2
-1
3
3
a
y = 13a
5
em
+
+ 4y - 5z ~ O
X
2x -
CD
3a
13a
5y
2x - 3y
~
0.317 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, o sistema:
Para resolvê-lo, consideremos a variável livre z, à qual atribu ímos o valor
arbitrário a E lA. Assim, temos:
+ y
=O
3X + 2y - 12z
x - y + z
CD x
D = det A
13a
+ -
5
=
3a
=-
x
2a
=
2
-153 - 13a + 156
= 3 - 13a
1
5
Como se trata de sistema homogêneo, só há duas possibilidades: o sistema é determi·
e as soluções do sistema são constituídas pelas triplas ordenadas da forma
nado ou indeterminado.
1;a; a) onde a E IR.
( 2a;
5
13
17
o:
i:-
Se D
O, isto é, se a
=F ,3 então o sistema
3
solução imprópria ou trivial: (O. O. 01.
Observemos que, para a = O, obtemos a solução nula do sistema, (O, O, O).
Se O
::=
é determinado. Neste caso, só existe a
O, isto é, se a = ,3 então o sistema é indeterminado. Neste caso, existem
3
soluções próprias ou não nulas.
EXERCICIOS
0.318 Discutir, segundo os valores do parâmetro m, os sistemas:
0.313 Resolver o sistema
ai {
2X + 3y -
x
2x
z=O
x - 4y + z = O
{
3x + y - 2z = O
+ my = O
+ 6y
=
O
bl {
x + y +
Z = O
mx + 3y + 5z
O
m 2 x + 9y + 25z' = O
0.319 (EEM. IMT -66) Estudar o sistema
0.314 Resolver o sistema
X+2Y - z=O
2x- y+3z=0
{ 4x + 3y + Z = O
{
klx + yl + z = O
kly + zl + x = O
k(z + xl + y = O
0.320 (FILD-USP-QU(MICA) Dado o sistema
0.315 IEPUSPI Resolver o sistema:
{
148-0
5X + 4y - 2z = O
x + 8y + 2z = O
2x
+
y -
z = O
X
{
+
y
+
z = O
4x - 2my +
3z = O
2x + 6 y - 4mz = O
determinar m para que o mesmo admita soluções distintas da trivial e determiná-las.
149-0
VI. CARACTERI'STlCA DE UMA MATRIZ
TEOREMA DE ROUCHE-CAPH.L1
0.321 Determinar a, de modo que" o sistema
Xx + y - az
- 2y + z
{
= O
~
O
y + az == O
2x -
108. Matriz escalonada
admita soluções próprias.
Dada a matriz A = (aij)mxn, dizemos que A é uma matriz escalonada ou
que está na forma escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro
0.322 Determinar k de modo que o sistema
kx + 2y = -z
-y + 3z = 2kx
{ 2x - 2z = 3y
elemento não nulo de uma linha aumenta. linha por linha. até que restem eventualmente apenas linhas nulas.
Exemplo
admita soluções próprias. Determiná-Ias.
As matrizes A, B, C estão na forma escalonada.
0.323 Dado o sistema
+ my + z
+
+
~
O
y+z=O
y+z=O
A
determinar m de modo que admita solução própria e resolvê-lo.
0.324 Para que valores de m o sistema possue solução própria?
X + my + 2z
-2x + my -4z
x - 3y - mz
{
O
O
= O
=
=
109. Matrizes linha-equivalentes
Qual o grau de indeterminação?
0.325 Determinar p de modo que o sistema tenha soluções próprias.
-x + 2y + Z
px + y - z
{ 2px + 2y + 3z
=
O
=
O
O
=
1) Troca de posição de duas linhas.
2) Multiplicação de uma linha qualquer por um número K cF O.
0.326 (EEM-IMT -651 É dado o sistema
-Im
-Im
+(m
1m 2
[
+
+
+
+
1)3xl
2)3xI
1)3xI
l)3xI
+
+
+
+
(-m
I-m
Im
1m 2
Dizemos que a matriz A' é linha-equivalente à matriz A, se A' for obtida
de A através de uma seqüência finita de operações. chamadas operações elemenrares sobre linhas. Ta is operações são:
+
+
1)2 X2
2)2 x2
1)2x2
1)2 x2
+
+
+
+
I-m
I-m
(m
1m 2
31 Substituição de uma linha, pela soma desta com outra qualquer.
+
+
1)X3
21x3
11x3
1)X3
+
+
+
+
x4 = O
x4 = O
x4 = O
x4 = O
Determinar os valores de m (reais), para os quais o sistema admite solução diferente
da imprópria (trivial),
D.327 (ALVARES PENTEADO-68) Qual o valor de k para que o sistema
X-y-z=O
2x + ky + Z = o
{ x-2y-2z=O,
Com estas três operações podemos, dada uma matriz A, encontrar uma matriz
A' na forma escalonada, linha-equivalente a A.
Exemplo
Dada a matriz
3
3
O
vamos encontrar uma matriz A' escalonada, linha-equivalente a A.
admita solução própria?
150-0
151-0
111. Exemplos
Temos
[:
3
-2
3
1
O
O
1~)
!]F
A [24 85] '
=
[2 5]
A' -
O
substituição da 2~ linha pela soma da mesma com a 1~ multiplicada por -4.
[~
3
-2
-9
9
O
O
'"'
!]r
A =
3
A'
-2
-9
9
-9
6
[,
2
2
substituição da 3~ linha pela soma da mesma com a 1~ multiplicada por -3.
0[:
3~)
substituição da 3~ linha pela soma da mesma com a 2~ multiplicada por - 1.
[~L~: ;]
escalonando a matriz A, obteremos
Logo P (A)
-2
4]
3
-1
-10
5
4
3
-:1- logo, piA'
-1
A=
[:
2
2
3
3
1
A' - [ :
A matriz
A'· [ :
-2
-9
9
O
-3
;]
é uma matriz esca lonada linha-equivalente a A.
Notemos que as operações elementares sobre linhas de uma matriz A são
análogas às operações para o escalonamento de um sistema linear. Tal fato será evidenciado quando, mais adiante, estudarmos o teorema de Rouché-Capelli.
o
2
O
9
3
escalonando a matriz A, obteremos
'
1
-2
-3
= 2.
O
O
O
O
:] ,",,'o",odo • m"'" A, ob"com"
:]
Logo, p (A) = 1.
EXERCICIOS
0.328 Determinar as caractedsticas das seguintes matrizes:
-2
2
-4
110. Característica de uma matriz
Seja A uma matriz qualquer e A' uma matriz escalonada, Iinha-equ iva lente
a A. Chamamos de caracterfstica da matriz A, e indicamos por p(A), ao número
de linhas não nulas de A:
152-0
153-0
g)
[1 O 2
-2
3
4
-2
112. Teorema de Rouché-Capelli
O
Consideremos um sistema linear
0.329 (EPUSP-58)
S
ai O que é caracterfstica de uma matr;iz?
b) Qual é a caracterfstica da matriz abaixo?
al1 x I
+
a12 X2
+
a21 x I
+
a22 x 2
+
............................
Sejam A e B as matrizes incompleta e completa do sistema. isto é:
A
B
0.330 (ITA-62) Justificando a resposta, calcular a caracterfstica da matriz
-1
3
4
o sistema linear S será possível se. e somente se.
O
p (A)
=
p (B).
-1
7
Demonstração
0.331 (ITA-64) Qual o valor máximo da caracterfstica de uma matriz 3 X 4?
0.332 Discutir, segundo os valores do parâmetro a, as caracterfsticas das seguintes matrizes
Suponhamos que S seja possível e seja S' um sistema escalonado equivalente a S.
Sejam
:, ]
a
•
2
4
3
9
a
2~
A': matriz incompleta de S'
B': matriz completa de S'.
Por definição de matrizes linha-equivalentes.
A' é escalonada e linha-equivalente a A
B' é escalonada e linha-equivalente a B.
]
•3
Sendo S possível. S' poderá ter um dos tipos:
2
[
-1
:
;~]
2
CD
a22 X 2 '+
onde ari =1= O. Vi E {1. 2•...• n}
1
0.334 Determinar m de modo que a caracterfstica da matriz seja 3
m
m
bí
bí
aÍI Xl + aÍ2 x 2 +
0.333 Determinar m de modo que a caracterfstica da matriz seja igual a 2.
ou
+
@
aínxn
b'l
+ aínxn
bí
•
(j;;;' 2)
-1
(r
154-0
>j
e com k
< n).
155-0
CD como no ®, o número de linhas não nulas de A' e B'
Tanto no caso
é o mesmo. Logo p (A)
=
Solução
p (B).
Além disso, se S' for do tipo
se S' for do tipo
CD então p (A) = p (B) = n
® então p (A)
=
p (B)
A
e
~
< n.
Reciprocamente, se P (A) = P (B) = n, S' será do tipo
e determinado. E se p (A) = p (B) < n então S' será do tipo
CU, isto é, possível
@, isto é,possível
e indeterminado.
[-,
3
-1
2
2
[,
3
:J
B
~
:
3
-1
-1
2
:J
2
Escalonando a matriz completa, vem:
[:
3
-1
-, i
2
temos, então
2
1
I
I
'J['
1
-1
O
8
-1
O
8
-1
~ 2
< 3,
-
: 3
p (A)
3
~
p IB)
'J['
I 7
I!
: 7
-
3
O
8
O
O
_, I ' ]
-1
O
i
I
I
7
O
portanto o sistema é poss ível indeterminado.
EXERCICIOS
0.337 Utilizando o teorema de Roue h'e·Cape 11'I, c Iassi f icar e resolver os seguintes sistemas:
0.335 Classificar e resolver o sistema abaixo, utilizando o teorema de Rouché·Capelli
X
+
-x +
{
y - 2z ~ 4
4y - 3z ~ 1
2x + 2y +
Z
= 2
Solução
A - [-;
::
,~ h::: :1
'"oom".' 00
,'''~,
(
4
22
-2 :i 41 (1
-3
1
-
O
aI {
n
=
X
Solução do sistema
temos: z ~
6
-S'
y
{
=
156-D
~
~
2
1
3
z = 2
x + 4y - 3z + t = 1
2x + 3y + 2z - t ~ 2
bl {
x + Y
x - y
c) {
= 2
~
5
x+2y-3z~6
-2
~
fI{
x-
-x - y - z ~ 2
3x - 3y + 2z = 1
2x - 4y + Z = -3
0.339 (EESCUSP-661 Dado o sistema
-5
2~
= b2
Para que valores de a e b este sistema é:
4
5y - 5z = 5
5z ~ -6
1
9
-"5' x = 5" portanto
~ : ~2
: : a :
{ 2x + 2y + (3 - a)z
sistema possível determinado.
+ y - 2z
el {3X + 2y + 3z ~ 2
-x - y - z = -1
2x + y + 2z = 1
z ~ 5
y - 2z ~ 3
y- z=O
x - 2y +
3x -
1
x + Y =-1
a) possível?
b) simplesmente indeterm,-nado?
c) duplamente indeterminado?
Justifique as respostas utilizando o teorema de Rouché.
9
1
6
1"5' "5' -"5),
é solução.
0.336 Classificar o sistema abaixo, utilizando o teorema de Rouché-Capelli:
-x + 3y - z
3x - y + 2z
{ 2x + 2y + z
y + 2z = 1
z= 1
2x - y 3x + 2y -
d) { 2x - y - z ~ 2
-x + 3y - 2z = 4
:2005
pIA) ~ p(B) = 3
fi { -x +
0.338 Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classificar os seguintes sistemas:
m."" ,om".' 00 "",m.
Escalonando a matriz B obteremos: completa
1
-x y + z ~ O
2x + y + Z = 1
5x + 4y - 2z ~ 1
di { x + y + Z = 2
x- y+z=2
x + 2y + z ~ -1
2
5
3
-1
el {-2X + y + z ~ 1
x-2y+ z=1
x+ y-2z~1
Determinemos P IA) e p (B),
-1
b) {
z + 2t ~
2x - 2y + z - 3t ~
-x + 3y + 2z
t ~
2x + 7y + z + t =
c) { 3x + 4y -
1~,,"
:
aI { 2x - y + Z = 4
x+2y+ z~1
x+ y+2z~3
0.340 Determinar o valor de k, de modo que o sistema
-x + 2y + kz ~ 1
kx + 4y - 4z ~ 2
{
2x + y + Z = -2k
seja: a) indeterminado
b) imposs(vel
157-D
EXERCICIOS SUPLEMENTARES
0.341 (IME-64) Determinar o valor de
x3
que satisfaz ao sistema de equações lineares
xl
+ x2
+ x3
+ x4
~
XI (b + c + d)
+ x2(a + c + d)
+ x3(a + b + di
+ x41a + b + cl
=
xI(bc + bd + cd) + x2(ac + ad + cdl + x3(ab + ad + bd) + x41ab + ac + bcl =
xlbcd
+ x2acd
+ x3abd
=
+ X4abc
1
O
O
O
B
0.342 (EPUSP-6Q) Para que valores de a são equivalentes os sistemas:
X = 1
{ Y = 1
e
{
ax+ y =a+l
x+y=2
0.343 Resolver o sistema
• gY
0.344 Resolver o sistema:
X - Y • cos C - z • cos B = O
Y - z • cos A - x • cos C = O
{
z - x • cos B - Y • cos A = O
sendo, A, B e C ângulos internos de um triângulo.
0.345 Resolver o sistema:
1092 (x + Y + z)
{
=
O
logy (x + z) = 1
1093 5 + 1093 x = log3 (y - z)
0.346 (EPUSP-62) Mostre que as retas de equação
x + ay + a 2 = 1
(a E IR, variável)
cortamMse duas a duas e que entre elas não existem três passando por um mesmo ponto.
0.347 Provar que se o polinômio na variável x
assume valor numérico zero para n
+ 1 valores distintos de x; então P (x)
== o.
0.348 Achar os polinômios P (x) do 4':' grau que verificam a identidade P (xl =' P (1 - xl
158-0
RESPOSTAS
CAPiTULO I
0.1
0.2
a)
b)
c)
dI
e)
ai
b)
c)
d)
e)
5,7,9,11,13,15
3, 6, 12, 24, 48, 96
2, 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32
4, 4, -4, -4,4,4
-2,2 2 ,2 6 ,2 24 , 2 1lO , 2 720
1,4, 7, 10, 13, 16
0.3
a) ai
=
3 e an
=
an-I + 3, V
b) bl = 1 e b n = 2 • bn-I'
I
c) cI = 1 e cn = (_1)n- ,
5 e dn
V
V
n;;' 2
d) di
=
e) el
= O e en = en-l + 1, V n;;' 2
=
dn-I + 1,
n;;' 2
V n;;' 2
n;;' 2
li, 18, 54, 162, 486, 1458
2, 6, 12, 20, 30, 42
-2, 4, -8, 16, -32, 64
1, 8, 27, 64, 125, 216
CAPfTUlO 11
0.5
a
23
= -
6"
H, 0,1), (O, 1,2) ou 11,2,31
0.7
(2, 6, 10) ou (10, 6, 2)
0.8
(O, O, O) ou (6, 12, 18)
0.9
0.10 (-1,1,3) ou (3,1, -1)
0.29 alO
0.31 (-3, -1,1,3, ... )
0.32 (20, 23, 26, ... )
0.33 189, 93, 97, ... )
0.34 ap+q
=
p·<:y-q'll
p - q
0.35 m+n=p+q
0.41 43
100
(3,7,11,15) ou (-15, -11,.-7, -31
0.42 r =
13
(1, 4, 7, 10) ou (10, 7, 4, 1)
0.43 69
(2, O, -2, -4, -6)
0.44 601
1 3
7 9
0.45 849
("5'5,1'5'5)
0.46 6171
(2, 2, 2, 2, 2)
0.47 30
35, 80 e 299
0.50 61425
3
0.51 14520n(n+1)
-2
0.52 600
0.12 {-9, -4, 1, 6}
0.13
0.14
0.16
0.17
0.18
0.25
0.27
0.28
161-0
D. 127! • I! 1999
2
3
D.119 13,6,12,24,48,96,192,384,768,
1 - n
0.53
2
D.55
D.56
D.57
D.58
D.61
31
30
16
14662
D.59 ai = 0.60 aI = -
3410
59
1
"2
e r
=
2
259
262
1536,30721
D.63
0.64
D.66
D.69
D.70
4 549 050
7142135
aI = 5 a r = 2
ai = K • r, K E L:
(3, 4, 5, 6, 7, 81
D.71
{-9, -4, 1, 6}
cl 25
6 •
10
D.98 ai = 273
0.74 x = 6 - a
D.75 x = 3
D.123
D.131 {a E IR
~
1
D.l03 q =
0.78 a) V b) V
dI F aI V
gl V hl F
jl F kl F
3
cl
fI
il
Q)
F
21
D.80 12, 10, 50, 2501
{I, 4, 16, 64, 256}
D.82 (2, 6, 18, 54, 162, 486)
a 3 • b 3, y
bl a
12, 18}
l<q<I+J5
D.91
12,12,12 ou 8, 12,18
D.lll 1023
512
d) 4646
495
D.92 x = k11 ou x = ± E: + 2k11
3
bl a
J3
3
a 2 J3
cl - 3
di
11a 2
9
bl 1T • a • 12 + J21
11a 2
di
2
D.136 ai 4a(2 + J21
cl 2a 2
1
=
D.138
a "3
D.113S=al q
2n
4n - 1
l
;l ]
o. 139 x
= 1 a y = O
D.140 x = O, y = 3, z = 4, t =
D.141 A + B = [5
5] a A - B =
9
D.142
A+B+C=
6
8
[ 3
12
23
2
-6
-11
q - 1
.
A=
3 25 • 2 300
fi a 5050
c)
A_B_C= [-1
3 20 _ 1
D. 1 1 2 -2- -
2
alOO = 2 • 3 99
a21 = 3 10
não
248832
2
=
1-~
2
D.l09-1
D.110 2756 • 3 784
~
j~
D.90
D.94
D.95
D.96
D.97
=
D.l08al IOgJan+1 '2
D.83 a = 2, b = 6, c = 18 a
d = 30 ou vice-versa.
com k inteiro
c)
D.135al 2a
CAPíTULO IV
1
n1n
0.81
0.89 q=
bl 169
33
2
D.l07 a) 2 45
bl 2 20 • 3 190
d) _2 2145
aI 1
S'4'2"}
{6.
139
D.125 ai
333
F
3
25
47
275
8
99
2
D.l06 x
2
D.132 m
D.1332p
D.1342A
5
~
D.l046
D.l056
V
V
I ! < a < 2} a 125
0.126 12022
D.77 P.G. da razão -1
D.84
a q = 3
D.99 12
2
3
9
a r = 3
CAP(TUlO 111
D.79 {
D.130 136
di
D.1224
D.124S =
0.76
D.128J2 + 1
D.12915
5
2";
D.121 ai
o. 143 C
= [:
16
-5
[-~
-:]
8],A_B+C= [-1
30
-4
6] a -A + B+ C= [14
-8
O
3
O
-3
1: ::]
25
36
D.114 [3' 4n-tl. a 2
D.1158
D.116 11
0.11719
D.14442
D. 145 a = (3 = r = 8 =
0.146 x = -3 a y = 2
163-0
162-0
0.148
...,
1~ ~
x=
[
[,]
=
X
.'''''[: :]-[i -;]
1 ]
2
o. 162 E
-7
o. 163 x
~ [:
0.150
=
2A
,~ [:
0.151 a)
X
.,~
X
~'l
b)
X
:;
c)
0.153 X
.!.
2]
B
14 '3
[ 1:
[i ]
=
=
[~ ~
=
[-"]
2
2
-38
6] e Y
d)
e Y
0.157
AB = f-1 ~
d)
X
=
a) [ : ]
=
[ 1:
20
27
=
[:
:]
0.165
a)
= [-
~
2
:!.2
o. 168 ai
b ] com a, b E IR
a+b
o]
19 ]
85
d) [54
18
~
± ] ou X = [ J 1 : bc
_J 1
42
~ bC]
189 ]
54
ou
1]
"]
28
']'J ['
1
"2
b ] com a, b E IR
a-2b
0.170 X = [ : 1
[:
13
y = -
com a, b, c E IR
1
0.171
X =
b)
2
2
3
3
7
10
-6
19
-14
_~ ] , BA [~ ~]
:]
,: ]
cl
[-
~4
14 ]
13
-J1 -bC
c
[
[~ ~]OUX=[~
['n=
2
X=
J1b_bC] onde b, c E IR e bc .;;; 1
2
c
f)
2
[:
8
8
': ]
2
-1
0.172 ai
X=
,
- +
2
7
5
2
~]
X =
ou
["J'-"" ~J'",~ ]
2
2
c
~]
onde
2
ou
2
1
b, c E IR e bc .;;; 4
2
1
2
cl
1
2"
3
2
=
b) [6 1]
14
164-0
(A + B)
"2 e
[-: :1]
~]
0.159
1
"2
9
[~ ~ ]
[ 14
30
e
X ~
-9
0.155 a)
=
:]
1
=
2
b) X = [ -1
-5
:]
1
2
d)
X=
[-:
2
-i]
165-0
0.173 x = 2. y = 5. z = -4
0.174 x = 4. y = - 2. z = -1
0.175 cij = aij + bjj = aji + bji = Cji.
V-
0.198D 11 = 1. D22 = -41. D 33 = -9.
i. j E {O. 1. 2•.... n}
D.176 A _1 =[
-6] .B-I=
5
5
-4
[ 3 -5]
-1
0.199 a) -54
b) -44
0.200 a) -208
b) a 2
+ b2
A-I=~. [
-1
C-I
26'
X = [:]
cl Tem ~ e
d) zero
c) 3696
3" colunas proporcionais.
0.209 a + b + c
-16
-26
50
o. 179 a)
b) O Izero)
bl tem 1~ e 3~ col unas iguais;
B-I
1
1 [-~4
x 2 y 2 z2
e)
d) abcd
0.205 a) Tem 1 ~ e 3~ colunas proporcionais;
-1-11]
1
c) 48
0.201 -3a + 3d
0.202 -25
2
0.203 ai 2ax 12 - 3a)
0.177
D44 = 29
13 ]
13
-26
c) X = [cos 3a ]
sen 3a
2
a - b +c
3
4
a-b-c
5
6
2
a
=
b
2
a
3
4 + -b
3
4 +
a
5
6
5
6
-b
2
c
c
3
4
-c
5
6
0.2108
bl ~ X
0.212 Uma condição necessária e suficiente para que um determinante se anule é ter uma fila
que é combinação linear de outras filas paralelas.
n,~.,
X
~
D.215P.10. P.3. P.10 e P.l respectivamente
0.225 a) 281
[:]"' • X
b) 30
c) -24
b) X= A-IS-I
0.182 a) X= A-IB
d) X = A-IB-IA el X = A-IB t
t)
0.183 a)
X
=
X=
0.226 a) (x-y)(z-x)(y-zl
b) la + b + c) (b - a) la - c) (b - c)
c) (a + b + c) (b - a) (c - a) (c - bl
Bt - A
0.229 S
-1 9
[
-21]
13
8
=
{-3a, a}
0.2308xyzt
0.232 Sim
0.236 a) 240
CAPITULO V
0.187 a)
!2
b) -42
bl -12
c) 6i - 5
0.188 a) sen (x + y) b)
cl 6 + 4 • sen x - 3 • cos x
0.189 a) 10 9
lã
J5
bl -m 2
0.190 a) x = 2 ou x = b) x
0.191 a)
= -1 ou
x
b) -9
=
o. 193 a)
x =
2.2
c)
x =
O ou x
0.194 x
~
±
1
"2
c) -40
0.237 le - a) (e - b) (e - c) (e - d) (d - a) (d - bl (d - c) (c - b) (c - a) Ib - a)
b) x = O ou x =
0.240 -34 560
V3
0.241 12
3
0.195 D21
=
-25. D22 = 7, D23
=
26
0.196-19
0.197D 13
0.238 (t - xl (t - y) (t - z) (z - xl Iz - y) Iy - x)
0.239 S = {1. 2. 3}
-2
=
~-
1
"2
c) (a 2 - a) (a 2 - b) Ib - a)
0.192 a) 121, bl bla 2 - c 2 )
c) 4m + 8n - 26
-2
0.242 S = {-5. 1, 2}
n(n + 31
2
0.243 Positivo pois D
=
-25. D24
D 43 = -4.
=
6, D 32
=
-19,
=
1- 11
0.2451
0.251 6! = 720 termos
166-0
0.252 m = 5
167-0
0.254
sen a
[ -cos a
cos
aJ
- sen b ]
hl [sen a
sen a
0.262 a)
cos b
2 cos a
sen b
-3 cos a
{~: ~
:y= ~ 9z =O
b) {5X + 2y - z + 31
-x + 5y - 2z + 1
3x + 7y + 3z = O
D-1
c) {axex ++
by
=
a
2
d)
dy = ab
ex + fy = b 2
0.256 a*"1 e a*"- .:
2
D."",' [ ,
-2
T
"''',' [-; :: :] r:] r:]
-5
~:
-1
_:
O
-'] [ ,
1
0.257 a, c, f, 9, h
0.2581: solução
0.259 Não é solução
0.260 (1, 3. -1). por exemplo
[_;
-2
3
{X
+ 2y = 1
3y + 3z = -1
-y = 2
0.263 Não é sol ução
0.2641: solução
CAPITULO VI
b)
=
=
~~
6
8
y
-3
1
4
-3
-1
-1
O
-b
-2
4
-'-;] [-:,
~] [:'
d)
z
4
-b
-b
:] ':1 [:I
....
4
-1
-3
-2
-1
4
-1
~.
-3
b
O
ab
-b
a
3
4
-1
2
-3
4
-1
7
3
2
-1
2
4
-1
1
0.266 ai (2, - 21
d) (-2, 3,
~
-: ]
:]
1
2
., [-:: : +: [;]
4
3
[:'
"[-,: -,;:] :] [;] "n ;, -;] [:] [:]
., [-;:1 [:] -[;
-2
-1
c)
x
1
O)
0.267 ai (5, -2, 3)
bl (~
5'
e)
(4,
1
-~)
2'
5
-11
2,2)
b) (2, -2, 1)
3
clI
c)
(1,1, -1)
f)
10,0,2,-11
5
3
4 '-s'-"2
1
d) impossível
i' 0.268 H, 2, 2)
0.270 y =
-9
31
-9
9
D.271 1-3, 14 ' 17)
0.273 (sen a, cos a)
0.274 a. b, d, e, f
168-0
169-0
0.275 a) (-3, O, 2)
0.287
bl (5z - 10, 3 - z, z)
8
e) (3",3, O)
di
(-17(H43 -7(Hl1 2-a ai
6
'
3
'
3 '
el (em - bn , ~)
am
m
fi
(-5a + 3{3 + 5, 3a - 2{3 - 2, a,{31
a
{
0.288
..-------...... indeterm inado
-->- impossível
6 e b
=
*~
a
'43 e
a) sistema possível determinado (-lI, -6, -3)
b) sistema possível indeterminado (-12 - 13a, -11 - lIa, a, 5 + 5a1
0.289
c) impossível
d) sistema possível indeterminado
0.290 {m = O
2 - 7a
1 - 14a
7'
7
ai
1
15
, 1, ~
1
5
2
~)
5
(-5,1'-5'5)
=
m
*
{
=/=.
2.2
1
*
O, -
0.285 a =
2" e"2 ~ determinado
1
2
*
a; a
1 e m
m = 1
m = -1
*-1
11
-1 -------+ impossível
e
*
*
bl {m
*
*
1 e m
-2 -----+ determinado
m == 1 ~ impossível
m = - 2 ------+ impossível
1 e m
-1 -----+ determinado
m = 1 ----+ impossível
m = -1 - - - ? impossível
n~'l
bl { :
1
~
determinado
-------+ indeterminado
------4- impossível
*
0.296 a) {m
impossível
*±
*
Oe m
*
0.298
- 2"
*
1
1 e p
-
-->- determinado
indeterminado
-------+ impossível
1 e a
-4
p == 1
::=
*-~
---+
[P *
p
1 e a
1
---+ indeterminado
-----7
± 1; :si
0.286 {m
170-0
1
I
I
0.293 a = 6 e b = 8
-----+ sistema possível determinado
ou a = -1 -----+ sistema impossível
2
-----+ (1,
*
~ sistema possível determinado
3
e a =1= -1
1
a = O ou a =
*
•
ImpOSSlve
m = -2 -->- (O, 21
m
1 e m
-2 ~ impossível
ou a = 3 -----+ sistema possível indeterminado
2"
0.284 a
-----+ sistema possível determi nado
-----+ sistema impossível
-11 e a
.
3 1
m=1-->-(2'2)
0.292
-----+ sistema possível indeterminado
*
2
-----> (-3 - 2a, a)
b -r---t-~
3 -----+
e
0.283 a) {mm ~-22 ~ sistema possível determinado
e) {aa
~ab = ; )
ad
bd
0.291 p = - , q = -
sistema impossível
0.279 (-a, -1 -a. t.tJ
0.280 (1, 3, 4)
{aa *= -_11
,
1 3
-1 -----+(2:'"2)
m
f)
bl
= 33
E IR
'
e) sistema possível determinado (_
1
\f m
~3
e b =
4
=
3
b
{
0.277 (I, 2); sistema possível determinado
*
- - * ( 4:
~
a
0.278 Sol uções
6 - 14a
(7
~ determi nado
6
a
a
b) sistema possível indeterminado
0.276 a) sistema possível determinado
*
a = 6 e b = 3
*"
-4
-----+ determinado
impossível
------+ indeterminado
--------jo-
*
-2 -----> determinado
indeterminado
2 ------+ impossível
~
171-0
- - - - » determinado
0.313 (O, O, O)
0.314 (-a, a, a) com a E IR
~~--» impossível
0.300
mm *= 11 e m * -4
J
determinado
---->J indeterminado
{ m =- - 4
) impossível
{
"3
0.316 (2a, 3a, a), a E R
m *-2 em * 1 --determinado
0.301
2
1
0.315 ("3a, a, a) com a E R
= 1 - - - - » impossível
m = -2
) indeterm inado
m
0.318 a) { m * 3 -------> determinado
m == 3 -----+ indeterminado
~
~_oo __e _m_*_I======:.:determinado
0.302 {mm
• i mposs(vel
• imposs(vel
=1
m
~
m-2
4-m
~_ 1 e k * - ~
0.319
kk
m * O e m * 1 - - determinado
0.303
{
louk=-"2
m+4
determinado
indeterminado
-------+ determinado
~
indeterminado
I--;:;;-,r;;-,---;:;;-r-i
m = 1 -------+ indeterminado
0.320 m = -1 - - (-
O
~
x=
mI2m-l)
m
1
'Y=-+I'z=
m-
para m
=
m
dete~mmado
2m
--2
0.305 {m * 2 ------> determinado (m + 2, I, -2)
m = 2 ----> indeterminado (2 - Z, 1, z)
0.306 a
"2
0.307 k = 5
0.308
a)
"5
16
e k = -6
0.312 {a * -6 e a * 3 -----> determinado
a = -6 e b * -5 -------> impossivel
a = -6 e b = - 5 ~ indeterminado
a = 3 e b * 1 -------> impossível
a ::: 3 e b = 1
----+ indeterminado
172-0
0.322k
= _
14
(-3a -5a a) aE IR
9 ,e
2 ' 3 '
,
0.323 m = 1, l-a - (3, a, (3) ,a E IR, {3 E IR.
0.324 (m = -2 ou m = O) e grau de indeterminação
~,
1
2"
-I, O, I}
b) (17 - 40a , a, :!..a )
0.309 {a = 1 impossível
a = -2 _ _ imposs(vel
a * 1 e a * -2 -------> determinado
0.311 m =
=
0.326 {-
k = 6,
3
"2
0.321 a
0.325 P = -
3
=
1
1 -m
± 1 sistema Impossível
a)
2
impossível
0.304 { para m * 1 em *-1, sistema possível
a
= - ~ -------> (O, -a, a)
m
m =
a
"2 ' - 2"'
0.327 k
=
0.328 a) 2
g) 3
1
b) 4
h) 4
c) 3
d) 3
e)
2
f) 3
0.329 b) 3
0.3302
0.3313
0.332a){a*1
a = 1
b)
------>J P = 3
------>J P = 1
{a * ea*
2
3 ----->
a=2----+p=2
a=3----+p=2
P=
3
173-0
0.333 m ~ -1 ou m
0.334m *' 1
~
-2
0.337 Soluções
ai Possível determinado (1, -
2
3" '
TESTES
4
"31
Indeterminado (1 - 2a, 3a - 1, ai , a E IR
Impossível
Impossível
Impossível
ti Possível determinado (1, O, 11
bl
c)
d)
e)
SEQÜÊNCIAS
0.338 ai Indeterminado
b) Determinado
c)
TO.1
Determinado
(PUC-76) A definição por recorrência
ai
di Indeterminado
el Indeterminado
ti Impossível
0.339 {a) a = 1 e b
b) a = -1
cl a = 1 e b
= ± J2
ou a*'1 e
sendo a E IR
V b E IR
1
e)
ai (1
0.343 (1, -2, 41
I a ' sen A
sen C
'
0.345 imposs(vel
0.348 Plxl
=
ax 4 - 2ax 3 + bx 2 + la - b)x + c
a· sen 8
sen C
'
a)
2
el
1
1
~*
pode definir uma seqüência do tipo
b) (2. 4. 8, 16, 32
d) (4. 7, 13.25
)
n
)
+1
4
4
234
1
b)
(2' 3' 4' 5' ... 1
d)
(-2" 3'-4' 5· ..·)
1
1
3' 4' 5' ... )
3
E
(-1)n _n~ com n E I\J', então a seqüência definida é dada por
3
1
p
)
)
3' 2' - 4' 5' ... )
cI (2"
-----+
E R *, com
... )
TO.2 (PUC-76) Se a n
V a E IR - {1}
0.344 Sistema indeterminado
1 1
4' 8"
'2'
(1,
1
0.342
r
e
ai (5. 4. 7. 9. 3. 16,
c) (4. 9, 14, 19, 24,
= ± J2
-8
(a _ cl (b - c) (c - d)
=
a
{ a : ap_1 + r
p
0.340 indeterminado ~ k = -2
impossível <==> k = 12
0.341 x3
=
2
3
4
5
("3' - "4' "5' -"6' ... I
TO.3 (FFCLUSP-691 Considere a seqüência (ai, a2. a3 ..... a n , ... I cujo termo geral é
a n = (_1)n • n • sen
ai
b)
c)
di
e)
.!...
n
Qual das alternativas é verdadeira?
o limite da sucessão (a n ) é -1
o limite da sucessão (a n ) é 1
a sucessão (anl não converge e nem diverge
a sucessão (a n ) diverge para +00;
nenhuma das respostas anteriores é verdadeira
TO.4 (CESCEM-72) A sucessão
a + 1; a - 1; a +
..!-.
2'
a - .!.·a+ .!.·a- 1.
3'
4'
9'
... ,'a+
1'
..!..'a+
1
2"' a - 3"'
2"+1;
a __
1_.
é
3"+1 ' ...
a) oscilante
c) estritamente crescente
e) divergente
174-0
bl convergente para a
d) estritamente decrescente
TD.13 (PUC-68) Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Calculâ-Ios:
TD.5 (FEI-7l) Dentre as seqüências (XI, x2, ... , x n ' ... ) abaixo, uma delas tem o têrmo geral:
1 [( 1 +../5) n
x n =../5
--2-
b) ../5. -../5. ../5.
a) O, O, O, O, .,.
1
cl ../5,../5 + 1,../5 + 2,../5 + 3, ...
d)
e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
a) 3, 6, 9
b) 6, 9, 12
c) 12, 15, 18
d) 9, 12, 15
e) nenhuma das respostas anteriores
(1 -../5) n] é'
--2.
~'
~../5....
1
1
1
5' 5../5' 25' ...
TD.14 (CESCEM-77) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x,
x 2 - 5 e estão em P.A.. nesta ordem. O perímetro do triângulo mede:
a)
8
bl 12
c)
15
d) 24
el 33
TD.15 (CESCEM-671 Se a soma dos termos de uma P.A. de três termos é igual a 15, então
o segundo termo da progressão vale:
TD.6 (CESCEA-73) A seqüência (Yn)n;;;' I é tal que Yn - Yn-I = 2n. para n ;;;, 2.
Sabendo-se que YI = -1. então, o termo Y21 é igual a:
a) 41
cl 359
b) 459
aI 3
b) O
c) 2
d) 5
e) não pode ser calculado. pois não é dada a razão.
d) 460
TD.16 (CESCEM-761 O 3? termo c da P.A. (a; b; c) é:
TD.7
(CESCEA-67) Qual das seguintes sucessões não constitui uma P.A.?
a) 1,6,11,16....
1
5
7
c)
'3'
'3' '3 . . . .
..j2. 8 , V22
b) 4, -1, -6, -11 ....
1
1
1
1.
el ..;;;.
d)
"2 ' '3 ' "4 ' ...
.9
a) y é diretamente proporcional a x
b) atribuindo a x os valores 1, 2, 3, ... , os valores correspondentes de y formam
uma P.A.
c) As diferenças correspondentes /iy e tix são inversamente proporcionais
dI Y é função crescente de x
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.9 (PUC-69) Se em uma P.A. de 7 termos, de razão k, retirarmos o segundo, terceiro,
quinto e sexto termos a sucessão restante é uma P.A. de razão:
b) 2k
c)
~
d) 3k
2
e) nada disso
distintos de uma progressão aritmética, é:
b) inteiro e múltiplo de 3
c) inteiro e divisor de 12
d) um número primo
e) inexistente
x
x
TD.ll (MACK-76) O valor de x para que log 2, log (2 -l), log (2 +3), nessa ordem,
sejam termos consecutivos de uma progressão aritmética, é:
c) 1092 7
TD.12 (G.V-75) Em um triângulo,
OS
dI 3
e) inexistente
três ângulos estão em progressão aritmética e o maior
ângulo é o dobro do menor. Então o menor ângulo mede:
c)
176-0
d) 2(b - a)
30°
e)
40°
e) a + b
TD.17 (COMSART-73) Trés números em progressão aritmética, apresentam uma soma igual
a 9 e uma soma de seus quadrados igual a 59. Estes três números sâo dados por:
d) 0,3,6
TD.18 (PUC-68) O 150? nÚmero ímpar positivo é:
a) 151
b) 291
c) 301
e) nenhuma das respostas anteriores.
d) 299
TD.19 (MACK-69) O n-ésimo termo da progressâo aritmética 1,87; 3,14; 4,41; ... é:
a) l,27n 2 + 0,6
d) 1,27 + 0,6
b) l,27n + 0,6
e) nenhuma das respostas anteriores
c) 1,27 + O,6n
TD.20 (GV-73) A soma do 4? e 8? .termos de uma P.A. é 20; o 31 0 termo é o dobro do
16? termo. Determine a P.A.
b) : 5,6, 7, ...
d) :0,3.6,9, ...
c) :0,2,4,
TD.2l (MACK-74) As progressões aritméticas: 5, 8,11, ...
a) racional e maior que 10
b) 10925
c) 2a + b
a) : -5, -2, 1, ...
TD.l0 (MACK-76) O valor de x, tal que os números 2x, 3x e x 2 sejam termos consecutivos e
a) 10923
b) a + 2b
a) -2.3,8.
b) 2, 3,4
c) 1, 3, 5
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.8 (FE 1-68) Se as variáveis x e Y estão relacionadas pela equação Y = ax + b (a =1= O e
b =1= O) então
a) k
a) 2b - a
e
e)
:
1, 3, 5, ...
3,7,11, ... tem 100 termos
cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:
a)
15
bl 25
cl 1
d) 38
e)
42.
TD.22 (CESCEA-75) Quantos números ímpares hâ entre 14 e 192?
a) 88
b) 89
c) 87
d) 86
e) 90
TD.23 (PUC-68) Sendo 47 o décimo-sétimo termo de uma progressão aritmética e 2,75 a
razão, calcular o primeiro termo.
a) -1
b) 1
c) 2
e) nenhuma das respostas anteriores
dI O
177-0
0
TD.24 (PUC-761 Se o 4 e o 9':' termos de uma progressão aritmética são. respectivamente.
8 e 113. então a razão r da progressão é:
aI r = 20
b) r = 21
di r = 23
cl r = 22
el r = 24
a) 70539
TD.25 ICESCEM-76) Considere as proposições
I -
II
O número que se deve inserir entre a e b para que os três formem P.A.
b - a
é
2
Sendo (aI; a2; a3; ... 1 uma P.A., então a3 + a7 = 2a5'
3a
a
A razão da P.A. Ia, 2
1; 2a 2; ... 1 é "2
1.
+
III
a) somente I é correta
c) somente III é correta
el somente I é falsa
+
bl 71 400
cl 71 540
di 76500
e) 71 050
TD.33ICESCEA-72) A soma de todos os números naturais compreendidos entre 100 e 200,
e tal que o resto da divisão de cada um deles por 5 seja 2, é:
aI 2990
b) 2691
d) 2027
cl 2713
e)
não seI.
TD.34 (MACK-74l A seqüência (ai, a2, a3. "', a n ) é uma progressão aritmética de razão
2 e primeiro termo igual a 1. A função f definida por f(x) = ax + b é tal que
(f(ad. f(a2), f(a3), .,., f(a n )) é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro
+
bl somente II é correta
d) somente III é falsa
termo igual a 4. Então 1(21 é igual a:
b) 7
ai 5
TD.26IMACK-68) A razão de uma P.A. de 12 termos cujos extremos são -28 e 60 é:
ai 5
b) -5
cl -8
di 8
e) 10
TD.27 ICESCEA-68) OS 5 meios aritméticos que devem ser inseridos entre
+ 1 são:
V2
ai vS. - 1, vS.
~ V2,V2+~,V2+1.
V2 - 1
e
cl 9
di 11
el 13
TD.35 (PUC-771 A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética:
1- n
n
ai
2-n
n
3-n
n
é:
n+1
bl -2-
n
2
cl
1- n
2
di
1- n
2n 2
el
1+n
2n 2
TD.36ICESCEM-751 Em uma sucessão, o termo geral tem para expressão un
V n 1. A soma dos 100 primeiros termos dessa sucessão é:
>
bl -2, -1, O, 1, 2
vS. - 5, vS. - 3, vS. , vS. + 3, vS. + 5
di V2
f, V2 - ~ ,V2 V2 +~ , V2
e) V2 - ~ , vS. - i
V2, vS. +i ' vS.
TD.32IGV-71 I A soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1.000 é:
ai 100
bl 199
d) 10000
cl 9800
=
2n - 1,
el 20000
cl
TD.37 (PUC-76) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n2 + n,
V n E N*". Então a razão é:
2
+3
2
a)
+5
TD.28 IPUC-77 I Ao se inserir n meios aritméticos entre 1 e n 2 , a razão de P.A. : 1, ... ,
n2 ,
é:
ai n
bl n - 1
c)
n
+
1
di n - 2
e) n + 2
TD.29 ICESCEA-741 Seja ai, a2' .... ,a n , a n +l uma P.A. Assinalar a afirmação falsa:
a) a n =
an-l + an+l
2
di 2S n = (a n - a1ln;
b) an - an-l ::: an+l - a n ;
a n - aI
el r =
n>1.
n- 1
c) a n - aI::: nr - r;
bl 2550
c) 2500
dI 5100
e) 5050
TD.31 (FFCLUSP-681 A soma dos números inteiros positivos menores do que 101 e não
divisíveis por 4 é:
ai 1300
bl 5050
cl 6350
e) nenhuma das respostas anteriores
d) 3750
bl r = 4
d) r
cl r = 1
~
2
e) r = 5
TO.3S (EAESP-GV-77l A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é
(n + 212n. Se o termo de ordem n é tal que 20
an
26, então n vale:
< <
ai 5
c) 3
bl 4
di 2
e)
6
TD.3910ESCEM-681 Na progressão em que o primeiro termo é aI e o k-ésimo termo é
ak::: 2(k + n) - 1. A soma dos n primeiros termos da progressão é:
ai 21k 2 + n 21
bl nlk + nl
2
cl nln + li
2
d) 3n 2
2
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.30 ICONSART-741 A soma dos números pares positivos menores do que 101 é
a) 2448
r = 3
TD.40 IGV-711 Sabendo que a soma do jegundo e do quarto termos de uma progressão
aritmética é 40 e que a razão é 4" do primeiro termo; a soma dos dez primeiros
termos será:
ai 350
bl 215
c) 270
di 530
el 400
TD.41 [MACK-76) Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e
a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:
a) O
bl 25
c)
50
dI 100
el 150
178-0
1"'7n
n
TD.42 (GV-70) A soma dos termos de uma progressão aritmética. cujo primeiro termo é 4,
o ultimo termo é 46 e a razão é igual ao número de termos, é:
a) 50
b) 100
c) 175
no segundo dia percorre o dobro do que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia
percorre o triplo do 1 C? dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias percorreu
d) 150
uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de:
e) nenhuma. das respostas anteriores.
TD.43 (PUC-70) Sendo f: IR
+ 1(25) é igual a:
a) 725
--> IR, definida por I(x) = 2x + 3, então f(1) + 1(2) + f13) + ... +
c) 653
d) 1375
TD.44 (CESCEA-75) Seja n um número inteiro;;;' 1 e sejam
A = 1 +2+3+ ... +n
b) A· 8 ~ _
2
d) A _ 8 ~ n(1 - n)
e) 400
e
Assinale a afirmação correta:
n4
3 n2
ai A + 8 ~ -
a)
15 km
b) 30 km
c)
20 km
d) 25 km
e) 35 km
TD.53(CONSART-75) Um matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de
b) 753
8 = 1 + 3 + ... + (2n - 1)
TD.52(GV-72) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem urna certa distância x;
n2
A
e)
c)
2
+1
n2
+
n4
A + 8 2 =' - - 2 -
a) 8 m
b) 9 m
d) 7,5 m
c) 7 m
e) 6,5 m
TD.54(GV-751 Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de Uma vereda
2n
8
madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de
obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o primeiro degrau mede 50 em e o último 30 em e supondo que não há desperdício de
madeira no corte, o comprimento mínimo da peça é de:
-15. A soma do sexto termo dessa P.A. com o décimo quinto termo vale:
retilínea e distando 1 m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na
mesma vereda, a 15 m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando
e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá Que caminhar até regar
todas as roseiras?
a) 3,0
a) 1240 m
2
TD.45 (SANTA CASA-77) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é
bl 1,5
c) 1,0
d) -1,5
e) -3,0
TD.46 (CESCEM-77) O primeiro termo de uma progressão aritmética é -10 e a soma dos
oito primeiros termos 60. A razão é:
a)
5
-7
b) !.§.
7
8
b) 10
d) 28
e) 35
cl 16
d) 26
e)
52
TD.48 (CESGRANRIO-76) Uma progressão aritmética de 9 termos tem razão 2 e soma de
seus termos igual a o. O sexto termo da progressão é:
a) 2
b) 3
c) 1860 m
d) 1630 m
e) 2000 m
TD.55 (FFCLUSP-68) A média aritmética de 50 números em P.A. é 100. Retirando-se
dessa P.A. os 3?, 50, 46?, e 48? térmos, a média aritmética dos 46 elementos
resta ntes é:
cl 5
TD.47 (CESCEM-75) Numa progressão aritmética limitada em que o 1? termo é 3 e o
último 31, a soma de seus termos é 136. O número de termos dessa progressão é:
a)
b) 1360 m
c) 6
d) 7
e) O
TD.49 (GV-741 A razão de uma P.A. é igual a 8% do primeiro termo. Sabendo-se que o
a) 100
b) menor que 100
c) insuficiência de dados
di maior que 100
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.56 (USP-67) 1 ·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 + ... n(n + 111n + 21 é igual a:
a) 6. 5 n -
1
b) 6(3n 2 - 5n + 31
c) 6(n 3 - 3n 2 + 6n - 3)
d)
4'1
nln + 1) (n + 2) (n + 31
e) nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira.
11? termo vale 36, então a soma dos 26 primeiros termos desta P.A. é:
a)
1080
b) 1060
c) 1092
d) 1020
TD.5O ICESCEA-74) Numa progressão aritmética de onze termos a soma dos termos é 176;
a diferença dos extremos é 30. O valor do produto ar, onde a é o 1? termo e r >0
a razão, é:
a) 3
b) 6
cl 8
d) 12
e) não sei.
TD.51(CESCEA-71) Seja a P.A. :a1. a2 •...• aIO, onde ai ~4 e a2 =4k. O valor de k, para
o qual a soma dos termos da P.A. é 250, é:
a)
14
3
180-0
b)
~
6
cl 26
3
d) 19
6
L
n+S
e) 1040
e) não sei.
TD.57 (MACK-761 Se
4(x - 3) = An 2 + 8n + C
o valor de A + 8 é:
x =s
ai -10
b) -8
c)
6
d) 8
el 12
TD.58 (CESCEM-66) Três números iguais constituem
a) uma R.A.
b) uma P.G.
cl uma P.A.
di uma P.A.
de razão 1
de razão O
de razão O e uma P.G. de razão
e P.G. de razões iguais
e) nenhuma das respostas anteriores.
181-0
TO.65 (GV-70) Uma progressão na qual o 10 termo é 2, a razão 5 e o último termO é 3242
TO.59(MACK-69) - A razão da P.G. 3 -V3
9
bl 3 - V3
a) 3 +V3
3
3
e) nenhuma das respostas anteriores
4 - 2V3
9
18 - 1OV3
27
3 - 2V3
2
cl
é:
ai
b)
cl
d)
e)
di 3 + 2V3
3
TO.57 (CESCEM-73) As diferenças entre os termos consecutivos da sucessão dos quadrados
TO.50 (GV-74) Das progressões geométricas abaixo, identificar a de maior razão:
ai
v5, 5, 5v5, ...
1
7'
21'
15
45
perfeitos
1
a) formam a sucessão dos números primos
b) formam uma nova sucessão de quadrados perfeitos
cl formam uma P.G.
d) formam uma P.A.
e) formam uma sucessão constante.
3' 3'
el 10, -50. 250, ...
TO.51 (PUC-721 Somando-se um mesmo número à 1, 3, e 2, nessa ordem, obtém-se uma
progressão geométrica. O número somado é:
ai ~
c)
3
~
3
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.52 (CESCEA-701 Calculando-se x de modo que a sucessão
a)
_ 1
2
bl O
a
x
seja uma P.G., o primeiro termo será:
1 ou O
2
cl
a + x, ax com a =1= n,
d) -2
e)
1
2
TO.53 (CESCEM-74) O número real x é estritamente positivo e diferente de 1.
O quadrado de x, o próprio x e log x formam, nesta ordem, uma P.G., então x vale
ai -1
b)
°
c)
1
10
di 1
e)
10
TO.54 (CESCEM-73) Na ordem em que são dados, os números x, y, z formam uma P.A.
.
é
'
. que
e os numeras
-1
,1
- , - 1- f
armam uma progressao
geom
tnca. Pode~se conclUir
x y x +z
a)
b)
cl
d)
e)
a razão da P.A. é igual a 3, qualquer que seja x
y + Z = 5x
1
a razão da P.G. é igual a
3
2
yz ~ 8x
não existem os números x, Y, z, nas condições acima.
TO.55 (MACK-75) A seqüência (ai, a2, ''', a n , ... ) com a n ~ 3n + 2:
a) é uma progressão aritmética de razão 3
b) é uma progressão aritmética de razão 2
c) é uma progressão geométrica de razão 2
3
d) é uma progressão geométrica de razão 4
3
e) não é uma progressão.
182-0
não pode ser nem P.A. nem P.G.
pode ser tanto P.A. como P.G.
é uma P.A.
é uma P.G.
não é progressão.
TO.58 (CESCEA-681 Suponha que a sucessão real de termo geral x n seja uma P.A. de razão r.
Então, a sucessão cujo termo geral é Yn ;:: aX n com a
O e real, é:
*-
a)
b)
cl
di
e)
uma
uma
nem
uma
uma
P.G.
P.A. de razão ar
P.A. nem P.G.
P.A. de razão 2ar
P.A. se excluirmos os 5 primeiros elementos.
TO.59 (FEI-72) Dada a função
W ~ {O, 1, 2, 3, ... }:
ai
bl
c)
di
e)
f(nl
os números f(1), f(2), f(3)
os números f(11, f(2), f(3)
an + b, a
*
O
e b
'*
0, definido no conjunto
estão em P.A.
estão em P.G.
a função é crescente
f(2) - f(1), f(3) - f(2), f(41 - f(3)
A função tem derivada igual a a.
o ••
são números em P.A.
TO.70 (CESCEM-70) Se a, b e c são números reais positivos que estão em P.A. podemos
garantir que:
ai logea, loge b , loge c estão em P.G.
bl logea, loge b , loge c estão em P.A.
a b c
cl e , e , e estão em P.G.
d) ea , e b , e c estão em P.A.
a) nenhuma das respostas anteriores.
TD.71 (GV-72) Se os números X, Y, z e u formam uma Progressão Geométrica, nessa ordem,
de termos reais e positivos, então 109 x 4 , 109 y4, 109 z4 e 109 u4 :
a) não é possível saber se formam P.A. ou P.G.
b) formam uma sucessão que tem termos em P.A. e P.G.
cl formam uma Progressão Aritmética
d I formam uma Progressão Geométrica
el n.d.a.
183-0
TD.72 (CESCEA-68) Considere a progressão geométrica finita.
~.
x. 32 onde x >0. Pode-se
afirmar que:
a) x =
65
4
'
.
POiS, em uma P.G. o termo central é média aritmética entre os extremos
b) x = 16
c) x o 8. pois. em uma P.G. o termo central é a metade do produto dos extremos
d) x = 2
e) x = 4.
TD.73ICESCEM-701 Se ai. az ..... an.... estão em P.A.• então bal. baz ..... bano ... estão
em P.G. de razão:
a) az - a I
bl bar ai
aI + a n
el b-z
-d) ai + an
2
~üência,
w
formam uma P.A. A partir desta
a~
cn
b n +1 - b n
=
TD.78ICESCEA-68) Para que a progressão geométrica a, aq. aqz, ...
necessário e suficiente que:
aI
b)
el
dI
el
q
seja decrescente é
<1
O e q <O
< O e q > 1)
> O e q < 1)
<O e q >O
a>
la
(a
a
ou
ou
la
la
>O
>O
e O
e O
de
de
de
de
das
< q < 1)
< q < 1I
--------,
10
8 -----,
razão 2
razão 3
razão 4
razão 2
respostas anteriores.
6
:
4
----1
:
2
I
1
2
3
5
6
TD.80 IMACK-74) O gráfico de uma progressão geométrica de razão q. q
está contido:
construimos duas outras da seguinte maneira:
bn =
bl crescente
d) alternante
a) uma P.G.
b) uma P.A.
c) uma P.G.
d) uma P.A.
e) nenhuma
XI. X2
x n formam uma P.G. de razão K
XI. x2
x n formam uma P.G. de razão a K
10gaxI. logaX2
logaxn formam uma P.G. de razão K
10gaxI. logaX2
109aXn formam uma P.G. de razão a K
nenhuma das respostas anteriores
TD.75(CESCEM-74) Os termos da seqüência lan)n€
a I decrescente
c) constante
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.79 (GV-70) No gráfico. os pontos represent8m os termos de uma progressão, sendo
n o número de termos e a n o n~ésimo
termo.
Então a progressão representada é:
TD.74ICESCEM-70) Se Ioga xi = -K + 10gaXi+1 então
a)
b)
c)
d)
e)
TD.77 IPUC-68) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo. a
P.G. é chamada:
a) numa reta não horizontal
bl numa parábola
c) numa hipérbole
d) numa curva exponencial
n
'*
±1 e ai
e) numa curva logarítmica.
Nestas condições, os termos da seqüência c n formam
TD.81 (CESGRANRIO-77) Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são
a) outra P.A.
b) uma P.G.
aI
'*
TD.76 ICESCEM-71) A seqüência (a n ): n ~ O. 1. 2.... é uma P.A. de razão r
O e de
primeiro termo r. A seqüência (b n ): n ~ 0.1.2 .... é uma P.G. de razão w > O e
primeiro termo W.
Nestas condições, a seqüência
a) não monotônica
b)
c)
d)
e)
184-D
estritamente crescente
constante
estritamente decrescente
nenhuma das anteriores.
Vi.
1
Vi
ai =
c) uma seqüência constante
d) uma seqüência de termos positivos
e) uma seqüência de termos alternados.
= O. 1. 2 .... é:
a2
~~
e
a3
b) 1
~
ifi.
O quarto termo é:
8~
9~
c) V 2
dI V 2
e)
1
2'
TD.82ICESCEM-75) Dada a progressão geométrica
2-V3
(... : 1 : h-1
2
:
2
: ... 1 o
a) 1 -
V3
bl
vS + 1
c)
1
termo que precede 1 é
+
V3
2
di
vS - 1
el 1 -
v'3
2
TD.83IMACK-751 Se o oitavo termo de uma progressão geométrica é ~ e a razão é ~.
o primeiro termo dessa progressão é:
bl 2
e)
tIf.
185-D
TD.84 (MACK-74)
o
terceiro termo de uma progressão geométrica de termos positivos é
V2. Sabendo-se que o sétimo termo
a) V2
b) 2
é 16·
c)
V2. a
razão da progressão é:
1
1
dl--
V2
2
e) nenhuma das respostas acima
a)15
b)10
cl3
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.85IFUVEST-771 O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de razão positiva valem
respectivamente 10 e 16. O sexto termo desta p.G. é
a)
13
TD.86ICESCEA-74) Se a"
a2,
os valores de aI e as são,
ai
1
"8
cI 4
b) 10V6
e 16
b)
1
1
4'
2'
di 4.J1Q
e)
TD.95 (ITA-741 Seja a
O
as, a6, a7, as formam nesta ordem uma P.G., então
cl
~e
4
4
di
1 e 2
16
e)
1
16
b) 4
c) 6
di 8
1
e-
8
-48
b) -96
cl 48
di 96
b) 84
c) 128
d) 64
a)
b)
c)
d)
e)
b) 2
cl 1
d) 4
TD.97
el 96.
cl 10, 30, 55
di 10, 40, 45
b)8
c)6
d)15
Y2a
a razão comum é zero.
a razão comum é +2 ou -2.
não existem duas progressões nestas condições.
a razão comum é 1.
nenhuma das respostas anteriores.
ICESCEA-71 I A soma dos termos da P.A.: a" a2, a3 é 15. Adicionando-se 3,7 e 17,
respectivamente, ao 1?, 2? e 3? termo, obtem-se uma P.G. de razão maior do que 1. A
P.G. é:
::6:12:24
::5:15:45
::4:12:36
:: 24 : 12 : 6
e) não sei.
IGV-73) Os números x, y, z formam, nesta ordem, uma P.A. de soma 15. Por outro
lado, os números x, Y + 1, z + 5 formam, nesta ordem, uma P.G. de soma 21. Sendo
O":; x":; 10, o valor de 3z é:
a) 36
b) 9
c) -6
d) 48
e) 21
el 20, 30, 45.
TD.92IMACK-75) Numa progressão geométrica de 4 termos. a soma dos termos de ordem
par é 10 e a soma dos termos de ordem (mpar é 5. O 4'.' termo dessa progressão é:
a)9
di r =
a)
b)
cl
d)
TD.98
bl 20, 25, 50
a
e) 9.
TD.91 IPUC-73) O número 95 foi dividido em três partes que estão em progressão geomé3
trica de razão 2"' As partes são:
ai 20, 35, 40
=
e) 192.
TD.90 IEAESP-FGV-77) Um número positivo é formado por três algarismos, os quais estão
em progressão geométrica. Permutando-se os dois últimos algarismos da direita, o número aumenta de 54 unidades. Então, o primeiro algarismo da esquerda é:
ai 6
A relação entre a e r para que
TD.96 (GV-70) Uma P.A. cujo primeiro termo é zero e uma P.G. cujo primeiro termo é 1
possuem a mesma razão. O nono termo desta P.G. é igual ao quadrado do nono termo
daquela P.A. Então:
e) maior que 8.
TD.89 IGV-71 ) A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos
entre 4 e 512 é:
ai 48
2r~.
3? termo da progressão geométrica coincida Com a soma dos 3 primeiros termos
ai r ~ 3a
b) r = 2a
cl r
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.88IMACK-76) O Sexto termo de uma progressão geométrica, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a)
1'.' termo de uma progressão aritmética de razão r e também
da progressão aritmética é:
re~peetivamente:
1 e 8
16
>O o
di 2
de uma progressão geométrica de razão q:=o
10
TD.87IMACK-751 O número de termos da progressão 11,3,9, ... 1 compreendidos entre 100
e 1 000 é:
ai 2
TD.94 (GV-72) Numa progressão geométrica de cinco termos, a soma do terceiro termo com
o quinto é 60, e a soma do 2? com o 4? é 30. O produto do primeiro termo pela razão é:
e) 10.
TD.99 (IT A-701 Seja dada uma progressão geométrica de uês termos positivos, tal que o primeiro termo, a razão, o terceiro termo e a soma dos três termos, formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética. Portanto, a razão da progressão geométrica é:
ai
b)
~
c) ;
d) 3
el nenhuma das respostas acima é válida.
TD.93IGV-70) Numa progressão geométrica a soma do quarto termo com o sexto termo á'
160, e a soma do sétimo com o nono termo é 1 280. Então o primeiro termo e a razão
desta progressão geométrica valem, respectivamente:
ai 4 e 2
b) 2 e 4
cl 4 e 4
el nenhuma das respostas anteriores.
186-0
d) 2 e 2
TD.100 IITA-71) Uma progressão geométrica de 3 termos positivos cuja soma é m tem seu segundo termo igual a 1. Que valores deve assumir m, para que o problema tenha solução.
a) O<m":;l
d) 1:S:;;; m :s:;;; 2
b) 1":;m<3
c) m;;'3
e) nenhuma das respostas anteriores.
187-0
TO.l0l IGV-751 Dois conjuntos A e a são tais que o número de elementos de A - a é 50. o
número de elementos de A U a é 62 e o número de elementos de A - a, A n a e
B - A estão em progressão geométrica. Então, o conjunto A n B tem:
ai 12 elementos
di 20 elementos
bl 10 elementos
el 8 elementos
cl 2 elementos
TO.l02 ICESCEM-721 OS ângulos de um triângulo estão em P.G. de razão 2. Então o triângulo:
1r
ai tem um ângulo de 3
bl é retângulo
di é obtusângulo
el é isósceles
c) é acutângulo
d) 12
a) o triângulo é necessariamente eqüilátero.
b) o triângulo é necessariamente retângulo.
c) o triângulo é necessariamente acutângulo.
dJ o triângulo é necessariamente obtusângulo.
elos lados do triângulo estão em P.G.
-V325
di 90%
el 300%
TO.l0S tCESCEA-721 Uma indústria está produzindo atualmente 100000 unidades de um
certo produto. Quantas unidades estará produzindo ao final de 4 anos, sabendo·se que
o aumento anual da produção é 10%?
ai 140000
188-0
bl 146410
cl 146000
d) 145000
-V"5---:J9
-V3. 3, -3v"3:
di -V34s
bl ax ln + ll !
cl ~(xn + anl
2
e) é 1 se a ~ x
di ..,; (ax)n(n+l)
-81
Y3 é:
TO.113 ICESCEM-761 O número de termos de uma P.G. é ímpar e o seu termo médio é 8. Pode-se então afirmar que o produto dos termos extremos é:
o quadrado de 8
o dobro de 8
a raiz quadrada de 8
a média geométrica dos extremos
o produto do número de termos por
e)
não sei.
8.
TO.114 (CESCEM-741 Se ai. ano A e x são. respectivamente, numa P.G., o 1';' termo. o último termo, a soma e a razão, podemos afirmar que
aI
A - ai
an - A
a n - aI
--A-
bl x
x~---
dI x
cl 120%
-V342
el 1,15
a) In + llx n • a n
di 2
TO.l07 (GV-721 Nos últimos seis anos uma certa indústria fez três reajustamentos de 30% cada um nos preços dos seus produtos. Isso totaliza um aumento sobre os preços de 6
anos atrás, de aproximadamente:
bl 30%
di 1.60
TO.lll IITA-71 lO produto dos termos da seguinte P.G.
ai
b)
cl
di
el
TO.l06 ICESCEA-731 Há 10 anos o preço de certa mercadoria era de 1 + x cruzeiros. Há 5
anos era de 13 + x cruzeiros e hoje é 49 + x cruzeiros. Sabendo-se que tal aumento
deu-se em progressão geométrica e de 5 em 5 anos, pode-se afirmar que a razão do
aumento foi:
ai 40%
cl 1,75
é dado por:
TO. 1~5 (CESCEM-71 I Os senos dos ângulos de um triângulo estão em P.G. Nestas condições:
c) 7
bl 2,85
n
n
n
n
TO.112 CESCEM-67) O produto dos termos da seqüência: x , ax - 1 a 2 x - 2, .... an-Ix. a
TO.l04ICONSART-731 A soma de três números em progressão geométrica crescente é 26 e.
o termo do meio é 6. O maior desses números é dado por:
bl 5
TO.110 IGV-761 Um qu(mico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por
água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após
efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos Iitros de álcool sobram na mistura?
ai
bl
cl
e) nenhuma das respostas anteriores.
a) os lados tenham a mesma medida
bl a medida dos lados seja um
c) a medida de um dos lados seja o quadrado da medida do outro
di a medida de um dos lados seja o dobro da medida do outro
e) a soma das medidas dos lados seja igual à medida da área.
ai 3
ai 127308
bl 130800
c) 131127
di 135061
el impossível de se prever sem o conhecimento do resultado do censo de 1970.
ai 2.35
TD. 103 ICESCEM-771 Para que as medidas dos lados a e b e a medida da área A de um retângulo sejam três números em P.G., nesta ordem, é necessário que
ai 36
bl 18
c) 24
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.l09 ICESCEM-71 I Sabendo-se que a população de certo munic ípio em 1960 foi de 120.000
habitantes e que esta população vem crescendo a uma taxa de 3% ao ano, então em 1963
a melhor aproximação para o número total de habitantes deste munic(pio é:
~
~
el x
ai + A
A - an
A - ai
cl x ~ A - a
n
A - ai - a n
a1 + a n
TO.115 I I TA-76 I Se designarmos por 5 n a soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica de infinitos termos, de razão q > 1 e primeiro termo ai> O, podemos
afirmar que:
aI
Sn
S2n - Sn
S2n - Sn
S3n - 52n
Sn
~ S3n - Sn
52n - Sn
e) nenhuma das respostas anteriores.
cl
b)
Sn
52n - Sn
5 2n
53n - S2n
di S3n ~ 52n + Sn
189-0
TD.123 (GV -70) Um empreiteiro contratou a abertura de um poço de 20 metros, nas seguintes condições: receberia pelo primeiro de profundidade 10 centavos, pelo segundo
metro 20 centavos, pelo terceiro 40 centavos, duplicando sempre até o último metro
n 1
TD.116 (GV-73) A soma a + ar + ar 2 + ... + ar - é igual a:
a (1 _ r n )
a) - - - 1 - r
se r
de profundidade. Então pelo último metro de profundidade o empreiteiro receberia:
a) 48 centavos
dl 10.2 18 centavos
n
b) a (1 - r )
, se r =1= 1; igual a na, se r
1 - r
n
c) a (1 + r I
, para todo r
1 + r
TD.124 (GV - 70) Mesmo enunciado da pergunta anterior, o empreiteiro pela abertura total
do poço, receberia
3
(Sugestão: 2 10 ~ 1024 é aproximadamente a 1000
10 )
a (1 - rnl
d)
1 _ r
' para todo r
e) na, para todo r
TD.117 (CESCEM -68) Seja uma progressão geométrica de 2n termos, cujo primeiro termo
é 1 e a razão é 2. A soma dos termos da sucessão formada pelos termos de ordem
2, 4, 6, "', 2n da progressão é:
n
4 -1
3
al-~
bl 2(4
n
-11
c) 4
3
n
b) 5' 2 20 centavos
cl 390 centavos
e) nenhuma das respostas anteriores.
- 1
a) entre Cr$ 50.000,00 e Cr$ 99.999,90
bl menos de Cr$ 50.000,00
cl exatamente Cr$ 100.000,00
d) exatamente Cr$ 99.999,90
e) mais de Cr$ 100.000,00
TD.125 (GV-76) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Conseguindo
despachar no 1? dia 210 documentos e percebe que seu trabalho no dia seguinte
tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se este fato dia
após dia. Se para terminar o trabalho tem que despachar 2 100 documentos, pode·se
dl~
2
e) não há dados suficientes para a solução do problema
concluir que:
TD.118 (CESCEA-671 Quantos termos da P.A. 9, 11, 13, ... devem ser somados a fim de
que, a soma seja igual à soma de 9 termos da P. G. 3, -6, 12, - 24, 48, ....
a)
19
b) 20
c)
d) -7
18
e) nada disso.
k
TD.119 OTA-77) Sendo Sk = 1 + 2x + 3x 2 +
+ Ik + llx , onde x
maior que 2, então, se n é um inteiro maior que 2,
1_x n+ 1
a) Sn
c) Sn
di Sn =
1_xn + 1
(1 _ x)2
n+l
1 + x
x)
11
n+l
1 + x
(1 _ xl 2
bl Sn
(n + 21
("1- - xl 2
+
(n + 2)
(1 - xl
x
11 _ x)2
>
1 e k é um inteiro
(n
+ 1)
1 - x
TD.126 !FFCLUSP-69) É dada uma progressão geométrica crescente e uma progressão aritmética com primeiro termo igual a zero. Somam-se os termos correspondentes das duas
seqüências e obtém-se a seqüência (1, 1, 2, ... ), A soma dos 5 primeiros termos desta
seqüência é:
n+ 1
x •
n+l
a)
q
<n
di 96
cl 93
TD.121 tMACK-68) Numa P.G., aI
2; a n
=
el 105
686 e a soma de seus termos é 800. Então:
b) q = n
d) q
>n
e)
190-0
b) 2
cl 3
el 30
d) 24
d) 4
e)
5
TD.127 (GV-70) Quando
1
1
+ - +
1 +
4
2
1
1
+
+
1 +
3
9
n cresce, a fração
1
1
+
+
+
2n
8
1
1
+
+ ... +
3n
27
tende a:
~
d) zero
c) 00
3
el nenhuma das respostas anterlOres.
b)
a) 3
TD.128IFFCLUSP-67) O limite da soma
S
1 -
V2 +
Sn
1
2
V21
+ -- +2
4
n <aI +~
an
TD.122 (PUC-77) A razão da progressão geométrica, cuja soma dos n primeiros termos é
n
2 + 1 _ 2, qualquer que seja n, inteiro e positivo, é:
ai 1
cl 27
n+l
TD.120 (CONSART -74) Se s3 = 21 e s4 = 45 são, respectivamente, as somas dos trés e
quatro primeiros termos de uma progressão geométrica cujo termo inicial é 3, então
a soma dos cinco primeiros termos da progressão é:
bl 69
b) 18
a) 21
x
el nenhuma das respostas anteriores.
a) 66
a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias
b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias
cl o trabalho estará terminado em 58 dias
d) o funcionário nunca terminará o trabalho
e) o trabalho estará terminado em 60 dias.
quando o número de parcelas tende ao infinito é:
aI 2
+2
V2
b) 2 - 2
V2
cl 4
V2
d) 2 _
'2 V2
3
e) nenhuma das respostas anteriores.
191-0
TD.136IPUC-701 Se
TD.129(FEI-72) O 1? termo e a razão de uma P.G. têm o mesmo valor
da soma dos termos quando n ~oo é:
c)
bl 1
ai 1 +vf2
1
...!-
dl---=
2+vf2
2
e)
vf2
O limite
ai
°
..!-
cl
b) 2
2
..!4
a
< 1,
então o limite da soma a + 2a 2 + 3a 3 + 4a 4 + ... vale
a
11 - a)2
bl a(1-a)2
c) a(1-a 2 1
3
1
2
TD.130 IMACK-69) A soma dos termos da progressão 3- ,3- ,3- , ... é:
a)
°<
di 4
e) nenhuma das respostas anteriores.
e) nenhuma das respostas anteriores.
2
TD.131 IITA-751 A expressão
"2
+
b)~
c)
+
3
4
5
+ 16
TD.137ICESCEA-76) A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3. Sabendo-se que o primeiro
termo é igual a 2, então o quarto termo desta P.G. é:
+ ... vale
ai
2-
d) 3,8
a)
4
e)
nenhuma das respostas anteriores.
2
4
+ 8
2
2
27
b)
.!..
2
3
c)
4
1
128
concluir que a soma de a com a razão é:
+
TD.138IGV-74) Considere a soma: a +
TD.132ICESCEM-721 A soma da série
1
2
1
1
+ 3
1
+ 4+9+"'+
di
1
2n
1
+
3n
1
3 +
+ -n- +
1
+
a)
~
b)~
c)
5
4
di
1
+
..!4
..2..-
el
27
1
512
1
2048
+
e)
~
8
+
4
:l.Podemos
2.
4
00
"
L,
a)
I 1
2i1
~
+ _1_)
é'
n
3
c)
b) 1
3
TD.133IMACK-74) A soma S
n
2
TD.139IPUC-771 Se 1 + r + r + ... + r + ...
.
=
a)
.2
d) 2
2
3
1 + "
+
7
1"6
e)
15
64
+
+
a) x
b)
2
~
c)
3
d)
4
~
e)
3
-ª-3
q e primeiro termo a são respectivamente
e
e
°
TD.135 (GV -75) O valor da soma
a)
~~.u.
a (a -
cl
e)
~::....!l
2 la + 1)
_
1
2
192-0
11
b) 0,1
d) 0,01
34
e
e
0,34
3
4
2
3
b) 6
ai 5
c)
8
2
3
1
3
8
c)
x = _
+-
514 ' entao,
+ -;:;;2 +
m
1
d) 10
1 + x + x 2 + x 3 + ... é:
"2
el x
TD.141 (CESCEA-72) Se 2 +
10, então, r é igual a:
2
bl x
3
di x = 3
TD.134 A drzima peri6dica 0,34343434... representa a soma da série geométrica cuja razão
a) 0,01
c) 0,34
1
=
=
dl...!-
W
_
TD.140IGV-73) A solução da equaçao
2 - 1
2 2n - 2 + ... é:
(Sugestão: Decompor o termo geral e usar a fórmula da progressão geométrica.)
a)
cl
1
00
n
+
-9
d) 7
é
o va Iar d em:
e) não sei
0,34
TD.142ICESCEA-721 Assinale a afirmação falsa:
a
a _ 1
+
a
a+1
a (a - 11
+ la + 1)2
bl a la + 1)
2 la - 1)
la + 11
di 2 la - 1)
+ ... + ... , para a
>1
é:
ai 1 + r + r 2 + ...
=
n
2
b) 1 + r + r + ... + r
cl 1 +
1
"2
1
+ "
+
1
para todo r EIR, r * 1
1 - r
n 1
r + - 1
--,
= - - - , para todo rEIR, r *1 e para todo natural n.
r - 1
...
=
2
d) 12 8 é o 5? termo da P.G.: 24, 16, ...
27
e) não sei.
193-0
TD.l43(CESCEM-77l o lado de um triângulo
equilâtero mede 3. Unindo-se os pontos
médios de seus lados obtém-se um novo
triângulo equilátero. Unindo-se os pon-
MATRIZES
tos médios do novo triângulo, obtám-se
outro triângulo equilátero, e assim sucessivamente. A soma dos per (metros de
todos os triângulos citados é
b) 10
a) 18
c)
6
TD.l48 IPUC-741 A matriz quadrada de ordem 2. A
ai
d) 3
el 1
[;
;]
4
[-21 -2J
bl
tendo, cada uma, metade da área da anterior. Sabendo-se que a primeira tem diâmetro
igual à d. a distància do ponto Ao ao ponto A n tendo (quando n --> 00) à:
aij
1
b)
cl 4d
3
d) d(2 +
4
1
b) 10
c)
14
1
1
"4
' 8'
é:
a)
e o seu quarto termo
v'3
256'
d)
Representando-se n e no, números inteiros po-
>
para cada número real M escolhido existe n tal que Sn
M
0,55 para todo n.
existe algum no tal que para todo n
no se tenha 0,55
Sn
para cada número real M escolhido existe n tal que Sn
M
<
>
<
<
A soma da série geométrica de termos (a; b; c; .. .I. onde Ibl
> lei, é
a
111 -
X-A
--2- =
Se o primeiro termo de uma P.G. for estritamente positivo e a razão for estrita-
n
a) somente I é correta
c) somente 111 é correta
e) somente I é falsa
b) (28
23
28
d) ( 30
e) (
2228
;)
;)
=(;
194-0
c)
-~)
TD.152 (CESCEA-73) Considere as matrizes: A
I
então a matriz X, de
B
28
( 25
=( ~
~) C =c ~)
Então, AB + C é igual a:
bl(
bl somente 11 é correta
d) somente III é falsa
1
- 3 - - + C é igual a:
mente negativa, então a progressão será decrescente.
então,
-1)
B+X
a) ( 24
a
1-~
[~
=(~ _~) B =( -~ ~) e C =(~
28
TD.147ICESCEM-76) Considere as proposições
...
a
a3
a5
a2
1- Arazaoda P.G. (I); b2c ;b3 c2 ; ... ) é bC'
11 -
e)
ordem 2, tal que:
e) as quatro afirmativas anteriores são falsas.
[-~
-10
L~ _~]
TD.151 (PUC-771 Se A
< 0,58
bl
-1
sitivos e por Sn a soma dos n primeiros termos, tem-se:
Sn
o valor de 2A - B é:
[~ -~]
-10
d) 15
TD.l46 ICESGRANRIO-COMCITEC-73) O primeiro termo de uma progressão geométrica
4Y3
[-~ ~]
c)
TD.l50 (PUC-76) Sendo A
TO.l45 Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica 1'"2'
a) 4
el
U~] [i i]
v'2i
(Vi + 7T)
< 0,0001
;]
i2sei=Fj
4
O menor valor de n para o qual 2 - Sn
[_;
é:
Então A se escreve:
b) 2d
a)
b)
c)
d)
d)
(_ll i +j • i •
={1sei: j e
a) infinito
é
-;]
=
TD.149IPUC-76) A é uma matriz 3 por 2 definida pela lei
TD.144 ICESCEM-70) As bolas abaixo têm centros sobre a reta r e sâo tangentes exteriormente
e)
cl [;
[aiil com aij
=
d) (
~
-1
2
195-0
TD.1S3 IPUC-741 Se
a) 3.1
=
[~ ~J
e A
[~ ~J, então a matriz
=
c) -2.1
bl 2.1
di 1
cI A matriz transposta de A é A t
=
= [-;
[~ 1~ ]
n
:=
- 5A + 2 • I é:
el -3.1
= (
1) A = (aij), 4 x 7, definida por aij
21 B = (bijl, 7 X 9, definida por bij
3) C = (cijl, C = AB
ai é-112
d) é 112
~J
ai
bl
cl
di
e)
~ ~)
e I =
(~ ~).
ai An = I, para todo natural n
bl A2n = A, para todo natural n
se i
c) A2n = I e A2n+ 1 = A, para todo natural n
di A2n+ I = I, para todo natural. n
TD.1S6(ITA-74) Sejam as matrizes A
=
:l
[~
B =
[~ ~l
Z
bl BA = AB
=
[~
Ü
1=
[~
Ü
[~ -~ ~]
e B =[
~
O
4
O
~
[-~ -~J" [~J
a) x = z V = O z = 2
bl x = 2
V = O z = 1
cl x ~ O V = 1 z = O
dI x = -2 V = 1 z = 4
~) =0
B
a{ ~ ~ ~)
b)
G=~ Dc) G
e) nenhum dos resultados anteriores.
3
-6
-3
=:
~) d{! -~ ~)
~)
TD.164 (PUC-77) Se A
AX
)pcla matriz N
=
(1, I, 11
=
B = (bijl é uma matriz diagonal (bij
[n
=
~ (~ ~ )
O
cl 7, 7, 7
então
= -7 e V
d) x = -7 e V
n~
e B =(
=
vez são, respectivamente:
bl x
TD.163 (FEI-731 Sejam as matrizes: A
aI -1
bl O
cl 1
d) o problema é imposs(vel el nenhuma das respostas anteriores.
Teremos:
i
Os valores de x,
x = 5 e V = -7
= -5 e V = -7
e) x = 7 e V = -5
e z tais que AB = I.
+ B2 onde: A = ( :
~~l.
2~J
c) x
], então o valor
=(
b) 1,4,4
el 1, 1, 1.
de x tal que AB = BA é:
TD.1S8 (CESCEM-70) Calculando-se 2AB
196-0
TD.162 (rUC-76) Se
[~ ~ ~l
ai
c) A = 2B
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.1S7 (PUC-70) Sendo as matrizes: A =
j) e AB =
3
12
9
d) 2, 3, 1
Então temos:
aI BA = I
di AI = BZ
*
~426
~
a) 2,3, 4
I se, e somente se, n = O.
c) é -9
não se define
é uma matriz de determinante nulo
é a matriz identidade de ordem 3
é uma matriz de uma linha e uma coluna
não é uma matriz quadrada.
TD.161 (MACK-74) Sabe-se que A =
n 1 • A para todo número natural n, com n~ 1. Então:
'=
i - j
bl é -18
e) não existe
Definimos : AO = I e
A -
e) An
=
=
TD.160ICESCEM-73) O produto M • N da matriz M
[_~~ 1~J
TD. 155 (CESCEA-761 Sejam as matrizes A
A
2
O elemento c63
ai A é uma matriz diagonal
bl A é uma matriz quadrada de ordem 4.
e) A2
A
=
[_~ 3J
4 • entao:
TD.154 (PUC-75) Sendo A =
d) A2 =
TD.1S9 (FUVEST-77) Considere as matrizes:
X
~ ~)
~l
B
=
=
=
[~J
-5
5
e I
=
[!J
Calcule x, V
então, a matriz X, de ordem 2, tal que
B, é:
a{: ~) b{: l) c{: ~) d{: i) e{: i)
197-0
TD.165 (CESCEM-731 Dada a equação matricial X2 - 2X ~ O, onde X é uma matriz quadrada,
n X n, não singular. Podemos afirmar que esta equação:
TD.170(MACK-75) Sendo A=
a) tem uma infinidade de soluções
A+A- i
b) não tem solução
c) tem duas soluções distintas
a) O
Ç
d) tem uma única SOIU ãO(2
e) admite a solução X
[V,
~J'
1
= -:
0-
aI
a) X
cl
~l:
3 x 3, então uma solução da equação:
xt
bl X
Vi
;,]
Vi
1
-1
di X
~l:
=
Vi
1
-1
[",
Vi
Vi
-Vi
Vi
1
-1
el nenhuma das respostas anteriores.
TD.167IMACK-74) Seja A
a)
~(:
01 é'
3J .
Lo
cl 2
b) 1
e) 4.
d) 3
k1T
"""'2'
.
.
cossec ex) com
cotg ex
i=
O. Então A -i é:
1
1
~
ad - bc
b) 2 k1T, k inteiro
k inteIro
d) inexistentes
e) nenhuma das afirmações acima li verdadeira
;,]
da matriz
;,j
Vi
el nenhuma das respostas anteriores
Vi
a) b
~
[~
-2
2
-2
O
bl b = -1
~
c) b
d) b
O
( 11
a)O
d) (O
1
O
1)
-1)
bl (3
-2
-2)
e)
-2
3)
(2
b)
..!-
c) -1
2
· A
TD •169(MACK - 74) S eJa
~
[1O
a) rmtriz nula de ordem 2
7
c)
A
d) 2 A
198-0
-10 )
-8
-7
-3)
cl (2
TD.174 (EAESP-GV-77) No que se refere a solução da equação AX
são matrizes quadradas de ordem 3, pode-se dizer que:
duas matrizes. Se B é a inversa de A, então x + y vale:
2
-1
-1
-1
16
13
B em que A e B
~
B
A
d) a equação tem sempre uma solução e que X = BA-\
e) a equação tem sempre uma solução e que X ~ A -i B
TD.l68 (CESCEA-751
..!-
1
A-i ~
TD.173(MACK-73) A matriz inversa da matriz A é
c) a equação tem sempre uma solução e que X
2
~
ai a equação pode não ter solução
b) a equação nunca tem solução
d) ad _ bc
~
k1T. Se A = A -ias
Lembrando que A • A-i ~ 13• a segunda linha de A é
b
d ) co m ad - bc
1
a)
ex i=
TD.172 (EPUSP-68) Seja b o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz inversa
,I, j
1
-1
_
eotao o número de valores de x tais que
c) todos os números reais
matriz
2
(P + XI2 ~ p 2 + X + 2 PX é:
Vi
I
· a matriz
. A = ( cotg ex
TD . 171 ( MACK-74 ) Sela
cossec Q
valores de o: são:
.
2
2
TD.166 (ITA-76) P
f3
X
2)
~
-1
~
1]
[~
d) 1
e) O
i
-10J. Então (A + A- )3 é igual a:
b) matriz identidade de ordem 2
el 8A.
~
TD.175 (PUC-76) Dada as matrizes A
( 3
•
-2
ordem 2, tal que (XA) -i ~ B é:
~)
e B
a)
1 (7
165 10
-6 )
15
b)
1 (-6
165 10
d)
1
165
Co
ln
1;)
e)
1 ( 7
165 -6
15 )
10
-6
~
(~
-~
)
1 ( 7
c) 165 -6
então a matriz X de
10 )
15
199-0
TD.176IMACK-74) Dadas A
~ (~
valores de a e b, tais que 8
a)
o)
-2
=
(2 -1)
3
5
1
e B = 13
(a
75
TD.181 (FUVEST-77) A matriz
os
PAP-l, são respectivamente:
b) 18 e 53
24 e -11
. P
d) 33 e -47
cl -19 e 17
e)
b) X
=
O
a)
O '1=
d)
e '1=
1
j]
E Z
+ n1T, n E :iZ
bl
O '1=
el
eE R
2n1T, n
E 7L
cl
e '1=
~ +
n1T, n
E 7L
a) existe uma matriz quadrada X, não nula, tal que AX = O
b) qualquer que seja a matriz quadrada X, tem-se AX = O
cl existe uma matriz quadrada X tal que AX = I (I = matriz unitária)
-n
1.seA~(~ n,entoo,A-I~(_~
d) a matriz A é nula
e) nenhuma das respostas anteriores
TD.183 ICESCEM -721 A matriz M e sua inversa têm todos os elementos inteiros. Então os
1
determinantes de M e de M-
2. Seja A u ma matriz Quadrada.
=
n.
A-I existe
= (
O
garantir que'
TD.178IcESCEA-73) Considere as afirmações
Seja A
o
o
TD.182IPOLl-681 A é uma matriz quadrada cujo determinante é nulo, então pode-se
INota: (XA) t representa a matriz transposta de XAI.
Então:
*
n1T, n
=
e) nenhuma das respostas anteriores.
3
O
o
e
é inverslvel se e somente se:
StA-I
IBAl t
t
di X ~ IASl
c) X
cos
cos
1
r""'
35 e 2
TD.177 (PUC-70) Sendo A e B matrizes invertíveis de mesma ordem e X uma matriz tal
que IXA)t ~ B, então:
1 t
a) X = A- S
sene
senO
~
det A ~ O
a) são nulos
bl são iguais a +1
c) são iguais a -1
dl são iguais, valendo +1 e -1
e) são não nulos, nada mais se podendo condu ir.
Então: A 2 __ ( 4
1
então:
TD.184ICESCEA-75) Considere a matriz
a) todí'ls são verdadeiras
1
-1
bl , e 3 são falsas
cl 2 e 3 são falsas
O
TD.179IPUC-761 Os valores de m, para os quais a matriz M
são:
a)
±1
b) ±2
c)
±V5
d)
±Y2
'
(m
e)
m2 )
±V3
não é inversível,
~]
O determinante de A-I é igual a:
a) -
1
2".
b) -2.
1
c) 12 .
d) 12.
1
e)
15'
TD.185IFFCLUSP-691 Consideremos o conjunto S de todas matrizes quadradas 2 x 2 que
TD.180 IpUC-72) Os valores de k, para que a matriz
podem ser escritas sob a seguinte forma:
(:~~
A
::;:)
(li real qualquer!. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
não seja invertível, são:
a)
bl
cl
d)
e)
200-0
k =
k =
-4
k =
,
k
k
~
=
1
O
1
e
e
e
e
e
= -2
k = 2
k
k = -1
k = -4
k = -1
a) a soma de 2 matrizes quaisquer Que pertençam a S ainda pertence a S
b) o produto de Qualquer matriz por si mesma, pertence a S
d a inversa de qualquer matriz de 5 existe e está em S
d)
(~
~)
pertence a S
e) nenhuma das respostas anteriores
201-0
~ (~
TD.186 lITA-77) Seja X
~)
uma matriz quadrada 2 X 2 onde m é um número
n 2
n
n 1
inteiro qualquer. Se P ~ (aij) é uma matriz definida por P ~ X + X - + X - + ... + X,
onde n é um número inteiro positivo (n ~ 1), então podemos afirmar que:
n(n + 1)
a) um elemento aij da matriz P é igual a m . - - 2
n(n - 11
b) um elemento aij da matriz P é igual a m
c)
TD.190 (CESCEM-701 Se A é uma matriz quadrada n X n, I é a matriz identidade de ordem n,
então o determinante da matriz (A - xl) é um polinômio de grau n na variável x, clljas
raízes são chamadas valores próprios de A. Então os valores próprios da matriz
(
'-2-
um elemento aij da matriz P é igual a n •
DETERMINANTES
mIm -1)
2
d) P é uma matriz cujos elementos são todos inteiros, se, e somente se, m é par
e) nenhuma das respostas anteriores.
são:
a)-1;0;1
b)O;l
cI0;-1;3
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.191 MACK-731 Sendo A
TD.187(CESCEM-71l Define-se distância entre duas matrizes A
(aij) e B
=
(bijl quadradas
e de mesma ordem n pela fórmula:
diA; [l)
=
maXlaij - bijl i, j
1,2, ... , n.
=
d) O; 3
(aij) uma matriz quadrada de ordem 2
minante da matriz A é:
a) O
b) 1
c)
2
d) 3
e aij = j - i
2,
o deter-
e) 4
TD.192 (COMSART-731 O determinante:
Assim, a distância entre as matrizes
(: :)
e
b) -3
-5
a)
cl O
é igual a:
é:
d) 3
é igual a:
e)
a) x 2 - y2
5
si ngulares
1) +/A que transforma a matriz A numa outra matriz Ai" X 1 onde cada elemento
da única coluna de A' é obtido somando-se os elementos da linha correspondente
[:
de A.
I
2) +
A que transforma a matriz A m X n numa outra matriz A'{ X n onde cada
elemento da única linha de A" é obtido somando-se os elementos da coluna
I
AI
vale:
a) 2p
bl p
c)
p2
d) p.m
e)
p
bl se AB
=
Op então BA
d) AB
=
BA se e só se AB
=
1
16
c)
b)"2
(f (f +
vale
d) -12
el -36
1
8
d)
~
3
e)
8
16
x) -{tg (11+ x)]2
x)]2 • cos (-x)
a) IR
I
e) nenhuma das respostas anteriores.
~
TD.195(MACK-73) O conjunto-solução de:
Op
cl se AB = Ip então BA = I p
cl -6
b) 12
4
a)
[sen
=
• então
ser zero ou um. Então, a razão do número de determinantes positivos para o número
total de tais determinantes é:
sen
al AB = BA
~~ ]
-2a
[ -3b
e
TD.194 (GV-70) Considere todos os determinantes de 2 a ordem, em que os elementos podem
e a matriz O são, respectivamente a matriz identidade e a matriz nula, quadradas,
de ordem p. Nestas condições:
202-0
: ]
a) 36
p.n
TD.189(CESCEM-70) São dadas duas matrizes A e B, quadradas de ordem p. A matriz
I
di x 2 + y2 - xy
TD.193 (CESCEM-77) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes não
TD.188(CESCEM-71l Dada uma matriz A m X n e as operações:
correspondente de A.
Nestas oondições, se A for a matriz identidade de ordem p a expressão + / (+
cl x 2 + y2 + xy
b) (y - x) (y + x)
e) nenhuma das respostas anteriores.
d) {xEIRlx =1=
bl {x EIR Ix =1=
k; ,k
f+
inteiro}
k11, k inteiro}
c)
0
el {x E IR Ix = k11, k inteiro}
203-0
< x < 211,
TD.196IMACK-771 Os valores de x. O
I
ai
a1
I>
tgx
a - 2tgx
O são:
'
4311 < x < 11
bl 311
4
c)
!!...- < x <
d)
4 <x<
e)
não sei.
4
3
211
3
311
711
6
711
4
ou
311
2
ou
411
3
ou
411
3
< x < 211
< x < 711
[i
<x <
4
711
4
<x<
711
4
I~ i \
~
a) é equivalente a (
I
+
:)
(
~
~
TD.19B IGV-741 O determinante
bl 1
a) O
1095 5
1095 125
1093 27
[ ~:~:
+1
x+ 1
n
(~
r2
2
-1
3
O
4
2
n
:l {1
6 O
e)
C=[~ ~ ~].
y +
x
1)
+1
TD.203 (MACK-75) As soluções da equação
e) é equivalente a x = y.
tem por valor:
di 80
e)
122
8
2
10
r2
c) r2 sen 2 x cos 2 y
nenhuma das respostas anteriores.
In + 1 I
x
3
5
-3
7
o
c) 2
são:
11
e
7
TD.204IGV-751 Para que valores de a a equação
>1
I~
O
a
0< < 1
bl
a
e) só para a = O
~
I
=
O terá duas ra ízes
cl só para a = 1
TD.20S IGV-75) Para que o determinante
1
-2
1
2
cos 2 x
10932
seja nulo, x real, 4x deve ser:
1
In+2I
-1
el 14 e -22.
bl a<O
e)
x
e 3
7
di 2 e 4
cl O determinante de AB é 272.
el IA + BIC = AC + BC.
-4
6
reais iguais?
é:
Y]
b) _ 11
e 2
a) a
ai r2
b) r2 sen 4 x
d) r 2 sen 2 x cos 2 y sen 2 y
TD.200IGV-75) O determinante
di 5 O
ai C é inversível
b) A + B é inversível
d) O determinante da transposta de C é 1.
ai
1095 5
1095 25
1093 243
cl 90
seS
cl 4 O
Assinalar dentre as afirmações abaixo, a correta:
y
TD.199IGV-72) O valor do determinante associado à matriz
sen 2 x
cos 2 y
O
b) 3 O
TD.202ICESCEA-75) Considere as matrizes,
b) é verdadeira para x e y não ambos nulos
c) só é verdadeira se x = y = O
d) nunca é verdadeira
2
5
8
1
1
cujo determinante é D, então o determinante da nova matriz é:
A = [
+
~J
2
ai 2 O
TD.197IMACK-75) A sentença
I~ : I
TD.201IpUC-741 Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz.
A -
ou
~
<x <
tais que para todo a real se tenha
é igual a:
a) 36
bl 18
c)
6
di 12
el 16
1
TD.20G IGV-71 I O quadrado do valor de x que satisfaz a equação
bl I n I I n + 1 ) I n + 2 I I n + 3 )
1
1
1
1
a)
di (n) ( n I ( n ) ( n )
O
204-0
1
2
3
el n In + 1I In + 2) In + 3)
12
cl O
logx 16
2
1
a) 2
logx 2
O
1
b) 4
logx 4
1
1
cl 16
1
=-
'2'
d)
x
J...
4
>0
e
x*1
el
vale:
1
'2
205-0
TD.207IFEI-731 Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal
principal. Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y
TD.213(MACK-77)
3
z
y
2
x
O
J
b)
ai 4 e 6
TD.209l1TA-71 I
4
13 - 41
5
4
e)
d) -1
c) O
b)
e)
-2
não sei
1
1
di 1
c) 7
e) nenhuma das respostas anteriores.
TD.210 IGV-72) Sejam
4
O
-1
3
O
1
2
3
6
2
4
10
e
8
1
O
O
-1
=
4
4
-3
-4
3
-1
2
-3
2
1
1
1
a) 30
c) 15
b) -30
O
x
b) (-3, -5, -8)
d) (-3,
x
TD.211ICESCEA-75) O determinante
x
x
x
a) Ix 2 + 1) (x - 1)
d) Ix 2 - 1) (x 2 + 2)
u
TD.212IGV-72) Seja
=
b) Ix 4 - 1) Ix + 1 I
el Ix + 2) (x 3 - 1).
x
O
O
O
x
O
O
2
1
x
O
1
O
O
O
1
x
x
x
ou
x = -2
a)
é igual a:
e) x =
±1
±V2
3
5
6
x
=
O
é
{O; 1; 4; 6}
c)
{O; 1; 4; 5}
di {O; 1; 2; 3}
c) Ix 3 - 1) (x - 1)
e)
nenhuma das respostas anteriores.
TD,216(FFCLUSP-681 O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a equação
O
1
1
x
b) x =
x
2
4
x
x
x
x
x
b) {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Os valores reais de x, para os quais u2 - 2u + 1 = O
a) x =-1
di x = 1
3)
O,
2)
TD.215IGV-70) O conjunto solução da equação
e) 10
x
é:
O
a) (-2, -4, -7)
Então, A+ 28 é igual a
di -15
1
1
1
1
8+x
c) 1-2. -3, -51
el (-3, -5,
3
1
A=
2
5
1
1
5+x
1
3+x
-6
19 + 61
3
5
3
1-3 - 51
2
2
bl 3
ai O
Z
TD.214ICESCEA-701 O conjunto de todos os x para os quais
Qual o resto da divisão por 3 do determinante
1
igual:
Y+ ,
e z+1
c) a 4 vezes o volume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x,
y e z
d) a 4 vezes o vai ume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x + "
y+l e z+l
1
2
3
4
1
2
3
3
1
2
2
2
1
é
b) ao volume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x + "
d) 3 e 5
c) 2 e 4
e 3
1
16 -1 I
1
1+y
1
a) ao volume de um paralelepípedo reto-retângulo cujos lados medem x, y e z
TD.208IFUVEST -77)
ai 2
1
1
1
1+
1
+x
da matriz
[~
Se x, y e z são números reais positivos, então
cl x
=
são:
1
ou
x=2
O
x2
x
4
O
O
x
3x
x
634
O
7
O
=0
é:
5
a) x = O
b) x >0
d) o conjunto de todos os reais
cl x = 7
e) nenhuma das respostas anteriores
207-0
TD.217 ICESCEA-69) OS valores de a para os quais
a
a
O
a
1
O
a
O
a
a
a
O
1
a
TD.221 (CESCEM-70) Dado o determinante de Vandermonde:
n-I
ai
a n-I
2
>0
n-I
an
são tais que:
onde 810 82 •.. '" 8 n são termos de uma progressão aritmética de razão r e primeiro
termo 81. o valor do determinante
a) -1 < a < 1
a) independe de n
c) a <-2
ou
b) independe de r
c) independe de a I
d) é uma função somente de n e 81
e) independe dos valores de n, r, e 81
b) _2-<a<22
2
TD.222(FEI-68) Seja M a matriz quadrada de 3~ ordem em que aij = 2i - j. Então o comple-
a >2
mento algébrico do elemento 812 vale:
d) a < e) a>
1
"2
1
ou a>
2
-4
b) 4
cl O
e) nenhuma das respostas anteriores
d) 3
a)
1
2
TD.223 (PUC-76) O cofator do elemento a23 da matriz
TD.218 (CESCEA-71) Para que
a) 2
a
c
f
9
x
O
O
O
x
O
O
x
O
b
d
x
h
O
x
e
O
1
O
< -32
O
b) O < x < 5
1
b
2
b
-1
a2
b2
C2
a)
c) x < -2
dI x >5
b) -D
D
c)
e) não sei.
x=[
:~:
•
:~~ ]
208-0
[ax ll
O"X
=
1
1
1
1
log 3
(log 3)2
(log 3)3
log 30
(log 30)2
(log 30)3
log 300
(log 300)2
(log 300)3
log 3000
Oog 3000)2
Oog 3000)3
é:
e
Y
O'x 12 ]
aX21
e
aX22
Xy = [XllYll + xI2Y21
x21Yll + x22Y21
e)
1
= [
~~:
~~~
a·
X;
e
x·
]
X + Y
Y
c)
1
d) 6
e) 12
x+y=[Xll+Yll
X2I + Y21
X12+Y12 ]
X22 + Y22
xllYI2 + x12Y22 ]
x21YI2 + X22Y22
uma das afirmações abaixo é verdadeira, assinale-a.
a) X' X = [
xii
X~I
xi2 ]
xb
c) det. Ix + y) = det. X + det. Y
b) O
a3
b3
C3
la número real) por:
b) dada a razão r, depende de a
c) depende só de r, qualquer que seja a
d) é a 3 - r 3
e) nenhuma das respostas anteriores
-3
é:
e) 3
d) D-I
O
matrizes quadradas 2 X 2. Definimos as matrizes:
a)
)
TD.2251ITA-69) Sejam
r, o determinante
c
c2
O determinante
3
1
2
e AI, A z , A3 respectivamente os complementos algébricos de CI, c2, c3' Então
ai AI + a2A2 + a3 A 3 =
a) é sempre positivo
TD.220(GV-74)
1
2
1
d) -2
j
TD.219 (EE LI NS-67) Estando a, b, c, em P.A. de razão
a
a2
c)
TD.2240TA-67) Seja o determinante
devemos ter:
a) x >2
b) 1
A=(~
b) det. Id.• x) = O' det X
d) det. IO'X) ~ 0'2 det. X
e) det. IX • y) = det. X + det. Y
209-0
TO.232IEESCUSP-69) O valor do determinante
TO.226IMACK-69) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2. então:
c) det. A = O se e somente se A =
d) se det. A = , então A=(O'
(~
a + 2fl
c + 2r2
c + 2r3
a + fi
b + r2
c + f3
a
b
c
ai sempre det. 2A = 2. det A
bl sempre det IA)Z = (det. AI2
a) O
é:
bl abc
cl
d) a + b + c
fI f2r3
el
fl+r2+ r 3
TO.233(FEI-681 Sendo
O,)
el sempre A = det. A
D=
TO.227IpUC-721 Oual das afirmações abaixo é falsa? Dadas A e B matrizes de ordem n.
ai
bl
c)
di
e)
um determinante de 3~ ordem, então:
det [A + B] = Idet AI + Idet BI
det A = det lAti
Idet A) • Idet A-li = ,
det (A • BI = Idet A) • (det BI
Idet A) Idet At ) = Idet AI2
P: sendo aij = a2j, então D = O li = " 2, 31
Q: sendo aij = aji, então será sempre O = O
R: sendo aij
TO.228 (FEI-6]) Seja M uma matriz quadrada de 3 a ordem; constrói-se uma nova matriz N
em que cada coluna é a soma das outras duas colunas da matriz M. Sendo A o
cl B = 2A
b) B = A
di A = 2B
diferente de zero) e os elementos da 1~ coluna são multiplicados
por y (y diferente de zero), o determinante da matriz fica dividido por:
ai xv
e)
b)
.2-
c)
xv
TO.230 IGV-72) O determinante
aI
V
bca
acb
abc
a a2
b b2
c c2
a
b
c
d) se Q e R forem verdadeiras
oi se A
d)
a3
b3
c3
e)
•. "
e)
210-0
bl b
det A
>0
bl se A
cF O,
det A
el
<O
O, ,
< i,
c) det A = O
não sei.
a n qual
X
n·
aI aI Xl + a~X2 + a~x3 + ... + a~Xn
a2
b2
c2
b) aI
é igual a
v-;:;
+ a2
v--;;
+ a3
v--;; + ... + vr;;
an
aI Xl + a2Xª + a3X~ +
+ anx~
di (a\ + xII + (a2 + x21 + ... + (a n + xnl
c)
a3
b3
c3
c)
a2
b2
c2
abc
a3
b3
c3
e)
nenhuma das alternativas anteriores
TO.236IEESCUSP-661 A única proposição correta é:
para se multiplicar um determinante por um número, multiplicam~se todos os
seus elementos por esse número
b) todo determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos
nenhuma das respostas anteriores.
complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela
TO.231 (GV-7') O determinante associado á matriz
ai 8xvz
cF O,
d) nada se pode afirmar sobre det A
a)
a2
b2
c2
=
das alternativas abaixo corresponde a uma combinação linear das variáveis Xl, X2,
x
a2
b2
c2
b) abc
b) se P e Q forem verdadeiras
c) se P e R forem verdadeiras
TO.235ICESCEM-681 Dadas as variáveis xl, X2' " ' , x n e as constantes aI, a2,""
dl~
.2.
nenhuma das respostas anteriores.
bc
ac
ab
Assinalar
ai se P, 0, R forem falsas
<
TO.229ICOMSART-731 Ouando os elementos da 3~ linha de uma matriz quadrada são
Ix
cF O
TO.234IMACK-77) A matriz A é quadrada, de ordem 3 e tal que aij + aii
j 3. Então:
el nenhuma das respostas anteriores
divididos por x
ij-l, então D
el se P, 0, R forem verdadeiras
determinante de M e B o determinante de N, tem-se:
ai B = O
=
cl O
nenhuma das alternativas anteriores.
l
c) um determinante não se altera se aos elementos de uma fila se adicionam os
X
V
z
di
X •
2x + b
2V + b
2z + b
Y•z
elementos correspondentes de uma outra fila paralela multiplicados por um mesmo
J
é igual a:
fator arbitrário
d) todo determinante é igual
à soma dos produtos dos elementos da diagonal principal
pelos respectivos complementos algébricos
e) quando se trocam as linhas de uma matriz com as colunas da mesma ordem, o
determinante da matriz transposta é o oposto do determinante da matriz dada.
211-0
TO.237IEESCUSP-68) Um determinante é nulo somente quando:
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES
a) todos os seus elementos são nulos
bl todos os elementos de uma linha são nulos
c) todos os elementos de uma coluna são nulos
d) duas colunas são iguais
TO.243IFUVEST-77)
{X
e) nenhuma das respostas anteriores
[
TO.238IGV-70) O determinante associado a matriz
é nulo porque
-~
Então x é ig ual a
-11
4
-7
-3
+ 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23
6z = 18
b) 3
ai 27
c) O
di -2
TO.244 ;MACK-751 Dado o sistema: {
a) tem duas linhas proporcionais
b) tem duas colunas proporcionais
e)
x+y-z=
-x + y + Z =
x-y+zo:=
cl tem elementos negativos
d) uma coluna é combinação linear das outras duas
e) nenhuma das respostas anteriores.
os valores de x, y e z que constituem sua solução;
a) são todos distintos entre si
b) são indeterminados
TO.239IEPUSP-67) Acrescentando·se a unidade a cada um dos elementos da matriz
a[
a2
a3
a4
b[
b2
b3
b4
a) não
se altera
d) fica
multiplicado
e) formam uma progressão aritmética de razão 1.
o
determinante
TO.245IMACK-741 As soluções do sistema
bl aumenta
por
c) possuem soma nula
d) são iguais entre si
c[
c2
c3
c4
2
de 1
e)
c) aumenta de 4
{
nenhuma das respostas anteriores.
TO.24O (I TA-76) Seja Q uma matriz 4 X 4 tal que
det Q =1= O
e
onde x
Q3 + 2 Q2 = O.
bl det Q=-2
e)
cl det Q=-16
d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12
5732x + 2134y + 2134z - 7866
2134x
+ 5732y + 2134z - 670
{
2134x + 2134y + 5732z - 11464
é ímpar, o produto de duas matrizes de reflexão é de reflexão
b) a soma de duas matrizes de rotação é de rotação
c) o produto de duas matrizes de rotação é de rotação
d) a matriz inversa de toda matriz de rotação é de reflexão
e) nenhuma das respostas anteriores
I
) .
..
e m um número real. Seja: AX = mX.
212-0
obtemos para x - y - z o valor
ai -2
[a b] [1 °lJ, x=[yxJ
Sejam as matrIzes reais A = c
d' I =
el 7 < x < 15 e 9 < y < 11
TO.246(COMBITEC-COMBIMED-751 Resolvendo o sistema
Apoiados em tais definições, podemos afirmar que:
TO.242 ITA-75
às seguintes restrições:
cl 10 < x < 20 e 2 < y < 10
nenhuma das respostas anteriores
TO.241 (lTA-75) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que A-[ = At. Se det A = 1,
dizemos que A é uma matriz de rotação e se det A = +1, A é uma matriz de reflexão.
a) se n
> O, y > O e z > O obedecem
ai 2 < x <8 e 2 < y <8
b) 16 < x < 20 e O < y < 8
Então, temos:
a) det Q = 2
d) det Q = 16
X + y + Z = 28
2x - y = 32
b) -1
cl O
di
e)
2
TO.247 (CESCEA-701 Se x = a, y = b, z = c e w = d é a solução do sistema
O
x+y=o
Então podemos afirmar que:
y + Z = O
a) se det IA - mil =1=0, então x + y = O e X· Y =1=0.
b) se det IA - ml) = O, então existem dois números reais x, y tais que x + y =1= O
ou x • y =1= O.
c) se det IA - mil = O, então det A = O e m = O.
então, o produto a.b.c.d vale:
d) se det A = O, então não existem dois números reais x, y, tais que AX
e) nenhuma das respostas anteriores.
ai 1
{ z + W
Y+ W
= 1
=
O
= mX.
b) -1
cl
_...!...
16
1
d)
-8
el -20
213-0
TO.248 (PUC-771 Se tivermos
.
{
+ Y+
TO.252 (CESCEM-721 A matriz incompleta do sistema
x+y+z=6
x+2y+3z=10
{
2x + 3y + 4z = 16
-1
x+z+t=5
y+z+t=7
X
Z =
x+y+t=4
tem determinante nulo. Podemos concluir que o sistema:
então x + y + z + t é igual a:
a) não te m sol ução
bl 7
ai -1
cl 5
di 4
b) tem um número finito de soluções, porém a solução não é única
c) tem infinitas soluções, porém nem todo ponto do IR3 é solução
d) tem urna única solução
el 5
4
TO.249IMACK-751 Oado o sistema
Xl + x2 + x3 + x4 + Xs
+ x3 + x4 + Xs
xl
+ x4 + Xs
Xl + x2
+ Xs
xl + x2 + x3
Xl + x2
el admite todo ponto do IR3 como solução.
+
+
+
+
+ x3 + x4 + Xs +.
+
+
+
+
xn
xn
xn
xn
. xn.l
=
=
=
=
1
2
3
4
são todos iguais
formam, a partir de x2. uma progressão aritmética
formam, a partir de x2, uma progressão geométrica
não possuem lei de formação
não podem ser determinados.
TO.25D (EAESP-FGV-771 Consideremos os sistemas de equações:
(A)
(81
x+y+z=3
2x + 3y - z '" O
4x+5y+z=6
{
{
x+y+z=3
-y + 3z = 6
obtém-se:
n
os valores de Xi, i = 1,2, "', n, que o satisfazem:
aI
b)
c)
d)
e)
TO.253 (CESCEA-761 Estudando-se o seguinte sistema de 3 equações a 3 incógnitas
X-2 Y +Z=1
2x + y - z = 2
{
X + 3y - 2z = 1
ai o sistema
bl o sistema
cI o sistema
di o sistema
el o sistema
solução.
é possível, determinado e admite uma
é imposslvel
é posslvel, porém indeterminado, com
é posslvel, porém indeterminado, com
é indeterminado, com uma incógnita
única solução x = 1, y = O, z
;co-
uma !ncógnita arbitrária
duas incógnitas arbitrárias
arbitrária, sendo (O, 1, 3) uma
TO.254(PUC-701 O sistema: { 5x + 3y - llz = 13
4x - 5y + 4z = 18
9x - 2y - 7z = 25
aI
b)
c)
di
e)
só apresenta solução trivial
é passlvel e determinado não tendo solução trivial
é possível e indeterminado
é impossível
nenhuma das anteriores
Qual das afirmações abaixo é correta?
a)
b)
cl
di
el
os sistemas são determinados
os sistemas são impossíveis
(Alou (BI é determinado
os sistemas são equivalentes
(Alou (BI é impossivel.
TO.251 (GV-741 O sistema {
X + 2y - z = 2
2x - 3y + 5z = 11
X - 5y + 6z = 9
a) é impossível
bl é possível e determinado
c) é possível e indeterminado
di admite apenas a solução X = 1, Y = 2, z = 3
e) admite um número finito de soluções.
214-0
TO.255 (MACK-751 O sistema { 2x + 3y = 4
2x + ay = 4
a)
bl
cl
dI
e)
tem infinitas soluções qualquer que seja a:
só tem solução se a = 3
é impossível se a *3
nunca é impossível
tem solução única qualquer que seja 8.
TO.256 (CESCEA-701 O conjunto de todos os m para os quais o sistema
{
mx+ Y =l
4x + my = 2m
não tem solução, é:
ai (-2, O, 21
di (-2,2)
bl (0.1,4.5)
el 10,1.21
cl (-2.
O
1I
215-0
TO.257IPUC-701
o sistema
de equações do 1? grau {ax - y:: : 1
ay - 4x c 1
aI a *4
bl a*-20u+2
dI a
e)
*
1
tem solução determinada se:
é correta.
TO.258IMACK-771 O II/gar geométrico dos pares Ix, yl, soluções do sistema
8
3x + ay = 2(a - 1)
é:
ai uma reta se a :::: 3
cl um único ponto se a
el não sei.
3
{
ax + 3y
~
{lo; OI}
bl {11; -21}
di {Ia; ~I E IR 2 j ~ ~
-2a}
TO.260 IMACK-691 _ O sistema
ai
bl
cl
di
e)
é
é
é
é
é
bl uma reta se a :::: -3
di um único ponto se a
2
cl {Ia;m EIR j a
-3
~ ~}
cl bla - cl
r -+ by5y ~~ 61
l2x
ax
~
bl{
ax + y :::: 2
x + ay ~ 3
e) não sei.
admite uma única solução para todo a real
d) {ax + by :::: c
admite uma infinidade de soluções para
alx + blY :::: cl
~ ~
=;
aI
bl
*' ~
Cl
é imposs ível
= m2
Qual das desigualdades abaixo deve ser satisfeita para m de tal forma que o sistema
admita solução?
ai -2<m<1
di m <-3
bl -1 <m <3
el m 2 >5
cl m
>3
TO.266IEAESP-GV-771
Dado o sistema linear { x
P: se a "" -3, o sistema é sempre incompatível
"*
b) se todas forem verdadeiras
d I se Q e R verdadeiras
ax - 2y = 1
{ bx + 4y = 5
TO.267 (CESCEA-771 O sistema
tem solução determinada se e somente se:
*
b
di a + 2b
=
k
a) se k"" O, o sistema é indeterminado
bl se k = 1 ou k ~ 15 o sistema é impossível
c) se k =1= O o sistema é indeterminado
d I se k * O o sistema é impossível
e) se k"" 1 ou k "" 15 o sistema é determinado.
TO.262IPUC-741 O sistema:
c) 2a
onde k é um número real,
"" 5
x + ky = 5
uma das afirmações seguintes é correta.
Assinale:
a) se P e Q são verdadeiras
c) se P e R verdadeiras
el se todas forem falsas
+y
3x - 2y
-3, o sistema é sempre determinado
R : se b "" -5, o sistema é sempre compatível
216-0
*O
admite uma única solução para todo a real
cl {ax + y ~ 2
-x + ay ~ 3
3x + 5y
tem-se:
bl 2a *-b
2
e) nenhuma das anteriores.
di ala - cl
O
{~:~~m
-30
ax + 2y ~ 5
{ 3x - 2y = b
~
*
TO.265 (FFCLUSP-691 10 dado o sistema de equações lineares em x e y
TO.261 (FE 1-68) - Dado o sistema linear
ai a =
~
TO.264(GV-721 Assinale a afirmação verdadeira
el{ 2x +4y~ 8
x + 2y ~ 4
el95
impossível se a ~ 12 e b * -30
possível e determinado se a = 12 e b
impossível se a * 12 e b * -30
determinado se a ~ •• e b = -30
indeterminado se a = 12 e b = -30
Q : se a
c
ai { x + y ~ 5
.
.
é passlvel e determmado
x + y ~ 6
TO.259 ICESCEM-761 O conjunto dos valores de la; bl E IR 2 que tornam o sistema{ 3x - 2y ~ a
-6x + 4y ~ b
indeterminado é
ai
ax + by
ex + by
{
seja possível e determinado é suficiente que:
cl a*O
nenhuma das respostas anteriores
TO.263(CESCEA-721 Para que o sistema
~
O
{
X+ Y +Z=1
2x + 2y + 2z = 2
3x + 3y + mz ~ 3
a) possível e determinado para m = 4
c) impossível para m = 3
dI possível e indeterminado para todo m
é:
bl impossível para todo m
el possível e determinado para m * 3.
217-0
TD.268ICESG RANR 10-COMCITEC-73) Dado o sistema de equações
+Z
TD.272 (IT A-70) Considere o sistema de equações algébricas lineares:
1
x+ry+z=l
x + y + rz=-2
rx + y
{
""
+ x3
aXl - x2
{
2X1
o sistema
a) o conjunto soluçá·o é finito e não vazio, para r = -2
ai (3 ~ O e
cl {3 *0 e
c) o conjunto solução é vazio para r == 2
d) o conjunto solução contém um único ponto do espaço para r*- 1 e r *-2
e) o conjunto solução é vazio, qualquer que seja r.
e)
{
~
~
~ O
~ O
a
a
b) {3 ~ O e
di (3 ~ a
a
*
O
Q: forem números complexos conjugados
Para que valores reais de a e b o seguinte sistema não admite solução?
3x + ay + 4z ~ O
x + y + 3z ~ -5
{
2x - 3y + z ~ b
a) a ~ -2 e b ~ 5
b) a
-2 e b * 4
c) a ~ -2 e b * 5
di a ~ b ~ 1
e) nenhuma das respostas anteriores
1
kx + y + 3z
x + ky + 3z
13 e
terá solução única se:
TO.273 (ITA-69) -
TD.269 (PUC-76) Os valores de k para que o sistema
X - z~
O
+ x2 + '3 ~ {3
onde r é um número real, tem-se que:
b) o conjunto solução contém uma infinidade de pontos do espaço para r = 1
=
xl - x2 + 2x3 = O
>
O
1
tenha solução única, são:
ai k*+l
*
*
TD.274(PUC-731 Os valores de a e b. de modo que o sistema
ek*-3
**-
bl k
+1 e k
5
cl k
+ 1 e k
6
dlk*+lek*-2
el k*+l ek*-4
{
,+ 2y + 2z ~ a
3x + 6y - 4z ~ 4
2x + by - 6z ~ 1
seja indeterminado, são:
ala~4eb~3
b) a ~ 3 e b ~ 4
TD.270 IG.V.-76) Seja S o sistema de equações simultâneas:
c)a~2eb~1
dla~3eb~2
{
X+y+Z~k
el a
~
2 e b
~
3
x-y-z~k
,+ 2y + mz
x+y-z=;k
TD.275 IGV-73) Seja o sistema
{
onde k é uma constante real. Então:
a) S possu i uma sol ução somente para k
bl S possui infinitas soluções para k * O
bl m
~
c) S possui solução única qualquer que seja k real
d) S não possui solução qualquer que seja k real
e) Se x =; y, então z =; -k para qualquer valor de k real
c)
e)
-
b) admite solução qualquer que seja k
c) admite solução somente se k:.: 4
di admite solução somente se k = 8
e) admite solução somente se k = 12.
218-0
~
então:
n
m
=;
*
3
10 e n =
~
=====> sistema possível e indeterminado
3
=
1
.==:::::;.
sistema possível e determinado
sistema impossível
nenhuma das anteriores.
TD.276(CESCEM-731 Podemos afirmar que o sistema de equações lineares
3
a) não admite solução qualquer que seja k
y + 3z
10 e n
d) m * 10
TD.271IMACK-751 A equação matricial
[~
2
a) para todo valor de m, o sirstema é impossível
=O
1
1
~
x-y+z~l
2y + 3z ~ -4
5x - 6y + 7z
-8
6x - 8y + pz ~ q
X -
{
ai
bl
cl
di
eI
é:
impossível, se p ~ 10 e q * -12
possível e determinado. se q * -12
indete'minado, se p * 10
tal que só existe a solução trivial, se p ~ 10 e q
possível e indeterminado. se p ~ 12 e q ~ 10
~
-12
219-0
TO.2771ITA-721 Qual é a relação que a. b e c devem satisfazer tal que o sistema abaixo tenha
TO.281 (EAESP-FGV-77) O determinante da matriz incompleta associada a um sistema homogêneo de n equações lineares a n incógnitas é nulo. Em vista desta informação podemos
concluir que:
pelo menos uma solução?
+ 2y - 3z ~ a
2x + 6y - 11z
b
x + 2y + 7z = c
X
{
a) o determinante da matriz completa é nulo
bl o sistema é indeterminado
c) o sistema é determinado
a) 5a ~ 2b - c
c) 5a
2b + c
e) nenhuma das respostas anteriores.
*
bl 5a
~
2b + c
d) não existe relação entre a, b, c
TO.278 CESGRANRIO-COMCITEC-73) Considere o sistema
{
+
+ xl +
Xl - 2X2
X3
2Xl
X3
5X2 - X3
= a
= b
=c
d) o sistema não tem solução
e) o determinante da matriz completa é não nulo.
TO.282 (CESGRANRIO-COMCITEC-73) Considere as seguintes afirmações sobre um sistema de
2 equações Iineares homogêneas a 3 incógnitas:
1 - o sistema possui alguma solução diferente de lO. O, 01
2 - se (x, y, z) e Ix·, V', z'l são soluções, então (x + x', y + V', z + z') também é solução
3 - se Ix, Y. z) é solução e Xé um número real qualquer. então (Àx, Ày, À.l1 é solução
Tem-se que:
Então:
a)
o sistema possui solução quaisquer que seja a, b, c
b) o sistema possui solução apenas quando a = b = c = O
c) o sistema possui solução se e somente se 2a - b + c = O
d) o sistema possui solução única quando a = b = c = O
el as quatro afirmativas anteriores são falsas.
a) as três afirmativas são falsas
bl apenas uma afirmativa é falsa
cl apenas uma afirmativa é verdadeira
di as três afirmativas são verdadeiras
e) um sistema de duas equações lineares a três incógnitas nunca é homogêneo
TO.283 (CESCEM-73) A matriz
lO.2791F FCLUSp.,.e71 - O sistema
X
+
x + by + b 2 z ~ b 3
x + cy + c 2 z = c 3
{
(-~
ay' + alz = a 3
-b
a
O
-c
tem determinante nulo e nenhum dos números a, b ou c é zero. Então, pode-se garantir
que o sistema linear homogêneo nas incógnitas (x, y, z)
a) é sempre determinado
ay + bz ~ O
-ax + cz = O
{
-bx - cy ~ O
bl é determinado para. a * b, b * c
cl é determinado para a * b * c * a
di é indeterminado para a* b * c * a
e) nenhuma das respostas anteriores
TO.280(EESCUSP-67) - Seja o sistema:
c) qualquer terna real (x, y, zl é solução.
di a única solução é a trivial Ix ~ O, y ~ O, z ~ Oi.
811 Xl
821 Xl
831 Xl
+
+
X2
832 X2
+
X3
Então o sistema admite
a) sempre solução única
b) nenhuma solução
cl
é tal que
a) qualquer uma das equações é combinação linear das outras duas.
b) não existe solução para o sistema.
solução, somente se existe um número À tal que bl = Àall
d) solução. somente se au *0
el solução somente se bl ~ O
e) existe uma única solução não trivial.
TO.284 (GV-741 O sistema { 2x - y + 5z = O
3x - 2y - z ~ O
5x - 3y + 4z ~ O
é:
a) impossível
bl
possível e indeterminado
cl possível e com solução x ~ -11, y ~ -17 e z ~ 1
d) possível, e admite apenas a solução trivial, x ~ y = z
O
e) nenhuma das respostas anteriores.
221-0
TD.285ICESCEM-751
o
sistema de equações:
{
3x + 4y - z
2x - y + 3z
x +
=
TD.29D (CESGRANRI0-761 Sejam À, e À2 os valores distintos de À para os quais a equação
O
3) (Xl)
o1)*(0).
O
Y= O
2
a) não tem solução
b) admite uma única solução não trivial
admite solução /x
c) admite apenas a solução trivial
ai -5
\ x2
d) admite infinitas soluções
e) admite apenas soluções não triviais.
1)
~
x2
/x
\X2
Então. À1 + À2
O
bl 4
é
10
cl
di -6
el O
TD.291 IFUVEST-771 A equação matricial
TD.286IUNICAMP-671 O sistema de equações lineares
{
3x
4x
12x
2y - 6
8y - 15
8y
24
O
O
O
é
ai O
bl impossível
cI homogêneo
el não tem solução no campo dos números reais
a) determinado
d) indeterminado
admite mais de uma solução se e somente se À. =
±V3
bl
cI ±3
-1
b)
cl
dI
e)
- ay +
{
=
ai a
c) a
a equação tem uma e somente uma solução
a equação tem duas e somente duas soluções
a equação tem três e somente três soluções
a equação não tem solução.
nenhuma das respostas anteriores.
ax -
e)
{
-x + 5y
o
O e a o 1
e a = O
O
O
bl a
~ -1
d) a
-1
e a
1
e
a
O e a
> -2
el m
O
O
O
e assinale qual das afirmações que seguem é verdadeira:
bl imposs ível
O
c)
z
=
O
2'
z
=-2
c) a única solução é x = y =
é possível e determinado
d) posslvel e x
a
= :I'
y
b
= -
c
e) determinado
TD.294ICESCEA-751 Os valores de m para os quais o sistema
kx
ky
y = O.
b) existe pelo menos um valor de k para o qual o sistema tem solução diferente da
solução x = O. y =
c) para -nenhum valor de k, o sistema tem solução diferente da solução x = O, y = O.
222-D
=
nenhuma das anteriores.
x-
aI qualquer que seja o valor de k, o sistema tem solução diferente da solução x == O,
o.
z
a) indeterminado
TD.289 li TA-66 I Consideremos o sistema de 2 equações nas 2 incógnitas x. y:
y
= O
TD.293ICESCEA-69) Analise o sistema
e) nenhuma das respostas anteriores
X -
±V11
O
b) é indeterminado
d) só admite a solução nula
z
z
+ ay + bz + CZ
+ az + by + CZ
+ az + bz + cy
x
y
2
3
+ O
x
y
4
2
--+x
y
z
a) é impossível
y-
= -1
TD.288 IPOLl-66) O sistema de equações:
1
+ -
el
admita soluções diferentes da trivial são
Podemos afirmar:
a)
y+
xx+
.;! n[n UJ
±V6
TD.292 IMACK-751 OS valores de a para que o sistema
TD.287I1TA-741 Seja a equação matricial
[~
di
{
admite somente a solução x
ai m
>0
bl m
<5
y+
Z
2x - 3y + 2z
4x + 3y + mz
O, y
=
O, z
cl m = 4
O
O
O
= O são:
di m
*
4
223-D
TD.300lITA-721 Quais os valores de a de modo que o sistema
TD.295 lpUC-72) Os valores de k tais que o sistema homogêneo
+ y + 2z = O
x - ky + Z = O
(sen n - l)x + 2y - Isen n)z = O
(3 sen nly + 4z = O
{
3x + (7 sen aly + 6z = O
X
{
admite somente a solução trivial, são:
kx-y-z=O
a) k*O e
cl k = O e
el k*2 e
k
*'
n1l,
b) n =
n1l
Àx+Y=O
c) n=
n1l+~, n = O, ±1, ±2, ...
x + Ày + Z = O
d) não há valores de n
2
1
1
e k *-1
e k *-2
k*-l
TD.296 lITA-68) Seja
o
**
a) n =
b) k
d) k
k*-l
{
e)
nenhuma das respostas anteriores.
x+
y~
z=O
ax + by + CZ = O
{ a 2x + b2 y + c 2z = O
a) apenas por números complexos não reais
números reais
números racionais
admita solução não trivial é suficiente que:
números irracionais
números inteiros
ai a = b ou b = c ou a = c
b) a
* *
b
c
cl abc = O
d) a * O, b * O, c * O
el nenhuma das respostas anteriores.
TD.297 GV-701 Os valores de m para os quais o sistema linear homogêneo
+ 6)x - 2y + 4z
= O
5x - 4my - 4z = O
3x - y + Z = O
{
+2!:.
±1 "
±2 ±3 ...
3' n = O"
TO.a01 (FFCLUSP-661 Para que o sistema
que isto se verifique este conjunto é constitu (do:
(m
n = O, ±1, ±2, ±3, ...
y+Àz=O
sistema acima terá solução não trivial para um certo conjunto de valores de À. Para
b} apenas por
cl apenas por
di apenas por
e) apenas por
admite soluções não triviais?
TO.a02 lITA-77) Seia{k l + k21x + Ik2 - k3)y + (kl - k3)z = O
(k2 - kl)x + (k2 + k31y + Ik3 - k\)z = O
(kl - k2)x + (k3 - k2)y + (k3 + kl)z = O
admite soluções diferentes da trivial são:
d) 6 e
um sistema homogêneo de equações lineares reais em x, y e z. Com respeito ao sistema acima podemos afirmar:
Sabendo que
~:]
.r:] [n
=
ai se kl * ±k2' kl * ±k3 e k2 * ±k3 então o sistema só admite solução trivial
b) se ki + k~ + k~ * O, então o sistema só admite solução trivial
cl o sistema admite solução não trivial, se e somente se, kj
+ k~ + k~
= O
d) se kl * O, k2 * O e k3 * O, então o sistema só admite solução trivial
então, temos:
a) det M é um número positivo
['
bl Existe uma matriz P, 3 X 3, tal que: MP =
cl M21 = -3 M22 - 2M 23
di se M21 = 3M22 + 2M2J, então M2I * O
00
e) nenhuma das respostas anteriores.
O O]
O'
TO.aoa (FE 1-66) A matriz
0
1
e) nenhuma das respostas anteriores.
,
1
1
2
O
O
3
O
tem caracter(stica
TO.299IFFCLUSP-69) Para qual dos seguintes valores de n o sistema linear em x, y e z:
x+y+z=O
(cos n + sen n)y + (2 sen n)z = O
{ (cos aly + (cos n - sen n)z = O
a) 1
b) 2
c) 3
e) nenhuma das respostas anteriores.
TO.304 (PUC-731 A caractedstica da matriz: M
admite soluções não triviais?
a)
224-D
511
4
bl
311
4
cl
!!...
4
d)
711
8
e)
511
8
a) 4
b) 3
cl 1
d) 4
[j
3
O
1
2
1
3
1
4
d) O
-2
3
O
2
']
3
~
,
e:
e) 2
225-D
TO.305 (EESCUSP-66) Se as linhas de uma matriz são combinações lineares, de p delas, a sua
característica é:
a) p + 1
di ;;. p
c) .( p
b) p
el;;'p+1
TO.306 IMACK-751 Se numa matriz A de terceira ordem todas as sub·matrizes de segunda
ordem têm determinante nulo, então:
RESPOSTAS
a) a caractedstica da matriz A pode ser 3
bl a caracterfstica da matriz A pode ser 2
c) a caracterfstica da matriz A pode ser 1
d) todos os elementos da matriz A são nulos
e) a matriz A é inversível.
TO.307 (EPUSP-65) Sendo nulos todos os menores de
~
ordem de uma matriz de
4~ ordem.
ai o determinante da matriz é nulo
b) o determinante não é necessariamente nulo, mas são nulos todos os menores de
3~ ordem
c) pode existir um menor de 3~ ordem não nulo
d) a caractedstica da matriZ é dois
aI nenhuma das respostas anteriores.
TO.308 (POLI-671 Sendo a, b, c, d quatro númeroS diferentes e não nulos, o número de menores de 2~ ordem, não nulos que podem ser extra ídos da matriz
1
1
O
O
O
O
a
a2
a3
a4
b
b2
b3
b4
cI 84
bl 76
a) 60
e) nenhuma das respostas anteriores.
c
c2
c3
c4
1
d
d2
d3
d4
é:
d) 100
TD.309 (EPUSP-68l Seja S um sistema linear homogêneo, com 3 equações e 3 incógnitas x, Y
e z. Seja T o sistema obtido acrescentando a S uma nova equação ax + by + cz := O.
a)
b)
c)
d)
e)
a característica de S pode ser maior que a de T
o sisterr.a T pode ser incompat ível
o sistema T pode ser indeterminado
a nova equação é sempre combinação linear das outras três
nenhuma das respostas anteriores.
TO.310 (FEI-67) Um sistema linear homogêneo de três equações e três incógnitas admite como
soluções os ternos (1, 3, 5) e (2, 4, 5), mas não o terno (1, 1. 11. A característica
do sistema é:
a) O
b) 1
cI
2
el nenhuma das respostas anteriores.
226-0
d) 3
TO.l c
TO.2 d
TO.3 e
TO.4 b
TO.5 e
TO.6 b
TO.7 d, e
TO.8 b
TO.9 d
TO.l0c
TO.ll b
TO.12e
TO.13d
TO.14d
TO.15d
TO.16a
TO.17e
TO.18d
TO.19b
TO.20c
TO.21 b
TO.22b
TO.23e
TO.24b
TO.25 e
TO.26d
TO.27 d
TO.28b
TO.29d
TO.30b
TO.31 d
TO.32 e
TO.33a
TO.34b
TO.35 c
TO.36d
TO.37d
TO.38 a
TO.39d
TO.4Oa
TO.41 a
TO.42 c
TO.43.
TOA4d
T0.45 d
TO.46 c
TO.47 a
TO.48a
TO.49 e
TO.50a
TO.51 b
TO.52b
TO.53 a
TO.54 c
TO.55a
TO.56d
TO.57e
TO.58 c
TO.59b
TO.60d
TO.61 b
TO.62a
TO.63.
TO.64b
TO.65 a
TO.66 c
TO.67d
TO.68b
TO.69 a
TO.70c
TO.71 c
TO.72 e
TO.73b
TO.74b
TO.75a
TO.76c
TO.77 a
TO.78 c
TO.79 a
TO.80d
TO.81 b
TO.82 b
TO.83 c
TO.84b
TO.85d
TO.86b
TO.87a
TO.88b
TO.89b
TO.90c
TO.91 e
TO.92b
TO.93 a
TO.94 e
TO.95 a
TO.96 e
TO.97 a
TO.98 e
TO.99 e
TO.l00c
TO.l0l b
TO.l02d
TO.l03c
TO.l04b
TO.l05e
TO.106b
TO.l07c
TO.l08b
TO.l09c
TO.l10b
TO.ll1 d
TO.112d
TO.113a
TO.114c
TO.115a
TO.116c
TO.117b
TO.118b
TO.119b
TO.120c
TO.121 d
TO.122 b
TO.l23b
TO.124e
TO.125d
TO.126a
TO.127b
TO.128d
TO.129a
TO.130a
TO.131 a
TO.132c
TO.133e
TO.134d
TO.l35b
TO.136a
TO.137a
TO.138e
TO.l39b
TO.140e
227-0
TD.141 d
TD.142 a
TD.143a
TD.144d
TD.145d
TD.146e
TD.147 d
TD.148b
TD.149b
TD.150d
TD.151 b
TD.152b
TD.153e
TD.154e
TD.155 e
TD.156e
TD.157 b
TD.158b
TD.159 e
TD.160b
TD.161 b
TD.162 b
TD.163d
TD.164a
TD.165d
TD.166e
TD.167a
TD.168e
TD.16ge
TD.170b
TD.171 e
TD.172 b
TD.173b
TD.174a
TD.175a
TD.176a
TD.177b
TD.178e
TD.179d
TD.180d
TD.181 a
TD.182a
TD.183d
228-0
TD.184a
TD.185 e
TD.186a
TD.187 e
TD.188b
TD.189 e
TD.190d
TD.191 d
TD.192 a
TD.193e
TD.194e
TD.195b
TD.196a
TD.197 e
TD.198a
TD.199b
TD.200e
TD.201 d
TD.202e
TD.203e
TD.204e
TD.205b
TD.206e
TD.207 d
TD.208b
TD.20ge
TD.210b
TD.211 e
TD.212 b
TD.213a
TD.214a
TD.215a
TD.216 d
TD.217 b
TD.218e
TD.219 e
TD.220e
TD.221 e
TD.222a
TD.223d
TD.224e
TD.225d
TD.226b
TD.227a
TD.228e
TD.229d
TD.230d
TD.231 e
TD.232a
TD.233e
TD.234e
TD.235a
TD.236e
TD.237e
TD.238d
TD.239d
TD.240d
TD.241 e
TD.242b
TD.243e
TD.244d
TD.245b
TD.246e
TD.247 e
TD.248 e
TD.249 b
TD.250d
TD.251 e
TD.252e
TD.253e
TD.254d
TD.255d
TD.256d
TD.257 e
TD.258 b
TD.269d
TD.260e
TD.261 d
TD.262b
TD.263e
TD.264e
TD.265b
TD.266e
TD.267d
TD.268d
TD.269e
TD.270e
TD.271 e
TD.272 b
TD.273e
TD.274b
TD.275e
TD.276a
TD.277d
TD.278e
TD.279 e
TD.280e
TD.281 b
TD.282 d
TD.283a
TD.284b
TD.285d
TD.286a
TD.287e
TD.288 a
TD.289a
TD.290b
TD.291 e
TD.292 e
TD.293a
TD.294 e
TD.295a
TD.296b
TD.297e
TD.298e
TD.299 e
TD.300d
TD.301 a
TD.302d
TD.303b
TD.304b
TD.305 e
TD.306 e
TD.307a
TD.308b
TD.309d
TD.310 e