APOSTILA

IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
Funções Trigonométricas [ou Circulares]
● Introdução:
A trigonometria originou-se com parte do estudo dos triângulos. O nome tri-gono-metria significa, de certa forma, medida de
figuras com três ângulos [lados] e as primeiras definições de funções trigonométricas foram em ternos de triângulos. No
entanto, as funções trigonométricas podem ser definidas usando-se o círculo unitário [trigonométrico], uma definição que as
faz periódicas. Muitos processos que ocorrem naturalmente são periódicos também. O nível da água em uma bacia sujeita às
mares, a pressão sanguínea em um coração, uma corrente alternada e a posição de moléculas de ar transmitindo uma nota
musical variam regularmente. Tais fenômenos, entre outros, são representados por funções trigonométricas, também
conhecidas como funções circulares.
Baseado no texto da p. 24 do livro: HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
● Conceito Inicial: O Círculo Trigonométrico:
O Círculo Trigonométrico, também conhecido como circunferência ou ciclo trigonométrico, é uma circunferência de raio
unitário, centrada na origem dum sistema de coordenadas cartesianas bidimensional. Nele, foi convencionado que a
orientação no sentido anti-horário nos dará a contagem positiva dos ângulos [ou arcos], e conseqüentemente, no sentido
horário, os ângulos serão dados como negativos.
● Unidades Angulares:
As unidades para ângulo são: o grau [ º ], o radiano [ rad ] e o grado [ gr ]. Vale observar que, no SI [Sistema
Internacional de Unidades], a unidade para ângulo plano é o radiano. Das unidades em questão, o radiano é a única que
dispensa a utilização de seu símbolo, neste caso “rad”. Assim, no ciclo trigonométrico abaixo, temos as extremidades dos
quadrantes indicadas com as 3 unidades angulares mencionadas:
Arcos côngruos [ou congruentes]
São arcos [ou ângulos] de mesma origem e de mesma extremidade, que
diferem um do outro apenas pelo número de voltas no ciclo
trigonométrico, independente do sentido da orientação. Veja:

100gr 90º
10º  370º  730º  1090º   350º  710º  ...
Note que:
0gr
0º 0
360º 
400gr
200gr
180º

370º  10º  360º
730º  10º  360º  360º
1090º  10º  360º  360º  360º  10º  (3).360º
 10º  (1).360º
 10º  (2).360º
 350º  10º  360º
 710º  10º  360º  360º
Assim, todo ângulo
270º
300gr
 10º  (1).360º
 10º  (2).360º

tem uma expressão geral do tipo:
   0  k .360º ,

Sendo
com
k
k o número de voltas e  0 a “1ª determinação positiva”.
Para o caso acima, temos:
  10º  k .360º ,
com
k .
Em nosso estudo, as unidades angulares mais utilizadas serão o radiano e o grau. Assim, a conversão entre elas pode ser
feita através de uma regra de três, usando-se a relação:
180º


rad
Observação: A partir do exposto até aqui, é possível indicarmos um ângulo maior que 360º ou mesmo um ângulo negativo;
e isso implicará no comportamento periódico das funções trigonométricas que veremos a seguir.
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Definição de Radiano: um ângulo de 1 radiano é definido com sendo o ângulo no centro do círculo unitário que limita
[determina] um arco de comprimento 1 nesse círculo, medido no sentido anti-horário [Figura 1].
Comprimento do arco = raio
Comprimento AP = 1
R=1
 = 1 rad
Figura 1
Figura 2 [Fonte: Wikipédia]
Isso implica que 1 radiano corresponde ao arco com o mesmo comprimento do raio da circunferência em questão [Figura 2].
Notas: a palavra “radiano” remete a palavra raio [radius]. Quando temos a particularidade do raio ser unitário, será
indiferente falar em arco ou ângulo.
Decorrente disso, podemos calcular o comprimento de qualquer arco
dado em radianos.
Assim:

de uma circunferência através do ângulo central
,
  R
Definimos como Perímetro ou Comprimento C , uma volta completa
na circunferência. A relação acima fica assim adaptada:
R
C  2  R
● As Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Unitário
Os valores de
sen 
serão medidos no “eixo x” do sistema cartesiano ortogonal associado e os valores de
medidos no “eixo y”. Os valores de
tg 
cos 
serão
serão medidos num eixo vertical tangente à circunferência trigonométrica na
origem os arcos.
sen
cosec
tg
cotg
cos
sec
Os valores de secante [sec] e cossecante [cosec] de um ângulo serão medidos nos eixos “x” e “y”, respectivamente, e os
valores da cotangente [cotg] de um ângulo serão medidos num eixo horizontal tangente à circunferência trigonométrica.
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Seno de um Ângulo :
O seno de um ângulo  é a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a projeção
ortogonal da extremidade “P” do arco de  sobre o eixo “y” [ponto M]. Veja os quatros possíveis casos a seguir com arcos
em cada um dos quadrantes.
1º Quadrante
2º Quadrante
OM  sen θ
Note que:
sen θ   sen ( θ)
3º Quadrante
4º Quadrante
OM  sen θ
Observação: É importante verificar que o seno de um ângulo

qualquer estará sempre compreendido no intervalo:
 1  sen   1
Cosseno de um Ângulo :
O cosseno de um ângulo  é a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a
projeção ortogonal da extremidade “P” do arco de  sobre o eixo “x” [ponto M]. Veja os quatros possíveis casos a seguir com
arcos em cada um dos quadrantes.
1º Quadrante
2º Quadrante
ON  cos θ
Note que:
cos θ  cos( θ)
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3º Quadrante
4º Quadrante
ON  cos θ

Observação: É importante verificar que o cosseno de um ângulo
qualquer estará sempre compreendido no intervalo:
 1  cos   1
Tangente de um Ângulo :
A tangente de um ângulo  é a medida do segmento de reta que liga a origem do ciclo trigonométrico [ponto A] com a
intersecção [ponto T] da reta que passa pela origem do sistema cartesiano e pela extremidade “P” do arco de . Veja os
quatros possíveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes.
1º Quadrante
2º Quadrante
AT = tgθ
Note que:
tgθ   tg ( θ)
3º Quadrante
4º Quadrante
AT = tgθ
Observação: É importante notar que a tangente de um ângulo
Considerando o exposto acima, a
tg θ

só existirá se:
pode assumir qualquer valor real, ou seja:
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  90º  k.180º
   tgθ   
com
k Z
.
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A Relação Fundamental da Trigonometria:
sen 2  cos2   1
Podemos deduzi-la facilmente através do círculo trigonométrico. Veja:
1

sen 

cos 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo acima, temos:
(hip) 2  (cat) 2  (cat) 2
(1) 2  ( sen  ) 2  (cos ) 2
sen 2  cos2   1

Alguns Valores Trigonométricos:
Para sua observação, na tabela abaixo apresentamos alguns valores trigonométricos, além dos já vistos anteriormente.
0º
30º
1
2
45º
60º
2
2
sen
0
cos
1
3
2
2
2
3
2
1
2
tg
0
3
3
1
3
90º
1
0
∄
120º
135º
3
2
1

2
2
2

 3
2
2
1
150º
1
2
180º
270º
360º
0
1
0
sen

3
2
1
0
1
cos

3
3
0
∄
0
tg
Nota: experimente encontrar alguns dos valores trigonométricos em sua calculadora científica!
Uma Animação na Web!
Em http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.html você poderá “interagir” com um círculo trigonométrico para observar
a variação dos valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer.
Secante, Cossecante e Cotangente de um Ângulo :
Veja abaixo as relações para um ângulo no 1º quadrante. A interpretação para os demais quadrantes fica a cargo do leitor.
OS = sec θ
OC = cosec θ
BQ = cotg θ
 só existirá se:   90º  k.180º com k  Z .
sec θ terá variação: sec θ  1 ou sec θ  1
 É importante notar que a secante de um ângulo
Considerando o exposto acima, a
 só existirá se:   0º  k.180º com k  Z .
Considerando o exposto acima, a cosec θ terá variação: cosec θ  1 ou cosecθ  1
 É importante notar que a cossecante de um ângulo
 só existirá se:   0º  k.180º com k  Z .
Considerando o exposto acima, a cotg θ pode assumir qualquer valor real, ou seja:    cotgθ   
 É importante notar que a cotangente de um ângulo
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Resumo das variações dos sinais das funções nos quadrantes
Seno
Cosseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cossecante
1o Q
+
+
+
+
+
+
2o Q
+
–
–
–
–
+
3o Q
–
–
+
+
–
–
4o Q
–
+
–
–
+
–
Funções com Sinais Positivos nos Quadrantes!
sen
cosec
todas
tg
cotg
cos
sec
 Mais Relações:
Podemos relacionar algumas funções trigonométricas entre si. Então segue abaixo, outras relações trigonométricas para um
arco qualquer x . Incluímos nessa lista, a relação fundamental da trigonometria [vista anteriormente] como lembrete.
sen 2 x  cos2 x  1
tg x 
sen x
cos x
sec x 
sec 2 x  1  tg 2 x
1
cos x
cosec x 
1
sen x
cotg x 
cos x
1

tg x sen x
cosec2 x  1  cotg2 x
● Algumas Aplicações de Funções Trigonométricas
Variação Angular de Movimento:
A variação do ângulo “Y” em relação ao tempo “t” (em segundos) de uma corrida “leve” pode ser dada por:
Y

9
 8  3 
  t  
 3  4 
 sen 
Fonte: GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática:
uma nova abordagem. Vol. 2. 1. ed. São Paulo: FTD, 2000.
Insolação Diária:
O modelo matemático que indica o número de horas do dia, com luz solar “L”, de uma determinada cidade norte americana,
“t” dias após 1º de Janeiro é:
 2

L( t )  12  2,8 sen 
( t  80)
 365

Fonte: J. Stewart – Cálculo Vol. 1 – p. 34
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O Processo Respiratório:
Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar “F” na traquéia, em ambos os
sentidos (inspiração e expiração), e a pressão interpleural “P” (pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma
e por músculos intercostais) são funções periódicas do tempo “t”, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções
são descritas, para t > 0, em que “k”, “A”, “B” e “C” são constantes reais positivas e “ß” é a freqüência respiratória, por:
F(t) = A.sen (ß.t)
com
P(t)= C – B.F(t + k/ß)
Densidade do Ar:
O modelo matemático desenvolvido pelo pesquisador brasileiro Prof. César Monteiro de Barros, determina a densidade do ar
 (em kg/m3) em função da altitude H , em metros, para um limite de até 30.000 m de altitude.
  1,58   sen (1,000131914 ) 29349H 
0,876
● Funções Trigonométricas – Definições
Funções Trigonométricas [ou Circulares] são funções que possuem pelo menos uma das relações trigonométricas estudas
anteriormente. Nosso estudo ficará concentrado em modelos específicos de funções que envolvem somente o seno ou o
cosseno de um ângulo.
FUNÇÃO SENO
Definição: É uma função do tipo
f : D   , tal que: f ( x)  sen x .
Representação Gráfica:
p  2
Características:
Domínio:
D
Conjunto Imagem:
Im   1 , 1    y   | 1  y  1
Alguns Conceitos Associados:
Amplitude [ A ] é a metade da distância entre o valor máximo e mínimo da função (se existirem).
Período [
Assim, na função
p ] é o espaço [ou menor tempo] necessário para que a função execute um ciclo completo.
f ( x)  sen x
temos que a Amplitude é:
A 1
e o período é:
p  2 .
Nota: Funções que possuem período [e que por isso formam ciclos repetidos] são chamadas de funções periódicas.
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FUNÇÃO COSSENO
Definição: É uma função do tipo
f : D   , tal que: f ( x)  cos x .
p  2
Representação Gráfica:
x
Características:
D
Domínio:
Amplitude:
Conjunto Imagem:
A 1
Período:
Im   1 , 1    y   | 1  y  1
p  2
Note que, se “deslocarmos horizontalmente” o gráfico da função
idêntico ao gráfico da função
y  cos x em  / 2 rad , esse novo gráfico ficará
y  sen x . Por esse motivo, gráficos que têm a forma de uma curva seno ou cosseno são
y  sen x e y  cos x é  / 2 .
chamados de senoidais. Podemos ainda dizer que a DIFERENÇA DE FASE entre
FUNÇÃO TANGENTE
Definição: É uma função do tipo
f : D   , tal que: f ( x)  tg x .
Representação Gráfica:
p=



Assíntota Vertical
Características:
Domínio:



D   x   / x   k , com k  Z 
2


Amplitude:
A função
Conjunto Imagem:
Período:
não tem.


f ( x)  tg x tem assíntotas verticais em  x 


 k , com k  Z  .
2

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p 
Im  
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Observações:
 Pesquise e reflita sobre a representação gráfica das funções
y  sec x , y  cosec x e y  cotgx .
 As funções trigonométricas, considerando certas restrições, possuem inversa. As funções
exemplo, têm como inversas:
y  arc sen x
e
e
y  cos x , por
y  arc cos x , respectivamente. [Procure saber mais!]
 Nas calculadoras científicas mais comuns encontraremos as funções inversas
representadas por
y  sen x
arc sen
e
arc cos ,
por exemplo,
sen e cos , respectivamente. Esta última representação [com expoente (–1)] é apenas um padrão
-1
-1
de simplificação, muito provavelmente de origem norte-americana.
● Variando Parâmetros das Funções Circulares
Vamos estudar o comportamento gráfico da função circular SENO, através da variação dos parâmetros: Amplitude, Período,
Deslocamento Vertical e Descolamento Horizontal (fase). O raciocínio é análogo para o comportamento da função COSSENO.
Variação da Amplitude:
Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:
Variação do Período:
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Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:
Deslocamento Vertical:
Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:
Fique Ligado!
Observe as notações abaixo:
sen ( x  2)  sen x  2
pois
sen x  2  2  sen x
Deslocamento Horizontal (diferença de fase):
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Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:


Observação: cos x  sen  x 


2
Nota: Os gráficos das “variações”
aqui apresentados foram retirados
do artigo: Função Trigonométrica:
Um Enfoque Aplicado ao Ensino
Técnico, de autoria das Professoras
Maristela de Quadros Albé e Rosane
Maria Jardim Filippsen.
● Função Periódica Genérica [ou Generalizada]:
Agora, podemos escrever uma função periódica generalizada:
f ( x)  a  b  sen (cx  d )
f ( x)  a  b  cos (cx  d )
ou
Sendo que:
Amplitude:
A |b|
Período:
p
2
|c|
Desloc. Horizontal:
DH 
d
c
Desloc. Vertical:
DV  a
Transformações Trigonométricas para Arcos:
Tais transformações apresentadas abaixo, não farão parte de nosso estudo neste momento. Entretanto, torna-se oportuno
apresentá-las agora. Procure relembrar e aprender um pouco mais!
sen (a  b)  sena  cosb  senb  cos a
cos (a  b)  cos a  cosb  sena  senb
tg (a  b) 
sen 2a  2  sena  cos a
cos 2a  cos2 a  sen 2 a
tg 2a 
a
sen    
2
1  cos a
2
a
cos    
2
a b
a b
  cos 

 2 
 2 
sen a  sen b  2  sen 
1  cos a
2
Para Descontrair!
 a b 
 ab 
  cos 

 2 
 2 
sen a  sen b  2  sen 
 ab 
 a b 
  cos 

 2 
 2 
cos a  cos b  2  cos 
a b
a b
  sen 

 2 
 2 
cos a  cos b  2  sen 
Agora, para refletir...
Não se pode transformar o que não se aceita. (Jung)
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tga  tgb
1  tga  tgb
2  tg a
1  tg 2a
a
tg    
2
1  cos a
1  cos a
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EXERCÍCIOS – Funções Trigonométricas [ou Circulares]
1) Esboce o gráfico das funções dadas a seguir, indicando para cada caso, a amplitude, o período, os deslocamentos e
também o conjunto Imagem. [Obs.: não é necessário representar mais que um período da função dada]
a) f(x) = 3.sen(x)
i) y = 2.sen(x + )
b) f(x) = –3.sen(x)
j) y = ½(cos 3x) + 1
c)
k) y = – 2 + cos(t/4)
f(t) = 5.cos(t)
d) f(t) = –5.cos(t)
l) y = – 2 + 2.sen(4x)
e) y = 1 + sen(x)
m) y = 3.cos(x + ) – 1
f)
n) y = 1+ 2.sen(x + /2)
y = cos(x/2)
g) y = sen(5x) + 1
o) y = – cos(2t) – 2
h) y = sen(x + )
p) y = 1 – 3.cos(x + )
2) Com base no círculo trigonométrico ao lado,
determine os valores pedidos a seguir.
a) sen 30º =
_________
i) sen 270º =
_________
b) cos 60º =
_________
j) cos 270º =
_________
c) sen 150º = _________
k) sen (–90º) = _________
d) cos 150º = _________
l) cos (–90º) = _________
e) sen 90º =
_________
m) sen 315º =
f) cos 90º =
_________
n) sen (–45º) = _________
_________
g) sen 210º = _________
o) cos 315º =
_________
h) cos 210º = _________
p) cos (–45º) = _________
Observação: Confira as respostas em sua calculadora científica!
3) Em 10 de fevereiro de 1990, a maré alta numa determinada cidade foi à meia noite. A altura de água no porto é uma
função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. A altura (em pés) é aproximada pela fórmula:
 
t  , onde “t” é o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990.
6 
y  5  4,9 cos
a)
b)
c)
d)
e)
Esboce um gráfico dessa função em 10 de fevereiro de 1990 [de t = 0 até t = 24h]
Qual era a altura da água à maré alta?
Quando foi a maré baixa e qual era a altura da água nesse momento?
Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés?
Qual é a amplitude desta função e o que ela representa em termos das marés?
4) (UCS) Nossa respiração é um fenômeno cíclico, com períodos alternados de inspiração e expiração. Em um determinado
adulto, a velocidade do ar nos pulmões em função do tempo, em segundos, decorrido a partir do início de uma inspiração é
dada pela equação
 2 t 
 . Determine o tempo do ciclo respiratório completo desse adulto [em segundos].
 5 
v(t )  0,5  sen 
5) Num certo lugar, as marés altas ocorrem à 0 h e às 12 h com altitude de 0,9 m , enquanto que as marés baixas ocorrem
às 6 h e às 18 h com altitude de 0,1 m . Nessas condições, qual a função que descreve a altitude do mar [em metros] em
relação ao horário “t”, em horas?
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6) Quando uma onda senoidal se propaga em uma corda, sua fonte realiza, na vertical, um movimento harmônico simples e
tem sua posição
inicial e

y , em função do tempo t , dada pela lei y(t )  A  cos(  .t ) , em que A é a amplitude,  é a fase
é a pulsação do movimento. Sabendo que uma onda se propaga de acordo com a equação
   
 t  , analise as sentenças abaixo assinalando [V] para as afirmações verdadeiras e [F] para as falsas.
  4 
y (t )  3  cos 2
(
(
(
(
)
)
)
)
A
A
A
A
amplitude é igual a 3.
fase inicial é igual a /4.
pulsação da onda é igual a 2.
posição da vertical da onda é 2, para o tempo decorrido de 3/2.
7) Determine a função geradora de cada um dos gráficos dados a seguir:
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8) Utilizando como referência o triângulo ao lado, mostre que a tangente de
mesmo ângulo, ou seja:
tg x 

a
um ângulo pode ser calculada através da divisão do seno pelo cosseno do
c
sen x
.
cos x

b
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
NOTA: Alguns dos gráficos apresentados a seguir contêm “deformidades” na sua curvatura!
1a)
y = 3 sen x
Amplitude:
3
Período:
2
1
A 3
p  2
Deslocamento Vertical:
DV  zero
0
-1 0
90
180
270
360
Deslocamento Horizontal:
DH  zero
-2
Conjunto Imagem:
-3
1b)
y = -3 sen x
Amplitude:
3
Período:
2
Im  { y  R /  3  y  3}
A 3
p  2
Deslocamento Vertical:
1
DV  zero
0
-1 0
90
180
270
360
Deslocamento Horizontal:
DH  zero
-2
Conjunto Imagem:
-3
1c)
y = 5 cos t
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
Amplitude:
Período:
A 5
p  2
Deslocamento Vertical:
90
180
270
360
y = -5 cos t
Amplitude:
Período:
180
270
360
A 5
p  2
DV  zero
Deslocamento Horizontal:
Conjunto Imagem:
Página 14 de 17
DH  zero
Im  { y  R /  5  y  5}
Deslocamento Vertical:
90
DV  zero
Deslocamento Horizontal:
Conjunto Imagem:
1d)
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
Im  { y  R /  3  y  3}
DH  zero
Im  { y  R /  5  y  5}
IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
1e)
y = sen (x) + 1
Amplitude:
2
p  2
Período:
1
A 1
DV  1
Deslocamento Vertical:
0
0
90
180
270
Deslocamento Horizontal:
360
-1
Conjunto Imagem:
-2
1f)
y = cos(x/2)
Amplitude:
1
Período:
0,5
DH  zero
Im  { y  R / 0  y  2 }
A 1
p  4
Deslocamento Vertical:
DV  zero
0
0
180
360
540
720
-0,5
Deslocamento Horizontal:
Im  { y  R /  1  y  1}
Conjunto Imagem:
-1
1g)
Amplitude:
y=sen(5x)+1
Período:
2
A 1
p  2 / 5
1,5
Deslocamento Vertical:
1
0,5
DV  1
Deslocamento Horizontal:
0
-0,5 0
18
36
54
72
-1
Conjunto Imagem:
1h)
y=sen(x+p)
Amplitude:
1
Período:
0,5
DH  zero
DH  zero
Im  { y  R / 0  y  2 }
A 1
p  2
Deslocamento Vertical:
DV  zero
0
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
Conjunto Imagem:
-1
1i)
Deslocamento Horizontal:
y=2 sen(x+p)
Amplitude:
2
Período:
Im  { y  R /  1  y  1}
A 2
p  2
1
Deslocamento Vertical:
0
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
DV  zero
-1
Deslocamento Horizontal:
-2
Conjunto Imagem:
Página 15 de 17
DH   
DH   
Im  { y  R /  2  y  2}
IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
1j)
y=0,5(cos3x)+1
Amplitude:
1,5
Período:
1
0,5
A  1/ 2
p  2 / 3
Deslocamento Vertical:
0
-0,5 0
30
60
90
120
DV  1
Deslocamento Horizontal:
DH  zero
-1
Conjunto Imagem:
-1,5
1k)
y=(cosx/4)-2
0
-0,5 0
360
Amplitude:
720
1080
-1
A 1
p  8
Período:
1440
Im  { y  R / 1/ 2  y  3 / 2}
DV   2
Deslocamento Vertical:
-1,5
-2
Deslocamento Horizontal:
-2,5
-3
Conjunto Imagem:
1l)
y=2sen(4x)-2
Amplitude:
Período:
0
0
22,5
45
67,5
DH  zero
Im  { y  R /  3  y  1}
A 2
p   /2
90
-1
Deslocamento Vertical:
DV   2
-2
Deslocamento Horizontal:
DH  zero
-3
Conjunto Imagem:
-4
1m)
y=3cos(x+p)-1
Amplitude:
2
Período:
1
-270
-180
-90
0
-1 0
90
180
270
360
-2
Im  { y  R /  4  y  0}
A 3
p  2
Deslocamento Vertical:
DV   1
Deslocamento Horizontal:
-3
-4
Conjunto Imagem:
1n)
Amplitude:
y=2sen(x+p/2)+1
3
Período:
DH   
Im  { y  R /  4  y  2}
A 2
p  2
2
Deslocamento Vertical:
1
0
-180
-90
0
-1
90
180
270
360
DV  1
Deslocamento Horizontal:
Conjunto Imagem:
-2
Página 16 de 17
DH    / 2
Im  { y  R /  1  y  3}
IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
1o)
y=-cos(2x)-2
Amplitude:
-1
0
45
90
135
Período:
180
A 1
p 
-1,5
Deslocamento Vertical:
-2
DV   2
Deslocamento Horizontal:
-2,5
Im  { y  R /  3  y  1}
Conjunto Imagem:
-3
1p)
y=-3cos(x+p)+1
Amplitude:
4
Período:
DH  zero
A 3
p  2
3
Deslocamento Vertical:
2
1
Deslocamento Horizontal:
0
-270
-180
-90
-1
DV  1
0
90
180
270
360
Conjunto Imagem:
DH   
Im  { y  R /  2  y  4}
-2
3a)
10 de fevereiro de 1990
12,0
Altura da maré (pés)
10,0
9,90
9,90
8,0
7,45
9,90
7,45
7,45
7,45
6,0
4,0
2,55
2,0
2,55
2,55
2,55
0,10
0,10
0,0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
t (horas)
3b) 9,9pés
3c) Às 6h e às 18h com altura de 0,1pé
4) 5 segundos
5)
3d) 12h [discutir significado]
 
t
6 
y  0,5  0,4 cos
7a)
f ( x)  3  2sen (2 x)
7b)
3

f ( x)  0,1  0,9 cos x   
4

7d)
3 
1
f ( x)  cos x 

2 
2
7e)
f ( x)   sen  x 




2
3e) 4,9pés [discutir significado]
6) V – F – V – F
7c)

1
f ( x)  sen  x  
2
2
7f)
f ( x)  5  3 cos x 
Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. (Sócrates)
Página 17 de 17




2